2023年全国一卷新高考题型分类S1-2——直线和圆（单选填空）3（含解析）

2023年全国一卷新高考题型分类S1-2
——直线和圆（单选填空）3
资料编制说明：
试卷主要是2023年全国一卷新高考地区真题、模拟题，约208套。其中全国卷6套，广东42，山东42，江苏29，福建17，湖南26，湖北21，河北25。
题目设置有尾注答案，复制题干的时候，答案也会被复制过去，显示在文档的后面，双击尾注编号可以查看。方便老师备课选题。
题目前面括号，标注该题的出处。有“末”字的，表示单选、填空的最后一题，难度相对会大一些。
多选3、多选4也难。
直线和圆（单选填空）3：
（2023年鄂J53四月调研）已知动直线l的方程为，，，O为坐标原点，过点O作直线l的垂线，垂足为Q，则线段PQ长度的取值范围为（ [endnoteRef:1] ） [1: 【答案】B
【解析】
【分析】利用万能公式将直线方程化为，求出过原点与直线垂直的直线方程，进而得出点的轨迹为圆心为半径为3的圆，进而转化为点到圆的距离即可求解.
【详解】由可得，
令，由万能公式可得，
，所以直线的方程为①，
由题意可知过原点与直线垂直的直线方程为②，
可得，即表示点的轨迹为圆心为半径为3的圆，
于是线段长度的取值范围为，因为，
所以线段PQ长度的取值范围为，
故选：B.
]
A. B. C. D.
（2023年鄂J54名校适应）已知点，与直线，且直线与线段相交，则直线的斜率的取值范围为（ [endnoteRef:2] ） [2: 【答案】A
【解析】
【分析】直线经过定点，求得、的斜率，再数形结合可得直线的斜率的取值范围.
【详解】解：已知点，与直线，且直线与线段相交，
直线，即直线，它经过定点，
的斜率为，的斜率为，
则直线的斜率的取值范围为或，
故选：.
【点睛】本题主要考查直线的斜率，考查数形结合思想，属于基础题.
]
A. 或 B. 或 C. D.
（2023年鄂J58十一校二联）在平面直角坐标系中，已知，，若圆上有且仅有四个不同的点，使得的面积为，则实数的取值范围是[endnoteRef:3]______． [3: 【答案】
【解析】
【分析】求出AB的长度，直线方程，结合△ABC的面积为，转化为圆心到直线的距离进行求解即可．
【详解】由已知可得，AB的斜率，.
又的面积为，所以点到直线的距离.
直线AB的方程为，即.
则圆心O到直线的距离.
如图，过点作，垂足为，交圆于点.
因为圆上有且仅有四个不同的点C，使得的面积为.
又点到直线的距离，
则应有，所以，
即点到直线的距离小于，
所以有，
解得.
故答案为：.
]
（2023年鄂J60星云一模）过三点，，的圆与直线交于，两点，则（ [endnoteRef:4] ） [4: 【答案】B
【解析】
【分析】根据给定条件，求出圆方程，再利用弦长公式求解作答.
【详解】依题意，设圆的方程为：，，
于是，解得，
则圆的方程为，即，其圆心为，半径，
点到直线的距离为，
所以.
故选：B
]
A. B. C. D.
（2023年鄂J61圆梦二模）曲线围成的封闭图形的面积为__________，若直线与恰有两个公共点，则的取值范围为[endnoteRef:5]__________. [5: 【答案】 ①. ； ②.
【解析】
【分析】第一空：讨论去绝对值符号，化简得其围成的曲线是两个圆，计算其面积即可；
第二空：利用直线与圆的位置关系，求得相切时的斜率，再利用数形结合判定有两个交点的斜率范围即可.
【详解】如图所示，当时，，
设其圆心为，易知，所以圆A与相切；
同理当时，，
设其圆心为B，易知，所以圆B与相切；
所以围成的曲线为圆A与圆B，其面积为；
由可知其过定点，过C与圆A与圆B相切的切线分别设为、，则有，
解之得：或，，由图象分析可得若满足直线与两圆有两个交点，则需.
故答案为：；
]
（2023年冀J01石家庄四调）写出与和都相切的一条直线的方程[endnoteRef:6]________________. [6: 【答案】或（答案不唯一，两条直线任写一条即可）
【解析】
【分析】先判断两圆的位置关系，再判断公切线的斜率存在与否，从而设公切线方程为，根据圆心到直线的距离等于半径列出方程组，解之即可得出答案.
