2022-2023学年江苏省连云港市高二下学期6月检测数学试卷（PDF版含解析）

2022-2023学年江苏省连云港市高二下学期 6月检测试卷
数学试题
第 I卷（选择题）
一、单选题（本大题共 8小题，共 40分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 函数 在区间上单调递减．( )
A. B. C. D.
2. 已知函数 的图象在 处的切线方程为 ，则
( )
A. B. C. D.
3. 在 道题中有 道数学题和 道物理题，如果不放回地依次抽取 道题，则在第一次抽到数
学题条件下，第二次抽到数学题的概率是 ( )
A. B. C. D.
4. 若函数 在区间 内单调递增，则实数 的取值范围是 ( )
A. B. C. D.
5. 某地计划在 月 日至 月 日举办“菊花花会”，如图是某展区的一个菊花布局图，现
有 个不同品种的菊花可供选择摆放，要求相邻的两个展区不使用同一种菊花，则不同的布置
方法有 ( )
A. 种 B. 种 C. 种 D. 种
6. 函数 的图像大致为 ( )
A. B.
C. D.
7. 有 种不同颜色的涂料，给图中的 个区域涂色，要求相邻区域的颜色不相同，则不同的
涂色方法共有( )
A. 种 B. 种 C. 种 D. 种
8. 若对任意的 、 ，且 ，
，则 的最小值是( )
A. B. C. D.
二、多选题（本大题共 4小题，共 20分。在每小题有多项符合题目要求）
9. 下列等式中，正确是( )
A. B.
C.
D.
10. 已知
，则( )
A. 展开式中所有项的二项式系数和为 B. 展开式中所有奇次项系数和为
C. 展开式中所有偶次项系数和为
D.
11. 下列说法正确的有 ( )
A. 曲线 在点 处的切线方程为 ．
B. 已知函数 在 处取得极值，则函数 的极小值为 ．
C. 已知函数 的图象与 轴恰有两个公共点，则 或 ．
D. 若函数 有两个不同的极值点，则实数 的取值范围是 ．
12. 已知函数 ，则以下结论正确的是 ( )
A. 函数 的单调减区间是
B. 函数 有且只有 个零点
C. 存在正实数 ，使得 成立
D. 对任意两个正实数 ， ，且 ，若 则
第 II卷（非选择题）
三、填空题（本大题共 4小题，共 20分）
13. 过点 作曲线 的切线，则切线方程是 ．
14. 二项式 的展开式中常数项是__________．
15. 已知函数 ，若函数 至少有两个零点，则 的取值范围是 ．
16. 已知 是函数 的导函数，在定义域 内满足 ，
且 ，若 ，则实数 的取值范围是 ．
四、解答题（本大题共 6小题，共 70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. 本小题 分
已知函数 ．
若 是 的极值点，求 的单调区间；
求 的取值范围，使得 恒成立．
18. 本小题 分
名师生站成一排照相留念，其中老师 名，男同学 名，女同学 名．
若两位女生相邻，但都不与老师相邻的站法有多少种？
若排成一排，其中甲不站最左边，乙不站最右边的站法有多少种？
现有 个相同的口罩全部发给这 名学生，每名同学至少发 个口罩，则不同的发放方法有
多少种？
19. 本小题 分
年是中国共产主义青年团成立 周年，某市团委决定举办一次共青团史知识擂台赛．该
市 县团委为此举办了一场选拔赛，选拔赛分为初赛和决赛，初赛通过后才能参加决赛，决
赛通过后将代表 县参加市赛．已知 县甲、乙、丙 位选手都参加初赛且通过初赛的概率均
为 ，通过初赛后再通过决赛的概率依次为 ， ， ，假设他们之间通过与否互不影响．
