北师大版必修1示范教案4.1.1利用函数性质判定方程解的存在

第四章　函数应用
函数的应用是学习函数的一个重要方面．学生 ( http: / / www.21cnjy.com )学习函数的应用，目的就是利用已有的函数知识分析问题和解决问题．通过函数的应用，对完善函数的思想，激发应用数学的意识，培养分析问题、解决问题的能力，增强实践的能力等，都有很大的帮助．
本章主要内容：函数与方程、实际问题的函数建模．在函数与方程这一节中课本从学生最熟悉的二次函数入手，通过研究方程的根与函数的零点的关系，使函数的图像与性质得到充分的应用，同时也展现了函数和方程的密切关系．求函数零点的近似解不仅展示了数学方法的严谨性、科学性，也为计算机的应用提供了广阔的空间．让学生进一步受到数学思想方法的熏陶，激发学生的学习热情．
在实际问题的函数建模这一节中让学生近距离接 ( http: / / www.21cnjy.com )近社会生活，从生活中学习数学，使数学在社会生活中得到应用和提高，让学生体会到数学是有用的，从而培养学生的学习兴趣．“数学建模”也是高考考查的重点．
本章还是数学思想方法的载体，学生在学习中会经常用到“函数方程思想”“数形结合思想”“转化思想”，从而提高自己的数学能力．
因此应从三个方面把握本章：(1)知识间的联系；(2)数学思想方法；(3)认知规律．
本章教学时间约需6课时，具体分配如下(仅供参考)：
§1函数与方程 约2课时
§2实际问题的函数建模 约3课时
本章复习 约1课时
§1　函数与方程
1．1　利用函数性质判定方程解的存在
教学分析　　　　　
函数作为高中的重点知识有着广泛应用，与其他数学内容有着有机联系．课本选取探究具体的一元二次方程的根与其对应的二次函数的图像与x轴的交点的横坐标之间的关系作为本节内容的入口，其意图是让学生从熟悉的环境中发现新知识，使新知识与原有知识形成联系．本节设计特点是由特殊到一般，由易到难，这符合学生的认知规律；本节体现的数学思想是：“数形结合”思想和“转化”思想．本节充分体现了函数图像和性质的应用．因此，把握课本要从三个方面入手：新旧知识的联系，学生认知规律，数学思想方法．另外，本节也是传统数学方法与现代多媒体完美结合的产物．
三维目标　　　　　
1．让学生明确“方程的根”与“函数的零点”的密切联系，学会结合函数图像性质判断方程根的个数，学会用多种方法求方程的根和函数的零点．
2．通过本节学习让学生掌握“由特殊到一般”的认知规律，在今后学习中利用这一规律探索更多的未知世界．
3．通过本节学习不仅让学生学会数学知识和认 ( http: / / www.21cnjy.com )知规律，还要让学生充分体验“数学语言”的严谨性，“数学思想方法”的科学性，体会这些给他们带来的快乐．
重点难点　　　　　
根据二次函数图像与x轴的交点的个数判断一元二次方程的根的个数；函数零点的概念．
课时安排　　　　　
1课时
导入新课　　　　　
思路1.(情境导入)
据新华社体育记者报道：昨晚足球比赛跌宕起伏，球迷经历了大喜到大悲，再到大喜的过程(领先则喜，落后即悲)．请问：整场足球比赛出现几次“比分相同”的时段？学生思考或讨论回答：
三次：(1)开场；(2)由领先到落后必经过“比分相同”时段；(3)由落后到领先必经过“平分”时段．
教师点拨：足球比赛有“落后 ( http: / / www.21cnjy.com )”“领先”“比分相同”，函数值有“负”“正”“零”，函数图像与足球比赛一样跌宕起伏．由此导入课题，为后面的学习埋好伏笔．
思路2.(事例导入)
(多媒体动画演示)一枚炮弹从地面发射后，炮弹的高度随时间变化的函数关系式为h＝20t－5t2，问炮弹经过多少秒回到地面？
炮弹回到地面即高度h＝0，求方程20t－5t2＝0的根，得t＝4秒．如图1.
图1
思路3.(直接导入)
教师直接点出课题：上一章我们研究函数的图像性质，这一节我们讨论函数的应用，方程的根与函数的零点．
推进新课　　　　　
①求方程x2－2x－3＝0的根，画函数y＝x2－2x－3的图像.
②求方程x2－2x＋1＝0的根，画函数y＝x2－2x＋1的图像.
③求方程x2－2x＋3＝0的根，画函数y＝x2－2x＋3的图像.
④观察函数的图像发现：方程的根与函数的图像和x轴交点的横坐标有什么关系？
⑤如何判断一元二次方程根的个数？如何判断二次函数图像与x轴交点的个数？它们之间有什么关系？
⑥归纳函数零点的概念.
