九年级数学上册试题 第四章《图形的相似》单元测试卷 -北师大版（含答案）

第四章《图形的相似》单元测试卷
一、单选题（每题3分）
1．已知＝5，则的值是（ ）
A． B．﹣ C． D．
2．已知点C是线段AB的黄金分割点，且，若AB＝2，则BC＝（ ）
A． B． C．－1 D．
3．如图，AD∥BE∥CF，AB＝3，BC＝2，DE＝3.6，则EF的值为（　　）
A．1.8 B．2.4 C．4.8 D．5.4
4．已知一个三角形的三边长分别为2，3，4，与其相似的另一个三角形的周长为36，则它的最长边的长为（ ）
A．8 B．12 C．16 D．20
5．如图，身高为1．5米的某学生想测量一棵大树的高度，她沿着树影BA由B向A走去当走到C点时，她的影子顶端正好与树的影子顶端重合，测得BC=3米，CA=1米，则树的高度为（ ）
A．4．5米 B．6米 C．3米 D．4米
6．如图所示，给出下列条件：①；②；③；④，其中单独能够判定的个数为（ ）
A． B． C． D．
7．如图，和是位似图形，点是位似中心，点，，分别是，，的中点．若的面积为，周长为，则下列说法正确的是（ ）
A．的面积为 B．的面积为
C．的周长为 D．的周长为
8．如图，在中，，中线，相交于点．，交于点．，则的长为（ ）
A．5 B．6 C．10 D．12
9．如图在△ABC中，AD是BC边上的高线，BD＝1，DC＝3，过点A作AE∥BC，连接BE交AD，AC于点F，点G，若BE平分AC，则＝（ ）
A． B． C． D．
10．如图，将正方形纸片沿折叠，使点的对称点落在边上，点的对称点为点，交于点，连接交于点，连接下列四个结论中：①∽；②；③平分；④，其中正确的结论是（ ）
A．①② B．①②③ C．①③④ D．②③④
二、填空题（每题3分）
11．在比例尺为的某市旅游地图上，某条道路的长为，则这条道路的实际长度为______．
12．已知线段，点是线段的黄金分割点，且，则____．
13．已知，如图，在中，，且．若，则__________，__________．
14．如图，在与中，，，，交于点D，给出下列结论．①；②；③；④．其中正确的结论是__________（填写正确结论的序号）．
15．如图所示，诗的意思是：有正方形的城池一座，四面城墙的正中有门，从南门口（点D）直行8里有一塔（点A），自西门（点E）直行2里至点B，切城角（点C）也可以看见塔，问这座方城每面城墙的长是_________里．
16．如图，在平面直角坐标系中，与是位似图形，坐标原点O为位似中心．A与，B与是对应顶点．已知，则的长为________．
17．如图，在等腰中，，点在的延长线上，，点在边上，，则的值是_____．
18．如图，线段，射线于点，射线于点，点为的中点，为射线上一动点，将沿翻折得到，、的延长线分别交射线、于点、，连接．请探究下列问题：
（1）的值为______；
（2）当∽时，______．
三、解答题（66分）
19．（每题7分）已知线段a、b、c满足且．
(1)求线段a、b、c的长；
(2)若线段x是线段a、b的比例中项（），求线段x的长．
20．（每题7分）如图，l1∥l2∥l3，AD＝2，DE＝4．
(1)AB＝3，求BC；
(2)EF＝7.5，BE的长．
21．（每题7分）如图，在中，点D在BC边上，点E在AC边上，且，．求证：
22．（每题7分）李师傅用镜子测量一棵古树的高，但树旁有一条小河，不便测量镜子与树之间的距离，于是他两次利用镜子，第一次把镜子放在点（如图所示），人在点正好在镜中看到树尖；第二次他把镜子放在处，人在处正好看到树尖．已知李师傅眼睛距地面的高度为，量得为，为，为，求树高．
23．（每题7分）在平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别为A（0，2）、B（1，3）、C（2，1）．
(1)以点O为位似中心，在给定的网格中画出△A'B'C'，使△A'B'C'与△ABC位似，且相似比为2；
(2)求出△A'B'C'的面积．