【详解】因为圆的圆心为，半径为，
圆的圆心为，半径为，
所以，则，
所以两圆相交，公切线有两条，
假设与圆相切的直线没有斜率，易得切线的方程为或，
当直线为时，圆心到直线的距离为，故不与圆相切；
当直线为时，圆心到直线的距离为，故不与圆相切；
综上所述，与圆和圆都相切的直线一定存在斜率，不妨设公切线为，即，
所以，则，
故，，则或，即或，
当时，代入，整理得，
因为，所以方程无解；
当时，代入，整理得，解得或，
当时，；当时，，
所以公切线为或.
故答案为：或（答案不唯一，两条直线任写一条即可）
]
（2023年冀J01石家庄四调，末）在平面直角坐标系中，给定两定点和,点P在x轴上移动，当取最大值时,点P的横坐标是[endnoteRef:7]________. [7: 【答案】1
【解析】
【分析】利用平面几何中的圆外角小于圆周角进行分析计算可得答案.
【详解】解：如图:
经过两点的圆的圆心在线段的垂直平分线上,设圆心为,则圆的方程是: ，对于定长的弦在优弧上所对的圆周角会随着圆的半径减小而角度增大,所以当取最大值时,经过三点的圆S必与轴相切于P点,所以,解得.
即对应的切点是而过点的圆的半径小于过点的圆的半径,所以故点P(1,0)即为所求.
故答案：1.
【点睛】本题主要考查圆的方程的应用及圆周角的相关知识,相对不难.
]
（2023年冀J03石家庄三模）已知直线经过圆的圆心，其中且，则的最小值为（ [endnoteRef:8] ） [8: 【答案】A
【解析】
【分析】由给定条件可得，再利用配凑思想结合“1”的妙用求解作答.
【详解】圆的圆心为，依题意，，即，
由，知，令，则，
因此
，当且仅当，即时取等号，
所以当时，取得最小值9.
故选：A
]
A 9 B. C. 1 D.
（2023年冀J04石家庄一检） “”是“圆：与圆：有公切线”的（ [endnoteRef:9] ） [9: 【答案】A
【解析】
【分析】根据圆与圆的位置关系确定的取值范围，即可判断充分必要性.
【详解】圆：的圆心，半径，圆：的圆心，半径，
若两圆有公切线，则，即，解得或，
所以“”是“圆：与圆：有公切线”的充分而不必要条件.
故选：A.
]
A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
（2023年冀J05石家庄二联）已知点为直线上的动点，若在圆上存在两点，，使得，则点的横坐标的取值范围为（ [endnoteRef:10] ） [10: 【答案】C
【解析】
【分析】求得与圆相切且时的长，根据圆与直线的位置关系求得点的横坐标的取值范围.
【详解】圆的圆心为，半径，
当与圆相切且时，，
以为圆心，半径为的圆的标准方程为，
由消去并化简得，
解得或，所以点的横坐标的取值范围.
故选：C
]
A. B. C. D.
（2023年冀J10衡水）已知圆C：，点，点.点P为圆C上一点，作线段AP的垂直平分线l.则点B到直线l距离最小值为[endnoteRef:11]______. [11: 【答案】##
【解析】
【分析】根据题意假设的中点，先利用代入法求得的取值范围，再利用点斜式求得直线的方程，从而利用点线距离公式求得，进而利用换元法与基本不等式求得点B到直线l距离的最小值.
【详解】依题意，设中点，则，，
所以，，则，
因为，所以，故，
所以线段AP的垂直平分线l为，即，则，
所以点到直线的距离为，
令，则，，
所以，
当且仅当，即时，等号成立，
所以，即点B到直线l距离最小值为.
故答案为：
.
]
（2023年冀J11衡水二中）设圆的方程为，则圆C围成的圆盘在x轴上方的部分的面积为（ [endnoteRef:12] ） [12: 【答案】A
【解析】
【分析】求出直线与轴的交点，并确定的大小，再根据圆盘在x轴上方的部分由个圆和三角形组成，即可求解.
【详解】令得，解得，
设圆C与x轴相交的点为，则，
圆圆C的圆心，半径，
，
由余弦定理得，
因为，所以，
三角形的面积等于，
圆盘在x轴上方的部分由个圆和三角形组成，
所以圆盘在x轴上方部分面积等于，
故选:A.
