2022-2023学年广西钦州市浦北重点中学高一（下）期中数学试卷（含解析）

2022-2023学年广西钦州市浦北重点中学高一（下）期中数学试卷
第I卷（选择题）
一、单选题（本大题共8小题，共40分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 最接近( )
A. B. C. D.
2. 已知集合，，则( )
A. B. C. D.
3. 若向量，，且，则实数的值为( )
A. B. C. D.
4. 已知角的终边过点，则的值为( )
A. B. C. D.
5. 设，，，则，，的大小顺序为( )
A. B. C. D.
6. 将函数的图象上所有点的横坐标缩短到原来的，然后再将整个图象沿轴向右平移个单位长度，得到的曲线与的图象相同，则的函数解析式是( )
A. B.
C. D.
7. “关于的不等式对恒成立”的一个充分不必要条件是( )
A. B. C. D.
8. 已知函数，的定义域均为，且，，若为偶函数，且，则( )
A. B. C. D.
二、多选题（本大题共4小题，共20分。在每小题有多项符合题目要求）
9. 已知函数，则下列关于的判断正确的是( )
A. 在区间上单调递增
B. 最小正周期是
C. 的解集为
D. 图象关于点成中心对称
10. 已知函数的最小正周期为，则下列说法正确的是( )
A.
B. 函数在上单调递增
C. 函数的图象关于直线对称
D. 函数的图象关于点对称
11. 已知，，，，且，则的不可能的取值为参考数据：，( )
A. B. C. D.
12. 设函数是定义在上的函数，并且满足下面三个条件：
对正数，都有；
当时，；
；
则下列说法不正确的是( )
A.
B.
C. 不等式的解集为
D. 若关于的不等式恒成立，则的取值范围是
第II卷（非选择题）
三、填空题（本大题共4小题，共20分）
13. 已知，，若，则满足条件的的取值范围是______ ．
14. 已知扇形圆心角，所对的弧长，则该扇形面积为______ ．
15. 已知某产品的一类部件由供应商和提供，占比分别为和，供应商提供的该部件的良品率为，供应商提供的该部件的良品率为若发现某件部件不是良品，那么这个部件来自供应商的概率为______ 用分数作答．
16. 三国时期东吴的数学家赵爽为了证明勾股定理，绘制了一张勾股圆方图也称赵爽弦图，弦图作为可分解的一种图模型在代数与几何，以及复杂统计量的分解和参数估计都有着极大的作用现有一弦图，为正方形，，过作的垂线交于点，线段上存在一点，使得，则 ______ ．
四、解答题（本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. 本小题分
已知，求下列各式的值．
；
18. 本小题分
已知，．
若向量与的夹角为，求及在上的投影；
若向量与与向量垂直，求向量与的夹角．
19. 本小题分
的内角，，所对的边分别为，，，且．
求角的大小；
若，且求的面积．
20. 本小题分
某学校利用假期开展“互联网教育”活动，为了解学生一周内利用网络的学习时长，采用随机抽样的方法，得到该校名学生一周的学习时长单位：分钟的数据，其频率分布直方图如下：
估计该校学生一周学习时长的中位数；
从图中这两组中采用分层抽样的方法抽取人，再从这人中随机抽取人，求抽取的人恰在同一组的概率
21. 本小题分
从秦朝统一全国币制到清朝末年，圆形方孔铜钱简称“孔方兄”是我国使用时间长达两千多年的货币如图，这是一枚清朝同治年间的铜钱，其边框是由大小不等的两同心圆围成的，内嵌正方形孔的中心与同心圆圆心重合，正方形外部，圆框内部刻有四个字“同治重室”某模具厂计划仿制这样的铜钱作为纪念品，其小圆内部图纸设计如图所示，小圆直径厘米，内嵌一个大正方形孔，四周是四个全等的小正方形边长比孔的边长小，每个正方形有两个顶点在圆周上，另两个顶点在孔边上，四个小正方形内用于刻铜线上的字设，五个正方形的面积和为．
求面积关于的函数表达式，并求定义域；
求面积的最小值及此时的值．
22. 本小题分
已知函数，对任意实数，．
在上是单调递减的，求实数的取值范围；
若对任意恒成立，求正数的取值范围．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：，
其中为第三象限角，且当为第三象限角时，，
其中，又，
而较，离更近，
综上，最接近．
故选：．
先利用诱导公式得到，从而利用特殊角的三角函数值，判断出答案．
