九年级数学上册试题 2.3 用公式法解一元二次方程-北师大版（含答案）

2.3 用公式法解一元二次方程
一、单选题
1．用公式法解方程时，求根公式中a，b，c的值分别是（ ）．
A．，， B．，，
C．，， D．，，
2．已知某一元二次方程的两根为，则此方程可能是（ ）
A． B．
C． D．
3．用公式法解方程4y2﹣12y﹣3＝0，得到（　　）
A．y＝ B．y＝ C．y＝ D．y＝
4．解方程时，下面说法正确的是（ ）
A．只能用公式法 B．不能用配方法
C．只能用配方法 D．公式法、配方法都能用
5．用公式法解方程，其中求得的值是（ ）.
A．16 B．
C．32 D．64
6．一元二次方程x2﹣px+q=0的两个根是（4q＜p2）（　　）
A． B．
C． D．
7．如果一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）能用公式法求解，那么必须满足的条件是（　　）
A．b2-4ac≥0 B．b2-4ac≤0 C．b2-4ac＞0 D．b2-4ac＜0
8．方程2x2-6x+3=0较小的根为p，方程2x2-2x-1=0较大的根为q，则p+q等于( )
A．3 B．2 C．1 D．
9．关于x的一元二次方程的根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．只有一个实数根 D．没有实数根
10．关于的方程有实数根，则的取值范围是 （ ）
A．且 B．且 C． D．
11．若a，b，c是△ABC的三边，则关于x的方程的根的情况是( )
A．没有实数根
B．只有一个实数根
C．有两个相等的实数根
D．有两个不相等的实数根
12．对于一元二次方程，下列说法：
①若，则；
②若方程有两个不相等的实根，则方程必有两个不相等的实根；
③若c是方程的一个根，则一定有成立；
②若是一元二次方程的根，则其中正确的（ ）
A．只有①②④ B．只有①②③ C．①②③④ D．只有①②
13．如图，将图1的正方形剪成四块，恰能拼成图2的矩形，则（ ）
A． B． C． D．
14．探讨关于x的一元二次方程总有实数根的条件，下面三名同学给出建议：甲：a，b同号；乙：；丙：．其中符合条件的是（ ）
A．甲，乙，丙都正确 B．只有甲不正确
C．甲，乙，丙都不正确 D．只有乙正确
15．有关于x的两个方程：ax2+bx+c=0与ax2-bx+c=0，其中abc＞0，下列判断正确的是（ ）
A．两个方程可能一个有实数根，另一个没有实数根
B．若两个方程都有实数根，则必有一根互为相反数
C．若两个方程都有实数根，则必有一根相等
D．若两个方程都有实数根，则必有一根互为倒数
16．关于x的一元二次方程ax2＋2ax＋b＋1＝0（a b≠0）有两个相等的实数根k．（ ）
A．若﹣1＜a＜1，则 B．若，则0＜a＜1
C．若﹣1＜a＜1，则 D．若，则0＜a＜1
17．若m、n（m＜n）是关于x的方程1﹣（x﹣a）（x﹣b）=0的两根，且a＜b，则a、b、m、n的大小关系是（ ）
A．m＜a＜b＜n B．a＜m＜n＜b
C．a＜m＜b＜n D．m＜a＜n＜b
18．将4个数a，b，c，d排成2行，2列，两边各加一条竖线，记成，并规定，例如，则的根的情况为（ ）
A．只有一个实数根 B．有两个相等的实数根
C．有两个不相等的实数根 D．没有实数根
19．如图，直线与y轴，x轴分别交于点A、B，C为线段AB上的动点，过C作x轴的垂线垂足为点D，以CD为一边在CD左侧内正方形CDEF，当正方形CDEF与△AOB重叠部分的面积为△AOB的面积的时，点C的横坐标为（ ）
A． B．或
C．或 D．或
20．已知，，下列结论正确的个数为( )
①若是完全平方式，则；
②B－A的最小值是2；
③若n是的一个根，则；
④若，则
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题
1．把方程化为一般形式是______，其中______，______，______，______，方程的根是______，______.
2．方程的解为________．
3．方程（）的根是___________．
4．已知则的值=___________
5．若关于x的一元二次方程无实数根，则k的最小整数值是______．
6．若为的三边，且关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则这个三角形是_________三角形．
7．若一元方程有两个实数根，则m的取值范围为是 _____．
8．已知关于x的方程有实数根，则整数a的最大值是_____．
9．关于x的一元二次方程有实数根，则2ax的值为 ___．
10．若代数式有意义，则x的取值范围是 _____．
11．关于的一元二次方程，下列命题是真命题的是______．（填序号）
①若，则方程必有实数根；
②若，，则方程必有两个不相等的实根；
③若是方程的一个根，则一定有成立；
④若是一元二次方程的根，则．
三、解答题
1．解下列一元二次方程：
(1)x2﹣4x+1=0； (2)2x2+3x﹣3=0． (3)（2x﹣1）2=（3﹣x）2；
(4)．（5）（6）
2．已知关于x的方程(m-2)x2-2(m-1)x+m+1=0，当m为何值时：
(1)方程只有一个实数根；
(2)方程有两个相等的实数根；
(3)方程有两个不等的实数根.
