2022-2023学年安徽省肥东县综合高中高二（下）期中数学试卷（含解析）

2022-2023学年安徽省肥东县综合高中高二（下）期中试卷
数学试题
一、单选题（本大题共8小题，共40分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 若函数在处导数为，则等于( )
A. B. C. D.
2. 连镇高铁沿线共设连云港、淮安、扬州、镇江等个客运站，则铁路部门需要准备种不同的车票．( )
A. B. C. D.
3. 已知函数为自然对数的底数，则等于( )
A. B. C. D.
4. 设，，，则，，的大小顺序为( )
A. B. C. D.
5. 设函数，已知，，，，则( )
A. B. C. D.
6. 已知函数，其导函数的图像如图所示如图四个选项中，可能表示函数图像的是( )
A. B.
C. D.
7. 若是的切线，则的取值范围为( )
A. B. C. D.
8. 已知函数有两个不同的零点，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）
9. 关于函数，下列判断正确的是( )
A. 是的极大值点
B. 函数有且只有个零点
C. 对不等式在上恒成立
D. 对任意两个正实数，，且，若，则
10. 甲乙丙等人的身高互不相同，站成一排进行列队训练，则( )
A. 甲乙不相邻的不同排法有种
B. 甲乙中间恰排一个人的不同排法有种
C. 甲乙不排在两端的不同排法有种
D. 甲乙丙三人从左到右由高到矮的不同排法有种
11. 已知函数的图像关于直线对称，则( )
A. 函数的图像关于点对称
B. 函数在有且仅有个极值点
C. 若，则的最小值为
D. 若，则
12. 已知为常数，函数有两个极值点，，则( )
A. 的取值范围是 B. 的取值范围是
C. D.
三、填空题（本大题共4小题，共20分）
13. 有男女共名学生被分派去，，三个公司实习，每个公司至少人，且公司要且只要个女生，共有______ 种不同的分派方法用数字作答
14. 已知函数，，若时，恒成立，则实数的取值范围是______ ．
15. 若，则 ______ ．
16. 函数的定义域为，其导函数为，若，且当时，，则不等式的解集为______．
四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. 本小题分
已知函数．
求函数在处的切线方程；
求函数在上的最大值与最小值．
18. 本小题分
已知数列，，，且，是与的等差中项．
求数列的通项公式；
若，，求的最大值．
19. 本小题分
已知函数在时有极值．
求，的值；
求函数的单调区间与极值．
20. 本小题分
为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层．某幢建筑物要建造可使用年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为万元．该建筑物每年的能源消耗费用单位：万元与隔热层厚度单位：满足关系：，设为隔热层建造费用与年的能源消耗费用之和．
Ⅰ求的表达式；
Ⅱ隔热层修建多厚时，总费用达到最小，并求最小值．
21. 本小题分
设为实数，函数．
求函数的单调区间；
当时，直线是曲线的切线，求的最小值．
22. 本小题分
已知函数其中为自然对数的底数．
若对任意，不等式恒成立，求实数的取值范围；
设，证明：．
答案和解析
1.【答案】
【解析】
故选：．
2.【答案】
【解析】连镇高铁沿线共设连云港、淮安、扬州、镇江等个客运站，
则铁路部门需要准备种不同的车票．故选：．
3.【答案】
【解析】因为，所以．
故选：．
4.【答案】
【解析】设，则，
当时，则，单调递增，
当时，则，单调递减，
，
，即，
．
故选：．
先构造函数，再判断单调性，即可求解．
本题考查三个数大小的比较，其中构造函数再判断单调性是关键，属于中档题．
5.【答案】
【解析】由已知，
．
故选：．
先求出函数的导函数，再代入已知条件计算即可．
本题主要考查函数的值，属于基础题．
6.【答案】
【解析】由图象得当时，，且随着的增加，导数值先增加后减少
在上单调递增，
且根据导数的几何意义得函数图象切线的斜率自左向右先增大后减小，故B正确．故选：．
7.【答案】
【解析】设点是函数图象上任意一点，，
则，，
所以过点的切线方程为，
即，，，
，令，则，
在区间上，，单调递减；
在区间上，，单调递增．
所以的最小值为，又当时，，
所以，的取值范围为．故选：．
8.【答案】
【解析】已知，
令，
可得，
所以，
不妨设，函数定义域为，
不妨设，函数定义域为，
可得，函数单调递增，
当时，；当时，，
所以，
不妨设，
可得，
当时，；当时，，
