江苏省常州市教育学会2022-2023学年高二下学期期末数学试题（含答案）

常州市教育学会学业水平监测
高二数学
2023年6月
注意事项：
1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上.
2. 回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3. 考试结束后，将答题卡交回.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知z为复数，为z的共轭复数，且，则z的虚部是（ ）
A. 5i B. －5i C. 5 D. －5
2. 设a，b是两条不同的直线，，是两个不同的平面，则下列选项中能得出的是（ ）
A. ，， B. ，，
C. ，， D. ，，
3. 投掷3枚质地均匀的正方体骰子，观察正面向上的点数，则对于这3个点数，下列说法正确的是（ ）
A. 有且只有1个奇数的概率为
B. 事件“都是奇数”和事件“都是偶数”是对立事件
C. 在已知有奇数的条件下，至少有2个奇数的概率为
D. 事件“至少有1个是奇数”和事件“至少有1个是偶数”是互斥事件
4. 已知平面上的三点A，B，C满足，，向量与的夹角为，且，则实数（ ）
A. 0 B. 1 C. －2 D. 2
5. 一个不透明的盒子里装有10个大小形状都相同的小球，其中3个黑色、7个白色，现在3个人依次从中随机地各取一个小球，前一个人取出一个小球记录颜色后放回盒子，后一个人接着取球，则这3个人中恰有一人取到黑球的概率为（ ）
A. B. C. D.
6. 已知圆锥的高为1，体积为，则过圆锥顶点作圆锥截面的面积最大值为（ ）
A. B. 2 C. D.
7. 对一个十位数1234567890，现将其中3个数位上的数字进行调换，使得这3个数字都不在原来的数位上，其他数位上的数字不变，则可以得到不同的十位数（首位不为0）的个数为（ ）
A. 120 B. 232 C. 240 D. 360
8. 正四棱锥的底面边长为，各侧棱长为2，各顶点都在同一个球面上，则过球心与底面平行的平面截得的台体体积是（ ）
A. B. C. D.
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9. 已知复数，，，则下列说法正确的有（ ）
A. B.
C. 若，则 D. 若，则
10. 下列说法正确的有（ ）
A. 在中，，则为锐角三角形
B. 已知O为的内心，且，，则
C. 已知非零向量，满足：，，则的最小值为
D. 已知，，且与的夹角为钝角，则实数的取值范围是
11. 某课外兴趣小组在探究学习活动中，测得的10组数据如下表所示：
x 165 168 170 172 173 174 175 177 179 182
y 55 89 61 65 67 70 75 75 78 80
由最小二乘法计算得到线性回归方程为，相关系数为；经过观察散点图，分析残差，把数据去掉后，再用剩下的9组数据计算得到线性回归方程为，相关系数为.则（ ）
A. B. C. D. ，
12. 已知在棱长为4的正方体中，点O为正方形的中心，点P在棱上，下列说法正确的有（ ）
A.
B. 当直线AP与平面所成角的正切值为时，
C. 当时，点到平面的距离是
D. 当时，以O为球心，OP为半径的球面与侧面的交线长为
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 的展开式中二项式系数最大的项的系数是______.（用数字作答）
14. 在平面直角坐标系xOy中，已知，，以A为旋转中心，将线段AB按顺时针方向旋转，得到线段AC，则向量在向量上的投影向量的坐标是______.
15. 已知平面四边形ABCD，，，，则______.
16. 已知在矩形ABCD中，，，P为AB的中点，将沿DP翻折，得到四棱锥，则二面角的余弦值最小是______.
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.（10分）
设z是虚数，在平面直角坐标系xOy中，z，，对应的向量分别为，，.
（1）证明：O，B，C三点共线；
（2）若，求向量的坐标.
18.（12分）
如图，在六面体中，，平面菱形ABCD.
证明：（1）B，，，D四点共面；
（2）.
19.（12分）
在平面直角坐标系中三点A，B，C满足，，D，E分别是线段BC，AC上的点，满足，，AD与BE的交点为G.
（1）求的余弦值；
（2）求向量的坐标.
