2022-2023学年湖北省襄阳市樊城区九年级（下）期中数学试卷（含解析）

2022-2023学年湖北省襄阳市樊城区九年级（下）期中数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 如图，放置于桌面上的几何体，其俯视图为( )
A.
B.
C.
D.
2. 在中，，下列等式不一定成立的( )
A. B.
C. D.
3. 如图，在中，，定义：斜边与的对边的比叫做的余割，用“”表示如设该直角三角形的三边分别为，，，则，那么下列说法正确的是( )
A. B.
C. D.
4. 一定电压单位：下电流和电阻之间成反比例关系，东东用一个蓄电池作为电源组装了一个电路如图所示，通过实验，发现电流随着电阻值的变化而变化的一组数据如表格所示．
下列说法不正确的是( )
A. 表中
B. 这个蓄电池的电压值是
C. 图中图象可以表示电流和电阻之间的函数关系
D. 若该电路的最小电阻值为，该电路能通过的最大电流是
5. 把反比例函数：的图象绕点顺时针旋转后得到双曲线的图象若直线与在第一，三象限交于，两点，且，则的值是( )
A. B. C. D.
6. 如图，正方形中，，，分别交，于点，下列结论：；；；：：其中结论正确的个数有( )
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
7. 如图，的三个顶点的坐标分别为，，，将绕点顺时针旋转一定角度后使落在轴上，与此同时顶点恰好落在的图象上，则的值为( )
A.
B.
C.
D.
8. 欧几里得几何原本中给出一种证明勾股定理的方法：“直角三角形斜边上正方形的面积等于两直角边上两个正方形的面积之和”如图，中，，四边形、四边形和四边形都是正方形，过点作的平行线交于点，连结，，若四边形的面积是四边形的面积的倍，设与交于点，则的值是( )
A. B. C. D.
9. 如图，正方形的对角线，相交于点，点是上一点，交于点，连接，交于点，连接则下列结论：；∽；四边形的面积是正方形面积的；；若：：，则其中正确的结论有个．( )
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
10. 如图，正方形和正方形的顶点、在双曲线上，连接、、，则的值为( )
A.
B.
C.
D.
二、填空题（本大题共5小题，共20.0分）
11. 已知点是线段的黄金分割点，，，则长为______ ．
12. 如图，在中，平分，于点，，若，，则的值为______ ．
13. 图是一种可调节桌面画架，画架侧面及相关数据如图所示是底座上一固定支点，点在滑槽内滑动，支杆长度不变已知，当从点出发滑向终点，从逐渐增大至，则支杆的长为______ ，若点到的距离为，则 ______ ．
14. 如图，已知反比例函数的图象经过的顶点，点在轴负半轴，点在轴正半轴，交轴于点，交轴于点，若，则 ______ ．
15. 如图，在中，，若，，连接、交于点，则的值为______ ．
三、解答题（本大题共9小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
16. 本小题分
驾驶员血液中每毫升的酒精含量大于或等于微克即为酒驾，某研究所经实验测得，成人饮用某品牌度白酒后血液中酒精浓度微克毫升与饮酒时间小时之间函数关系如图所示当时，与成反比例．
根据图象直接写出：血液中酒精浓度上升阶段的函数解析式为______ ；下降阶段的函数解析式为______ ；并写出的取值范围
问血液中酒精浓度不低于微克毫升的持续时间是多少小时？
17. 本小题分
如图，，垂足是，，垂足为，与相交于点，连接，你能在图中找出一对相似三角形吗？并说明理由．
18. 本小题分
计算：．
19. 本小题分
如图，，两点分别在的边和上，，若直线把分成面积相等的两部分，求的值．
20. 本小题分
如图，已知的坐标是，轴于点，反比例函数的图象分别交，于点，，连接，的面积为．
求的值和点的坐标．
若点在该反比例函数图象上，且在的内部包括边界，求的取值范围．
21. 本小题分
如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于，两点．
求反比例函数的表达式；
点是反比例函数第一象限图象上一点，且的面积是面积的一半，求点的横坐标；
将在平面内沿某个方向平移得到其中点、、的对应点分别是、、，若、同时在反比例函数的图象上，求点的坐标．
22. 本小题分
如图，在平面直角坐标系中，点在反比例函数第一象限的图象上，将点先向左平移个单位长度，再向下平移个单位长度后得到点，点恰好落在反比例函数第三象限的图象上，经过，两点的直线交反比例函数第一象限的图象于点．
