2022-2023学年江苏省南京重点大学附中高二（下）期末数学试卷（含解析）

2022-2023学年江苏省南京重点大学附中高二（下）期末数学试卷
1. 复数在复平面内对应的点位于( )
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
2. 设集合，，则( )
A. B.
C. ， D.
3. 设某中学的女生体重单位：与身高单位：具有线性相关关系，根据一组样本数据，用最小二乘法建立的经验回归方程为若该中学女生的平均身高为，则该中学女生的平均体重的估计值是( )
A. B. C. D.
4. 设与均为单位向量，它们的夹角为若，则的范围是( )
A. B. C. D.
5. 设，则( )
A. B. C. D.
6. 现有名同学去个养老院参加公益活动，每名同学只去个养老院，每个养老院至少安排名同学，则不同安排方案的种数为( )
A. B. C. D.
7. 设函数，则关于的不等式的解集为( )
A. B. C. D.
8. 设抛物线的焦点为，准线为，是与轴的交点，过此抛物线上一点作直线的垂线，垂足记为点，与相交于点，若，则点到轴的距离为( )
A. B. C. D.
9. 甲、乙两地四月日至日的最高气温如图所示，下列说法中正确的是( )
A. 乙地在这日内最高气温的极差为 B. 甲、乙两地日温差最大
C. 甲地这日平均气温为 D. 甲地的百分位数是
10. 已知为各项为正数的等比数列，记是数列的前项和，是数列的前项和，则下列说法正确的是( )
A. 数列的公比为
B.
C. 数列为等差数列
D. 数列的前项和为
11. 若函数，则在区间内可能( )
A. 单调递增 B. 单调递减
C. 有最小值，无最大值 D. 有最大值，无最小值
12. 如图，圆锥内有一个内切球，球与母线，分别切于点，若是边长为的等边三角形，为圆锥底面圆的中心，为圆的一条直径与不重合，则下列说法正确的是( )
A. 球的表面积与圆锥的侧面积之比为：
B. 平面截得圆锥侧面的交线形状为抛物线
C. 四面体的体积的取值范围是
D. 若为球面和圆锥侧面的交线上一点，则最大值为
13. 已知，则______．
14. 展开式中，常数项是______．
15. 现有两个罐子，号罐子中装有个红球、个黑球，号罐子中装有个红球、个黑球现先从号罐子中随机取出一个球放入号罐子，再从号罐子中取一个球，则从号罐子中取出的球是红球的概率为______ ．
16. 若存在实数，使得，则的值为______ ．
17. 已知各项不为零的数列满足：，
求，，并求的通项公式；
记数列的前项和为，证明：．
18. 的内角，，的对边分别为，，，已知，．
求；
求周长的最大值．
19. “总要来趟南京吧”今年一季度南京接待游客千多万，居全省第一南京的旅游资源十分丰富，既有中山陵、夫子庙、玄武湖、南京博物院等传统景区，又有科巷、三七八巷、德基广场等新晋网红景点．
如果随机访问了名外地游客，所得结果如下表所示：
首选传统景区 首选网红景点 总计
男性
女性
试判断是否有的把握认为是否首选网红景点与性别有关；
根据互联网调查数据显示，外地游客来南京旅游首选传统景区的概率是，首选网红景点的概率是如果随机访问名外地游客，他们中首选网红景点的人数记为，求的分布列和期望．
附：其中．
20. 如图，在四棱台中，平面，四边形为菱形，，．
证明：；
点是棱上靠近点的三等分点，求二面角的余弦值．
21. 已知双曲线经过点，且离心率为．
求的方程；
过点作轴的垂线，交直线：于点，交轴于点设点，为双曲线上的两个动点，直线，的斜率分别为，，若，求．
22. 已知函数．
若，讨论的单调性；
若，存在，满足，且，求的取值范围．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：，在复平面内对应的点位于第四象限．
