(共6张PPT)
第二十三章 旋转
培优精练26 遇60°旋转60°
如图，在四边形ABCD中，AB＝BC，∠ABC＝60°，∠ADC＝30°，AD＝4，BD＝6，求CD的长．
解：把△BCD绕点C顺时针旋转60°得到△ACE，连接DE.如图，
∵AB＝BC，∠ABC＝60°，
∴△ABC是等边三角形．
∴∠ACB＝60°.
∴∠DCE＝60°，则AE＝BD＝6，△CDE是等边三角形．
∴CD＝CE＝DE，∠EDC＝60°.
∵∠ADC＝30°，AD＝4，
∴∠ADE＝∠ADC＋∠CDE＝30°＋60°＝90°.
1．如图，P为等边三角形ABC内一点，∠BPC＝150°，PC＝5，PB＝10，求PA的长．
解：如图，将△BPC绕C点顺时针旋转60°到△AP′C的位置，连接PP′.
∴△BCP≌△ACP′，∠PCP′＝60°.
∴PC＝P′C，∠AP′C＝∠BPC＝150°，AP′＝BP＝10.
∴△PP′C为等边三角形．
∴PC＝PP′＝5，∠CPP′＝60°.
∴∠AP′P＝150°－60°＝90°.
2．如图，P是等边三角形ABC外一点，PA＝3，PB＝4，PC＝5，求∠BPA的度数．
解：如图，将△APC绕点C顺时针旋转60°得到△BCD，连接PD.
∴BD＝AP＝3，CD＝PC＝5，∠PCD＝60°，∠DBC＝∠PAC.
∴△PCD为等边三角形．∴PD＝PC＝5.
在△PBD中，PD＝5，BD＝3，PB＝4，
∴PD2＝PB2＋BD2.
∴△PBD为直角三角形，且∠PBD＝90°.
∴∠PBC＋∠CBD＝∠PBC＋∠PAC＝360°－∠PBD＝270°.
∴∠BPA＝360°－(∠PBC＋∠PAC)－∠ACB
＝360°－270°－60°＝30°.
3．如图，等边三角形ABC内有一点P，分别连接AP，BP，CP，若AP＝6，BP＝8，CP＝10.求S△ABP＋S△BPC的值．
解：如图，将△BPC绕点B逆时针旋转60°后得到△ABP′，连接PP′.
根据旋转的性质可知，旋转角∠PBP′＝∠CAB＝60°，
BP＝BP′.
∴△BPP′为等边三角形，BP＝BP′＝PP′＝8.
由旋转的性质可知，AP′＝PC＝10.
在△APP′中，PP′＝8，AP＝6.
由勾股定理的逆定理得，△APP′是直角三角形．(共8张PPT)
第二十三章 旋转
培优精练23 尺规作图与证明(福建热点)
[2023·福州第四十中月考]在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点O为Rt△ABC内一点，连接AO，BO，CO，且∠AOC＝∠COB＝∠BOA＝120°，以点B为旋转中心，将△AOB绕点B顺时针方向旋转60°，得到△A′O′B(得到A，O的对应点分别为点A′，O′)．
(1)用尺规作图作出△A′O′B；(要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹)
解：如图△A′O′B即为所求．
(2)证明：点C，O，O′和A′四点共线．
证明：连接OO′，由作图知BO＝BO′＝OO′，
∴△OBO′是等边三角形．
∴∠BOO′＝∠BO′O＝60°.
∵∠BOC＝∠AOB＝∠A′O′B＝120°，
∴∠COO′＝120°＋60°＝180°，
∠A′O′O＝120°＋60°＝180°.
∴点C，O，O′和A′四点共线．
1．[2023·厦门外国语学校检测]如图，在矩形ABCD中，点E是线段AD上的一点，且BE＝BC，连接CE，设∠CBE＝α°.
(1)尺规作图：将线段BA绕点B逆时针旋转α°得到线段BG，连接CG交BE于点H；
解：如图，即为所求．
(2)试判断GH与CH的数量关系，并给予证明．
解：GH＝CH.
