九年级数学上册试题 2.4 用因式分解法解一元二次方程 -北师大版（含答案）

2.4 用因式分解法解一元二次方程
第一课时
一、单选题
1．一元二次方程的解是（ ）
A． B． C． D．
2．方程x（x﹣2）＝3x的解为（ ）
A．x＝5 B．x1＝0，x2＝5 C．x1＝2，x2＝0 D．x1＝0，x2＝﹣5
3．下列方程能用因式分解法求解的有（ ）
①；②；③；④．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
4．一元二次方程的解是　　
A．， B．，
C．， D．，
5．若关于的一元二次方程有一个根为0，则的值为（ ）
A．0 B．1或2 C．1 D．2
6．如果能分解成的形式，则方程的两根为（ ）
A．， B．，
C．， D．，
7．一元二次方程的解为（ ）
A． B．B． C．， D．，
8．三角形的两边长分别为4和5，第三边的长是方程的根，则三角形的周长是（ ）
A．19 B．11或19 C．13 D．11
9．已知实数满足，则代数式的值是( )
A．7 B．-1 C．7或-1 D．-5或3
10．在解一元二次方程x2+px+q＝0时，小红看错了常数项q，得到方程的两个根是﹣3，1．小明看错了一次项系数P，得到方程的两个根是5，﹣4，则原来的方程是（　　）
A．x2+2x﹣3＝0 B．x2+2x﹣20＝0 C．x2﹣2x﹣20＝0 D．x2﹣2x﹣3＝0
二、填空题
11．一元二次方程x(x﹣5)=x﹣5的解为___________．
12．认真观察下列方程，指出使用何种方法解比较适当：
（1）4x2+16x=5，应选用_____法；
（2）2（x+2）（x﹣1）=（x+2）（x+4），应选用_____法；
（3）2x2﹣3x﹣3=0，应选用_____法．
13．方程的根为__________．
14．已知一等腰三角形的底边长和腰长分别是方程x2﹣3x=4（x﹣3）的两个实数根，则该等腰三角形的周长是_____．
15．解方程：1+22x-3x2＝25解得 ____．
16．已知一元二次方程的两个根是菱形的两条对角线长，则这个菱形的周长______．
17．已知关于x的一元二次方程（a，b，c为常数，且），此方程的解为，．则关于x的一元二次方程的解为______．
18．定义：如果一元二次方程（）满足，那么我们称这个方程为“凤凰”方程．已知是“凤凰”方程，且有两个相等的实数根，则______．
三、解答题
19．用因式分解法解下列关于x的方程
（1） （2）
（3） （4）
20．用因式分解法解下列方程：
(1)； (2) ；
(3)； (4).
21．阅读下面的例题．
解方程： ．
解：（1）当 时，原方程化为 ，解得 ， （不合题意，舍去）．
（2）当 时，原方程化为 ，解得 ， （不合题意，舍去）．
∴原方程的解是 ， ．
请参照上述方法解方程 ．
22．如果一元二次方程的两根相差1，那么该方程称为“差1方程”．例如x2＋x=0是“差1方程”．
(1)判断下列方程是不是“差1方程”，并说明理由；
①x2﹣5x﹣6=0；
②x2﹣x＋1=0；
(2)已知关于x的方程x2﹣（m﹣1）x﹣m=0（m是常数）是“差1方程”，求m的值；
(3)若关于x的方程ax2＋bx＋1=0（a，b是常数，a＞0）是“差1方程”，设t=10a﹣b2，求t的最大值．
第二课时
一、单选题
1．已知关于的方程的一个根，且这个方程的两个根恰好是等腰的两条边长，则的周长为（ ）．
A．8 B．10 C．8或10 D．6或10
2．已知，则等于（ ）
A．或 B．6或1 C．或1 D．2或3
3．方程的解是（ ）
A．或 B．或 C．或 D．无实数根
4．如图，“杨辉三角”是我国古代奉献给人类伟大的数学遗产之一，从图中取一列数1，3，6，10，…，记，，，…，那么，则的值是（ ）
A．13 B．10 C．8 D．7
5．若，，，，为互不相等的正奇数，满足
，则的末位数字是（ ）
A．1 B．3 C．5 D．7
6．如果关于x的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”，以下关于倍根方程的说法，正确的有（ ）个；
①方程是倍根方程；
②若是倍根方程，则；
③若p、q满足，则关于x的方程是倍根方程；
④若方程是倍根方程，则必有．
A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题
7．若关于x的一元二次方程的根都是整数，则整数m的最大值是________．
8．若方程和的解相同，则的值为______．
9．若关于 的方程 有三个根，且这三个根恰好可以作为一个三角形的三条边的长，则 的取值范围是________.
