2022-2023学年甘肃省金昌市永昌第一高级中学高二（下）6月检测数学试卷（含解析）

永昌第一高级中学2022-2023学年高二下学期6月检测
数学试卷
一、单选题（本大题共8小题，共40分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 已知函数，为的导函数，则的值为( )
A. B. C. D.
2. 正方体中，化简( )
A. B. C. D.
3. 已知曲线：，那么曲线在点处的切线斜率为( )
A. B. C. D. 或
4. 定义在上的可导函数的导函数的图象如图所示，则以下结论正确的是( )
A. 是函数的一个零点
B. 是函数的极大值点
C. 的单调递增区间是
D. 无最小值
5. 的展开式中，常数项为( )
A. B. C. D.
6. 若函数在上不单调，则实数的取值范围为( )
A. B.
C. D.
7. 直三棱柱如图所示，，，，为棱的中点，三棱柱的各顶点在同一球面上，且球的表面积为，则异面直线和所成的角的余弦值为( )
A. B. C. D.
8. 若，，，则( )
A. B. C. D.
二、多选题（本大题共4小题，共20分。在每小题有多项符合题目要求）
9. 二项式的展开式的各项中，二项式系数最大的项是( )
A. 第项 B. 第项 C. 第项 D. 第项
10. 下列结论中，正确的是( )
A. B.
C. D.
11. 如图，四棱锥的底面为正方形，底面，平面，垂足为，为上的点，，以为坐标原点，分别以，，为，，轴的正方向，并均以为单位长度，建立空间直角坐标系，设，则( )
A.
B. 平面的一个法向量为
C. 当时，点到平面的距离为
D. 当时，点到直线的距离的平方为
12. 如图是的导数的图象，则下面判断错误的是( )
A. 在内是增函数 B. 在内是减函数
C. 在时取得极小值 D. 当时取得极大值
三、填空题（本大题共4小题，共20分）
13. A、、、四人去参加数学、物理、化学三科竞赛，每个同学只能参加一科竞赛，若和不参加同一科，且这三科都有人参加，则不同的选择种数是______用数字作答
14. 的展开式中含项的系数为______ ．
15. 如图，已知和所在的平面互相垂直，，，则二面角的正切值等于 ．
16. 定义域为的奇函数，当时，恒成立，若，，，则，，的大小关系为______ ．
四、解答题（本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. 本小题分
已知空间中三点，，，设，．
若，且，求向量；
已知向量与互相垂直，求的值．
18. 本小题分
若，且．
求实数的值；
求的值．
19. 本小题分
已知函数，．
若是函数的极值点，求的值；
若函数在上仅有个零点，求的取值范围．
20. 本小题分
在如图所示的几何体中，四边形是正方形四边形是梯形，，，平面平面，且．
求证：平面；
求二面角的正弦值；
已知点在棱上，且异面直线与所成的夹角为，求的取值范围．
21. 本小题分
某地规划了一个工业园区，需要架设一条千米的高压线，已知该段线路两端的高压电线塔已经搭建好，余下的工程只需要在已建好的高压电线塔之间等距离的修建高压电线塔和架设电线已知一座高压电线塔为万元，距离为千米的两相邻高压电线塔之间的电线及人工费等为万元，所有电线塔都视为“点”，且不考虑其他因素，记余下的工程费用为万元．
试写出关于的函数关系式；
需要建多少座高压电线塔才能使有最小值？最小值是多少？
参考数据：，
22. 本小题分
已知函数，，讨论函数的极值．
答案和解析
1.【答案】
【解析】根据题意，，
则，
则；故选：．
2.【答案】
【解析】．故选：．
3.【答案】
【解析】由，得，
，
即曲线在点处的切线斜率为．
故选：．
4.【答案】
【解析】由图象得当时，，则在上单调递减；
当时，，在单调递增，
是的极小值点，无极大值点，故B错误，C正确；
当时，函数是极小值也是最小值，故D错误；
此时不能确定的值是否为，故A错误．故选：．
5.【答案】
【解析】的展开式的通项为．
当为常数时，，解得，
则；
当为常数时，，解得，
则，
所以的展开式中常数项为．故选：．
6.【答案】
【解析】由题意得，
在上不单调，
在上有极值点，
当时，在上恒成立，在上单调递减，不满足题意；
当时，由得，则，解得，
故实数的取值范围为 故选：．
7.【答案】
【解析】，，，，
，
