北师大版九年级数学上册2.1 认识一元二次方程 试题 （含答案）

2.1 认识一元二次方程
一、单选题
1．下列是关于x的一元二次方程的是（ ）
A． B． C． D．
2．关于x的方程中，二次项系数和一次项系数分别是（ ）
A．3，－2 B．3，4 C．3，－4 D．－4，－2
3．关于的方程是一元二次方程，则满足（ ）
A． B． C． D．为任意实数
4．下列关于x的方程一定是一元二次方程的是（ ）
A．x2＋2x＝x2﹣1 B．m2x2﹣7＋x2＝0
C．x2＋﹣1＝0 D．ax2＋bx＋c＝0
5．下列方程中一元二次方程的个数为（ ）
①；②；③；④．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
6．若一元二次方程有一个解为，则k为（ ）
A． B．1 C． D．0
7．已知关于x的一元二次方程x2＋mx﹣3＝0有一个根为1，则m的值为（ ）
A．﹣1 B．1 C．﹣2 D．2
8．已知是一元二次方程的一个根，则的值为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．4
9．下列说法中，正确的是（ ）
A．形如ax2+bx+c=0的方程叫做一元二次方程
B．方程4x2+3x=6不含常数项
C．一元二次方程中，二次项系数、一次项系数、常数项均不能为0
D．（2-x）2=0是一元二次方程
10．已知x=﹣1是方程x2+mx+n=0的一个根，则代数式m2+n2﹣2mn的值为（ ）
A．0 B．﹣1 C．1 D．±1
11．已知实数a,b满足a2-3a+1=0,b2-3b+1=0,则关于一元二次方程x2-3x+1=0的根的说法中正确的是　(　　)
A．x=a,x=b都不是该方程的解B．x=a是该方程的解,x=b不是该方程的解
C．x=a不是该方程的解,x=b是该方程的解 D．x=a,x=b都是该方程的解
12．若关于的一元二次方程有一个根为，则方程必有一根为（ ）
A．2019 B．2020 C．2021 D．2022
二、填空题
1．方程的一次项系数是______．
2．一元二次方程化为一般形式为___________________________，它的二次项系数是_______，一次项系数是_______，常数项是_______．
3．若方程是关于x的一元二次方程，则m的取值范围是_____．
4．若m2x3﹣（2x+1）2+（n﹣3）x+5＝0是关于x的一元二次方程，且不含x的一次项，则m＝___，n＝___．
5．已知一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有一个根为-1，则a-b+c=________
6．关于的一元二次方程的一个根是0，则另一个根是________．
7．方程（m﹣1）x|m|+1﹣4x+3=0是一元二次方程，则m满足的条件是：_____，此方程的二次项系数为：_____，一次项系数为：_____，常数项为：_____．
8．下列方程中，①； ②； ③（其中是常数）；
④； ⑤，一定是一元二次方程的有__________（填编号）
9．若关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0中二次项系数与常数项之和等于一次项系数,那么方程必有一根为____.
10．若关于x的方程ax2+bx+c＝0（a≠0）满足a﹣b+c＝0，称此方程为“天宫”方程．若方程a2x2﹣2021ax+1＝0（a≠0）是“天宫”方程，求a2+2022a+﹣的值是 ___．
11．根据如下表格对应值：
1 ﹣0.5 0 0.5 1 1.5 2
ax2+bx+c 2 1 2
判断关于x的方程ax2+bx+c=1.5（a≠0）的解x的范围是___________．
三、解答题
1．已知关于x的方程(2k＋1)x2＋4kx＋k－1＝0，问：
（1）k为何值时，此方程是一元一次方程？
（2）k为何值时，此方程是一元二次方程？并写出这个一元二次方程的二次项系数、一次项系数及常数项．
2．把下列方程化成一元二次方程的一般形式，并写出它的二次项系数、一次项系数和常数项：
方程 一般形式 二次项系数 一次项系数 常数项
3．已知方程.
