第二章 2.2基本不等式 第1课时(共30张PPT)

(共30张PPT)
第二章一元二次函数、方程、不等式
2.2 基本不等式第1课时
人教版（2019A)
教学目标
学习目标 数学素养
1.理解基本不等式及其推导过程，明确基本不等式成立的； 1.基本不等式的意义的理解.
2.会用比较法、分析法和综合法证明简单不等式； 2.逻辑推理能力.
3.会用基本不等式求最大值和最小值 3.数学模型的思想.
新知导入
温故知新
1.基本事实：
a-b>0 a>b; a-b=0 a=b; a-b<0 a2.不等式性质：
性质1 a ＞ b b ＜a （对称性）
性质2 a ＞ b，b>c a>c （传递性）
性质3 a>b a+c>b+c（可加性）
推论 a+b>c a>c-b （移项法则）
性质4 a>b,c>0 ac>bc;a>b,c<0 ac性质5 a>b,c>d a+c>b+d （同向可加性）
性质6 a>b>0,c>d>0 ac>bd （正数同向可乘性）
性质7 a>b>0 an>bn (n∈N+,n≥2) （正数可乘方性）
问题导入
3.不等式的证明方法：作差法、分析法、综合法
温故知新
4.重要不等式：a2+b2≥2ab(当且仅当a=b时等号成立）
D
A
B
C
G
H
F
E
a
b
问题探究：当a>0,b>0时，用 ， 分别替换重要不等式中的a,b,可以得到什么结论？
a + b ≥2 （当且仅当a=b时等号成立）
（当且仅当a=b时等号成立）
基本不等式
新知探究
文字语言：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数。
基本不等式： （当且仅当a=b时等号成立）
几何平均数
算术平均数
重要不等式：a2+b2≥2ab(当且仅当a=b时等号成立）
想一想：重要不等式中a,b的取值范围是什么？
a,b∈R
1.基本不等式中a,b的取值范围是：
2.基本不等式取等号的条件是：
a>0b>0
a=b
3.概念：把 叫做算术平均数，把 叫做几何平均数.
新知探究
基本不等式： （当且仅当a=b时等号成立）
证明：要证
只要证
a+b ≥
只要证
a+b- ≥0
只要证
（ - ）2≥0
显然
（ - ）2≥0 成立，当且仅当a=b时等号成立.
所以 成立.
思考：你还能不能找到基本不等式的其它证明方法？
新知探究
基本不等式： （当且仅当a=b时等号成立）
思考：
在右图中，AB是圆的直径，点C是AB上的一点，AC=a,BC=b.过点C作垂直于AB的弦DE，连接AD、BD.
根据圆的性质，我们知道：
半径不小于半弦
从而得到：
新知探究
基本不等式： （当且仅当a=b时等号成立）
基本不等式的几个变形：
⑴ （当且仅当a=b时等号成立）
⑵ （当且仅当a=b时等号成立）
两边同乘以2
两边同时平方
新知探究
基本不等式： （当且仅当a=b时等号成立）
基本不等式的几个变形：
⑵ （当且仅当a=b时等号成立）
⑴ （当且仅当a=b时等号成立）
⑶ （当且仅当a=b时等号成立）
仿照得
⑴式两边同除以
新知探究
基本不等式： （当且仅当a=b时等号成立）
基本不等式的几个变形：
⑵ （当且仅当a=b时等号成立）
⑴ （当且仅当a=b时等号成立）
⑶ （当且仅当a=b时等号成立）
仿照得
⑷ （当且仅当a=b时等号成立）
⑸ （当且仅当a=b时等号成立）
新知探究
基本不等式： （当且仅当a=b时等号成立）
推广：若a1,a2,…,an∈R+，则 （当且仅当a1=a2=…=an时等号成立）.
新知探究
例1 若x>0 ，求 的最小值.
分析：∵x>0,
我们把 分别看成a和b,得到 =2,当且仅当 时，即x=1时，等号成立，就得到y的最小值为2.
在 （当且仅当a=b时等号成立）中
各项均为正数
积为定值
验证等号成立
解：∵x>0，由基本不等式得
当且仅当 时，即x=1时等号成立.
∴ 的最小值为2.
新知探究
变式：若x<0,求 的最大值.
①各项皆为正数；
②积为定值；
③注意等号成立的条件.
“一正二定三相等”
利用基本不等式求最值时，要注意：
新知探究
例2 已知x，y都是正数，求证：
⑴如果积xy为定值P,那么当x=y时，和x+y有最小值 ;
⑵如果和x+y为定值S,那么当x=y时，积xy有最大值 .
分析：仿例1，利用基本不等式可证.
证明：⑴∵x，y都是正数，由基本不等式得
当且仅当x=y时等号成立,即和x+y有最小值 .
⑵∵x，y都是正数，由基本不等式得 ，即
当且仅当x=y时等号成立,即积xy有最大值 .
新知探究
积定，和有最小值
和定，积有最大值
新知探究
例3 ⑴已知0分析：⑴ ∵0当且仅当2x=3-2x即x= 时等号成立，就可以求出最大值 .
解：⑴∵0当且仅当2x=3-2x即x= 时等号成立，所以x(3-2x)的最大值为
注意：变形是关键，目标 “一定二正三相等”.
新知探究
⑵ 的最小值为 .
分析： ∵x2+1≥1,∴
当且仅当(x2+1)2=2时等号成立，就可以求出最小值 .
解：⑵∵x2+1≥1,∴
当且仅当(x2+1)2=2即x2= 时等号成立，即 的最小值
为 .
注意：变形是关键，目标 “一定二正三相等”.
新知探究
例4 已知a>0,b>0,a+b=1,求证： .
分析： 将式子 展开，再探究证明方法.
证法1：∵a>0,b>0,a+b=1，
∴
又∵ ，∴ ， .
故 ，当且仅当a=b= 时等号成立.
新知探究
证法2：∵a>0,b>0,a+b=1，
∴ ，同理可得 .
则 ，
故 当且仅当a=b= 时等号成立.
初试身手
×
×
√
√
初试身手
初试身手
初试身手
初试身手
初试身手
初试身手
课堂总结
1.重要不等式：对 a,b∈R,a2+b2≥2ab(当且仅当a=b时等号成立）
2.基本不等式： （当且仅当a=b时等号成立）
3.利用基本不等式求最值时一定要同时满足“一正二定三相等”的条件.
4.化归转化变形是关键.
5.掌握不等式证明的基本方法.
作业布置
作业：p48-48 习题2.2 1,2,4,5.
选做题：
尽情享受学习数学的快乐吧！
我们下节课再见！