20.（12分）
某种季节性疾病可分为轻症、重症两种类型，为了解该疾病症状轻重与年龄的关系，在某地随机抽取了患该疾病的3s位病人进行调查，其中年龄不超过50岁的患者人数为s，轻症占；年龄超过50岁的患者人数为2s，轻症占.
（1）完成下面的列联表.若要有99%以上的把握认为“该疾病症状轻重”与“年龄”有关，则抽取的年龄不超过50岁的患者至少有多少人？
轻症 重症 合计
不超过50岁 s
超过50岁 2s
合计 3s
附：（其中），.
（2）某药品研发公司安排甲、乙两个研发团队分别研发预防此疾病的疫苗，两个团队各至多安排2个周期进行疫苗接种试验，每人每次疫苗接种花费元.甲团队研发的药物每次疫苗接种后产生抗体的概率为，根据以往试验统计，甲团队平均花费为.乙团队研发的药物每次疫苗接种后产生抗体的概率为，每个周期必须完成3次疫苗接种，若第一个周期内至少出现2次抗体，则该周期结束后终止试验，否则进入第二个疫苗接种周期.假设两个研发团队每次疫苗接种后产生抗体与否均相互独立.若，从两个团队试验的平均花费考虑，该公司应如何选择团队进行药品研发？
21.（12分）
记，.
（1）化简：；
（2）证明：的展开式中含项的系数为.
22.（12分）
如图，在多面体中，底面ABCD是菱形，且底面ABCD，，，点M在线段EF上.
（1）若M为EF的中点，求直线AM和平面BDE的距离；
（2）试确定M点位置，使二面角的余弦值为.
常州市教育学会学业水平监测
高二数学（参考答案）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.
1. D 2. A 3. C 4. D 5. D 6. B 7. B 8. C
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
9. AB 10. BD 11. BCD 12. ABD
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 252 14. 15. 16.
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17. 解：（1）设，，则，a，，
所以.……2分
，所以，
所以.……4分
又因为O为公共点，所以O，B，C三点共线.……5分
（2）因为，则，
又因为z是虚数，所以.
，所以.……10分
18. 证明：（1）由，平面，平面，
所以平面.……2分
又因为平面，平面平面，
所以.……4分
同理：，所以，
所以B，，，D四点共面.……6分
（2）菱形ABCD中，又因为平面平面ABCD，
且平面平面，平面ABCD，
所以平面.
因为平面，所以，
由（1）有，所以.……12分
19. 解：（1）因为，，
所以.……2分
又.……4分
.……6分
（2）由A，G，D三点共线，，
又.……8分
由平面向量基本定理，得.……10分
所以，所以.……12分
20.（1）列联表如下：
轻症 重症 合计
不超过50岁 s
超过50岁 2s
合计 3s
……2分
要有99%以上的把握认为“该疾病症状轻重”与“年龄”有关，则
.……4分
解得，由题意知，s的最小整数值为12.
所以抽取的年龄不超过50岁的患者至少有12人.……6分
（2）甲研发团队试验总花费为X元，根据以往试验统计得，
设乙研发团队试验总花费为Y元，则Y的可能取值为3t，6t，
所以，，
所以.……10分
因为，所以，
所以乙团队试验的平均花费较少，
所以该公司应选择乙团队进行研发.……12分
21.（1）.……2分
，
.……4分
右侧倒序相加得，，
所以.……6分
（2）的展开式中含项的系数为，
因为.……9分
所以含项的系数为：
.……12分
22.（1）连接BD交AC于O，取EF中点G，因为四边形ABCD为菱形，
所以，O为AC中点.
因为，，
所以四边形ACEF为平行四边形.
因为O，G分别为AC，EF中点，
所以.
因为平面ABCD，AC，平面ABCD，
所以，，
所以，.……3分
以O为原点，建立如图空间直角坐标系，则
，，，，，
所以，，设平面BDE的法向量，
，所以，所以，.……5分
，设A到平面BDE距离为d，
，，所以直线AM和平面BDE的距离为.……7分
（2）设，，，，，
设平面ADM，平面ABM的法向量分别为，，
，，取，.……9分
因为二面角的余弦值为，所以.
解得，（舍），即.……12分