故选：．
根据已知条件，结合复数的四则运算，以及复数的几何意义，即可求解．
本题主要考查复数的四则运算，以及复数的几何意义，属于基础题．
2.【答案】
【解析】解：或，，
，．
故选：．
根据一元二次不等式的解法和对数函数的单调求出集合，，然后进行并集的运算即可．
本题考查了一元二次不等式的解法，对数函数的单调性，对数的运算性质，考查了计算能力，属于基础题．
3.【答案】
【解析】解：经验回归方程为，
令得，，
所以该中学女生的平均体重的估计值是．
故选：．
令求出的值，即可得到结果．
本题主要考查了经验回归方程的应用，属于基础题．
4.【答案】
【解析】解：与均为单位向量，其夹角为，若，
则，
即有，
即为，
由，可得．
故选：．
由向量数量积的定义和向量的平方即为模的平方，化简可得，再由夹角范围和余弦函数的图象和性质，即可得到所求范围．
本题考查向量的数量积的定义和性质，主要是向量的平方即为模的平方，考查余弦函数的图象和性质，以及运算能力，属于中档题．
5.【答案】
【解析】解：，，
．
故选：．
根据对数函数的单调性和对数的运算性质可得出，，的大小关系．
本题考查了对数函数的单调性和对数的运算性质，考查了计算能力，属于基础题．
6.【答案】
【解析】解：名同学去个养老院参加公益活动，每名同学只去个养老院，每个养老院至少安排名同学，可分为，，和，，两种情况：
若按，，分组，共有种选择，再将其分配到养老院，共种选择，故共有种；
若按，，分组，共有种选择，再将其分配到养老院，共种选择，故共有种；
因此，不同安排方案的种数为种．
故选：．
名同学去个养老院参加公益活动，每名同学只去个养老院，每个养老院至少安排名同学，可分为，，和，，两种情况，再结合分类加法计数原理计算即可．
本题考查排列组合的应用，属于基础题．
7.【答案】
【解析】解：，当且仅当时取等号，
在上单调递增，且，
由得，，
，解得，
原不等式的解集为
故选：．
求导得出，然后根据基本不等式即可得出，从而得出在上单调递增，并得出，然后即可得出原不等式的解集．
本题考查了基本初等函数的求导公式，根据导数符号判断函数的单调性的方法，基本不等式的应用，奇函数的定义，考查了计算能力，属于中档题．
8.【答案】
【解析】解：由题意，作图如下：
由，得，即，
又因为为，的中点，所以，所以，
所以为的三等分点，且，又因为，所以与相似，且，
所以，不妨设，且在第一象限，，所以，
因为点在抛物线上，所以，
所以根据相似关系可得．
故选：．
根据向量运算的几何性质，结合相似三角形，求得线段之间的关系，根据抛物线的性质，求得点的坐标，结合线段的比例，可得答案．
本题考查抛物线的性质，是中档题．
9.【答案】
【解析】解：：乙地在这日内最高气温的极差为，故A错误；
：甲地日气温最高，乙地日气温最低，所以甲乙两地日的温差最大，故B正确；
：甲地这日平均气温为，故C正确；
：甲地这日的气温从小到大排列为：，，，，，，，，
则，所以甲地的百分位数是，故D正确．
故选：．
：根据乙地的数据求出极差即可判断；：根据甲乙两地日的气温数据即可判断；：求出甲地的平均气温即可判断；：把甲地这日的气温从小到大排列，然后根据百分位数的定义求解即可．
本题考查了根据统计图表获取信息，考查了学生的识图能力，属于基础题．
10.【答案】
【解析】解：对于：已知数列为各项为正数的等比数列，，
所以，解得；故A正确；
对于：由条件得：，所以，
故，，所以，故B正确；
对于：由于常数，故C正确；
对于：，故，故D错误．
故选：．
直接利用等比数列的性质，等比数列的通项公式的求法，数列的求和判断、、、的结论．
本题考查的知识要点：等比数列的性质，等比数列的通项公式的求法，数列的求和，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于中档题．