求这 人中至少有 人通过初赛的概率；
设这 人中参加市赛的人数为 ，求 的分布列；
某品牌商赞助了 县的这次共青团史知识擂台赛，提供了两种奖励方案：
方案 ：参加了选拔赛的选手都可参与抽奖，每人抽奖 次，每次中奖的概率均为 ，且每次抽
奖互不影响，中奖一次奖 元；
方案 ：参加了选拔赛未进市赛的选手一律奖 元，进入了市赛的选手奖 元．
若品牌商希望给予选手更多的奖励，试从三人奖金总额的数学期望的角度分析，品牌商选择
哪种方案更好．
20. 本小题 分
如图所示，某小区有一个半径为 米、圆心角为 的扇形花圃 ，点 ， 在弧 上，
且 小区物业计划在弓形 区域 阴影部分 种植观赏植物， 区域种植花
卉，其余区域种植草皮 已知种植观赏植物的成本是每平方米 元，种植花卉的成本是每平方
米 元，种植草皮的成本是每平方米 元 记 ， ．
用 表示弓形 的面积
求种植总费用的最小值及相应 的值．
21. 本小题 分
已知二项式 ．
若它的二项式系数之和为 ．
求展开式中二项式系数最大的项；
求展开式中系数最大的项；
若 ，求二项式的值被 整除的余数．
22. 本小题 分
已知函数 ， ，
设 的导函数为 ，试讨论 的零点个数
设
， 当 时，若
恒成立，求实数 的取值范围．
答案和解析
1.【答案】
【解析】【分析】本题考查利用导数研究函数的单调性．
求出导函数，由 解不等式求解，然后选择即可．
【解答】由函数解析式知定义域是 ，
又 ，由 ，解得 ，
故函数的单调递减区间是 ， ，
是 是真子集，故选 D．
2.【答案】
【解析】【分析】本题考查切线方程问题，属于基础题目．
根据导数的几何意义可得 ，从而可得 的值，再利用切点在曲线也在切线上，可得 的
值，即可求得答案．
【解答】因为 ，所以 ．
又 的图象在 处的切线方程为 ，
所以 ，解得 ，
则 ，所以 ，切点为
代入切线方程得 ，解得 ，故 ．故选： ．
3.【答案】
【解析】【分析】本题考查条件概率的计算，属于基础题．
分析出第一次抽到数学题条件下，剩余试题的特征，从而即可求出概率．
【解答】在第一次抽到数学题的条件下，还剩下 道试题，其中有 道数学题和 道物理题，
因此第二次抽到数学题的概率 ．故选 B．
4.【答案】
【解析】【分析】本题考查已知单调性求参问题，以及恒成立问题，属于中档题目．
求出函数的导数，将问题转化为 在 恒成立，令 ，求出 的
取值范围，从而可求得 的取值范围．
【解答】由函数 ，
可得 ，
若 在区间 内单调递增，
则 在 上恒成立，
即 在 上恒成立，
令
由于 ，
故 ，即实数 的取值范围是 ．故选： ．
5.【答案】
【解析】【分析】本题考查两种计数原理的应用，排列问题，属于中档题．
先放 ，分 、 选则同一种花和不同种花两种情况，再考虑 、 ，由分步乘法和分类加法原理可
得答案．
【解答】先放 ，共有 种选择，
若 、 选择同一种花，有四种选择，剩下的 、 均有三种选择，共 种，
若 、 选择不同种花，有 种选择，剩下的 、 均有两种选择，共
种，
故共有 种．故本题选 D．
6.【答案】
【解析】【分析】本题考查函数图像的判定，涉及利用导数研究函数的单调性和函数的零点，属
中档题，
求出函数 的导数，并利用导数研究函数的单调性，进而做出判断即可．
【解答】 ，
令 ，即 ，
与 的图像有 个交点，即 有 个零点，
不妨设为 ，
易知在 和 上 单调递增，在 上 单调递减，排除 ， ；
，排除 ，故选 D．
7.【答案】
【解析】
【分析】本题考查两个计数原理的综合应用，属于中档题．
