九年级数学上册试题 4.1 成比例线段 -北师大版（含答案）

4.1 成比例线段
第一课时
一、单选题
1．下列各组线段的长度成比例的是（ ）
A．1cm，2cm，3cm，4cm B．3cm，4cm，5cm，6cm
C．5cm，10cm，15cm，20cm D．6cm，4cm，3cm，2cm
2．地图上乐山到峨眉的图上距离为3.8厘米，比例尺是1：1000000，那么乐山到峨眉的实际距离是（　　）
A．3800米 B．38000米 C．380000米 D．3800000米
3．已知点C是线段AB延长线上一点，且AB：BC＝3：2，则AC：AB为（ ）
A．3：2 B．5：3 C．5：2 D．3：5
4．如果，那么下列等式中不成立的是（　　）
A． B． C． D．
5．已知线段是线段、的比例中项，且，，则等于（ ）．
A． B． C． D．无法确定
6．下列说法正确的是（　　）
A．每一条线段有且只有一个黄金分割点
B．黄金分割点分一条线段为两段，其中较短的一段是这条线段的0.618倍
C．若点C把线段AB黄金分割，则AC是AB和BC的比例中项
D．黄金分割点分一条线段为两段，其中较短的一段与较长的一段的比值约为0.618
7．如果a=2，b=4，c=8，那么（ ）
A．a、b、c的第四比例项是7 B．3a、2b和3c的第四比例项为18
C．c是ab的比例中项 D．b是ac的比例中项
8．如图，已知点C是线段AB的黄金分割点（其中AC＞BC），则下列结论正确的是（　　）
A． B． C．AB2＝AC2+BC2 D．BC2＝AC BA
9．已知，且，则下列结论中：①；②；③，正确的有（ ）
A．个 B．个 C．个 D．个
10．下列结论不一定成立的是（ ）
A．如果，那么
B．如果，那么
C．如果，（），那么
D．如果，那么
二、填空题
11．如果，那么________．
12．已知线段长是是线段上的一点，且满足那么长为____．
13．大自然巧夺天工，一片小小树叶，也蕴含着“黄金分割”．如图，为的黄金分割点，如果的长度为，那么的长度是______．
14．已知，则_________．
15．如图，在中，点是线段的黄金分割点（），若的面积是，则的面积是_______．
16．已知三条线段的长分别为1cm，2cm， cm，如果另外一条线段与它们是成比例线段，则另外一条线段的长为__________________．
三、解答题
17．（1）已知线段a＝2，b＝9，求线段a，b的比例中项．
（2）已知x：y＝4：3，求的值．
18．如果，且，求的值．
19．若且x＋y＋z＝18，分别求x、y、z的值．
20．已知x：y：z＝3：5：7，求的值．
21．如图，设线段AC＝1.
（1）过点C画CD⊥AC，使CDAC；连接AD，以点D为圆心，DC的长为半径画弧，交AD于点E；以点A为圆心，AE的长为半径画弧，交AC于点B．
（2）在所画图中，点B是线段AC的黄金分割点吗？为什么？
22．若，（1）求的值；（2）求的值．
23．如图，用长为40cm的细铁丝围成一个矩形．
（1）若这个矩形的面积等于，求的长度；
（2）这个矩形的面积可能等于吗？若能，求出的长度，若不能，说明理由；
（3）若这个矩形为黄金矩形（与之比等于黄金比），求该矩形的面积．（结果保留根号）试卷第1页，共3页
第二课时
一、单选题
1．一组不为零的数a，b，c，d，满足，则以下等式不一定成立的是（ ）
A．＝ B．＝
C．＝ D．＝
2．已知线段AB的长为2厘米，点P是AB的黄金分割点，线段PB的长是（ ）
A． B．或 C． D．
3．已知a、b、c均不为0,且,若，则k=（）
A．-1 B．0 C．2 D．3
4．如图，在△ABC中，已知AB＝AC＝3，BC＝4，若D，E是边BC的两个“黄金分割”点，则△ADE的面积为（　　）
A．10﹣4 B．3﹣5 C． D．20﹣8
5．有以下命题：
①如果线段是线段，，的第四比例项，则有；
②如果点是线段的中点，那么是、的比例中项；
③如果点是线段的黄金分割点，且，那么是与的比例中项；
④如果点是线段的黄金分割点，，且，则．
其中正确的判断有（ ）
A．②④ B．①②③④ C．①③④ D．②③④
6．如图，乐器上的一根弦AB＝80cm，两个端点A，B固定在乐器板面上，支撑点C是靠近点B的黄金分割点，支撑点D是靠近点A的黄金分割点，则C，D之间的距离为（　　）
A．（40﹣40）cm B．（80﹣40）cm
C．（120﹣40）cm D．（80﹣160）cm
7．若，设，，，则、、的大小顺序为（ ）
A． B． C． D．
8．已知实数a、b、c、d满足2 005a3=2 006b3=2 007c3=2 008d3，
=
则a-1+b-1+c-1+d-1的值为( ).
