九年级数学上册试题 第二章《一元二次方程 》单元测试卷-北师大版（含答案）

第二章《一元二次方程 》单元测试卷
一、单选题（每题3分）
1．下面关于x的方程中：①ax2＋bx＋c＝0；②3（x﹣9）2﹣（x＋1）2＝1；③x2＋＋5＝0；④x2＋5x3﹣6＝0；⑤3x2＝3（x﹣2）2；⑥12x﹣10＝0，是一元二次方程个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
2．已知一元二次方程，若方程有解，则必须（ ）
A．n=0 B． n=0或mn同号
C．n是m的整数倍 D．mn异号
3．方程的解是（ ）
A． B． C． D．
4．一元二次方程的根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．无实数根 D．无法确定
5．解方程：①；②；③；④．较简便的解法是（ ）
A．依次用直接开平方法、配方法、公式法和因式分解法
B．①用直接开平方法，②用公式法，③④用因式分解法
C．依次用因式分解法、公式法、配方法和因式分解法
D．①用直接开平方法，②③用公式法，④用因式分解法
6．秋冬季节为流感的高发期，有一人患了流感，经过两轮传染后共有人患了流感，每轮传染中平均一个人传染的人数为（ ）
A．人 B．人 C．人 D．人
7．现要在一个长为，宽为的矩形花园中修建等宽的小道，剩余的地方种植花草．如图所示，要使种植花草的面积为，那么小道的宽度应是（ ）
A．1 B．2 C．2.5 D．3
8．小明和小华解同一个一元二次方程时，小明看错一次项系数，解得两根为2，﹣3，而小华看错常数项，解错两根为﹣2，5，那么原方程为（　　）
A．x2﹣3x+6=0 B．x2﹣3x﹣6=0 C．x2+3x﹣6=0 D．x2+3x+6=0
9．若关于x的一元二次方程的一个根大于1，另一个根小于1，则a的值可能为（ ）
A． B． C．2 D．4
10．将关于x的一元二次方程变形为，就可以将表示为关于的一次多项式，从而达到“降次”的目的，又如…，我们将这种方法称为“降次法”，通过这种方法可以化简次数较高的代数式．根据“降次法”，已知：，则的值为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
二、填空题（每题3分）
11．方程（m﹣1）x|m|+1﹣4x+3=0是一元二次方程，则m满足的条件是：_____，此方程的二次项系数为：_____，一次项系数为：_____，常数项为：_____．
12．若一元二次方程的一个根为0，则___________．
13．关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则a的取值范围是____________．
14．劳动教育已纳入人才培养全过程，某学校加大投入，建设校园农场，该农场一种作物的产量两年内从300千克增加到363千克．设平均每年增产的百分率为，则可列方程为________．
15．已知方程的两个实数根分别为、，则__．
16．已知实数，满足，则的值为________．
17．已知关于x的方程a（x+m）2+b=0（a，b，m均为常数，且a≠0）的两个解是x1=3，x2=7，则方程的解是________．
18．阅读理解：对于x3﹣（n2+1）x+n这类特殊的代数式可以按下面的方法分解因式：
x3﹣（n2+1）x+n=x3﹣n2x﹣x+n=x（x2﹣n2）﹣（x﹣n）=x（x﹣n）（x+n）﹣（x﹣n）=（x﹣n）（x2+nx﹣1）．
理解运用：如果x3﹣（n2+1）x+n=0，那么（x﹣n）（x2+nx﹣1）=0，即有x﹣n=0或x2+nx﹣1=0，
因此，方程x﹣n=0和x2+nx﹣1=0的所有解就是方程x3﹣（n2+1）x+n=0的解．
解决问题：求方程x3﹣5x+2=0的解为_____．
三、解答题
19．解方程（8分）
（1）； （2）；
（3）（配方法）； （4）.
20．用适当的方法解一元二次方程（8分）
（1）； （2）；
（3）； （4）．
21．已知关于的方程.（6分）
（1）当为何值时，方程只有一个实数根？
（2）当为何值时，方程有两个相等的实数根？
（3）当为何值时，方程有两个不相等的实数根？
22．已知关于x的一元二次方程x2﹣（2m﹣2）x+（m2﹣2m）=0．（6分）
（1）求证：方程有两个不相等的实数根．
（2）如果方程的两实数根为x1，x2，且x12+x22=10，求m的值．
23．如图，在足够大的空地上有一段长为的旧墙，某人利用旧墙和木栏围成一个矩形菜园，其中．已知矩形菜园的一边靠墙，修筑另三边一共用了木栏．若所围成的矩形菜园的面积为，求的长．（6分）
24．某企业设计了一款工艺品，每件成本50元，为了合理定价，现投放市场进行试销．据市场调查，销售单价是100元时，每天的销售量是50件，若销售单价每降低1元，每天就可多售出5件，但要求销售单价不得低于成本．销售单价为多少元时，每天的销售利润可达4000元？（6分）
25．某商店代销一种智能学习机，促销广告显示“若购买不超过40台学习机，则每台售价800元，若超出40台，则每超过1台，每台售价将均减少5元”，该学习机的进价与进货数量关系如图所示：（6分）
（1）当时，用含x的代数式表示每台学习机的售价；
（2）当该商店一次性购进并销售学习机60台时，每台学习机可以获利多少元？
（3）若该商店在一次销售中获利4800元，则该商店可能购进并销售学习机多少台？
26．已知关于x的一元二次方程．（6分）
（1）求证：这个方程的一根大于2，一根小于2；
（2）若对于时，相应得到的一元二次方程的两根分别为和和和，…，和和，试求的值．
27．阅读理解:（7分）
材料1:对于一个关于x的二次三项式（）,除了可以利用配方法求该多项式的取值范围外,还可以用其他的方法:比如先令（）,然后移项可得:,再利用一元二次方程根的判别式来确定y的取值范围,请仔细阅读下面的例子:例:求的取值范围:
解:令
,
,
即;
材料2:在学习完一元二次方程的解法后,爱思考的小明同学又想到类比一元二次方程的解法来解决一元二次不等式的解集问题,他的具体做法如下:
若关于x的一元二次方程（）有两个不相等的实数根 （）,
则关于x的一元二次不等式（）的解集为:或,
则关于x的一元二次不等式（）的解集为:;
请根据上述材料,解答下列问题:
（1）若关于x的二次三项式（a为常数）的最小值为-6,则_____.