求反比例函数和直线的表达式；
连接，，求的面积；
请根据函数图象，直接写出关于的不等式的解集．
23. 本小题分
如图，四边形内接于，是的直径，平分交于点，点在延长线上，．
求证：是的切线；
求证：．
24. 本小题分
如图，一次函数与反比例函数的图象交于，两点，直线与轴，轴分别交于，两点．
求一次函数与反比例函数的表达式；
求证：；
点是轴正半轴上的一点，连接，，若，请直接写出点的坐标．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：如图，它的俯视图为：
故选：．
根据从上边看得到的图形是俯视图，可得答案．
本题考查了三视图的知识，掌握“俯视图是从物体的上面看到的视图”是解本题的关键．
2.【答案】
【解析】解：、，
，故本选项不符合题意；
B、，
，故本选项不符合题意；
C、，
，故本选项符合题意；
D、，故本选项不符合题意；
故选：．
根据三角函数的定义就可以解决．
此题考查直角三角形中互余两角三角函数的关系，熟练掌握三角函数的定义是关键．
3.【答案】
【解析】解：根据定义得，，故B不符合题意；
，故A不符合题意；
，故C符合题意；
，故D不符合题意；
故选：．
根据余割的定义：斜边与的对边的比进行计算，再选择即可．
本题考查了锐角三角函数的定义，同角三角函数的关系，掌握余割的定义：斜边与的对边的比叫做的余割，用“”表示，是解题的关键．
4.【答案】
【解析】解：、根据电压电流电阻，
蓄电池的电流，故不符合题意．
B、根据电压电流电阻，
蓄电池的电压值是，故不符合题意；
C、设，
将点代入得，
，
；
图中图象可以表示电流和电阻之间的函数关系，故不符合题意；
D、若该电路的最小电阻值为，该电路能通过的最大电流是，故符合题意；
故选：．
根据电压电流电阻，利用待定系数法即可求出这个反比例函数的解析式；将代入函数关系式后求得电流的值即可．
本题考查了反比例函数的应用，从实际问题中整理出反比例函数模型是解决此类问题的关键．
5.【答案】
【解析】解：设，
，
，
则有，
解得，
，
，
，
故选：．
设，构建方程组，求出，可得结论．
本题考查反比例函数与一次函数的交点问题，解题的关键是学会建立新的坐标系解决问题，属于中考压轴题．
6.【答案】
【解析】解：，，
，
在正方形中：，
，
≌，
，
，
，
，
在中，，
，
正确
由知：，
又是公共角，
∽，
，
，
错误．
作交于，交于，
∽，∽，
，，
，，，
，
，
，
，
，
正确．
由知：≌，
，
，
，
由知：∽，
，
在中，，
．
，
，
，
，
：：．
不正确．
结论正确的个数有个．
故选：．
先证明≌；利用∽；过点作的平行线，利用两对三角形相似；计算两个四边形的面积，进行比较．
本题运用正方形的性质，结合全等三角形和相似三角形判定和性质，从而解决线段间的位置和数量关系，图形面积关系．在解答时，突破第一个问题是关键．
7.【答案】
【解析】解：，，，
轴，，，
，
将绕点顺时针旋转一定角度后使落在轴上，
，，，
在中，，
，
设，
，，
得，
把代入整理得，
解得舍去，，
当时，，
，
把代入，
得，
故选：．
利用点、、的坐标得到轴，，，，再根据旋转的性质得，，，接着确定点坐标，设，利用两点间的距离公式得到，，然后解方程组求出和得到点坐标，最后利用反比例函数图象上点的坐标特征求的值．
本题考查了坐标与图形变化旋转：图形或点旋转之后要结合旋转的角度和图形的特殊性质来求出旋转后的点的坐标．解决本题的关键是利用两点间的距离公式建立方程组．
8.【答案】
【解析】解：设为，为，为，
在和中，
，
≌，
，
又，
四边形和四边形都是平行四边形，
过点作，
，
则，
，
，，
四边形是平行四边形，
，
四边形的面积是四边形的面积的倍，
，
又，
，，
∽，
，
即，
．
故选：．
记为，为，为，由题可得四边形、四边形和四边形都是平行四边形，根据四边形的面积是四边形的面积的倍得到关系式，再利用得到、、之间的数量关系，然后利用得到和的数量关系，利用即得．
本题考查正方形的性质，平行四边形的性质，三角形相识的判定和性质，三角形全等的判定和性质等知识，关键是对平行四边形性质的应用．
9.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解决问题的关键是熟练掌握有关基础知识．
可证明≌，进而证明≌，进一步得出结论；
可证明∽，从而，可证明∽，从而，进而得出，从而得出结论；
由四边形的面积等于的面积加的面积可得四边形的面积等于的面积加的面积，从而四边形的面积等于的面积，进而得出结论；
作，交于，可证得及≌，进一步得出结论；
作于，设，则，，可得出，可证得，从而得出，从而得出结论．