3．关于x的方程
(1)求证：方程恒有两个不相等的实数根．
(2)若此方程的一个根为1，求m的值：
(3)求出以此方程两根为直角边的直角三角形的周长
4．已知关于x的方程x2+（m﹣2）x﹣2m=0．
(1)求证：不论m取何值，此方程总有实数根；
(2)若m为整数，且方程的一个根小于2，请写出一个满足条件的m的值．
5．已知：关于x的方程x2﹣（k＋2）x＋2k=0
（1）求证：无论k取任何实数值，方程总有实数根；
（2）若等腰三角形ABC的一边长a=1，另两边长b，c恰好是这个方程的两个根，求△ABC的周长．
6．已知关于x的一元二次方程x（kx﹣4）﹣x2=﹣4
(1)如果方程的根的判别式的值为4，求k的值；
(2)如果方程有两个实数根，求k的取值范围．
7．设m为整数，且，方程有两个不相等的整数根，求m的值及方程的根．
8．设a，b为实数，关于的方程无实数根，求代数式8a+4b+|8a+4b-5|的值．
9．观察下列方程：
①；②；③；
④；⑤；…
上面每一个方程的二次项系数都是2，各个方程的解都不同，但每个方程的值均为1．
（1）请你写出两个方程，使每个方程的二次项系数都是2，且每个方程的的值也都是1，但每个方程的解与已知的5个方程的解都不相同．
（2）对于一般形式的一元二次方程（a≠0，≥0），能否作出一个新方程，使与相等？若能，请写出所作的新的方程（，需用a，b，c表示），并说明理由；若不能，也请说明理由．
10．如图，在中，，所对的边分别为．将形如的一元二次方程称为“直系一元二次方程”．
（1）请直接写出一个“直系一元二次方程”；
（2）求证：关于的“直系一元二次方程”必有实数根；
（3）若是“直系一元二次方程”的一个根，且，求的值．
答案
一、单选题
C.D．C.D.D.A．A．B．A.D.A．A．C．B．B．D．A．C．B．B．
二、填空题
1.；3， 5， 2，49；，2．
2.3或-5．
3.．
4.或．
5.2．
6.等腰．
7.m≤且m≠2．
8.-1．
9.
10.﹣3≤x≤且x≠．
11.①④
三、解答题
1．
(1)
解： x2﹣4x+1＝0，
x2﹣4x＝﹣1，
x2﹣4x+4＝3，即（x﹣2）2＝3，
∴x﹣2＝，
∴x1＝2+，x2＝2﹣；
(2)
2x2+3x﹣3＝0，
∵a＝2，b＝3，c＝﹣3，
∴Δ＝32﹣4×2×（﹣3）＝33＞0，
∴x＝＝，
∴x1＝，x2＝．
(3)
解：
∴或
解得或
∴方程的解为或．
(4)
解：
∴或
解得或
∴方程的解为或．
（5）解：∵，
∴a=9，b=，c=1，
∴△=，
∴方程有两个不相等的实数根，
∴=，
∴．
（6）解：
，，
．
2.(1)∵方程只有一个实数根，
∴m 2=0
解得：m=2；
(2)∵方程有两个相等的实数根，
∴△=4(m 1)2 4(m 2)(m+1)=0
解得：m=3；
(3)∵方程有两个不相等的实数根，
∴△=4(m 1)2 4(m 2)(m+1)>0
解得：m<3，
∵m为非负整数，且m≠2，
∴m=0或1.
3.(1)
证明：x2 (m+2)x+(2m 1)=0，
∵a=1，b= (m+2)，c=2m 1，
∴b2 4ac=[ (m+2)]2 4×1×(2m 1)=(m 2)2+4，
∵在实数范围内，m无论取何值，(m 2)2+4>0，
即b2 4ac＞0，
∴关于x的方程x2 (m+2)x+(2m 1)=0恒有两个不相等的实数根；
(2)
将x=1代入方程可得：
12 (m+2)+(2m 1)=0，
解得：m=2；
(3)
∵m=2，
∴方程为x2 4x+3=0，
解得：x1=1或x2=3，
∴方程的另一个根为x=3；
∴直角三角形的两直角边是1、3，
∵，
∴斜边的长度为，
∴直角三角形的周长为1＋3＋=4＋．
4.(1)
证明：由题意知
∵（m+2）2≥0，
∴△≥0，
∴关于x的方程x2+（m﹣2）x﹣2m＝0总有实数根；
(2)
解：由（1）知，△＝（m+2）2，
∴x，
∴，，
∵方程有一根小于2，
∴﹣m＜2，
∴m＞﹣2，
∵m为整数，
∴满足条件的m的一个值为﹣1．
5.（1）证明：由题意知：Δ＝（k+2）2﹣4 2k＝（k﹣2）2，
∵（k﹣2）2≥0，即△≥0，
∴无论取任何实数值，方程总有实数根；
（2）解：当b＝c时，Δ＝（k﹣2）2＝0，则k＝2，
方程化为x2﹣4x+4＝0，解得x1＝x2＝2，
∴△ABC的周长＝2+2+1＝5；
当b＝a＝1或c＝a＝1时，
把x＝1代入方程得1﹣（k+2）+2k＝0，解得k＝1，
方程化为x2﹣3x+2＝0，解得x1＝1，x2＝2，
不符合三角形三边的关系，此情况舍去，
∴△ABC的周长为5．
6.(1)
方程化为：（k-1）x2-4x+4=0，
根据题意得Δ=（-4）2-4（k-1）×4=4，
解得k=；
(2)
根据题意得：k-1≠0且Δ=（-4）2-4（k-1）×4≥0，
解得k≤2且k≠1，
即k的取值范围为k≤2且k≠1．
7.解：解方程
得
∵原方程有两个不相等的整数根，
∴为完全平方数，
又∵m为整数，且3∴m=8或18
∴当m=8时，x=17或9
当m=18时，x=39或27
8.将化简得：，
∵原分式方程无实数根，
∴，即，
∴，
∴，
∴．
9.（1）答案不唯一，如
；
（2）能，所作的新方程为
．
通过观察可以发现．
10.解：（1）如；(答案不唯一，满足条件即可）
（2）由，
又，
，
该一元二次方程必有实数根；
（3）是方程的一个根，
，
，
，
即，
由，得：，
，
．