则的外接圆的圆心为的中点，
同理，的外接圆的圆心为的中点，
连接，则三棱柱外接球的球心为的中点，连接，
设外接球的半径为，则，
，
，
，，
以点为坐标原点，分别以，，为轴，轴，轴的正方向，建立空间直角坐标系，如图所示，
则，，，，
，，
，，
即异面直线和所成的角的余弦值为．故选：．
8.【答案】
【解析】因为，，，
故可构造函数，，
则当时，恒成立，
故在上单调递增，所以，
又，，，所以．故选：．
9.【答案】
【解析】因为，则二项式系数最大的项为第，项，故选：．
10.【答案】
【解析】对于，常数的导数等于，故A错误；
对于，令，，则，，故B正确；
对于，，故C错误；
对于，利用公式可知，，故D正确．故选：．
11.【答案】
【解析】对于项，因为底面，平面，所以．
又，平面，平面，所以平面．
因为平面，所以因为，
则，，，，．
因为为上的点，，所以，故A正确；
对于项，因为，，
设平面的法向量为，
则，令，则，
所以平面的一个法向量为，故B正确；
对于项，当时，，，
所以点到平面的距离，故C错误；
对于项，当时，，，
所以，，，，
所以，点到直线的距离的平方，故D正确．故选：．
12.【答案】
【解析】时，，此时在单调递减，
时，，此时在单调递增，
时，，此时在单调递减，
时，，此时在单调递增，
在处左增右减，故在时取得极大值，
在处左减右增，故在时取得极小值．
综上可知：B正确，ACD错误．故选：．
13.【答案】
【解析】分类讨论：若，参加同一科竞赛，可以种方法；若，参加不是同一科竞赛，可以种方法．
综上共有种方法．故答案为：．
14.【答案】
【解析】的展开式通项，
令，得；令，得，
故的展开式中含项的系数为．
故答案为：．
15.【答案】
【解析】在平面内，过作，垂足为，连接，
和所在的平面互相垂直，且平面平面，平面，
过作，垂足为，连接，
平面，，
又，平面，
，
故为二面角的平面角的补角．
设，则由题设知，，，
在中，，
，
故二面角的正切值为．
故答案为：．
16.【答案】
【解析】设函数，
因为是奇函数，所以是偶函数，
当时，．
所以在上是减函数，从而在上是增函数．
由条件知，，，
因此，
即．
故答案为：．
17.【答案】，，，
则，
，且，
则存在非零实数，使得，
故，解得，
所以或；
，，
则，
向量与互相垂直，
，解得．
18.【答案】由题意可得
则展开式中含的项为，
所以，解得；
由可知二项式为，
令时，，
因为的值为二项式的展开式的各项的系数和，
所以令，则，
所以．
19.【答案】，
是函数的极值点，
，解得，
，
可知：是函数的极大值点，满足题意．
．
函数在上仅有个零点不是函数的零点函数的图象与函数的图象有个不同的交点，．
，
，
时，，函数单调递减；时，，函数单调递增．
时，函数取得极小值即最小值，．
又时，；．
，解得．
的取值范围是
20.【答案】证明：平面平面，
又平面平面，平面，，
平面，
根据题意，分别以，，的方向为轴，轴，轴的正向，建立如图空间直角坐标系，
则，，，，，，
四边形是正方形，，
又，，面，面，
面．
是平面的一个法向量，
又，，
又直线平面，平面；
，
设为平面的法向量，
则，，取，
设为平面的法向量，又
则，，取，
，
二面角的正弦值为；
设，则，
又，，
，
设，，
则，
在区间上单调递增，
又，，
，
的取值范围为
21.【答案】解 根据题意，需要架设一条千米的高压线，并且只需要在已建好的高压电线塔之间等距离的修建高压电线塔和架设电线，
故需要新建高压电线塔座，且一座高压电线塔为万元，距离为千米的两相邻高压电线塔之间的电线及人工费等为万元，余下的工程费用为万元．
所以．
故关于的函数关系式为．
，
则，
令，得或舍．
令，则，令，则，
所以函数在上单调递减，在上单调递增．
所以当时，有最小值，
最小值为．
此时需要新建高压电线塔的个数为．
故需要建座高压电线塔才能使有最小值，最小值是．
22.【答案】已知，，函数定义域为，
可得，
令，
解得，，
当，即时，恒成立，单调递增，
此时函数在定义域内没有极值；
当，即时，
当时，，单调递增；
当时，，单调递减；
当时，，单调递增，
所以当时，函数有极大值；
当时，函数有极小值；
当，即时，
当时，，单调递增；
当时，，单调递减；
当时，，单调递增，
所以当时，函数有极小值；
当时，函数有极大值；
综上所述，当时，没有极值；
当时，有极大值，极小值；
当时，有极小值，极大值．