河北省“五个一”名校联盟
高一年级联考（2023.06）
数学试卷
（满分：150分，测试时间：120分钟）
一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，
只有一项是符合题目要求的．
1．已知向量 a (1, 3) ,则下列选项中与 a 共线的单位向量是
3 1 1 3 1 3 1 3
A． ( , )； B． ( , ) C． ( , ) D． ( , )
2 2 2 2 2 2 2 2
2．某学校为了解学生参加体育运动的情况，用比例分配的分层随机抽样作抽样调查，拟
从初中部和高中部两层共抽取 60 名学生，已知该校初中部和高中部分别有 400 和 200 名
学生，则正确的
A.高中部产生 20个样本 B.初中部产生 20个样本
C.不同级部每个学生被抽取的可能性不相同 D.可以从两个级部各抽取 30个样本
i (1 i)
2
3. 已知 为虚数单位，若复数 z ,则下列四个选项正确的是
1 i
A．复数 z 2 B．若 z 是复数 z 的共轭复数，则 z 1 i
C．复数 z 的虚部为 i D．复数 z 在复平面内对应的点位于第一象限
4．已知 ABC的周长为 20 ，面积为10 3， A 60 ，则BC边的长为
A．5 B．6 C．7 D．8
a
,b a (1, 3) | b | 1 | a
5．已知平面向量 满足 ， ， 2b | 2 ，则向量 a 与向量b 的
夹角为
π π π 2π
A． B． C． D．
6 4 3 3
高一年级五校联考数学试卷 第 1页 （共 6 页）
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6．元宵节是春节之后的第一个重要节日，元宵节又称灯节，很多地区家家户户都挂花
灯．右图是小明为自家设计的一个花灯，该花灯由上面的正六
棱台与下面的正六棱柱组成，正六棱台的上下两个底面边长分
别为 20cm 和 40cm，正六棱台与正六棱柱的高分别为 10cm 和
60cm，则该花灯的体积约为
A． 46000 3cm3 B． 48000 3cm3
C．50000 3cm3 D．52000 3cm3
7．已知圆锥的顶点为 P，底面圆心为O， AB为底面直径， APB 120 ，PA 2，
点C在底面圆周上，且二面角 P AC O为 45 ，则
A.该圆锥的体积为 2 B.该圆锥的侧面积为 4 3
C. AC 2 2 D.过圆锥任意两条母线的截面中面积最大的为 APB
8.已知0 x1 x2 2
1
，OA (x1, sin x1),OB (x2 , sin x2 )，且 sin x1 sin x2 ，3
令 a OA OB，则 cos | a |
7 7 7 7
A． B． C． D．
9 9 3 3
二、多项选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．在每小题给出的四个选项中，
有多项符合题目要求．全部选对的得 5分，部分选对的得 2 分，有选错的得 0 分．
9．设 z1， z2为复数，则下列命题中一定成立的是
A．如果 z1 z2 0，那么 z1 z2 B．如果 | z1 | | z2 |，那么 z1 z1 z2 z2
z1
C．如果 | | 1z ，那么 | z1 | | z
2 2
2 | D．如果 z1 z2 0，那么 z1 z2 0
2
10．小明在一次面试活动中，10 位评委给他的打分分别为：70、85、86、88、90、90、
92、94、95、100．则下列说法正确的有
A．这 10 个分数的中位数为 90
B．这 10 个分数的第 60 百分位数为 91
C．这 10 个分数的平均数大于中位数
D．去掉一个最低分和一个最高分后，平均分数会变大，而分数的方差会变小
高一年级五校联考数学试卷 第 2页 （共 6 页）