11.【答案】
【解析】解：因为，，所以，
又因为，
所以，
令，则，
因为在，上单调递减，
所以当，即时，
在上单调递减，
即在上单调递减，故B正确；
因为在上不可能单调递增，
即在上不可能单调递增，故A错误；
当时，函数有最小值，故D错误；
当时，函数有最大值，故C错误．
故选：．
由，得到，，再根据的单调性判断、最值逐一判断．
本题考查了余弦函数的图象及性质，掌握余弦函数性质是关键，属于中档题．
12.【答案】
【解析】解：依题意，动点的轨迹是圆，所在平面与圆锥底面平行，令其圆心为，连接，如图，
正内切圆即为球的截面大圆，球心在线段上，，
则球的半径，所以球的表面积，
圆锥的侧面积，球的表面积与圆锥的侧面积之比为：，故A正确；
由题意可得点，是边，的中点，
，平面，平面，
平面，平面截得圆锥侧面的交线形状为抛物线，故B正确；
由题意可得四面体被平面截成体积相等的两部分，
设到平面的距离为，
即，故C错误；
由题意可得，，，
则有，即，因此，
由均值不等式得：，即，
当且仅当时取“”，故D正确．
故选：．
利用空间几何体的性质，依据每个选项的条件逐项计算，可判断其正确性．
本题考查空间几何体的表面积与体积的计算，考查线段和的最大值，属中档题．
13.【答案】
【解析】解：已知，，解得，
故答案为：．
根据已知的条件，利用两角和的正切公式可得，解方程求得的值．
本题主要考查两角和的正切公式的应用，属于基础题．
14.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查二项展开式的通项公式．
根据二项展开式的通项公式求得第项，令的指数为得常数项．
【解答】
解：展开式的通项为，
令得，
故展开式的常数项为，
故答案为．
15.【答案】
【解析】解：设事件表示“从号罐子中取出的球是红球”，事件表示“从号罐子中取出的是红球”，事件表示“从号罐子中取出的是黑球”，
则，，，，
所以，．
故答案为：．
设事件表示“从号罐子中取出的球是红球”，事件表示“从号罐子中取出的是红球”，事件表示“从号罐子中取出的是黑球”，则，，，，再利用全概率公式求解即可．
本题主要考查了全概率公式，属于基础题．
16.【答案】
【解析】解：令，，
则，
由得，由得，由得，
在上单调递增，在上单调递减，
当时，取得极小值也是最小值，即，
在上恒成立，
，，
由得，当且仅当，，即，时等号成立，
又存在实数，使得，
故当，时使得成立，此时．
故答案为：．
构造函数，，可得在上单调递增，在上单调递减，即在上恒成立，结合题意可得，，利用不等式基本性质得，当且仅当，，即，时等号成立，可得当，时使得成立，即可得出答案．
本题考查利用导数研究函数的单调性，考查转化思想和函数思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
17.【答案】解：因为，，所以，
所以，
所以数列是以为首项，为公差的等差数列，
所以，
所以；
故，．
证明：由得：
所以．
所以．
【解析】直接利用数列的递推关系式求出数列的通项公式及，．
利用的结论，进一步利用裂项相消法和放缩法求出结果．
本题考查的知识要点：数列的递推关系式，数列的通项公式的求法，数列的求和，裂项相消法和放缩法，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于中档题．
18.【答案】解：由．
结合正弦定理可得，
整理得，
所以，
因为，所以，
因为，所以，所以，
又因为，所以．
又，所以；
由余弦定理，得，
所以，
则，
所以，当且仅当“”时取得等号，
所以周长的最大值为．
【解析】由正弦定理可得，求解可得，可求；
由余弦定理可得，利用基本不等式可求的最大值，进而可求周长的最大值．