A．1 B．0 C．-1 D．±1
二、填空题
9．若，给出下列各式：①；②；③；④，其中正确的是________.（填写所有正确的序号）
10．若==（x，y，z均不为0），=1，则m的值为______ ．
11．如图1，点C把线段AB分成两条线段AC和BC，如果，点C叫做线段AB的黄金分割点．设AB=a，AC=x，则，，即叫做黄金比．一些美术家认为：人的上、下身长之比接近黄金比，可以增加美感．如图2的人体雕像高为m，为增加视觉美感，若图中m为2米，则n为____米．
12．五角星是我们生活中常见的一种图形，如图五角星中，点C，D分别为线段AB的右侧和左侧的黄金分割点，已知黄金比为，且AB＝2，则图中五边形CDEFG的周长为________．
13．，，，，，满足关系：，则代数式的值是______．
14．已知满足，试求的最大值__________．
15．如图，线段AB的长为1，线段AB上取点P1满足关系式AP12＝BP1 AB，则线段AP1的长度为_____；线段AP1上取点P2满足关系式AP22＝P1P2 AP1，线段AP2上的点P3满足关系式AP32＝P2P3 AP2，依次以此类推，APn的长度为_____．
16．若，则的值为_____________．
三、解答题
17．已知线段，，满足，且．
求，，的值；
若线段是线段，的比例中项，求．
18．已知，求:
(1) 的值；(2) 的值．
19．（1）已知，求的值．
（2）已知，求的值．
20．已知=k，求k2-3k-4的值．
21．阅读理解：
已知：a，b，c，d都是不为0的数，且，求证：．
证明：∵，
∴．
∴．
根据以上方法，解答下列问题：
（1）若，求的值；
（2）若，且a≠b，c≠d，证明．
22．已知a，b，c，d都是互不相等的正数.
（1）若，，则 ， （用“＞”，“＜”或“=”填空）；
（2）若请判断和的大小关系，并证明；
（3）令若分式的值为3，求t的值.
23．已知，且.求证：.
24．所谓黄金分割，指的是把长为L的线段分为两部分，使其中较长部分对于全部之比，等于较短部分对于该部分之比，其比值是．
(1)如图①，在中，∠A＝36°，，∠ACB的平分线CD交腰AB于点D．请你根据所学知识证明：点D为腰AB的黄金分割点：
(2)如图②，在中，∠ACB＝90°，CD为斜边AB上的高，，，若点D是AB的黄金分割点，求BC的长，
25．（1）数学活动一
宽与长的比是的矩形叫做黄金矩形，黄金矩形给我们以协调、匀称的美感．世界各国许多著名的建筑，都采用了黄金矩形的设计．在数学活动课上，小红按如下步骤折叠出一个矩形：
第一步，在一张矩形纸片的一端，利用图①的方法折出一个正方形ABCD，然后把纸片展平；
第二步，如图②，把这个正方形ABCD对折成两个完全重合的矩形，再把纸片展平；
第三步，如图③，折出内侧矩形EFBC的对角线CF，并把CF折到图中所示FN处；
第四步，如图④，展平纸片，按照点N折出NM，得到矩形BNMC．
若，请证明矩形BNMC是黄金矩形．
（2）数学活动二
如图⑤，点C在线段AB上，且满足，即，此时，我们说点C是线段AB的黄金分割点，且通过计算可得．小红发现还可以从活动一的第三步开始修改折叠方式，如图⑥，折出右侧矩形EFBC的对角线EB，把AB边沿BG折叠，使得A点落在对角线BE上的K点处，若，请通过计算说明G点是AD的黄金分割点．
第一课时答案
一、单选题
D．B．B．D．A.D．D.A．C.D．
二、填空题
11．
12．．
13．．
14．
15．．
16．2cm或cm或cm
三、解答题
17．解：（1）设线段x是线段a，b的比例中项，
∵a＝3，b＝6，