（2）求出代数式的取值范围．
类比应用:
（3）猜想:若中,,斜边（a为常数,）,则_____时,最大,请证明你的猜想．
28．（7分）阅读下列材料：分解因式的常用方法有提取公因式法、公式法，但有部分项数多于3的多项式只单纯用上述方法就无法分解，如，我们细心观察这个式子就会发现，前三项符合完全平方公式，进行变形后可以与第四项结合再运用平方差公式进行分解．过程如下：，这种分解因式的方法叫分组分解法．利用这种分组的思想方法解决下列问题：
1．知识运用：
试用“分组分解法”分解因式：；
2．解决问题：
（1）已知a，b，c为△ABC的三边，且，试判断△ABC的形状．
（2）已知四个实数a，b，c，d，满足a≠b，c≠d，并且，同时成立．
①当k=1时，求a+c的值
②当k≠0时，用含有a的代数式分别表示b，c，d（直接写出答案即可）
答案
一、单选题
A．B．B．C．D．B．B.B．B.D．
二、填空题
11．m=﹣1；﹣2，﹣4，3．
12．1
13． 且．
14．300（1+x）2＝363．
15．-5．
16．2.
17．或．
18．x＝2或x＝﹣1+或x＝﹣1﹣．
三、解答题
19．
（1）
解：
或
，；
（2）
解：
或
，；
（3）
解：
，；
（4）
解：①当时，，解得：；
②当时，，若，即，；
若，即，方程无解．
20．
（1）原方程可化为，
∴，
用直接开平方法，得方程的根为，．
（2）原方程可化为x2+2ax+a2=4x2+2ax+，∴x2=．
用直接开平方法，得原方程的根为，．
（3）a=2，b=-4，c=-1
b2-4ac=(-4)2-4×2×(-1)=24＞0
，
∴，．
（4）将方程整理，得(1-)x2-(1+)x=0
用因式分解法，得x[(1-)x-(1+)]=0，
，．
21．
（1）∵方程只有一个实数根，，解得
（2）∵方程有两个相等的实数根，，，解得
（3）∵方程有两个不相等的实数根，
且，且，解得且.
22．
（1）由题意可知：△=（2m﹣2）2﹣4（m2﹣2m）=4＞0，
∴方程有两个不相等的实数根．
（2）∵x1+x2=2m﹣2，x1x2=m2﹣2m，
∴x12+x22=（x1+x2）2﹣2x1x2=10，
∴（2m﹣2）2﹣2（m2﹣2m）=10，
∴m2﹣2m﹣3=0，
∴m=﹣1或m=3
23．
解：设的长为，则的长为．
依题意，得，
解得，．
当时，（不符合题意，舍去）．
当时，．
∴的长为．
24．
设销售单价降低x元，则销售单价为元，每天的销售量是件，
由题意得：，
整理得：，
解得或，
因为要求销售单价不得低于成本，
所以，解得，
因此和均符合题意，
则或70，
答：销售单价为90元或70元时，每天的销售利润可达4000元．
25．（1）由题意可知当时，每台学习机的售价为．
（2）设题图中直线的解析式为．
把和代入得
解得
故直线解析式为．
当时，进价为（元），
售价为（元），
则每台学习机可以获利（元）．
（3）当时，每台学习机的利润是，则．
解得（舍去）．
当时，每台学习机的利润是，则，
解得（舍去）．
答：该商店可能购进并销售学习机80台或30台．
26．
解：（1）证明：设方程的两根是，，
则，，
，
，
，
即这个方程的一根大于2，一根小于2；
（2），
对于，2，3，，2019，2020时，相应得到的一元二次方程的两根分别为和，和，和，，和，和，
．
27．解:（1）设，
∴，
∴,即 ，
根据题意可知,
∴，解得:或；
（2）设，可化为，
即，
∴ ,即，
令,解得 ,，
∴或；
（3）猜想:当时,最大．
理由:设，，则，
在中,斜边（a为常数,），
∴ ，
∴，
∴，
即，
∴，即 ，
∵，，∴，
当时,有，
∴，
即当时,最大．
28．
解：（1）将写成，等式左边因式分解，得，证明，是等腰三角形；
（2）①由得到和，推出，就可以算出a和c的值，再算；
②同①可得，根据，利用因式分解得到，同理由，得，从而可以用a表示出b、c、d．
解：知识运用
原式
；
解决问题
（1）
，
∵，
∴，即，
∴是等腰三角形；
（2）①当时，
，即，
，即，
若 则，
把它代入，得，解得，
当时，，则，
当时，，则，
综上：的值为6或；
②当，
∵，
∴，
∵，
∴，
同理由，得，
由，，
若，则，，，则此时k就等于0了，矛盾，不合题意，
若，则，，，
综上：，，．