⑦怎样判断函数是否有零点？
⑧函数的图像不易画出，又不能求相应方程的根时，怎样判断函数是否有零点？
活动：先让学生思考或讨论后再回答，经教师提示、点拨，对回答正确的学生及时表扬，对回答不准确的学生提示引导考虑问题的思路：
①先求方程的两个根，找出抛物线的顶点，画出二次函数的图像(图2)．
图2　 　图3 　　图4
②方程有一个根，说明抛物线的顶点在x轴上(图3)．
③方程没有实数根，抛物线与x轴没有交点，找出抛物线的顶点是画二次函数图像的关键(图4)．
④方程的根与函数的图像和x轴交点的横坐标都是实数．
⑤对于其他函数这个结论正确吗？
⑥函数的零点是一个实数．
⑦可以利用“转化思想”．
⑧足球比赛中从落后到领先是否一定经过“平分”？由此能否找出判断函数是否有零点的方法？函数图像穿过x轴则有零点，怎样用数学语言描述呢？
讨论结果：①方程的两个实数根为－1,3，图像如图2.
②方程的实数根为1，图像如图3.
③方程没有实数根，图像如图4.
④方程的根就是函数的图像与x轴交点的横坐标．
⑤一元二次方程根的个数，就是二次函数图 ( http: / / www.21cnjy.com )像与x轴交点的个数，可以用判别式来判定一元二次方程根的个数．a.当Δ＞0时，一元二次方程有两个不等的实根x1，x2，相应的二次函数的图像与x轴有两个交点(x1,0)、(x2,0)；b.当Δ＝0时，一元二次方程有两个相等的实根x1＝x2，相应的二次函数的图像与x轴有唯一的交点(x1,0)；c.当Δ＜0时，一元二次方程没有实根，相应的二次函数的图像与x轴没有交点．
⑥一般地，对于函数y＝f(x)，我们把使f(x)＝0的实数x叫作函数y＝f(x)的零点．
⑦方程f(x)＝0有实根函数y＝f(x)的图像与x轴有交点函数y＝f(x)有零点．
⑧观察二次函数f(x)＝x2－2x－3的图像，我们发现函数f(x)＝x2－2x－3在区间[－2,1]上有零点．计算f(－2)与f(1)的乘积，发现这个乘积特点是小于零．在区间[2,4]同样如此．可以发现，f(－2)f(1)＜0，函数y＝x2－2x－3在区间(－2,1)内有零点x＝－1，它是方程x2－2x－3＝0的一个根．同样地，f(2)f(4)＜0，函数y＝x2－2x－3在(2,4)内有零点x＝3，它是方程x2－2x－3＝0的另一个根．因此可得以下结论：
若函数y＝f(x)在闭区间[a，b ( http: / / www.21cnjy.com )]上的图像是连续曲线，并且在区间端点的函数值符号相反，即f(a)f(b)＜0，则在区间(a，b)内，函数y＝f(x)至少有一个零点，即相应的方程f(x)＝0在区间(a，b)内至少有一个实数解．
思路1
例1 已知函数f(x)＝3x－x2，问：方程f(x)＝0在区间[－1,0]内有没有实数解？为什么？
活动：学生回想判断函数零点的方法：解方程法和定理法．由于本题中方程f(x)＝0无法解，故用定理法，判断f(－1)f(0)＜0是否成立．
解：因为f(－1)＝3－1－(－1)2＝－＜0，
f(0)＝30－(0)2＝1＞0，
函数f(x)＝3x－x2的图像是连续曲线，所以f(x)在区间[－1,0]内有零点，即f(x)＝0在区间[－1,0]内有实数解．
点评：本题主要考查函数零点的概念及其判断方法．当无法解方程f(x)＝0时，通常用定理法判断函数零点的存在性.
变式训练
1. 判断函数y＝|x－1|－2零点的个数．
解：通过分类讨论把绝对值函数转化为分段函数，作出函数图像(图5)，
图5
函数y＝|x－1|－2的图像与x轴有两个交点，所以函数y＝|x－1|－2有两个零点．
2．求证：函数f(x)＝2x2－3x－2有两个零点．
证法一：因为一元二次方程2x2－3x－2＝0的判别式Δ＝32＋4×2×2＝25＞0，
所以一元二次方程2x2－3x－2＝0有两个不相等的实根．所以函数f(x)＝2x2－3x－2有两个零点．
证法二：因为一元二次方程2x2－3x－2＝0可化为(2x＋1)(x－2)＝0，
所以一元二次方程2x2－3x－2＝0有两个不相等的实根x1＝2，x2＝－.
所以函数f(x)＝2x2－3x－2有两个零点．
证法三：因为函数f(x)＝2x2－3x－2的图像是一条开口向上的抛物线，且顶点在x轴的下方，即f(0)＝－2＜0，所以函数f(x)＝2x2－3x－2有两个零点．如图6.