24．（每题7分）如图，等边三角形△ACB的边长为3，点P为BC上的一点，点D为AC上的一点，连接AP、PD，∠APD=60°．
(1)求证：△ABP∽△PCD；
(2)若PC=2，求CD的长．
25．（每题7分）如图，在矩形中，E是边的中点，于点F．
(1)求证：．
(2)已知，求的长．
26．（每题8分）如图，在正方形中，，为边上的两个三等分点，点关于的对称点为，的延长线交于点．
(1)求证：；
(2)求证：．
27．（每题9分）如图1，在中，于点D，在DA上取点E，使，连接BE、CE．
(1)直接写出CE与AB的位置关系；
(2)如图2，将绕点D旋转，得到（点，分别与点B，E对应），连接，在旋转的过程中与的位置关系与（1）中的CE与AB的位置关系是否一致 请说明理由；
(3)如图3，当绕点D顺时针旋转30°时，射线与AD、分别交于点G、F，若，求的长．
答案
一、单选题
A．A．B.C．B.B.C.D．D．C．
二、填空题
11．．
12．．
13．2，3．
14．①③④
15．8．
16．．
17．．
18． 36
三、解答题
19．
（1）解：设，则，，，，，解得，则，，．
（2）解：线段是线段、的比例中项，且，，，解得或（舍去），经检验，是所列分式方程的解，即线段的长为．
20．(1)
解：∵l1∥l2∥l3，
∴，
∵AD＝2，DE＝4，AB＝3，
∴，
解得BC＝6，
∴BC的长为6；
(2)解：∵l1∥l2∥l3，
∴，
∵AD＝2，DE＝4，EF＝7.5，
∴，
解得BE＝5，
∴BE的长为5．
21．∵AB＝AD
∴∠B＝∠ADB
∵∠DEC＝∠B
∴∠ADB＝∠DEC
∴∠AED＝∠ADC
又∵∠DAE＝∠CAD
∴
22．解：根据反射定律可以推出∠ACB＝∠ECF，∠AC′B＝∠E′C′F′，
∴△BAC∽△FEC、△AC′B∽△E′C′F′，
设AB＝x，BC＝y
∴
解得．
∴这棵古树的高为10m．
23．(1)
解：如图，△A'B'C'为所作；
(2)△A'B'C'的面积＝4×4﹣×2×4﹣×2×2﹣×2×4＝6．
24．
（1）证明：∵等边三角形ABC，∴∠B=∠C=60°，∵∠APD=60°，∴∠APB+∠CPD=120°，在△APB中，∠APB+∠BAP=120°，∴∠BAP=∠CPD，∴△ABP∽△PCD；
（2）解：等边三角形边长为3，PC=2，由（1）得△ABP∽△PCD，，∴，∴CD=．答：CD的长为．
25．（1）
证明：∵四边形为矩形，，
∴，
∴，
∴，
∴．
（2）
∵E为的中点，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴．
26．（1）
证明：设与的交点为，
，为边上的两个三等分点，
，，
点关于的对称点为，
，
；
（2）
解：，
，
，
，
在和中，
，
，
，，
，
∵，
，
如图，过点作，连接，
，
，，
，
，
，，，
∴，
，
又，
，
，
，
，
点关于的对称点为，
，
，
，，
，
，
，
，
，
又，
△△，
，
，，
，
，
，
，
．
27．（1）
如图，延长CE交AB于H，
∵∠ABC=45°，AD⊥BC，
∴∠ADC=∠ADB=90°，∠ABC=∠DAB=45°，
∵DE=CD，
∴∠DCE=∠DEC=∠AEH=45°，
∴∠BHC=∠BAD+∠AEH=90°，
∴CE⊥AB；
（2）
在旋转的过程中与的位置关系与（1）中的CE与AB的位置关系是一致的，理由如下：
如图2，延长交于H，
由旋转可得：CD=，=AD，
∵∠ADC=∠ADB=90°，
∴，
∵，
∴,
，
∵+∠DGC=90°，∠DGC=∠AGH，
∴∠DA+∠AGH=90°，
∴∠AHC=90°，
；
（3）
如图3，过点D作DH于点H，
∵△BED绕点D顺时针旋转30°，
∴，
，
，
∴AD=2DH，AH=DH=，
，
由（2）可知：，
，
∵AD⊥BC，CD=，
∴DG=1，CG=2DG=2，
∴CG=FG=2，
，
∴AG=2GF=4，
∴AD=AG+DG=4+1=5，
∴．