10．小丽在解一个三次方程x3－2x＋1＝0时，发现有如下提示：观察方程可以发现有一个根为1，所以原方程可以转化为(x－1)(x2＋bx＋c)＝0．根据这个提示，请你写出这个方程的所有的解______．
11．“数学王子”高斯从小就善于观察和思考．在他读小学时候就能在课堂上快速的计算出，今天我们可以将高斯的做法归纳如下：
令 ①
②
①＋②：有 解得：
请类比以上做法，回答下列问题：若为正整数，，则____．
三、解答题
12．解方程：
(1) (2)
(3) (4)
13．按要求解方程：
(1)直接开平方法：4（t-3）2=9（2t-3）2； (2)配方法：2x2-7x-4=0；
(3)公式法： 3x2+5（2x+1）=0； (4)因式分解法：3（x-5）2=2（5-x）；
(5)因式分解法：abx2-（a2+b2）x+ab=0 （ab≠0） ； (6)用配方法求最值：6x2-x-12．
14．已知关于x的一元二次方程．
(1)当m=1时，试求出该方程的解；
(2)求证：不论m取任何值，该方程总有两个不相等的实数根．
15．阅读下面的例题：
解方程m2﹣|m|﹣2=0的过程如下：
（1）当m≥0时，原方程化为m2﹣m﹣2=0，解得：m1=2，m2=﹣1（舍去）．
（2）当m＜0时，原方程可化为m2＋m﹣2=0，解得：m1=﹣2，m2=1（舍去）．
原方程的解：m1=2，m2=﹣2
请参照例题解方程：m2﹣|m﹣1|﹣1=0
16．换元法是数学中一个非常重要而且应用十分广泛的解题方法，我们通常把未知数或变数称为元．所谓换元法，就是解题时，把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使得复杂问题简单化．换元的实质是转化，关键是构造元和设元．
例如解方程组，设m=，n=，则原方程组可化为，
解之得，即所以原方程组的解为．
运用以上知识解决下列问题：
（1）求值：=　 　．
（2）方程组的解为　 　．
（3）分解因式：（x2+4x+3）（x2+4x+5）+1=　 　．
（4）解方程组
（5）已知关于x、y的方程组的解是，求关于x、y的方程组的解．
17．高斯从小就善于观察和思考．在他读小学时候就能在课堂上快速的计算出 ，今天我们可以将高斯的做法归纳如下：
令 ①
②
（右边相加 共 组）①+②：有 ，解得： 请类比以上做法，回答，
题目：如下图，有一个形如六边形的点阵，它的中心是一个点，算第一层，第二层每边有两个点，第三层每边有三个点，依此类推．
（1） 填写下表：
（2） 写出第层所对应的点数；
（3） 如果某一层共个点，你知道它是第几层吗
（4） 写出层的六边形点阵的总点数；
（5） 如果六边形点阵图的总点数是个，你知道它共有几层吗
18．若一个高于二次的关于 x 的多项式能被 () 整除，则其一定可以分解为 () 与另外一个整式的乘积，而且令这个多项式的值为 0 时， x = a 是关于 x 的这个方程的一个根．
例如：多项式 可以分解为 () 与另外一个整式 M 的乘积，即
令时，可知 x =1 为该方程的一个根．
关于笛卡尔的“待定系数法”原理，举例说明如下： 分解因式：
观察知，显然 x=1 时，原式 = 0 ，因此原式可分解为 () 与另一个整式的积．
令：，则=，因等式两边 x 同次幂的系数相等，则有：，得，从而
此时，不难发现 x= 1 是方程 的一个根．
根据以上材料，理解并运用材料提供的方法，解答以下问题：
（1）若 是多项式 的因式，求 a 的值并将多项式分解因式；
（2）若多项式 含有因式及 ，求a+ b 的值．
第一课时答案
一、单选题
D．B.C．A.D．A．D.D．A．B
二、填空题
11．x1=5，x2=1．
12． 配方 因式分解 公式
13．或．
14．10或11
15．
16．20
17．或．
18．-2
三、解答题
19．
解：（1）
解得：，
（2）
解得：，
（3）
解得：，
（4）
解得：，
20．
解：(1)原方程可化为
∴，
∴或，
∴.