证明：过点C作CN⊥BE于N，如图．
∵将线段BA绕点B逆时针旋转α°得到线段BG，
∴BG＝BA，∠ABG＝∠CBE＝α°，
∴∠ABG＋∠ABE＝∠CBE＋∠ABE＝90°，
∴∠GBH＝90°.
∵BE＝BC，∴∠BEC＝∠BCE.
∵AD∥BC，∴∠BCE＝∠DEC，
∴∠BEC＝∠DEC，
∴CE平分∠BED.
∵CE平分∠BED，CD⊥DE，CN⊥BE，
∴CD＝CN，
∴BG＝AB＝CD＝CN.
在△BHG和△NHC中，
∴△BHG≌△NHC(AAS)，
∴GH＝CH.
2．[2022·龙岩模拟]如图，已知△ABC.
(1)在平面内将△ABC绕点C逆时针旋转60°得△DCE(点D对应点A)(要求尺规作图，不写作法，保留作图痕迹)；
解：如图，△CDE即为所求．
(2)在(1)的条件下，若DC⊥BC，AC＝AB，求证：直线BA经过点D.
证明：如图，连接AD.
∵CD⊥BC，
∴∠DCB＝90°.
∵∠DCA＝60°，CD＝CA，
∴△ACD是等边三角形，∠ACB＝90°－60°＝30°.
∴∠CAD＝60°.
∵AC＝AB，∴∠ACB＝∠B＝30°.
∴∠CAB＝180°－30°－30°＝120°.
∴∠DAB＝∠DAC＋∠CAB＝60°＋120°＝180°.
∴直线BA经过点D.(共8张PPT)
第二十三章 旋转
培优精练25 遇90°旋转90°
如图，在四边形ABCD中，∠BCD＝45°，连接对角线AC，BD，∠ADB＝90°，AD＝BD，若CB＝2，CD＝4，求CA的长．
解：如图，将△DAC绕点D逆时针旋转90°得到△DBF，连接CF.
根据旋转可知，△DAC≌△DBF.
∴AC＝BF，DC＝DF＝4，∠ADC＝∠BDF.
∴∠ADB＋∠BDC＝∠BDC＋∠CDF.
∴∠CDF＝∠ADB＝90°.
1．如图，在等腰直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，P为△ABC内一点，且PA＝5，PC＝2 ，∠BPC＝135°，求PB的长．
解：∵△ABC是等腰直角三角形，
∴∠ACB＝90°，AC＝BC.
如图，将△BCP绕点C顺时针旋转90°得到△ACP′，连接PP′.
∴△CPP′是等腰直角三角形．
∴∠CPP′＝∠CP′P＝45°.
∴∠AP′P＝∠AP′C－∠CP′P＝135°－45°＝90°.
2．如图，P为正方形ABCD内一点，AP＝2
边形ABCP的面积．
解：如图，把△BCP绕点B逆时针旋转90°，得到△BAE，连接PE，则△BCP≌△BAE.
3．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D，E均在边BC上，且∠BAD＋∠EAC＝45°，若BD＝3，EC＝6，求DE的长．
解：如图，把△ABD绕点A逆时针旋转90°至△ACG，使AB与AC重合，连接EG.
由旋转得AD＝AG，∠BAD＝∠CAG，BD＝CG.
∵∠BAC＝90°，AB＝AC，∴∠B＝∠ACB＝45°，
∴∠ACG＝∠B＝45°.
∴∠BCG＝∠ACB＋∠ACG＝45°＋45°＝90°.
∵EC＝6，CG＝BD＝3，
∵∠BAD＝∠CAG，∠BAC＝90°，∴∠DAG＝90°.
∵∠BAD＋∠EAC＝45°，
∴∠DAE＝45°，∠CAG＋∠EAC＝45°＝∠EAG.
∴∠DAE＝∠EAG＝45°.