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11．已知 0 ，函数 f x cos( x )，下列选项正确的有
3
A．若 f x 的最小正周期T 2 ,则
π
B．当 2 时，函数 f x 的图象向右平移 后得到 g x cos 2 x的图象
3
C．若 f x 2 5 在区间 ( , )上单调递增，则 的取值范围是 1,3 3
f x (0, ) 1 7 D．若 在区间 只有一个零点，则 的取值范围是 ,
6 6
12．素描是使用单一色彩表现明暗变化的一种绘画方法，素描水平反映了绘画者的空间
造型能力．“十字贯穿体”是学习素描时常用的几何体实物模型，如图是某同学绘制“十
字贯穿体”的素描作品．“十字贯穿体”是由两个完全相同的正四棱柱“垂直贯穿”构成
的多面体，其中一个四棱柱的每一条侧棱分别垂直于另一个四棱柱的每一条侧棱，两个
四棱柱分别有两条相对的侧棱交于两点，另外两条相对的
侧棱交于一点（该点为所在棱的中点）．若该同学绘制的“十
字贯穿体”由两个底面边长为 2，高为 6 的正四棱柱构成，
则（ ）
A．一个正四棱柱的某个侧面与另一个正四棱柱的
两个侧面的交线互相垂直
B．该“十字贯穿体”的表面积是112 16 2
16 2
C．该“十字贯穿体”的体积是 48
3
6
D．CE与 BF所成角的余弦值是
3
高一年级五校联考数学试卷 第 3页 （共 6 页）
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三、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．把正确答案填在答题卡上．
13．已知向量 a 1, 2 ， b 3, x ，若 a （a b），则 x ________．
14. 若复数 z 满足 z 1 cos i sin （ 为实数），则 | z |的最大值为 ．
15．已知四棱锥 P ABCD 的底面 ABCD 是边长为 2 的正方形， PA 底面 ABCD ，
PA 4 2，则四棱锥 P ABCD外接球表面积为 ；若点Q 是线段 AC 上的动点，
则 PQ QB的最小值为 ．(第一空 2 分，第二空 3 分)
16．已知三角形 ABC的内角 A,B,C的对边分别是 a,b, c，若 a2 b2 2bc sin A，
A为锐角，则 tan A 9 tan B的最小值为 ．
四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分．解答应写出文字说明，证明过程和演算步骤．
17．（本小题满分 10 分）
已知复数 z1 4 m
2 (m 2)i， z2 sin (cos 2)i，其中 i是虚数单位，
m, , R．
(Ⅰ)若 z1为纯虚数，求m的值；
(Ⅱ) 若 z1 z2 ，求 的取值范围．
18．（本小题满分 12 分）
为了调查疫情期间物理网课学习情况，某校组织了高一年级学生进行了物理测试．
根据测试成绩（总分 100 分），将所得数据按照
40 , 50 ， 50, 60 ， 60, 70 ， 70, 80 ， 80, 90 ，
90，100 分成 6 组，其频率分布直方图如图所示．
(Ⅰ)求图中 a 的值；
(Ⅱ)试估计本次物理测试成绩的平均分；（同一组
中的数据用该组区间的中点值作代表）
(Ⅲ)该校准备对本次物理测试成绩优异（将成绩
从高到低排列，排在前13% 的为优异）的学生进行嘉奖，则受嘉奖的学生分数不低于多
少？
高一年级五校联考数学试卷 第 4页 （共 6 页）
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19．（本小题满分 12 分）
π
如图是函数 f (x) sin( x ) 0,0 的部分图象，已知 AB AC 2,
2
其中 B,C分别为函数图象的最高和最低点.