本题主要考查了三角函数值符号的判断，属于基础题．
2.【答案】
【解析】
【分析】
本题以分式不等式的解集为载体考查集合的交集运算，属于基础题．
可先求出集合，再求两集合的交集；或者直接将，，代入不等式检验
【解答】
解：
方法一：由已知则；
方法二：将，，分别代入不等式发现只有满足，则；
故选

3.【答案】
【解析】解：向量，，且，
，求得．
故选：．
由题意，利用两个向量垂直的性质，两个向量的的数量积公式，求得的值．
本题主要考查两个向量垂直的性质，两个向量的的数量积公式，属于基础题．
4.【答案】
【解析】解：角的终边过点，，
，
．
故选：．
由三角函数的定义知，，再利用二倍角公式求出的值，再利用诱导公式求解．
本题主要考查三角恒等变换的综合，熟练掌握二倍角公式、两角差的正切公式与三角函数的定义是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于基础题．
5.【答案】
【解析】解：设，则，
当时，则，单调递增，
当时，则，单调递减，
，
，即，
．
故选：．
先构造函数，再判断单调性，即可求解．
本题考查三个数大小的比较，其中构造函数再判断单调性是关键，属于中档题．
6.【答案】
【解析】解：由题意，把的图象沿轴向左平移个单位长度，得到的图象；
再把横坐标变到原来的倍，可得的图象．
故选：．
由题意，利用函数的图象变换规律，得出结论．
本题主要考查函数的图象变换规律，属于基础题．
7.【答案】
【解析】解：由“关于的不等式对恒成立”，
可得，解得：，
故“关于的不等式对恒成立”的一个充分不必要条件是．
故选：．
由“关于的不等式对恒成立”解出的取值范围，即可解决此题．
本题考查充分、必要条件的判定，考查数学运算能力及推理能力，属于基础题．
8.【答案】
【解析】解：，以为对称中心，且，
，即，
为偶函数，以轴为对称轴，
，即，
由知，，
，，
从而，即，
的周期为，的周期为，
故．
故选：．
根据已知条件求得的对称轴、对称中心、周期以及的周期，据此即可求得结果．
本题考查抽象函数的应用，属于中档题．
9.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查正切函数的图像与性质，属于中档题．
根据选项结合正切型函数的性质进行判断可得．
【解答】
解：函数，
对于选项A，时，，
结合正切函数的性质可得 在上单调递增，故A正确；
对于选项B，的最小正周期为，故B正确；
对于选项C，因为，
所以，解得，
所以的解集为，故C错误；
对于选项D，令，，解得，，
令得，所以图象关于点成中心对称，故D正确．
故选ABD．

10.【答案】
【解析】解：，，A正确；
则，，则，
根据的性质，可得在上单调递减，B错误；
，则的图象不关于直线对称，C错误；
，则的图象关于点对称，D正确．
故选：．
根据周期确定，然后根据的性质对应判断各个选项即可．
本题考查三角函数的性质，属于基础题．
11.【答案】
【解析】解：由，可得且，所以，
令，可得，
令，可得，为单调递增函数，
即单调递增，
又，
所以存在，使得，
所以，
设，则，
因为，所以，所以在上单调递减，
所以，
又因为，在上递增，所以ABC错误，D正确．
故选：．
根据题意化简得到，令，求得单调递增，结合，，得到存在，使得，求得最小值，设，求得在上单调递减，进而得到，即可求解．
本题主要考查了利用导数研究函数的单调性和最值，属于中档题．
12.【答案】
【解析】解：函数是定义在上的函数，
对正数、都有，
令，得，得，故A错误，
，
则，
而，得，
，
，故B正确，
设，则，则，
则，
即，即在上是增函数．
等价为，
则，即，得，即不等式的解集为，故C错误，
若恒成立，则等价为恒成立，
即，即，
若，则，
则得，
，
当时，取得最小值，此时，
若，则，得，此时，此时，不可能恒成立，故不成立，
综上，即实数的取值范围是，故D错误，
故选：．
A.利用赋值法让进行求解．
B.利用赋值法先求出的值，然后利用的值进行计算．
C.先判断函数的单调性，利用是的单调性进行转化求解．
D.利用参数分离法进行转化求解即可．
本题主要考查抽象函数的应用，利用赋值法进行计算，利用函数单调性的定义证明函数的单调性是解决本题的关键，是中档题．
13.【答案】
【解析】解：，，，
，即，
即，
，或 ，或；或
由可得；由可得；由可得无解；由可得．
综上，可得 或，求得或 ，
故满足条件的的取值范围是．
故答案为：．
由题意，分类讨论，去掉绝对值，利用对数函数的图象和性质，求得的范围．
