九年级数学上册试题 4.5相似三角形判定定理的证明-北师大版（含答案）

4.5相似三角形判定定理的证明
一、选择题
1．如图，要使△ACD∽△ABC，需要补充的一个条件是（ ）
A． B．
C． D．
2．下面四组图形中，必是相似三角形的为（ ）
A．有一个角为40°的两个等腰三角形
B．两个直角三角形
C．两条边对应成比例，一个对应角相等的两个三角形
D．有一个角为100°的两个等腰三角形
3．如图，已知△ABC中，P是边AC上的一点，连接BP，以下条件不能判定△ABP∽△ACB的是（ ）
A．∠ABP=∠C B．∠APB=∠ABC C．= D．=
4．如图，在△ABC中，点D、E分别在AB、AC边上，DE∥BC，且∠DCE＝∠B．那么下列各判断中，错误的是（　　）
A．△ADE∽△ABC B．△ADE∽△ACD
C．△DEC∽△CDB D．△ADE∽△DCB
5．如图在中，，，，垂足分别为、．则与（本身除外）相似的三角形共有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
6．在△ABC和△A1B1C1中，下列四个命题
（1）若AB=A1B2，AC=A1C1，∠A在∠A，则△ABC≌△A1B1C1；
（2）若AB=A1B2，AC=A1C1，∠B=∠B1，则△ABC≌△A1B1C1；
（3）若∠A=∠A1，∠C=∠C1，则△ABC∽△A1B1C1；
（4）若AC：A1C1=CB：C1B1，∠C=∠C1，则△ABC∽△A1B1C1．
其中真命题的个数为（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
7．如图，已知为的角平分线，交于，如果，那么
A． B． C． D．
8．如图，是斜边上的高，则图中相似三角形的对数有（ ）
A．0对 B．1对 C．2对 D．3对
9．给出4个判断：
①所有的等腰三角形都相似， ②所有的等边三角形都相似，
③所有的直角三角形都相似， ④所有的等腰直角三角形都相似．
其中判断正确的个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题
1．在△ABC中，已知点D、E分别在边AB、AC上，DE∥BC．如果AD＝1cm，AB＝3cm，DE＝4cm，那么BC＝____________cm．
2．如图，在△ABC中，D在AB上，要说明△ACD∽△ABC相似，已经具备了条件__________，还需添加的条件是__________，或__________．
3．如图，已知DE∥BC，，则= ；如果BC=12，则DE=
4．如图，点O是内任意一点，且，，，则______，其相似比为______.
5．如图，在正方形中，、分别是边、上的点，且，与相交于点，则图中与相似的三角形有________．
三、解答题
1．如果的两条直角边分别为3和4，那么以和（k是正整数）为直角边的直角三角形一定与相似吗？为什么？
2．在△ABC和△A′B′C′中，已知：AB＝6cm，BC＝8cm，AC＝10cm，A′B′＝18cm，B′C′＝24cm，A′C′＝30cm．试证明△ABC与△A′B′C′相似．
3．下面是小东设计的“作已知三角形的相似三角形，且各对应边边长为已知三角形的一半”的尺规作图过程，已知：如图①，．
求作：，使得且．
作法：如图②，
①分别以点A、B为圆心，大于长为半径画弧，两弧相交于M、N两点，连接MN交AB于点D；
②分别以点A、C为圆心，大于长为半径画弧，两弧相交于P、Q两点，连接PQ交AC于点E；
③连接DE；
所以为所求作的三角形．
（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）
（2）完成下面的证明．
证明：，________，________，
∴（______________）（填推理的依据）．
4．如图，Rt△ABC中，，于F，AD是∠BAC的平分线，交AC于G，AD与BF交于点E．
(1)求证：
(2) ， ．
5．已知和中，，、分别是两个三角形斜边上的高，且，求证：．
6．已知：如图，在和中，．
求证：．
【中小学教辅资源店 微信：mlxt2022】
答案
一、选择题
D.D．D.D．A.B．B.D．B．
二、填空题
1.12
2.∠A=∠A，∠ACD=∠B（答案不唯一），∠ADC=∠ACB（答案不唯一）．
3.，4
3.
4.△ABM∽△FAM，△ABM∽△FBA,△ABM∽△AED．
三、解答题
1.
解：因为 ，且两组对应边的夹角都为90°，所以根据两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似可判断以3k和4k（k是正整数）为直角边的直角三角形一定与Rt△ABC相似．
2.证明：∵AB＝6cm，BC＝8cm，AC＝10cm，A′B′＝18c m，B′C′＝24cm，A′ C′＝30cm，
∴，，
∴
∴△ABC∽△A′B′C′．
3.（1）补全图形如图；
（2），_　　2　　，________，
∴（__两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似）（填推理的依据）．
故答案为：2，，两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似．
4.（1）解：证明：如下图，∵，∴，又∵，∴，∴∵，∴，∵，∴∴∴．
（2）∵AD平分∠BAC，∴∠1=∠2，又，，，∴∠ABC=∠ADG=∠AFB=90°，∴ADGAFE，∴∠3=∠AGD=∠AEF，∴∠ADC=∠CGD=∠AEB，又根据直角三角形两锐角互余可得∠5=∠C，∴ 故答案为：ADG，AFE，ACD．
5.证明：∵、分别是两个三角形斜边上的高，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴．
6.证明：在线段AB（或它的延长线）上截取AD＝A′B′，过点D作DE∥BC，交AC于点E，
∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴＝＝，
又，AD＝A′B′，
∴＝，＝，
∴DE＝B′C′，AE＝A′C′，
在△ADE和△A′B′C′中
，
∴△ADE≌△A′B′C′（SSS），
∴△ABC∽△A'B'C'．