(Ⅰ)求 ；
4 3
(Ⅱ)若 f (2) f ，求 ．
3 2
20.（本小题满分 12 分）
如图，直三棱柱 ABC A1B1C1中， ACB ，E ，F 分2
别是 AB， B1C1的中点．
(Ⅰ)证明： EF BC；
(Ⅱ)若 AC BC 2 ，直线 EF与平面 ABC所成的
角为 ，求三棱锥 B AEC的体积．
3 1 1
高一年级五校联考数学试卷 第 5页 （共 6 页）
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21.（本小题满分 12 分）
a b
在△ ABC 中，角 A， B ，C 所对的边分别为 a， b ， c ， 4cosC．
b a
a2 b2
(Ⅰ)求 的值；
c2
1 1 1
(Ⅱ)若 ，求 cos A．
tanB tan A tanC
22.（本小题满分 12 分）
如图 1，在△ ABC 中， D， E 分别为 AB， A C 的中点， O 为 DE 的中点，
AB AC 2 5 ， BC 4 ，将△ ADE 沿 DE 折起到△ A1DE 的位置，使得平面
A1DE 平面 BCED ， F 为 A1C 的中点，如图 2
(Ⅰ)求证：EF // 平面 A1BD；
(Ⅱ)求证：平面 A1OB 平面 A1OC；
(Ⅲ)线段OC上是否存在点G ，使得OC 平面 EFG ？说明理由 ．
图 1 图 2
高一年级五校联考数学试卷 第 6页 （共 6 页）
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高一年级联考（2023.06）
数学试卷答案
（满分：150分，测试时间：120分钟）
一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，
只有一项是符合题目要求的．
1．已知向量 a (1, 3) ,则下列选项中与 a 共线的单位向量是
A ( 3 , 1) 1． ； B． ( , 3 ) C ( 1 , 3) D (1 3． ． , )
2 2 2 2 2 2 2 2
【解析】： B
2．某学校为了解学生参加体育运动的情况，用比例分配的分层随机抽样作抽样调查，
拟从初中部和高中部两层共抽取 60名学生，已知该校初中部和高中部分别有 400和 200
名学生，则正确的
A.高中部产生 20个样本 B.初中部产生 20个样本
C.不同级部每个学生被抽取的可能性不相同 D.可以从两个级部各抽取 30个样本
【解析】：A
2
3. (1 i)已知 i为虚数单位，若复数 z ,则下列四个选项正确的是
1 i
A．复数 z 2 B．若 z 是复数 z 的共轭复数，则 z 1 i
C．复数 z 的虚部为 i D．复数 z 在复平面内对应的点位于第一象限
(1 i)2
【解析】： z 1 i，所以 B正确
1 i
4．已知 ABC的周长为 20，面积为10 3， A 60 ，则BC边的长为
A．5 B．6 C．7 D．8
1
【解析】：由题知 a＋b＋c＝20， bc sin 60°＝10 3 .所以 bc＝40.
2
a2＝b2＋c2－2bc cos 60°＝(b＋c)2－3bc＝(20－a)2－120.所以 a＝7.即 BC边的长为 7.
所以 C正确.
高一年级五校联考数学试卷 第 1页 （共 12 页）
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5 a ,b a (1, 3) | b | 1 | a
．已知平面向量 满足 ， ， 2b | 2 ，则向量 a 与向量b 的
夹角为
π π π 2π
A． B． C． D．
6 4 3 3
【解析】 a (1, 3), | a | 2, | b | 1,| a 2b | 2，
(a 2b )2 a 2 4a b 4b 2 4 4a b 4 4, a b 1，
cos a ,b a b 1 a ，由于 ,b 0, π
a b 2
2π向量 a 与向量b 的夹角为 .故选：D3
6．元宵节是春节之后的第一个重要节日，元宵节又称灯节，很多地区家家户户
都挂花灯．右图是小明为自家设计的一个花灯，该花灯由上面的正六棱台与下面
的正六棱柱组成，正六棱台的上下两个底面边长分别为 20cm和 40cm，正六棱台
与正六棱柱的高分别为 10cm和 60cm，则该花灯的体积约为
A． 46000 3cm3 B． 48000 3cm3
C．50000 3cm3 D．52000 3cm3
【解析】；由题意花灯的体积等于上面的正六棱台体积与下面
的正六棱柱体积的和，正六棱台的上下两个底面积分别为
S1 6
1
20 20 sin 60 600 3, S 12 6 40 40 sin 60 2400 3 ,2 2
所以花灯的体积
V 60S 11 10 3 S1 S2 S1S2
60 1 600 3 10 600 3 2400 3 600 3 2400 3
3
50000 3，故选 C．
7．已知圆锥的顶点为 P，底面圆心为O， AB为底面直径， APB 120 ，PA 2，
点C在底面圆周上，且二面角 P AC O为 45 ，则
A.该圆锥的体积为 2 B.该圆锥的侧面积为 4 3
高一年级五校联考数学试卷 第 2页 （共 12 页）