图6
点评：判断函数零点个数可以结合函数的图像．
方法：零点函数方程的根两图像的交点．
数学思想：转化思想和数形结合思想.
例2 判定方程(x－2)(x－5)＝1有两个相异的实数解，且一个大于5，一个小于2.
分析：转化判断函数f(x)＝(x－2)(x－5)－1在(－∞，2)和(5，＋∞)内各有一个零点．
解：考虑函数f(x)＝(x－2)(x－5)－1，有f(5)＝(5－2)(5－5)－1＝－1，f(2)＝(2－2)(2－5)－1＝－1.
又因为f(x)的图像是开口向上的抛物线(如图7)，所以抛物线与横轴在(5，＋∞)内有一个交点，在(－∞，2)内也有一个交点．
图7
所以方程(x－2)(x－5)＝1有两个相异的实数解，且一个大于5，一个小于2.
点评：这里说“若f(a)·f(b) ( http: / / www.21cnjy.com )＜0，则在区间(a，b)内，方程f(x)＝0至少有一个实数解”，指出了方程f(x)＝0实数解的存在，并不能判断具体有多少个实数解.
变式训练
关于x的方程x2－ax＋a2－7＝0的两个根一个大于2，另一个小于2，求实数a的取值范围．
图8
解：设f(x)＝x2－ax＋a2－7，图像为开口向上的抛物线(如图8)．
因为方程x2－ax＋a2－7＝0的两个根一个大于2，另一个小于2，
所以函数f(x)＝x2－ax＋a2－7的零点一个大于2，另一个小于2.
即函数f(x)＝x2－ax＋a2－7的图像与x轴的两个交点在点(2,0)的两侧．
只需f(2)＜0，即4－2a＋a2－7＜0，所以－1＜a＜3.
思路2
例1 若方程2ax2－x－1＝0在(0,1)内有解，求实数a的取值范围．
活动：学生先思考或讨论，再回答．教师根据实际，可以提示引导：
①有解包括有一解和有两解，要分类讨论．
②用一般解法固然可以，若结合函数图像观察分析，可以找到捷径．
③有两种情况：a.a＝0；b.a≠0，Δ≥0.
解：令f(x)＝2ax2－x－1，
(1)当方程2ax2－x－1＝0在(0,1)内恰有一个解时，f(0)·f(1)＜0或a≠0且Δ＝0，
由f(0)·f(1)＜0，得(－1)(2a－2)＜0，所以a＞1.由Δ＝0，得1＋8a＝0，a＝－，
所以方程为－x2－x－1＝0，即x＝－2 (0,1)(舍去)．综上可得a＞1.
(2)当方程2ax2－x－1＝0在(0,1)内有两个解时，则
或
容易解得实数a不存在．
综合(1)(2)，知a＞1.
变式训练
若方程ax2＋3x＋4a＝0的根都小于1，求实数a的取值范围．
解：(1)当a＝0时，x＝0满足题意．
(2)当a≠0时，设f(x)＝ax2＋3x＋4a.
方法一：若方程ax2＋3x＋4a＝0的根都小于1，则
∴∴0＜a≤.
综上(1)(2)，得0≤a≤.
方法二：若方程ax2＋3x＋4a＝0的根都小于1，则
∴
即解得0＜a≤.
综上(1)(2)，得0≤a≤.
点评：有两种方法：(1)结合函数图像利用函数符号列不等式组．
(2)代数方法，利用根与系数关系结合判别式列不等式组.
例2 已知函数f(x)＝3x＋，
(1)判断函数零点的个数；
(2)找出零点所在区间.
解：(1)设g(x)＝3x，h(x)＝－，
作出它们的图像(图9)，两函数图像交点的个数即为f(x)零点的个数．
图9
所以两函数图像有且仅有一个交点，即函数f(x)＝3x＋有且仅有一个零点．
(2)因为f(0)＝－1，f(1)＝2.5，所以零点x∈(0,1)．
变式训练
证明函数f(x)＝2x＋4x－4有且仅有一个零点．
证明：利用计算机作出x，f(x)的对应值表：
x －1 0 1 2 3 4 5 6 7
f(x) －7.5 －3 2 8 16 28 48 84 172
图10
由表和图10可知，f(0)＜0，f(1)＞0，
则f(0)f(1)＜0，这说明f(x)在区间(0,1)内有零点．下面证明函数在定义域(－∞，＋∞)内是增函数．
设x1、x2∈(－∞，＋∞)，且x1＜x2，
f(x1)－f(x2)＝2x1＋4x1－4－(2x2＋4x2－4)＝2x1－2x2＋4(x1－x2)＝2x2 (2x1－x2－1)＋4(x1－x2)．
∵x1＜x2，∴x1－x2＜0,2x1－x2－1＜0,2x2＞0.