先涂 区域，则有 种方法，再按 ， 区域涂相同颜色的涂料与不同颜色的涂料分类，结合两个计
数原理可得．
【解答】 先涂 区域，则有 种方法，
若 ， 区域涂相同颜色的涂料，则有 种方法， ， ， 区域分别有 种方法，
根据分步乘法原理，共有 种方法；
先涂 区域，则有 种方法，
若 ， 区域涂不同颜色的涂料，则有 种方法，则 区域有 种方法， ， 分别有 种方法，
根据分步乘法原理，共有 种方法．
故不同的涂色方法共有 种．故选 D．
8.【答案】
【解析】
【分析】本题考查了函数的单调性问题，考查函数恒成立以及转化思想，考查导数的应用，属于
较难题．
问题等价于 ，令 ，根据函数的单调性求出 的范围即可．
【解答】由已知 ， ，
等价于 ，
即 ，
，
，
令 ，则 ，又
，
在 是减函数，
由 ，得 ，即减区间为
则 ．故选 D．
9.【答案】
【解析】【分析】本题考查排列数公式，组合数公式应用，考查阶乘运算．
利用阶乘、排列组合数公式作转化判断各选项正误．
【解答】 ： ，正确；
： ，错误；
： ，正确；
：
，正确；故选 ACD．
10.【答案】
【解析】【分析】本题主要考查二项式定理的应用，注意根据题意，分析所给代数式的特点，通
过给二项式的 赋值，求展开式的系数和，可以简便的求出答案，属于中档题．
由题意利用二项式系数的性质，分析所给代数式的特点，得展开式中所有项的二项式系数和判断 ，
通过给二项式的 赋值，求展开式的系数和，从而即可判断 ．
【解答】
，
故所有项的二项式系数和为 ，故 A正确；
令 ，可得 ，
令 ，可得 ，
，并除以 ，可得展开式中所有偶次项系数和为 ，
故 C正确；
，并除以 ，可得 ，故 B错误；
令 ，可得
，而
，
，故 D正确，故选： ．
11.【答案】
【解析】【分析】
本题考查利用导数研究函数单调性、极值，导数几何意义，二次函性质，属于较难题．
利用导数几何意义可判断 ，利用导数研究函数极值，可判断 ， ，利用导数研究函数极值，再
结合二次函数性质可判断 ．
【解答】对于 ， ，又 ，
所以 在 处的切线方程为 ，化简得 ，故 A错误；
对于 ，因为 ，该函数的定义域为 ，
所以 ，
由已知条件可得 ，解得： ，
所以 ，
则 ，
列表如下：
递增 极大值 递减 极小值 递增
所以，函数 的极小值为 ，故 B正确；
对于 ，求导函数可得 ，
令 ，可得 或 令 ，可得 ，
函数在 ， 上单调递增，在 上单调递减，
函数在 处取得极大值，在 处取得极小值，
函数 的图象与 轴恰有两个公共点，
极大值等于 或极小值等于 ，
或 ，
或 ，故 C正确；
对于 ，因为函数 有两个不同的极值点，
所以 在 有 个不同的零点，
所以方程 在 上有两个不同的实根，
所以 ， 解得 ，
故实数 的取值范围是 ，故 D错误．故选 BC．
12.【答案】
【解析】【分析】本题考查利用导数研究函数的单调性，导数中的零点问题，导数中的不等式问
题，属于中档题．
求出导函数，得到单调性，可判断 ；分别构造函数，利用导数分析函数的单调性与最值，判断 ， ，
．
【解答】函数 定义域为 ，
，
当 时， ，故函数 单调递减，
当 时， ，故函数 单调递增，则 A正确；
令 ，
，
则函数 在 上单调递减，
又 ， ，
函数 有且只有 个零点，即 B正确；
，可得 ，
令 ，
则
，
令 ，则 ，
在 上单调递增，在 上单调递减，
， ，
在 上单调递减，
函数 无最小值，当 时， ，
不存在正实数 ，使得 恒成立，即 不正确；
因为 ，且 ，
由 可知， ，
令 ，
则 ，
则函数 在 上单调递减，
则 ，即 ，