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C. AC 2 2 D.过圆锥任意两条母线的截面中面积最大的为 APB
【解析】:C
1
8.已知 0 x1 x2 2 ，OA (x1, sin x1),OB (x2 , sin x2 )，且 sin x1 sin x2 ，令3
a OA OB，则 cos | a |
7 7
A． B 7． C． D 7．
9 9 3 3
sin x sin x x x 【解析】：由 1 2 ，所以 1 2 ，故 x2 x1，所以 x2 2 1
x2 2x1 ，
| a | |OA OB | | x1 x2 | | 2x1 | 2x1
所以 cos | a | cos 2x 71 cos 2x1 2sin 2 x1 1 ．故选 B．9
二、多项选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．在每小题给出的四个选项中，
有多项符合题目要求．全部选对的得 5 分，部分选对的得 2 分，有选错的得 0 分．
9．设 z1， z2为复数，则下列命题中一定成立的是
A．如果 z1 z2 0，那么 z1 z2 B．如果 | z1 | | z2 |，那么 z1 z1 z2 z2
z
C | 1．如果 | 1z ，那么 | z1 | | z2 | D．如果 z
2
1 z
2
2 0，那么 z1 z2 0
2
【解析】：对于 A项，取 z1 3 i， z2 1 i时， z1 z2 2 0，但虚数不能比较大小，
故 A项错误；对于 B 项，由 | z | | z |，得 | z |21 2 1 | z2 |
2．又 z1 z1 | z1 |
2 ， z 22 z2 | z2 | ，所以
z1 z1 z2 z2 ，故 B 项正确；
z | z
C | 1 | 1
|
对于 项，因为 1z | z | ，所以 | z1 | | z2 |，故C 项正确；2 2
对于 D项，取 z1 1， z 2 22 i，满足 z1 z2 0，但是 z1 z2 0，故D项错误．故选：BC．
10．小明在一次面试活动中，10位评委给他的打分分别为：70、85、86、88、90、90、
92、94、95、100．则下列说法正确的有
A．这 10个分数的中位数为 90
B．这 10个分数的第 60百分位数为 91
高一年级五校联考数学试卷 第 3页 （共 12 页）
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C．这 10个分数的平均数大于中位数
D．去掉一个最低分和一个最高分后，平均分数会变大，而分数的方差会变小
【解析】； A正确；
又 10 60% 6 ，所以第 60 百分位数是第 6 个数 90 与第 7 个数 92 的平均数，即
90 92
91，所以 B正确；
2
对于 C选项：方法 1：平均数相对于中位数总在“拖尾”的一则，所以 C错误；
70 85 86 88 90 90 92 94 95 100
方法 2：这 10个数的均值为 89分，中位数
10
为10 50% 5，所以中位数是第 5个数 90与第 6个数 90的平均数 90，所以 C错误；
对于 D 选项：方法 1：去掉 70 和 100 后余下的 85、86、88、90、90、92、94、95 这 8
个数的大小分布更均匀，平均分为 90，所以 D正确；
方法 2：这 10个数的方差为
70 89 2 85 89 86 89 2 88 89 2 2 90 89 2 92 89 2 94 89 2 95 89 2 100 89 2
58
10
85 86 88 90 90 92 94 95
， 去 掉 70 和 100 后 ， 平 均 数 为 90 ， 方 差 为
8
85 90 2 86 90 2 88 90 2 2 90 90 2 92 90 2 94 90 2 95 90 2
11.25 ，
8
90>89, 11.25 58，所以 D正确．
故选 ABD．
11．已知 0 ，函数 f x cos( x )，下列选项正确的有
3
A．若 f x 的最小正周期T 2 ,则
π
B．当 2 时，函数 f x 的图象向右平移 后得到 g x cos 2 x的图象
3
5
C．若 f x 在区间 ( 2 , ) 上单调递增，则 的取值范围是 1,
3 3
1 7
D．若 f x 在区间 (0, ) 只有一个零点，则 的取值范围是 ,
6 6
T 2 【解析】:由 2，得 ，所以 A正确；
当 2 时， f x cos(2x ) ，所以函数 f x 的图象向右平移 个单位长度后得
3 3
高一年级五校联考数学试卷 第 4页 （共 12 页）
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f x cos
2 x
cos
2x
g x ，所以 B错误；
3 3 3 3
2
2k
f x 2 若 在 ( , ) 3 3 5上单调增，则 k Z ，解得1 3k 2k，
3 2 2k 3
3
5
k Z ，又 0 ，只有当 k 0 时，1 成立，所以 C正确；
3
若 f x 在 (0, ) 3 2 1 7只有一个零点，则 ，解得 ，所以 D正确．
3 6 6
3 2
故选 ACD.