又AE＝AE，AD＝AG，
∴△AED≌△AEG(SAS)，(共14张PPT)
第二十三章 旋转
培优精练21 与旋转有关的计算与证明
(福建热点)
[2020·福建节选]如图，△ADE由△ABC绕点A按逆时针方向旋转90°得到，且点B的对应点D恰好落在BC的延长线上，AD，EC相交于点P.
(1)求∠BDE的度数；
解：由旋转的性质可知，AB＝AD，∠BAD＝90°，△ABC≌△ADE，
∴∠B＝∠ADE，∠B＋∠ADB＝90°.
∴∠BDE＝∠ADB＋∠ADE＝∠ADB＋∠B＝90°.
(2)F是EC延长线上的点，且∠CDF＝∠DAC.判断DF和PF的数量关系，并证明．
解：DF＝PF.
证明：由旋转的性质可知，AC＝AE，∠CAE＝90°，
在Rt△ACE中，
∠ACE＝∠AEC＝45°，
∵∠CDF＝∠CAD，∠ACE＝∠ADB＝45°，
∴∠ADB＋∠CDF＝∠ACE＋∠CAD，
即∠FPD＝∠FDP，∴DF＝PF.
1．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝40°.将△ABC绕点B逆时针旋转得到△A′BC′，使点C的对应点C′恰好落在边AB上，则∠CAA′的度数是( )
A．50°
B．70°
C．110°
D．120°
D
2．[2022·内蒙古呼伦贝尔]如图，边长为1的正方形ABCD绕点A逆时针旋转30°到正方形AB′C′D′，则图中阴影部分的面积为( )
C
3．[2023·泉州实验中学期中]如图，在平行四边形ABCD中，AD＝4，AB＝8，∠DAB＝60°，AB绕点A逆时针旋转，点B的对应点为点E，连接BE，CE，设旋转角度为α(0°<α<180°)．
(1)当α＝30°时，AE与直线CD相交于点F，此时，DF的长为___；
(2)当△CBE是以CE为斜边的直角三角形时，CE的长为___．
4
4．[2022·龙岩莲东中学一模]如图，在正方形ABCD中，E，F是对角线BD上的两点，且∠EAF＝45°，将△ADF绕点A顺时针旋转90°后，得到△ABG，连接EG.
(1)求证：△AEG≌△AEF；
证明：由正方形的性质可知∠BAD＝90°.
由旋转的性质得AF＝AG，∠DAF＝∠BAG.
∵∠EAF＝45°，∴∠BAE＋∠DAF＝45°.
∴∠GAE＝∠BAG＋∠BAE＝45°＝∠FAE.
∴△AEG≌△AEF(SAS)．
(2)求证：EF2＝DF2＋BE2.
证明：由正方形的性质可得∠ABD＝∠ADB＝45°，
由旋转的性质得∠ABG＝∠ADF＝45°，GB＝DF.
∴∠GBE＝∠ABG＋∠ABD＝90°.
∵△AEG≌△AEF，
∴GE＝EF.
在Rt△GBE中，由勾股定理得GE2＝GB2＋BE2，
∴EF2＝DF2＋BE2.
5．[2019·福建]在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠ACB＝30°，将△ABC绕点C顺时针旋转一定的角度α得到△DEC，点A，B的对应点分别是D，E.
(1)当点E恰好落在边AC上时，如图1，求∠ADE的大小；
解：如题图1，∵△ABC绕点A顺时针旋转角度α得到△DEC，
点E恰好在AC上，
∴∠DCA＝∠ACB＝30°，∠DEA＝∠ABC＝90°.
∵CA＝DA，
∴∠CAD＝∠ADC＝ (180°－30°)＝75°，
∠CDE＝90°－30°＝60°.
∴∠ADE＝75°－60°＝15°.
(2)若α＝60°，F是AC的中点，如图2，求证：四边形BEDF是平行四边形．
证明：在△ABC中，∠ABC＝90°，∠ACB＝30°，∴AB＝ AC.
∵F是AC的中点，∴BF＝FC＝ AC，
∴∠FBC＝∠ACB＝30°.