x2＝3×6＝18，
x＝（负值舍去）．
∴线段a，b的比例中项是3．
（2）设x＝4k，y＝3k，
∴＝＝．
18．解：设＝k（k≠0），
则a＝2k，b＝3k，c＝4k，
代入得，6k 6k＋4k＝8，
解得k＝2，
所以，a＝4，b＝6，c＝8，
所以，＝4-6+8＝6．
19．设，则x＝2k，y＝3k，z＝4k，代入x＋y＋z＝18即可求解；
解：设，
则x＝2k，y＝3k，z＝4k，
∵x+y+z＝18，
∴2k+3k+4k＝18，
解得：k＝2，
∴x＝2k＝4，y＝3k＝6，z＝4k=8．
20．∵x：y：z＝3：5：7，
∴设x＝3k、y＝5k、z＝7k，
∴
＝
＝
21．解：（1）如图，点B为所作；
（2）点B是线段AC的黄金分割点．
理由如下：设AC＝1，则CD，
∴DE＝DC，
∵AD=，
∴AE＝AD﹣DE，
∴AB， BC，
即，
∴点B是线段AC的黄金分割点．
22．
（1）∵
∴
∴
（2）∵，
∴设，，，
原式．
23．解：（1）设，则，
根据题意得，
整理得，解得，，
当时，；当时，，
而，
所以，即的长为；
（2）不能．理由如下：
设，则，
根据题意得，
整理得，
因为△，
所以方程没有实数解，
所以这个矩形的面积不可能等于；
（3）设，则，
根据题意得，
解得，
则，
所以矩形的面积．
第二课时答案
一、单选题
C.B．D.A.C．D．B．D
二、填空题
9．①②④
10．4．
11．
12．10﹣20．
13．
14．25．
15．；（）n．
16．或﹣1．
三、解答题
17．
解：设，
则，，，
所以，
解得，
所以，
，
．
∵ 线段是线段，的比例中项，
∴ ，
∴ 线段．
18．(1) ，
∴，
∴=；
(2)设 ，则，，，
∴ ．
19．解：（1）∵，
∴2b=1.5a，
∴=﹣；
（2）设=k（k≠0），则x=2k，y=3k，z=4k，
∴=．
20．∵=k，
∴当a+b+c+d≠0时，由等比性质可得，=k，
k==；
当a+b+c+d=0时，b+c+d=﹣a，
∴k==-2；
当k=时，；
当时，．
21．（1）∵，
∴；
（2）∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴．
22．（1）∵，，
∴a=2b，c=2d，
∴，.
故答案为：==；
（2）=.理由如下：
设，则，
∴a=bt，c=dt，
∴，
，
∴=；
（3）∵，
∴a=ct，b=dt.
∵2=3，
∴.
解得：t=.
经检验：t=是原方程的解.
23．
设，从而，，，
于是（+），
又因为，所以；
.
24．(1)
证明：∵在中，∠A＝36°，，
∴．
∵CD为∠ACB的平分线，
∴，
∴∠ACD=∠BCD=∠A．
∴AD=DC．
∴．
∴∠BDC=∠B，∠BDC>∠BCD．
∴DC=BC，BC>BD．
∴BC=AD．
∴AD>BD．
∵，
∴．
∴，即．
∴点D是腰AB的黄金分割点．
(2)
解：∵点D是AB的黄金分割点，，
∴．
∵，
∴．
∴．
∵，CD是△ABC斜边上的高，
∴．
∵，
∴．
∴．
∴．
∴．
25．
证明：（1）根据第一步折叠可知，ABCD是正方形，
由正方形边长为2，
根据第二步可知，
在△FCB中，根据勾股定理， 得
根据第三步可知，
∴
∴
∴矩形BNMC是黄金矩形．
（2）如图，连接 正方形的边长
由对折可得：AF=BF=CE=DE=1,BA=BK=2,AG=GK,∠A=∠GKB=90
∴ BE= ,EK= -2,∠GKE=90
设
∴GK=X,GD=2-X
所以由勾股定理可得：
解得：
所以G点是AD的黄金分割点．