12．素描是使用单一色彩表现明暗变化的一种绘画方法，素描水平反映了绘画者的空间
造型能力．“十字贯穿体”是学习素描时常用的几何体实物模型，如图是某同学绘制“十字
贯穿体”的素描作品．“十字贯穿体”是由两个完全相同的正四棱柱“垂直贯穿”构成的多面
体，其中一个四棱柱的每一条侧棱分别垂直于另一个四棱柱的每一条侧棱，两个四棱柱
分别有两条相对的侧棱交于两点，另外两条相对的侧棱交
于一点（该点为所在棱的中点）．若该同学绘制的“十字贯
穿体”由两个底面边长为2，高为6的正四棱柱构成，则（ ）
A．一个正四棱柱的某个侧面与另一个正四棱柱的两个侧
面的交线互相垂直
B．该“十字贯穿体”的表面积是112 16 2
C．该“ 16 2十字贯穿体”的体积是 48
3
D．CE与 BF 6所成角的余弦值是
3
【答案】BCD
【解析】如图一个正四棱柱的某个侧面与另一个正四棱柱
高一年级五校联考数学试卷 第 5页 （共 12 页）
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的两个侧面的交线 CE、DE
则在梯形 BDEF中，可知 BD 3 2， BF 2,EF 3,DE 6,BE 13
设 DEF , BEF ，则 cos 3 , cos 3 13
3 13
根据立体图可得CD 2 2 ，CE DE 6，
显然CE 2 DE 2 CD2
即 CE、DE不垂直，A不正确；
该“十字贯穿体”的表面积是由 4个正方形和 16个与梯形 BDEF全等
的梯形组成
3 3 2
则表面积 S 4 4 16 2 112 16 2 ，B正确；
2
如图两个正四棱柱的重叠部分为多面体CDGEST，取CS的中点 I
则多面体CDGEST可以分成 8个全等三棱锥C GEI ，则
V 1 2 2 2 2C GEI 3 3
该“ 16 2十字贯穿体”的体积即为V 2 24 8VC GEI 48 ，C正确；3
CE与BF 6所成角的余弦值是 ，D正确；故选：BCD．
3
三、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．把正确答案填在答题卡上．
13．已知向量 a 1, 2 ， b 3, x ，若 a （a b），则 x ________．
【解析】： x 4 ．
14. 若复数 z 满足 z 1 cos i sin （ 为实数），则 | z |的最大值为__________．
【解析】:2
15．已知四棱锥 P ABCD 的底面 ABCD 是边长为 2 的正方形， PA 底面 ABCD ，
PA 4 2，则四棱锥 P ABCD外接球表面积为________；若点Q 是线段 AC 上的动点，
则 PQ QB的最小值为_________．(第一空 2分，第二空 3分)
高一年级五校联考数学试卷 第 6页 （共 12 页）
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【解析】：设 PC 中点为 O，则OP OC OD OB OA 10 ，所以 O 为四棱锥
P ABCD 外接球的球心， 10 为该球半径，所以其表面积
为4 10 2 40 ；如图，将 PAC绕 AC翻折到与 DAC
所在面重合，连接 PB，交 AC于点 Q，此时 PQ QB 最小，
最小值为
AB 2 AP 2 2 AB AP cos135
4 32 2 2 4 2 2
2 13
2
16．已知三角形 ABC的内角 A,B,C的对边分别是 a,b, c，若 a2 b2 2bc sin A，A为
锐角，则 tan A 9 tan B的最小值为 ．
【解析】：a2 b2 2bc sin A b2 c2 2bccos A c 2b(sin A cos A)，
,
sin(A B) 2sin B(sin A cos A) tan B tan A
2 tan A 1
tan A 9 tan B tan A 9 tan A 2 tan A 1 9 5 2
2 tan A 1 2 2 tan A 1
四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分．解答应写出文字说明，证明过程和演算步骤．
17. （10 2分）已知复数 z1 4 m (m 2)i， z2 sin (cos 2)i，其中 i是虚
数单位，m, , R
(Ⅰ)若 z1为纯虚数，求m的值；
(Ⅱ)若 z1 z2 ，求 的取值范围.