由旋转性质得AB＝DE，∠DEC＝∠ABC＝90°，
∠BCE＝∠ACD＝60°，∴DE＝BF.
如图2，延长BF交EC于点G，则∠BGE＝∠GBC＋∠GCB＝90°.
∴∠BGE＝∠DEC，
∴DE∥BF，
∴四边形BEDF是平行四边形．
6．如图，在等腰三角形ABC中，AB＝AC＝1，∠BAC＝45°，将△ABC绕点A逆时针旋转一定角度α(45°<α≤90°)得到△ADE，点B，C的对应点分别是D，E.连接BD，CE交于点F，AD，CE交于点G.
(1)用含α的代数式表示∠AGC的度数；
解：由等腰三角形ABC绕点A逆时针旋转α得到△ADE，可得
∠CAE＝α，AB＝AC＝AD＝AE＝1.
在△ACE中，AC＝AE，
又∠DAE＝∠BAC＝45°，
(2)当AE∥BD时，求CF的长．
解：∵AE∥BD，
∴∠ADB＝∠DAE＝45°.
∵AB＝AD，
∴∠BAD＝180°－2∠ADB＝90°，即α＝90°.
∵∠AGC＝135°－ α＝90°，
∴∠AGE＝∠DGF＝90°.
又∠AEG＝∠ADB＝45°，
∴△AGE，△DGF均为等腰直角三角形．(共9张PPT)
第二十三章 旋转
培优精练24 网格作图
[2022·湖北武汉]由小正方形组成的9×6网格如图所示，每个小正方形的顶点叫做格点．△ABC的三个顶点都是格点．仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图，画图过程用虚线表示．
(1)在图1中，D，E分别是边AB，AC与网格线的交点．先将点B绕点E旋转180°得到点F，画出点F，再在AC上画点G，使DG∥BC；
解：如图1中，点F，点G即为所求．
(2)在图2中，P是边AB上一点，∠BAC＝α.先将AB绕点A逆时针旋转2α，得到线段AH，画出线段AH，再画点Q，使P，Q两点关于直线AC对称．
解：如图2中，线段AH，点Q即为所求．
1．在8×5的网格中建立如图所示的平面直角坐标系，四边形OABC的顶点坐标分别为O(0，0)，A(3，4)，B(8，4)，C(5，0)．仅用无刻度的直尺在给定网格中按下列步骤作图，并回答问题：
(1)将线段CB绕点C逆时针旋转90°，作出对应线段CD；
解：如图，线段CD为所作．
(2)在线段AB上作点E，使∠BCE＝45°(保留痕迹)，并证明．
解：如图，点E为所作．
证明：∵线段CB绕点C逆时针旋转90°，
∴CB＝CD，∠BCD＝90°，
∴△BCD为等腰直角三角形．
∵MB＝ND，MB∥ND，∴∠MBD＝∠BDN，∠BMN＝∠MND，
∴△MFB≌△NFD，∴FD＝FB，
∴点F为BD的中点，∴CF平分∠BCD.∴∠BCE＝45°.
2．如图，在正方形网格中，△ABC的顶点在格点上，请用无刻度直尺完成下列作图(保留作图痕迹)．
(1)在图1中，作△ABC关于点O对称的△A1B1C1；
(2)在图2中，作△ABC绕点A顺时针旋转一定角度后，顶点仍在格点上的△AB2C2；
(3)在图3中，作△ABC绕点A顺时针旋转一定角度后，顶点仍在格点上的△AB3C3.(共8张PPT)
第二十三章 旋转
培优精练27 构造旋转求线段之间的数量关系
已知边长为4的正方形ABCD，∠EAF的两边分别与射线CB，DC相交于点E，F，且∠EAF＝45°，连接EF.求证：EF＝BE＋DF.
【思路分析】
(1)如图1，∵在正方形ABCD中，AB＝AD，
∠BAD＝∠B＝∠ADC＝90°，
∴把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADE′，
则F，D，E′在一条直线上．
∠E′AF＝______，根据定理，可证△AEF≌△AE′F.∴EF＝BE＋DF.