即在区间上单调递减，在区间上单调递增，
所以，
且当时，；当时，，
又函数有两个不同的零点，
所以，
即．故选：．
9.【答案】
【解析】对于选项：因为，，所以，
令，得，
所以当时，，函数在上单调递减，
当时，，函数在上单调递增，
所以当时，取得极小值，故A选项错误；
对于选项：设，则，
所以在上单调递减，又，
所以函数有且只有个零点，故B选项正确；
对于选项：若在上恒成立，所以在上恒成立，
则，设，，
设，设，
所以当时，，单调递减，当时，，单调递增，
所以，所以，
所以在上单调递减，
所以函数的最大值为，所以，故C选项正确；
对于选项：方法一：令，
设，
所以，
所以在上单调递减，
则，即，，
因为，，结合选项可得，，，，
所以，，函数在上单调递增，
则，所以，
即对任意两个正实数，，且，若，则，故D选项错误；
方法二：由，，所以，
设，，则，
所以在上单调递减，所以，
所以，
由，则，因此，
所以，
即对任意两个正实数，，且，若，则，故D选项错误．
故选：．
10.【答案】
【解析】根据题意，假设人分别为甲，乙，丙，丁，戊，
由此依次分析选项：
对于，先将丙，丁，戊三人排成一排，排好后有个空位，再将甲乙安排在个空位中，有种排法，A错误；
对于，在丙，丁，戊中选出人，安排在甲乙之间，将人看成一个整体，与剩下人全排列，有种排法，B正确；
对于，在中间个位置中选出个，安排甲乙，再将丙，丁，戊人安排在剩下的个位置，有种排法，C正确；
对于，在个位置中任选个，按从左到右由高到矮的顺序安排甲乙丙三人，再将丁、戊安排在剩下的个位置，有种排法，D正确．故选：．
11.【答案】
【解析】函数的图像关于直线对称，
，，，
令，求得，可得函数的图像关于点对称，故A正确；
当，，有且仅有个极值点：
或，即 或，故B正确；
若，则的最小值为半个周期，即，故C错误；
若，
则，
而，
，故D正确，
故选：．
12.【答案】
【解析】函数有两个极值点，，
有两个不同的实数解，，
有两个不同的实数解，，
分离参数，得，即直线与有两个不同的交点．
令，
则，
当时，，在上单调递增，当时，，在上单调递减，
当时，取得极大值，也是最大值，
又当时，，当时，，作图如下：
要使直线与有两个不同的交点，则，即，故A正确，B错误；
由图知，，
，故C正确；
，
又，，
，即，
，
要证，即证，即证，
令，即证
则，在上单调递增，
当时，，
，成立，即，故D正确；故选：．
13.【答案】
【解析】公司只要个女生，有种分派方案，
则，公司分派人数可以为，或者，或者，共种分派方案，共种，
所以一共有种分派方案．
故答案为：．
14.【答案】
【解析】由可得，
即，
设，，
则，
所以在上单调递增，
所以由，可得，，
所以，
令，，
，
令得，
令得，
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以，
所以，
所以的取值范围为．
15.【答案】
【解析】因为，
则或者，
解得舍去或，
所以．故答案为：．
16.【答案】
【解析】令，则，
又由，所以．
故，即为定义在上的偶函数．
当时，，
所以在上单调递增，
由，
即，所以，解得，
所以不等式的解集为．
故答案为：．
17.【答案】，，，
，
，
函数在处的切线方程为：，化为：．
，
时，，此时函数单调递减；时，，此时函数单调递增．
时，函数取得极小值即最小值，，
又，，时，函数取得最大值，
函数在上的最大值与最小值分别为，．
18.【答案】由，，且，
可得，即，
即有数列是公比为的等比数列．
由是与的等差中项，可得，
即，解得，
则；
，
．
由，
可得时，取得最大值．
19.【答案】由题可得，
由可得，，
解得，经检验，符合题意，
所以．
由知，，，
当时，解得；当时，解得或，列表如下：
增 极大值 减 极小值 增
所以函数的单调减区间为，单调增区间为和，
极大值为，极小值为．
20.【答案】每年能源消耗费用为，建造费用为，
．
，
令，解得或舍，
当时，；当时，．
在上单调递减，在上单调递增．
当时，取得最小值，为．
当隔热层修建厚时，总费用最小，最小值为万元．
21.【答案】函数定义域为，，
当时，在上恒成立，
当时，解得，解得．
故时，函数的单调递增区间为，无单调递减区间；
当时，函数的单调递增区间为，单调递减区间为．
当时，，设切点为，
则切线斜率，切线方程为，
即，，，，
令，，
令，可得，令，得，
可得在上单调递减，在上单调递增，
，即的最小值为．
22.【答案】若对任意，不等式恒成立，则恒成立，也即恒成立．令，
则， 令，，，，
所以在上单调递减，在上单调递增．
时，取最小值．
所以
证明 ：在中，令可知对任意正实数都有，当时，取””，
两边同时取对数得：，当时，取””，
故：当时，取””，
所以：，
则：，
即．