【解析】(Ⅰ)m 2 …………5分
(Ⅱ)由 z1 z2 ， 4 m2 sin ,m 2 cos 2 .
因此 4 cos2 sin (sin
1)2 11 [11 ,5] …………10 分
2 4 4
高一年级五校联考数学试卷 第 7页 （共 12 页）
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18.（12分） 为了调查疫情期间物理网课学习情况，某校组织了高一年级学生进行了物
理测试．根据测试成绩（总分 100 分），将所得数据按
照 40 , 50 ， 50, 60 ， 60, 70 ， 70, 80 ，
80, 90 ， 90，100 分成 6 组，其频率分布直方图如
图所示．
(Ⅰ)求图中 a 的值；
(Ⅱ)试估计本次物理测试成绩的平均分；（同一组
中的数据用该组区间的中点值作代表）
(Ⅲ)该校准备对本次物理测试成绩优异（将成绩从高到低排列，排在前13% 的为优
异）的学生进行嘉奖，则受嘉奖的学生分数不低于多少？
【解析】
(Ⅰ)由 ，解得 ； ...........3分
(Ⅱ) ，
故本次防疫知识测试成绩的平均分为 ； ............................................8分
(Ⅲ)设受嘉奖的学生分数不低于 分，
因为 ， 对应的频率分别为 0.15，0.1，
所以 ，解得 ，
故受嘉奖的学生分数不低于 分． ............................................12分
π
19．（12分）如图是函数 f (x) sin( x ) 0,0 的部分图象，
2
已知 AB AC 2，其中B,C分别为函数图象的最高和最低点.
(Ⅰ)求 ；
4 3
(Ⅱ)若 f (2) f ，求 ．
3 2
高一年级五校联考数学试卷 第 8页 （共 12 页）
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T 3T
【解析】(Ⅰ)设 A x0 , 0 ，函数的最小正周期为 T，则B x0 ,1
,C
x0 , 1
，
4 4
T 3T
则 AB ,1
, AC , 1
，
4 4
AB AC T 3T 3故 ,1 , 1
T
2 1 2， ………………4分
4 4 16
2π
解得T 4 (负值舍去)，所以 4，
π
所以 ； ……………6分
2
π π
(Ⅱ)由(Ⅰ)得 f (x) sin x 0 ，
2 2
f (2) f 4 3 ，
3 2
得 sin π 2π 3 sin
，
3 2
sin 3即 cos 1 sin π 3 sin
，2 2 3 2
sin 所以
π 3
， …………………9分
3 2
π π π 5π π 2π π
又因 0 ，则 ，所以 ，所以 . ……12分
2 3 3 6 3 3 3
20．（12分）如图，直三棱柱 ABC A1B1C1中， ACB ，E ，F 分别是 AB，B1C 的2 1
中点．
(Ⅰ)证明： EF BC；
(Ⅱ)若 AC BC 2 ，直线 EF与平面 ABC所成的角为 ，
3
求三棱锥 B1 A1EC的体积．
高一年级五校联考数学试卷 第 9页 （共 12 页）
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【解析】(Ⅰ)证明：取 BC中点H，分别连结 EH， FH，
因为 F 为 B1C1的中点，所以， FH / /BB1，因为三棱柱为直棱柱，
所以 BB1 平面 ABC，
所以 FH 平面 ABC，因为 BC 平面 ABC，所以 FH BC ，
又 E 为 AB 的中点，则 EH / / AC ，且 AC BC ，所以
EH BC ，
因为 EH， FH 平面 EFH， EH FH H ，所以 BC 平面
EFH，
因为 EF 平面 EFH，所以 EF BC．..........................6分
(Ⅱ)由(Ⅰ)知 FEH 为 EF 与平面 ABC所成的角，所以 FEH ，
3
由 AC BC 2 ，得 CC1 3 ． ..........................8 分
VB AEC V
1
C B AE S B CE
1 1