45°
解：∵正方形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝∠B＝∠ADC＝90°，
∴把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADE′.
则F，D，E′在一条直线上，
且有△ADE′≌△ABE.
∴DE′＝BE，∠DAE′＝∠BAE，AE′＝AE.
∴∠E′AE＝∠EAD＋∠DAE′＝∠EAD＋∠BAE＝∠BAD＝90°.
则∠E′AF＝∠E′AE－∠EAF＝45°，∴∠EAF＝∠E′AF.
∴△AEF≌△AE′F(SAS)，
∴E′F＝EF.
∵E′F＝DE′＋DF，
∴EF＝BE＋DF.
【类比探究】
(2)如图2，当点E在线段CB的延长线上，探究EF，BE，DF之间存在的数量关系，并写出证明过程．
解：DF＝BE＋EF.理由如下：将△ABE绕点A逆时针旋转90°得到△ADE′.
∴△ADE′≌△ABE，∴AE＝AE′，BE＝DE′，∠DAE′＝∠BAE.
∴∠E′AE＝∠BAE＋∠E′AB＝∠E′AD＋∠E′AB＝∠BAD＝90°.
则∠E′AF＝∠E′AE－∠EAF＝45°，∴∠E′AF＝∠EAF＝45°.
在△AEF和△AE′F中，
∴△AEF≌△AE′F(SAS)，
∴E′F＝EF.
∵DF＝DE′＋E′F，
∴DF＝BE＋EF.
变式1 如图，若等腰Rt△PBF的直角顶点P在正方形ABCD的边DA的延长线上，斜边BF的延长线交CD的延长线于点Q，连接PQ，猜想线段PQ，AP，CQ满足怎样的数量关系，并证明你的结论．
解：PQ＝CQ－AP.理由如下：
如图，将△ABP绕点B顺时针旋转90°到△CBE，
∴BP＝BE，△ABP≌△CBE.
∴AP＝CE.
∵BP＝PF，∠BPF＝90°，∠PBF＝45°，
∴∠ABP＋∠ABQ＝45°.
∴∠EBC＋∠ABQ＝45°.
∴∠QBE＝∠PBQ＝45°.
∵BP＝BE，BQ＝BQ，
∴△BQE≌△BQP(SAS)．
∴PQ＝QE＝QC－CE＝QC－AP.
即PQ＝CQ－AP.
变式2 如图，在正方形ABCD内部有一点P，若∠APD＝135°，试判断线段PA，PB，PD之间的数量关系，并说明理由．
解：2PA2＋PD2＝PB2.
理由如下：如图，把△ADP绕点A顺时针旋转90°得到△ABP′，连接PP′.
则P′B＝PD，P′A＝PA，∠PAP′＝90°.
∴△APP′是等腰直角三角形．
∴PP′2＝PA2＋P′A2＝2PA2，∠PP′A＝45°.
∵∠APD＝135°，
∴∠AP′B＝∠APD＝135°.
∴∠PP′B＝135°－45°＝90°.
在Rt△PP′B中，由勾股定理得PP′2＋P′B2＝PB2，
∴2PA2＋PD2＝PB2.(共12张PPT)
第二十三章 旋转
培优精练29 旋转中的综合探究
[2022·福建]已知△ABC≌△DEC，AB＝AC，AB＞BC.
(1)如图1，CB平分∠ACD，求证：四边形ABDC是菱形．
证明：∵△ABC≌△DEC，且AB＝AC，
∴△ABC与△DEC均为等腰三角形，
且AB＝AC＝DC＝DE.
∴∠ABC＝∠ACB.
又CB平分∠ACD，
∴∠ACB＝∠DCB.
∴∠ABC＝∠DCB.
∴AB∥CD.