本题考查正余弦定理的应用，考查运算求解能力，属中档题．
19.【答案】解：假设：是否选择网红景点与性别没有关系．
由题意，补全列联表如下：
首选传统景区 首选网红景区 合计
男性
女性
合计
根据独立性检验公式可知，．
因为当成立时，的概率约为，
所以有的把握认为，是否首选网红景点与性别有关．
由题意知，随机变量服从二项分布．
，
，
，
，
，
故的分布列为：
所以的期望值．
【解析】根据独立性检验公式，计算即可；
由题意知，随机变量服从二项分布，写出分布列和期望即可．
本题考查离散型随机变量的应用，属于中档题．
20.【答案】解：证明：四棱台中，，延长后交于一点，故A，，，共面，
因为平面，平面，故AA，
连接，
因为底面四边形为菱形，故AC，
又，，平面，
故BD平面，
因为平面，
所以；
过点作的垂线交于点，以方向作为轴，以，方向为轴，以方向为轴，建立空间直角坐标系如图：
不妨设，则，
，，
点是棱上靠近点的三等分点，
，
则，
则，
记平面的法向量为，则，
即，令，则，即．
平面的法向量可取为，
由图知二面角为锐二面角，
故二面角的余弦值为．
【解析】连接，根据线面垂直的性质定理得到，再根据线面垂直的判定定理得到平面，进而证明；
过点作的垂线交与点，以作为轴，以，分别为轴，轴，建立空间直角坐标系，不妨设，构建平面的法向量为和．平面的法向量，再利用向量法求出二面角的余弦值即可．
本题考查线面垂直的判定定理和性质定理，二面角的求法，属于中档题．
21.【答案】解：离心率为，，即，则，
即，则双曲线方程为
双曲线经过点，
，得，
的方程为．
由题意，点坐标为，点坐标为，
设，
法一：
若直线斜率存在，设直线方程为，
，消去可得，
则且，
且．
整理可得，
即，
化简得，
即，
因为直线不过点，所以，所以，
所以直线的方程为，恒过定点．
若直线斜率不存在，则，．
则，
解得，所以直线的方程为，过定点．
综上，直线恒过定点．
法二：直线不过点，可设直线方程为．
由可得，
即，
即，
得，
等式左右两边同时除以得，
，
，解得．
所以直线方程为，恒过定点
设点到直线的距离为，点到直线的距离为，
．
【解析】根据离心率的定义得到，利用点在双曲线上代入求解即可，
设出直线方程，联立方程，利用设而不求思想，利用斜率关系进行转化求解即可．
本题主要考查双曲线的标准方程，以及直线和双曲线位置关系的应用，联立方程，利用韦达定理以及设而不求思想进行转化求解是解决本题的关键，是中档题．
22.【答案】解；已知，函数定义域为，
当时，，
可得，
当时，恒成立，单调递增，无减区间；
当时，
当时，，单调递减；
当时，，单调递增，
综上，当时，的单调递增区间为，无减区间；
当时，的单调递增区间为，单调递减区间为；
当时，，
因为，
所以，
又，
不妨设，
此时，
不妨设，函数定义域为，
则问题转化为在上有解，
因为，
当，即时，
恒成立，单调递增，
所以，
此时在上无解，不符题意，舍去；
当，即时，
因为在上单调递增，
所以，
则在上单调递减．
又，，
所以存在，使得，
此时在上单调递增，在上单调递减，
不妨令，
不妨设，函数定义域为，
可得，
而恒成立，
所以，
则，
即在上恒成立，
因为，
所以，
可得，
此时
，
因为，，，
且在上单调递增，在上单调递减，
所以必有，存在，，符合题意，
综上，，
故的取值范围为．
【解析】由题意，将代入函数解析式中，对函数进行求导，利用导数的几何意义对和这两种情况进行讨论，进而可得函数的单调性；
将代入函数的解析式中，结合所给条件，构造函数，将问题转化为在上有解，对函数进行求导，分别讨论当和这两种情况下函数的单调性，进而即可求解．
本题考查利用导数研究函数的单调性，考查了逻辑推理、转化思想和运算能力．
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