【解答】
解：四边形是正方形，
，，，，，
，
，
，
≌，
，
≌，
，
，
，
，
，
故正确；
由∽得，，
由∽得，，
，
，
∽，
故正确；
由知：≌，
四边形的面积等于的面积加的面积，
四边形的面积等于的面积加的面积，
四边形的面积等于的面积，
而的面积等于正方形的面积的，
四边形的面积是正方形面积的；
故正确；
如图，
作，交于，
，
，
，，
，
，
，
≌，
，
，
，
故正确；
如图，
作于，
：：，
：：，
，
：：，
设，则，，
，
，
，
，
，
点、、、共圆，
，
，
故不正确，
正确，
故选：．
10.【答案】
【解析】解：连接．
四边形，四边形都是正方形，
，
，
，
，点在上，
，
，
故选：．
连接只要证明，推出，即可解决问题；
本题考查反比例函数系数的几何意义，正方形的性质，平行线的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
11.【答案】
【解析】解：点是线段的黄金分割点，，
，
．
故答案为：．
依据黄金分割点的定义，即可得到的长，再根据线段的和差关系即可得出结论．
本题主要考查了黄金分割，即点把线段分成两条线段和，且使是和的比例中项即：：，叫做把线段黄金分割，点叫做线段的黄金分割点．
12.【答案】
【解析】解：如图，延长交于点．
平分，于点，
，．
在和中，
，
≌．
，，
，
．
，
．
．
故答案为：．
延长交于点，先证明≌，从而求出的长，再利用等腰三角形的判定求出，利用线段的和差关系求出，最后求出的余弦．
本题主要考查了解直角三角形，掌握直角三角形的边角间关系、勾股定理、等腰三角形的判定、全等三角形的判定与性质是解决本题的关键．
13.【答案】
【解析】解：当时，点与点重合，此时有
，
，，
；
当时，点与点重合，
由勾股定理得，，
，
，．
若点到的距离为，过点作于，过点作于，
，
，
由题意，，
．
，，
，
∽，
．
设，
，，，
，
，
，
，舍去，
，
，
．
故答案为：，．
当时，点与点重合，根据线段和差定义得；当时，点与点重合，利用勾股定理可得，进而求出的长；若点到的距离为，过点作于，过点作于，根据勾股定理求出的长，设，再根据相似三角形的性质得出，，，在中，利用勾股定理可得关于的一元二次方程，解方程可得的长，进而求出的长．
本题主要考查了相似三角形的性质与判定，勾股定理的应用，添加适当的辅助线，构造合适的直角三角形是解本题的关键．
14.【答案】
【解析】解：作轴于，
设，则，，
轴，，
，，
，，，
，
，
解得，
反比例函数的图象经过的顶点，
，
故答案为：．
作轴于，设，则，，根据平行线分线段成比例定理得出，，求得，，，，即可根据得出，解得．
本题考查反比例函数系数的几何意义，平行线分线段成比例定理等知识，解题的关键是学会利用参数解决问题，属于中考选择题中的压轴题．
15.【答案】
【解析】解：过点作，使得．
，，
，
，
∽，
，
，，
，
，
四边形是平行四边形，
，
，
设则，，
．
故答案为：．
过点作，使得证明∽，推出，再证明四边形是平行四边形，推出，，设则，，由此可得结论．
本题考查解直角三角形，相似三角形的判定和性质，解题的关键是，学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题．
16.【答案】
【解析】解：当时，设直线解析式为：，将代入得：，
解得：，故直线解析式为：，
当时，设反比例函数解析式为：，将代入得：，
解得：，故反比例函数解析式为：；
因此血液中药物浓度上升阶段的函数关系式为，
下降阶段的函数关系式为．
故答案为：，；
当，则，
解得：，
当，则，
解得：，
小时，
血液中药物浓度不低于微克毫升的持续时间小时．
当时，设直线解析式为：，当时，设反比例函数解析式为：，利用待定系数法即可解决问题；
分别求出时的两个函数值，再求时间差即可解决问题．
本题考查一次函数的应用、反比例函数的应用等知识，解题的关键是灵活应用待定系数法解决问题，学会利用函数图象解决实际问题，属于中考常考题型．
17.【答案】解：，，
，
，
∽答案不唯一．
【解析】根据相似三角形的判定即可在图中找出一对相似三角形．
本题主要考查相似三角形的判定，解答的关键是对相似三角形的判定定理的掌握．
18.【答案】解：原式
．
【解析】先根据零指数幂的运算法则计算出的值，再算乘法，最后算加法即可．
本题考查的是零指数幂及有理数的混合运算，熟知有理数混合运算的法则是解题的关键．
19.【答案】解：，
∽，
，
．
【解析】首先根据判定∽，然后根据相似三角形的性质计算即可．
本题考查了相似三角形的判定与性质，解题的关键是掌握相似三角形的判定方法和性质．