∴f(x1)－f(x2)＜0.
∴函数在定义域(－∞，＋∞)内是增函数．
则函数f(x)＝2x＋4x－4有且仅有一个零点.
1．讨论函数y＝ex＋4x－4的零点的个数．
活动：鼓励学生说出自己的见解，并说明理由．函数零点问题是函数的重要应用，离不开函数的图像和性质．
(1)利用f(a)f(b)＜0及函数的单调性．
(2)作出y＝ex和y＝4－4x的图像，把函 ( http: / / www.21cnjy.com )数y＝ex＋4x－4的零点的个数转化为方程ex＝4－4x根的个数，再转化为上述两函数图像交点的个数．
解：(方法一)利用计算机作出x，f(x)的对应值表：
x 0 1
f(x) －3 2.718 28
由表可知，f(0)＜0，f ( http: / / www.21cnjy.com )(1)＞0，则f(0)f(1)＜0，这说明f(x)在区间(0,1)内有零点，由于函数在定义域(－∞，＋∞)内是增函数，
图11
所以它仅有一个零点．
(方法二)作出y＝ex和y＝4－4x的图像(图11)，即可直观地看出零点的个数为1.
总结点评：讨论函数零点个 ( http: / / www.21cnjy.com )数问题是函数的重要应用，由于函数与方程的特殊关系，所以这个问题常用的方法是：(1)解方程；(2)画图像；(3)利用f(a)f(b)＜0及函数的单调性；同时这些方法是有机联系的．
2．已知m∈R，设P：x1和x2是方程 ( http: / / www.21cnjy.com )x2－ax－2＝0的两个根，不等式|m－5|≤|x1－x2|对任意实数a∈[1,2]恒成立；Q：函数f(x)＝3x2＋2mx＋m＋有两个不同的零点，求使P和Q同时成立的实数m的取值范围．
解：由题意知x1＋x2＝a，x1x2＝－2，
∴|x1－x2|＝＝.
当a∈[1,2]时，的最小值为3.
要使|m－5|≤|x1－x2|对任意实数a∈[1,2]恒成立，只需|m－5|≤3，即2≤m≤8.
由已知得Q中：f(x)＝3x2＋2mx＋m＋的判别式Δ＝4m2－12＝4m2－12m－16＞0，得m＜－1或m＞4.
综上，要使P和Q同时成立，只需解得实数m的取值范围是(4,8]．
问题：如果函数y＝f(x)在区间[a， ( http: / / www.21cnjy.com )b]上的图像是连续不断的一条曲线，并且f(a)f(b)＞0，那么函数y＝f(x)在区间(a，b)内是否有零点？可能有几个零点？
活动：学生先思考或讨论，再回答．利用函数图像进行探索分析：
①有没有零点？②零点的个数是奇数还是偶数？
解：零点个数可以是任意自然数．下面讨论在区间[－3,3]上函数零点个数，
(1)可能没有零点如图12.
图12 图13
(2)可能有一个零点如图13.
(3)可能有两个零点如图14.
图14 　　　　图15
(4)可能有三个零点如图15.
(5)可能有n(n∈N＋)个零点，图略．
点评：在区间[－3,3]上函数零点个数可以是任意自然数．借助计算机可以验证同学们的判断，激发学生学习的兴趣．
本节学习了：①零点的概念；②零点的判断方法；③利用函数的单调性证明零点的个数；④零点的应用．
学习方法：由特殊到一般的方法．
数学思想：转化思想、数形结合思想．
课本练习2、3.
本节以事例导入，该事例是学生很感兴 ( http: / / www.21cnjy.com )趣的话题，发人深思而紧贴本节主题，为后面讲解埋好了伏笔．因为二次函数、二次方程永远是高考的重点，所以本节结合二次函数的图像性质详实讨论了有关二次函数的零点和二次方程的根的问题．本节不仅选用了一些传统经典的题目进行方法总结，还搜集了一些最新的高三模拟题加以充实提高．另外，本节目的明确、层次分明、难度适中，对学生可能产生兴趣的问题进行了拓展，希望大家喜欢．
[备选例题]
求下列函数的零点，并画出函数的图像．
(1)y＝－x2－x＋2；(2)y＝(x2－2)(x2－3x＋2)．
活动：教师点拨提示：求函数的零点可转化为求相应方程的根．
解：(1)如图16，令y＝0，即－x2－x＋2＝0，
解得x1＝－2，x2＝1.所以所求函数的零点为－2,1.
(2)如图17，令y＝0，即(x2－2)(x2－3x＋2)＝0，
解得x1＝，x2＝－，x3＝1，x4＝2.
所以所求函数的零点为，－，1,2.
图16 　　　　图17