（1）当为何值时，此方程为一元二次方程？
（2）当为何值时，此方程为一元一次方程？
4．一元二次方程化为一般形式后为，试求的值．
5．若m是一元二次方程的一个实数根．
（1）求a的值；
（2）不解方程，求代数式的值．
6．（1）若方程是关于x的一元二次方程，求m的取值范围．
（2）如果是方程的一个根，求的值．
7．解题时，最容易想到的方法未必是最简单的，你可以再想一想，尽量优化解法．
例题呈现
关于x的方程a(x＋m)2＋b＝0的解是x1＝1，x2＝－2（a、m、b均为常数，a≠0），则方程a(x＋m＋2)2＋b＝0的解是　 ．
解法探讨
（1）小明的思路如图所示，请你按照他的思路解决这个问题；
小明的思路
第1步 把1、－2代入到第1个方程中求出m的值；
第2步 把m的值代入到第1个方程中求出的值；
第3步 解第2个方程．
（2）小红仔细观察两个方程，她把第2个方程a(x＋m＋2)2＋b＝0中的“x＋2”看作第1个方程中的“x”，则“x＋2”的值为　 ，从而更简单地解决了问题．
策略运用
（3）小明和小红认真思考后发现，利用方程结构的特点，无需计算“根的判别式”就能轻松解决以下问题，请用他们说的方法完成解答．
已知方程 (a2－2b2)x2＋(2b2－2c2)x＋2c2－a2＝0有两个相等的实数根，其中a、b、c是△ABC三边的长，判断△ABC的形状．
答案
一、单选题
B．C.C．B．A．C．D．B.D．C.D．D
二、填空题
1.-8
2.，3，2，．
3.m≠1．
4.0，7．
5.0．
6.6．
7．m≠1．
8．m=﹣1；﹣2，﹣4，3．
9．①⑤．
10．-1.
11．．
12．0三、解答题
1.解：（1）∵是关于x的一元一次方程，
∴，
解得
（2）∵是关于x的一元二次方程，
∴即，
∴这个一元二次方程的二次项系数为，一次项系数为，常数项为．
2.解：把下列方程化成一元二次方程的一般形式，并写出它的二次项系数、一次项系数和常数项．
方程 一般形式 二次项系数 一次项系数 常数项
3 1
1 1
7 0
3.(1)∵方程(m 5)(m 3)xm 2+(m 3)x+5=0为一元二次方程，
∴
解得：m=4，
所以当m为4时,方程方程(m 5)(m 3)xm 2+(m 3)x+5=0为一元二次方程；
(2)∵方程(m 5)(m 3)xm 2+(m 3)x+5=0为一元一次方程，
∴ 或 或
解得，m=5或m=2（无意义，舍去），
故当m为5时,方程方程(m 5)(m 3)xm 2+(m 3)x+5=0为一元一次方程.
4.解：原方程可化为： ax2 （2a b）x＋a b＋c＝0，
由题意得，a＝2，2a b＝3，a b＋c＝ 1，
解得：a＝2，b＝1，c＝ 2，
∴．
5.（1）由于是关于的一元二次方程，
所以，
解得；
（2）由（1）知，该方程为，
把代入，得，
所以，①
由，得，
所以，②
把①和②代入，
得，
即．
6.解：（1）∵方程是关于x的一元二次方程，
∴，
∴且；
（2）∵是方程的一个根，
∴，即
∴．
7.（1）解：将x1＝1，x2＝－2代入到方程a(x＋m)2＋b＝0中，
得 ，
∴ m＋1＝±(m－2)，
解得 m＝
∴ a(＋1)2＋b＝0．
∴ －＝
第2个方程可变形为(x＋＋2)2＝－，
即(x＋)2＝，
解得：x1＝－1，x2＝－4
（2）关于x的方程a（x+m）2+b=0的解是x1=-2，x2=1，（a，m，b均为常数，a≠0）；
（3）解：∵ (a2－2b2)＋(2b2－2c2)＋(2c2－a2)＝0，
∴ 方程必有一根是x＝1
∴ 方程的两根为x1＝x2＝1．
∴ x1·x2＝1＝ ．
∴ a2＝b2＋c2．
∴ △ABC是一个直角三角形