20.【答案】解：，
，
反比例函数为，
设直线解析式为，
将代入得，，
，
直线解析式为，
由得，
不合题意，舍去，，
为．
将代入，
得，
点的坐标为，
点在该反比例函数图象上，且在的内部包含边界，且的坐标为，
由图象得．
【解析】根据反比例函数的值意义，求出的值即可；先求出正比例函数解析式，联立正比例函数解析式和反比例函数解析式，求出点的坐标即可；
先求出点的坐标，然后根据点和的坐标，求出的取值范围即可．
本题主要考查了求反比例函数解析式，求正比例函数解析式，反比例函数与正比例函数图象的交点坐标，解题的关键是熟练掌握反比例函数中的几何意义．
21.【答案】解：将点代入得，，
解得，
，
反比例函数的图象经过点，
，
反比例函数解析式；
解，
得或，
，
设直线与轴交于，
，
点是反比例函数第一象限图象上一点，且的面积是面积的一半，
在点下方的轴上取的中点，过点作，交反比例函数第一象限图象上一点，
直线的解析式为，
，
解得，舍，
点的横坐标为，
在点上方的轴上取，过点作，交反比例函数第一象限图象上一点，
同理可得点的横坐标为，
综上：点的横坐标为或；
由题意可知，，
四边形是平行四边形，
由反比例函数与平行四边形是中心对称图形可知，与，与关于原点对称，
，
，
点向右平移个单位，向下平移个单位得到点，
点的坐标为．
【解析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，待定系数法求反比例函数的解析式，三角形面积，平移的性质，数形结合是解题的关键．
将点代入，可得点的坐标，从而得出答案；
首先求出点的坐标，分情况讨论：在点下方的轴上取的中点，过点作，交反比例函数第一象限图象上一点，或在点上方的轴上取，过点作，交反比例函数第一象限图象上一点，根据平行关系可得直线的解析式，求出直线与双曲线交点可得结论；
由平行四边形和反比例函数的对称性可知与，与关于原点对称，即可求得，根据、的坐标得到平移的距离，从而求得点的坐标．
22.【答案】解：点在反比例函数第一象限的图象上，
，
反比例函数为，
将点先向左平移个单位长度，再向下平移个单位长度后得到点，
点恰好落在反比例函数第三象限的图象上，
，
，
，
代入得，
，
直线的表达式为；
作轴，交于点，则，
，
点、关于原点对称，
，
；
关于的不等式的解集为或．
【解析】利用待定系数法即可求得反比例函数为，进而求得的坐标，然后吧的坐标代入即可求得直线的解析式；
作轴，交于点，则，然后根据求得即可；
根据图象即可求得不等式的解集．
本题是反比例函数于一次函数的交点问题，考查了待定系数法求函数的解析式，反比例函数图象上点的坐标特征，三角形的面积，函数与不等式的关系，反比例函数的对称性，求得交点坐标是解题的关键．
23.【答案】证明：连接，
是直径，
，
，
，
，
，，
，
，
是半径，
是的切线；
证明：，，
∽，
，
平分，
，
，，
，
，
．
【解析】连接，根据，可证，则，且是半径，即可证明；
首先证明∽，得，再由，，得，则有，从而证明结论．
本题是圆的综合题，主要考查了圆周角定理，切线的判定，相似三角形的判定与性质，掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．
24.【答案】解：点在反比例函数的图象上，
．
反比例函数的表达式为．
点在反比例函数的图象上，
．
点的坐标为点．
将点代入中，得，
解得：，
一次函数的表达式为；
证明：方法一：作轴于点，轴于点，
则，
当时，；当时，．
点的坐标为；点的坐标为，
．
，．
，．
在与中，
，
≌．
．
方法二：作轴于点，轴于点，
则，
当时，；当时，．
点的坐标为；点的坐标为．
．
．
．
．
在与中，
，
≌，
，
．
即：；
方法三：当时，；当时，，
点的坐标为；点的坐标为．
．．
；
解：点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为点，，
设，
，
，
解得：，
．
【解析】将点代入反比例函数求得，进而将点，代入得出，再根据待定系数法求一次函数的解析式即可求解；
方法一：作轴于点，轴于点，证明≌，根据全等三角形的性质，即可得证；
方法二：作轴于点，轴于点，证明≌，根据全等三角形的性质，即可得证；
方法三：得出点的坐标为；点的坐标为，根据勾股定理求得，，即可得证；
设，根据三角形面积列出方程，解方程即可求解．
本题考查了一次函数与反比例函数交点问题，勾股定理，全等三角形的性质与判定，一次函数与坐标轴的交点问题，掌握以上知识是解题的关键．
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