∴四边形ABDC是平行四边形．
又AB＝AC，
∴四边形ABDC是菱形．
(2)如图2，将(1)中的△CDE绕点C逆时针旋转(旋转角小于∠BAC)，BC，DE的延长线相交于点F，用等式表示∠ACE与∠EFC之间的数量关系，并证明．
解：数量关系：∠ACE＋∠EFC＝180°.
证明：∵△ABC≌△DEC，
∴∠ABC＝∠DEC.
∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB.
∴∠ACB＝∠DEC.
∵∠ACB＋∠ACF＝∠DEC＋∠CEF＝180°，
∴∠ACF＝∠CEF.
∵∠CEF＋∠ECF＋∠EFC＝180°，
∴∠ACF＋∠ECF＋∠EFC＝180°，
即∠ACE＋∠EFC＝180°.
(3)如图3，将(1)中的△CDE绕点C顺时针旋转(旋转角小于∠ABC)，若∠BAD＝∠BCD，求∠ADB的度数．
解：如图3，在AD上取一点M，
使得AM＝CB，连接BM.
∵△ABC≌△DEC，AB＝AC，
∴AB＝CD.∵∠BAD＝∠BCD，
∴△ABM≌△CDB.
∴BM＝BD，∠MBA＝∠BDC.
∴∠ADB＝∠BMD.
∵∠BMD＝∠BAD＋∠MBA，
∴∠ADB＝∠BCD＋∠BDC.
设∠BCD＝∠BAD＝α，∠BDC＝β，
则∠ADB＝∠BCD＋∠BDC＝α＋β.
∵CA＝CD，
∴∠CAD＝∠CDA＝α＋2β.
∴∠BAC＝∠CAD－∠BAD＝2β.
[2023·厦门集美中学期中]旋转是一种重要的图形变换，当图形中有一组邻边相等时，往往可以通过旋转解决问题．如图1，在四边形ABCD中，AD＝CD，∠ABC＝120°，∠ADC＝60°，AB＝2，BC＝1.
【问题提出】
(1)如图2，在图1的基础上连接BD，由于AD＝CD，所以可将△DCB绕点D顺时针方向旋转60°，得到△DAB′，则△BDB′的形状是____________；
等边三角形
解：∵将△DCB绕点D顺时针方向旋转60°，得到△DAB′，
∴BD＝B′D，∠BDB′＝60°.
∴△BDB′是等边三角形．
【尝试解决】
(2)在(1)的条件下，求四边形ABCD的面积；
解：由(1)知，△BCD≌△B′AD，
∴四边形ABCD的面积＝等边三角形BDB′的面积．
∵BC＝AB′＝1，
∴BB′＝AB＋AB′＝2＋1＝3.
【类比应用】
(3)如图3，等边三角形ABC的边长为2，△BDC是顶角∠BDC为120°的等腰三角形，以D为顶点作一个60°的角，角的两边分别交AB于点M，交AC于点N，连接MN，求△AMN的周长．
解：如图3，将△BDM绕点D顺时针方向旋转120°，得到△DCP.
∴△BDM≌△CDP.
∴MD＝PD，CP＝BM，∠MBD＝∠DCP，∠MDB＝∠PDC.
∵△BDC是等腰三角形，且∠BDC＝120°，
∴BD＝CD，∠DBC＝∠DCB＝30°.
又△ABC是等边三角形，
∴∠ABC＝∠ACB＝60°.
∴∠MBD＝∠ABC＋∠DBC＝90°.
同理可得∠NCD＝90°.
∴∠PCD＝∠NCD＝∠MBD＝90°，
∴∠DCN＋∠DCP＝180°，
∴N，C，P三点共线．
∵∠MDN＝60°，
∴∠MDB＋∠NDC＝∠PDC＋∠NDC＝∠BDC－∠MDN＝60°.
即∠MDN＝∠PDN＝60°.
∴△NMD≌△NPD(SAS)．
∴MN＝PN＝NC＋CP＝NC＋BM.
∴△AMN的周长＝AM＋AN＋MN＝AM＋AN＋NC＋BM＝AB＋AC＝2＋2＝4.