2 2 3 2 2 3 . .....................................12分
1 1 1 1 3 1A1E 3 2 3
a c a b21．（12分）在△ ABC 中，角 A， B ，C 所对的边分别为 ， b ， ， 4cosC．
b a
a2 b2
(Ⅰ)求
c2
的值；
1 1 1
(Ⅱ)若 ，求 cos A．
tanB tan A tanC
a b
【解析】(Ⅰ)△ ABC 中，因为 4cosC，
b a
a2 b2 a2 b2 c2
结合余弦定理，得 4 ，化简可得 a2ab 2ab b
2 2c2，
a2 b2
所以 2 2． ...........4分c
1 1 1 cosA cosC sinCcosA cosCsin A sinB cosB
(Ⅱ)由 ，
tanB tan A tanC sin A sinC sin AsinC sin AsinC sinB
2 2 2 2 2 2
可得 cosB sin B b a c b b ，即 ，即 a2 c2 3b2，......................8分sin AsinC ac 2ac ac
又 a2 b2 2c2，所以 b 3 c 5 ， a c， ............................................10分
2 2
高一年级五校联考数学试卷 第 10页 （共 12 页）
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3 2 2 5 2
b2 c2 a2 c c c4 4 3
所以 cos A 2bc 3 6 ．.........................................................12分2c c
2
22. （12 分）如图 1，在△ ABC 中，D， E分别为 AB， A C 的中点，O 为 DE 的中
点， AB AC 2 5， BC 4，将△ ADE 沿 DE 折起到△ A1DE的位置，使得平面
A1DE 平面 BCED ，F 为 A1C 的中点，如图 2
(Ⅰ)求证：EF // 平面 A1BD；
(Ⅱ)求证：平面 A1OB 平面 A1OC；
(Ⅲ)线段OC上是否存在点G ，使得OC 平面
EFG 图 1 图 2？说明理由 ．
【解析】：(Ⅰ)取线段 A1B 的中点H，连接 HD ， HF ．
1
因为在△ ABC 中，D， E分别为 AB， A C 的中点，所以 DE //BC，DE BC ．
2
因为 H， F 分别为 A1B ， A1C 的中点，所以 HF //BC HF
1
， BC ，
2
所以 HF //DE，HF DE，所以 四边形DEFH 为平行四边形，所以 EF //HD．
因为 EF 平面 A1BD， HD 平面 A1BD，所以 EF // 平面 A1BD．…………4分
(Ⅱ)因为在△ ABC 中，D， E分别为 AB， A C 的中点，所以 AD AE．
所以 A1D A1E ，又O为 DE 的中点，所以 A1O DE．
因为平面 A1DE 平面 BCED ，且 A1O 平面 A1DE，
所以 A1O 平面 BCED ，所以 CO A1O．
在△OBC 中， BC 4，易知 OB OC 2 2，
所以 CO BO，所以 CO 平面 A1OB，
所以 平面 A1OB 平面 A1OC． …………8分
高一年级五校联考数学试卷 第 11页 （共 12 页）
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(Ⅲ)线段O C 上不存在点G ，使得OC 平面 EFG ．
否则，假设线段O C 上存在点G ，使得OC 平面 EFG ，
连接 GE，G F ，则必有 OC GF ，且OC GE．
在 R t △ A1OC中，由F 为 A1C 的中点，OC GF ，得G 为O C 的中点．
在△ EOC 中，因为OC GE，所以 EO EC ，
这显然与 EO 1， EC 5 矛盾！
所以线段O C 上不存在点G ，使得OC 平面 EFG ． ………..................12分
高一年级五校联考数学试卷 第 12页 （共 12 页）
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