则 ，
因为 ，则 ，
因为函数 在 上单调递增，
则 ，即 ．
故选 ABD．
13.【答案】
【解析】【分析】本题考查了利用导数研究曲线的切线方程，属于基础题．
设切点为 ，利用导数的几何意义求出切线的斜率，表示出切线方程，再将 代
入，求出 的值，可得结果．
【解答】令 ，则 ，
设切点为 ，则 ，
所以切线方程为 ，
代入 ，得 ，
解得： ，
所以切线方程为 ，整理得： ．
故答案为： ．
14.【答案】
【解析】【分析】本题考查了二项展开式的特定项与特定项的系数，考查了学生的运算能力，属
于基础题．
求出展开式的通项公式，然后令 的指数为 ，即可求解．
【解答】二项式的展开式的通项公式为 ，
令 ，解得 ，
则展开式的常数项为
．故答案为： ．
15.【答案】
【解析】【分析】本题考查函数零点问题，属于中档题目．
根据题意转化为 至少有两个不同的解，令 ，转化为函数 的图象与
至少有两个交点，求得 ，求得函数 单调性和极值，结合图象，即可
求解．
【解答】由题意，函数 至少有两个零点，即 至少有两个不同的解，
令 ，则函数 的图象与 至少有两个交点，
又由
，
令 ，解得 ，令 ，解得 或 ，
所以函数 在 上单调递减，在 上单调递增，
且 ， ，当 时， ，
作出函数 的图象，如图所示，
由图象可知， ，即实数 的取值范围是 ．
故答案为：
．
16.【答案】
【解析】【分析】本题考查利用导数证明不等式及求参问题，属于较难题目．
由 ，得
，利用 ，可求得
，
利用导数证明 在 上递增， 等价于 ，由单调性可
得结果．
【解答】由 ，
得
，
，
令 可得 ．
，
即 ， ，
令 ，
当 时， ，当 时， ，
所以 在 上单调递减，在 上单调递增，
，
，所以函数 在 上单调递增，
，
，
可得 ，解得 ，
即实数 的取值范围是 ．
故答案为： ．
17.【答案】 函数 的定义域为 ， ，
因为 是 的极值点，所以
，解得 ，
当 时， ，
令 ，得 或 ；令 ，得
所以函数 的单调增区间为 ，单调减区间为
要使得 恒成立，即 时 恒成立，
设 ，则 ，
当 时，由 得单调减区间为 ，由 得单调增区间为 ，
故 ，得 ；
当 时，由 得单调减区间为 ，
由
得单调增区间为 ， ，此时 ，不合题意；
当 时， 在 上单调递增，此时 ，不合题意；
当 时，由 得单调减区间为 ，由 得单调增区间为 ， ，
此时 ，不合题意；
综上所述：当 时， 恒成立．
【解析】本题考查利用导数研究函数的单调性，考查利用导数研究不等式恒成立问题，属于中档
题．
根据题意得出 ，求出 ，进而由 求得增区间，由 求得减区间；
根据题意将问题转化为 时 恒成立，设
，求出 ，分类讨论参数 ，得到 ，即可得到 的取值范围．
18.【答案】 先把除两位女生和老师这 人外的 人排好，有 种排法，
由于两名女生相邻，故再把两名女生排好，有 种排法，
最后把排好的女生这个整体与老师分别插入原先排好的 人之间及两端的 个空隙中，有 种排
法．故排法共有 种 ．
法一：甲在最右边时，其他的可全排，有 种方法；
甲不在最右边时，可从余下的 个位置任选一个，有 种，而乙可排在除去最右边的位置后剩下
的 个中任选一个有 种，其余人全排列，只有
种不同排法，
共有
种 ．
法二： 名学生全排列，只有 种方法，
其中甲在最左边时，有 种方法，乙在最右边时，有
种方法，
其中都包含了甲在最左边且乙在最右边的情形，有 种方法，
共有
种 ．
法一： 个相同的口罩，每位同学先拿一个，剩下的 个口罩排成一排有 个间隙，插入 块