]
A. B. C. D.
（2023年冀J11衡水二中）弹幕射击游戏（Shooting Game，简称STG）是一类由玩家操纵虚拟角色（通常称为自机）发射子弹击毁敌方，同时躲避敌方发射的子弹的电子游戏.自机和子弹都有一个判定范围，并遵循“方形判定法则”：自机和子弹的判定范围均为正方形（二者均有一组对边平行于水平轴，且移动时正方形保持平移），若两个正方形内部产生相交，则判定为中弹.出于观赏性需要，自机的判定区域会被小圆包起，子弹的外观贴图也会比实际判定范围大.例如下图的自机（即图中的黑框小圆），规定其半径为1，自机的实际判定范围是该圆的内接正方形.现欲设计一种圆形外观的子弹，其判定范围完全落在圆内，正方形的中心和圆的中心重合，且满足：可以做到使自机的小圆的外观贴图内切于子弹外观贴图的最左侧且不判定中弹.若要求子弹的判定范围至多占其外观贴图面积的，取，，则子弹外观贴图半径的最小值约为（[endnoteRef:13] ） [13: 【答案】D
【解析】
【分析】根据题意画图，再由图取临界值即可求出最小值.
【详解】根据题意画图，设子弹的判定范围为正方形边长为，则正方形外接圆半径为，
由“可以做到使自机的小圆的外观贴图内切于子弹外观贴图的最左侧且不判定中弹”此时取临界值，
可知,
又，
若满足条件则
所以，解得，
又“圆形外观的子弹，其判定范围完全落在圆内”设圆形外观的半径为，
“若要求子弹的判定范围至少占其外观贴图面积的”
此时取临界值
则得，
故选：D
]
A. 3.5 B. 4 C. 4.5 D. 5
（2023年鲁J32济宁一模）若过点直线与圆有公共点，则直线的倾斜角的最大值（ [endnoteRef:14] ） [14: 【答案】C
【解析】
【分析】直线的倾斜角最大时，直线与圆相切，设直线方程，根据圆心到直线的距离等于半径得到或，解得答案.
【详解】直线的倾斜角最大时，直线与圆相切，此时斜率存在，
圆的圆心为，半径，
设直线方程，即，直线到圆心的距离为，
解得或，当时，倾斜角最大为.
故选：C
]
A B. C. D.
（2023年鲁J43日照三模）写出一条与圆和曲线都相切的直线的方程：[endnoteRef:15]___________. [15: 【答案】（答案不唯一）
【解析】
【分析】设切线与圆相切于点，得到切线的方程，与联立，由判别式为零求解.
【详解】解：设切线与圆相切于点，则，
切线的方程为，即，
将与联立，可得，
令，
联立解得或或或
所以切线的方程为或或或.
故答案为：（答案不唯一）
]
（2023年鲁来J44威海二模）已知直线过定点P，线段MN是圆的直径，则（[endnoteRef:16] ） [16: 【答案】C
【解析】
【分析】求出定点P，圆心及半径，利用向量的运算可得，即可求值.
【详解】直线可化为：，
由解得，
所以直线过定点，
圆的圆心为,半径为，
所以,
所以
，
故选：C
]
A. B. 3 C. 7 D. 9
（2023年鲁J46泰安二模）在平面直角坐标系中，已知圆：，若直线：上有且只有一个点满足：过点作圆C的两条切线PM，PN，切点分别为M，N，且使得四边形PMCN为正方形，则正实数m的值为（ [endnoteRef:17] ） [17: 【答案】C
【解析】
分析】
根据四边形PMCN为正方形可得，转化为圆心到直线的距离为可求得结果.
【详解】由可知圆心，半径为，
因为四边形PMCN为正方形，且边长为圆的半径，所以，
所以直线：上有且只有一个点，使得，即，
所以圆心到直线的距离为，
所以，解得或（舍）.
故选：C
【点睛】关键点点睛：将题意转化为圆心到直线的距离为是解题关键.]
A. 1 B. C. 3 D. 7
（2023年鲁J51淄博一模）在平面直角坐标系中，已知点，直线与圆交于，两点，若为正三角形，则实数[endnoteRef:18]______. [18: 【答案】
【解析】
【分析】结合作图，可求得直线的斜率，以及原点到直线的距离，利用点到直线的距离公式，求得答案.
【详解】由题意可知在圆上，如图：
设MN中点为H，连接PH，因为为正三角形，则PH过点O,且 ，
则直线MN的斜率为：，
故即为，
因为为正三角形，则O点为的中心，由中心及重心性质知，
，故 ，解得 ，
结合在圆上，是圆的内接正三角形，可知 ，即.