(2)原方程可化为，
∴，
∴，
∴或，∴.
(3)原方程可化为，∴，∴.
(4)原方程可变形为，∴，
∴，
即，
∴或，
∴.
21．
解： ．
（1）当 时，原方程化为 ，
解得 ， （不合题意，舍去）．
（2）当 时，原方程化为 ，
解得 ， （不合题意，舍去）．
故原方程的解是 ， ．
22．
（1）解：①解方程得：，或，，不是“差1方程”；②，∴，，是“差1方程”；
（2）解：方程得：，或，方程是常数）是“差1方程”，或，或；
（3）解：由题可得：∴解方程得，关于的方程、是常数，是“差1方程”，，，，，，时，的最大值为9．
第二课时答案
一、单选题
B．A.A.D．A．C．
二、填空题
7．2．
8．4．
9．3＜m≤4
10．或1．
11.12．
三、解答题
12.(1)
解：
移项得，
两边开平方得，
∴
(2)
解：
或
∴
(3)
解：
或
∴
(4)
解：
∴
13.(1)
解：4（t-3）2=9（2t-3）2
开方得：，
∴或，
∴；
(2)
解：2x2-7x-4=0
方程两边同时除以2得：
，
，
，
，
，
∴；
(3)
解：3x2+5（2x+1）=0，
方程整理为一般式为：，
∴，
∴，
∴，
∴；
(4)
解：3（x-5）2=2（5-x）
方程变形为：，
∴，
∴，
∴；
(5)
解：abx2-（a2+b2）x+ab=0
，
∵，
∴，
∴；
(6)
解：6x2-x-12，
∴当时，原式有最小值．
14.(1)
解：当m＝1时，原方程为
∴
∴，
(2)
∵，∴
∴不论m取任何值，该方程总有两个不相等的实数根
15.解：当m≥1时，原方程化为m2﹣m＝0，解得：m1＝1，m2＝0（舍去）．
当m＜1时，原方程可化为m2+m﹣2＝0，解得：m1＝﹣2，m2＝1 （舍去）．
原方程的解：m1＝1，m2＝﹣2．
16.解：（1）设，
原式．
故答案为：．
（2）设，原方程组变为：
．
解得：．
．
解得：．
经检验，是原方程组的解．
故答案为：．
（3）设，
原式．
故答案为：．
（4）原方程组变形为：，
设，，则．
解得：．
．
．
（5）将关于、的方程组整理得：
．
关于、的方程组的解是，
．
即：．
解这个方程组得：
，．
原方程组的解为：
，．
17.（1） 第四列应填：18+19=37；
（2）第1层上的点数为1，
第2层上的点数为6=，
第3层上的点数为6+6=，
第4层上的点数为6+6+6=，
.......，
第n层上的点数为，；
（3）=96，
解答n=17，
∴第 层共 个点；
（4）
=
=；
（5）由（4）得=631，
解得n=15，或n=-14（舍去），
∴六边形点阵图的第层的总点数是个.
18.（1）令：，
因等式两边 x 同次幂的系数相等，则有：，
解得：，
从而=x3+1=（x+1）(x2-x+1)；
（2）设（其中M为二次整式），
由材料可知：x+1=0或x-2=0；
所以：x=-1，x=2是方程的解，
所以，
解得a=8，b=-39，
∴a＋b=8+(-39) =-31．