本题主要考查对数函数的图象和性质，绝对值不等式的解法，属于中档题．
14.【答案】
【解析】解：由弧长公式可得，
所以扇形面积为．
故答案为：．
根据弧长公式以及扇形面积公式即可求解．
本题主要考查了扇形的面积公式，属于基础题．
15.【答案】
【解析】解：设某件部件不是良品为事件，这个部件来自供应商为事件，
，，
．
故答案为：．
利用全概型公式，条件概率公式求解即可．
本题主要考查全概型公式，条件概率公式的运用，属于中档题．
16.【答案】
【解析】解：因为线段上存在一点，使得，
所以，
因为，
所以，
因为为正方形，，，，
所以，
即，
所以，
故．
故答案为：．
由已知结合向量的线性运算及三角形的面积公式可求．
本题主要考查了向量的线性运算，属于基础题．
17.【答案】解：因为，
；
．
【解析】由已知结合诱导公式及同角基本关系进行化简即可求解．
本题主要考查了诱导公式，同角基本关系在三角化简求值中的应用，属于基础题．
18.【答案】解：向量与向量的夹角为，
由；
在方向上的投影为；
由向量与向量垂直，即，
则，
可得，
，
故得向量与的夹角为．
【解析】由，即可求解；根据在方向上的投影为即可得答案；
由向量与向量垂直，，即可求解向量与的夹角．
本题考查向量的数量积的运算，向量的垂直应用，考查计算能力．属于基础题．
19.【答案】解：由正弦定理有，
，，
，，
，显然，
，，
；
由余弦定理得，
，
，
，，，
，
的面积为．
【解析】由正弦定理得，可求得，可求角的大小；
由余弦定理可得，可求，进而可求的面积．
本题考查正余弦定理的应用，考查三角形的面积，属中档题．
20.【答案】解：依题意，解得；
设该校学生一周学习时长的中位数为，由频率分布直方图可知，
，解得，
该校学生周学习时长的中位数为分钟．
解：由题意可得，这组中共有人，这组中共有人，
按照分层抽样可知在内抽取人，记为，，，，在内抽取人，记为，，
从这六名学生中随机抽取两名的基本事件有：，，，，，，，，，，，，，，共种等可能的取法，
其中抽取的人恰在同一组的有，，，，，，共种取法，
所以抽取的人恰在同一组的概率为．
【解析】本题考查频率分布直方图的性质、古典概型、列举法等基础知识，考查运算求解能力、数据分析能力，属于基础题．
利用频率分布直方图列方程，能求出设中位数为，由频率分布直方图可知，由中位数公式得出方程，解出即可；
在内抽取人，记为，，，，在内抽取人，记为，，则人中抽取人，利用列举法，求出从这人中随机抽取的人恰在同一组的概率．
21.【答案】解：过点分别作小正方形边，大正方形边的垂线，垂足分别为，，
因为内嵌一个大正方形孔的中心与同心圆圆心重合，
所以点，分别为小正方形和大正方形边的中点，
所以小正方形的边长为，
大正方形的边长为，
所以五个正方形的面积和为，
因为小正方形边长小于内嵌一个大正方形的边长，
所以，，，
所以的取值范围为，；
，
，其中，，
所以，此时，
因为，所以，
所以，
所以，
则，化简得：，
由此解得：，
因为，所以．
【解析】过点分别作小正方形边，大正方形边的垂线，垂足分别为，，求出小正方形的边长，大正方形的边长，推出五个正方形的面积和的表达式，然后求解的取值范围为，其中；
利用两角和与差的三角函数化简的表达式，利用三角函数有界性，求解最值即可．
本题考查函数的实际应用，三角函数的有界性以及函数的最值的求法，考查转化思想以及计算能力，属于中档题．
22.【答案】解：由已知得，，
设，
则，
要使在上是单调递减的，必须恒成立，
因为，，
所以恒成立，即恒成立，
因为，
所以，
所以实数的取值范围是；
解法一：由，得，
因为且，所以式可化为，
要使式对任意恒成立，只需，
因为，
所以当时，函数取得最小值，
所以，
又，
所以，
故正数的取值范围是．
解法二：由，得，
令，
则对任意恒成立，
只需，即，
解得，
故正数的取值范围是．
【解析】由已知得，，利用单调性的定义，可知要使在上是单调递减的，必须恒成立，从而只需恒成立，即恒成立，故可求实数的取值范围；
解法一：由，得，分离参数可得，从而问题转化为，，利用配方法可求函数的最小值，故可求正数的取值范围；
解法二：由，得构造，则对任意恒成立，只需，即，从而可求正数的取值范围．
本题考查的重点是求参数的范围问题，考查恒成立问题，考查函数的单调区间，解题的关键是利用分离参数法，进而求函数的最值．
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