故答案为：，
]
（2023年鲁J52淄博诊断）“”是“圆：与圆：有公切线”的（ [endnoteRef:19] ） [19: 【答案】A
【解析】
【分析】根据圆与圆的位置关系确定的取值范围，即可判断充分必要性.
【详解】圆：的圆心，半径，圆：的圆心，半径，
若两圆有公切线，则，即，解得或，
所以“”是“圆：与圆：有公切线”的充分而不必要条件.
故选：A.
]
A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
（2023年鄂J52国都省考，末）如图，已知圆，圆，已知为两圆外的动点，过点分别作两圆的割线和，总有，则点的轨迹方程是（ [endnoteRef:20] ） [20: 【答案】A
【解析】
【分析】根据题意，由可得，然后由割线定理可得
，从而得到点的轨迹方程.
【详解】
因为圆，圆心，半径，
圆，圆心，半径，
由，可得，
所以，即，
由割线定理可知，过的切线是到割线与圆交点的两条线段长的比例中项，
过分别做圆的切线，切点为，
则，，所以，
连接，
则，，
所以，
即，所以，
即，
设，则，
化简可得，
所以点的轨迹方程是，
故选:A
]
A. B. C. D.
（2023年冀J19唐山二模）已知圆：，圆：，则与的位置关系是（ [endnoteRef:21] ） [21: 【答案】C
【解析】
【分析】算出两圆圆心的距离，然后与两圆半径之和、差比较即可.
【详解】圆圆心为，
圆的圆心为，
所以
所以圆与的位置关系是相交.
故选: C.
]
A. 外切 B. 内切 C. 相交 D. 外离
（2023年冀J21唐山一模）已知点，圆，过点的直线与圆交于，两点，则的最大值为（ [endnoteRef:22] ） [22: 【答案】B
【解析】
【分析】利用中点坐标求出AB的中点的轨迹方程为圆心、半径为1的圆，得的最大值，结合即可求解.
【详解】由题意知，，圆M的半径为4，设AB的中点，
则，即，
又，所以，
即点D的轨迹方程为，圆心，半径为1，
所以的最大值为，
因为，
所以的最大值为12.
故选：B.
]
A. B. 12 C. D.
（2023年冀J23唐山三模）在平面直角坐标系xOy中，若点在直线上，则当a，b变化时，直线OP的斜率的取值范围是[endnoteRef:23]___________. [23: 【答案】
【解析】
【分析】将点代入直线上得到的轨迹圆，数形结合法求直线OP的斜率的取值范围.
【详解】由题设，则，
所以在以为圆心，1为半径的圆上，
如图，当与圆相切时，直线OP的斜率出现最值（最大、最小），
当与圆上方相切，则，故，此时OP斜率为，
结合圆的对称性，与圆下方相切，OP斜率为，
由图知：直线OP的斜率的取值范围是.
故答案为：
]
（2023年冀J33邯郸三模）在平面直角坐标系内，已知，，动点满足，则（）的最小值是（ [endnoteRef:24] ） [24: 【答案】C
【解析】
【分析】由题意求出点P的轨迹方程，则可以看成圆上动点与定直线上动点的距离，求得其最小值，即可求得答案.
【详解】因为，，动点满足，
则，整理得，
可以看成圆上动点与定直线上动点的距离，
其最小值为圆心到直线的距离减去圆的半径2，即，
因此，的最小值是，
故选：C.
]
A. B. 2 C. 4 D. 16
（2023年冀J34邯郸二模）已知直线与圆交于A，两点，若是圆上的一动点，则面积的最大值是[endnoteRef:25]___________. [25: 【答案】##
【解析】
【分析】求出圆C圆心到弦AB的长度d，求出弦AB的长度，M到弦AB的最大距离为d＋r(r为圆C半径)，根据三角形面积公式即可求出答案．
【详解】，则圆C的圆心为，半径为，
圆心C到直线l（弦AB）的距离为，
则，
则到弦AB的距离的最大值为，
则面积的最大值是.
故答案为：
]
（2023年冀J57省联考）已知圆经过点，与直线相切，且被轴截得的弦长为，则圆的标准方程为____[endnoteRef:26]____. [26: 【答案】
【解析】
【分析】设圆心和半径，由题意列出方程组，求得圆心和半径，即得答案.
【详解】设所求圆的圆心为，半径为R，
则由题意可得，解得，
故圆的标准方程为，
故答案为：
]