板子分成 份，每一种分法所得 份给到 个人即可，所以不同的发放方法 种．
法二：先分发给每位学生 个口罩，再将剩下 只相同的口罩分给 位同学，有五类分法：
四只口罩分给 人，有 种分法；
四只口罩分成 ， ， 三份分给 人，有
种分法；
四只口罩分成 ， 两份分给 人，有 种分法；
四只口罩分成 ， 两份分给 人，有 种分法；
四只口罩分成 ， ， ， 四份分给 人，有 种分法；
则共有 种分法．
19.【答案】 人都没通过初赛的概率为 ，
所以这三人中至少有 人通过初赛的概率 ．
依题意 可能取值为 ， ， ， 设事件 表示“甲参加市赛”，事件 表示“乙参加市赛”，事件 表
示“丙参加市赛”，
则 ， ， ，
则 ，
，
，
，
所以 的分布列为：
方案 设三人中奖人数为 ，所获奖金总额为 元，则 ，
且 ∽ ，所以 元，
方案 记甲、乙、丙三人获得奖金之和为 元，则 的所有可能取值为 ， ， ， ，
由 知， 的分布列为：
则
，
因为 ，所以从三人奖金总额的数学期望的角度分析，品牌商选择方案 更好．
【解析】本题考查概率计算、考查离散型随机变量的分布列和期望，属于中档题．
利用对立事件的概率公式即可求解
依题意 可能取值为 ， ， ， 设事件 表示“甲参加市赛”，事件 表示“乙参加市赛”，事件 表
示“丙参加市赛”求出概率，列出分布列即可
分别求出两种方案的期望，比较即可作出判断．
20.【答案】 扇形 ，
，
马形 扇形 ， ．
设种植总费用为 元，由题意得，
令 ， ，
则 ，
令 得， ， ，
时， ， 单调递减，
时， ， 单调递增，
所以当 时， 取得最小值，此时 取得最小值，
，
故当 的值为 时，总种植费用取最小值
元
【解析】本题主要考查了实际应用问题，以及三角函数的最值问题，考查利用导数求函数的最值
问题，同时考查了转化能力和运算求解的能力，属于较难题．
根据扇形面积公式以及三角形面积公式即可求得；
令 ， ，求导求出 取得最小值，
可得 ，故得到答案．
21.【答案】 ， ．
所以二项展开式的通项为 ．
二项式系数最大的项为第 ， 项，
，
．
设展开式中系数最大的项为第 项，则
， ，
，解得 ，
所以 或 ，
所以展开式中系数最大的项为第 ， 项，
，
．
当 时， ，
因为
，
所以二项式的值被 整除的余数就是 被 整除的余数，
因为
，
所以 被 整除的余数为 ，
所以二项式的值被 整除的余数为 ．
【解析】本题考查二项式展开式，二项式的系数问题以及综合应用问题，属于较难题目．
先求出 的值， 由于展开式共有 项，所以二项式系数最大的项为第 ， 项， 设展开式中
系数最大的项为第 项，然后列不等式组可求得结果；
由于
，所以将
问题转化为 被 除的余数，而 ，从而可求得答案．
22.【答案】 ，令 ，
函数 的零点即为 的方程的根，令 ，
，
当 或 时， ， 单调递增，
当 时， ， 单调递减，
且 ， ，
时， ， 时， ，且当 或 时 ，当
时 ，则 的大致图象如图所示：
由数形结合可知，当 或
时， 有一个零点
当 或 时， 有两个零点
当 时， 有三个零点
当 时， 无零点．
当 时，若 成立，
即 对 恒成立，
即 对 恒成立，
亦即 对 恒成立，
设函数 ， 对 恒成立，又 ，
设 ， ，
当 时， ，此时点 在 上单调递减，当
时， ，此时 在 上单调递增，
，
在 上单调递增，又 ， 在 上恒成立，
令 ，则 ，
当 时， 在 上恒成立， ，此时满足已知条件，
当 时，由 ，解得 ，
当 时， ，此时 在 上单调递减，
当 时， ，此时 在 上单调递增，
的最小值 ，解得 ，
综上， 的取值范围是 ．