故△AMN的周长为4.(共7张PPT)
第二十三章 旋转
培优精练22 尺规作图与计算(福建热点)
如图，在△ABC中，∠BAC＝120°.将△ABC绕点A顺时针方向旋转60°得到△ADE，其中B，C的对应点分别为D，E.
(1)作出△ADE；(不写作法，但要保留作图痕迹)
解：如图，△ADE为所求．
(2)设DE与BC的交点为P，求∠BPD的度数．
解：由旋转的性质，得△ABC≌△ADE，∠CAE＝∠BAD＝60°.
∴∠C＝∠E，∠B＝∠D.
∴∠B＋∠C＝60°.
又∠BAC＝120°.
∴C，A，D三点共线．
∴∠BPD＝∠C＋∠D＝∠B＋∠C＝60°.
1．如图，P是正方形ABCD内一点，连接PA，PB，PC.
(1)作出将△PAB绕点B顺时针旋转90°得到的△P′CB(尺规作图，保留作图痕迹，不写作法)；
解：如图，△P′CB为所作．
(2)若PA＝2，PB＝4，∠APB＝135°，求PC的长．
解：如图，连接PP′.
∵△PAB绕点B顺时针旋转90°得到的△P′CB，
∴BP＝BP′＝4，P′C＝PA＝2，∠PBP′＝90°，∠BP′C＝∠APB＝135°.
∴△BPP′为等腰直角三角形．
∴∠PP′C＝∠BP′C－∠BP′P＝135°－45°＝90°.
∴在Rt△PP′C中，
2．[2022·福清期末]如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝40°，把△CBA绕点C顺时针旋转，使点B的对应点D落在AC边上，得到△CDE.
(1)作出△CDE(要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法)；
解：如图所示，△CDE即为所求：
(2)连接AE，求∠AED的度数．
解：∵△CBA绕点C顺时针旋转得到△CDE，
∴△CBA≌△CDE，∴AC＝EC.
∵AB＝AC，∠BAC＝40°，∴∠B＝∠ACB＝70°，
∴∠DCE＝∠ACB＝70°，∠DEC＝∠BAC＝40°.
∵AC＝EC，∴∠AEC＝∠CAE＝(180°－∠ACE)÷2＝(180°－70°)÷2＝55°，
∴∠AED＝∠AEC－∠DEC＝55°－40°＝15°.(共18张PPT)
第二十三章 旋转
培优精练28 旋转中的最值问题(福建热点)
类型一 垂线段最短求最值
1．如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，∠BAC＝120°，P为BC边上一动点，连接AP，将线段AP绕点A顺时针旋转120°至AP′，则线段PP′的最小值
为____．
2．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5，BC＝3，点D是斜边AB上任意一点，将点D绕点C逆时针旋转60°得到点E，则线段DE的最小值是
__．
3．(一题多解)如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，AC＝6，点D是边CB上的动点，连接AD，将线段AD绕点A顺时针旋转60°，得到线段AP，连接CP，则线段CP的最小值为___．
3
4．(一题多解)如图，已知∠MON＝30°，B为OM上一点，BA⊥ON于点A，四边形ABCD为正方形，P为射线BM上一动点，连接CP，将CP绕点C顺时针方向旋转90°得CE，连接BE，若AB＝4，求BE的最小值．
解：方法1：如图1，将BC绕着点C顺时针旋转90°得FC，
作直线FE交OM于H，则∠BCF＝90°，BC＝FC.
∵将CP绕点C按顺时针方向旋转90°得CE，
∴∠PCE＝90°，PC＝EC，∴∠BCP＝∠FCE.
∴△BCP≌△FCE(SAS)，
∴∠CBP＝∠CFE.
又∠BCF＝90°，∴∠BHF＝90°.
∴点E在直线FH上，即点E的轨迹为射线．
∵BH⊥EF，∴当点E与点H重合时，BE＝BH最短．
∵当CP⊥OM时，在Rt△BCP中，∠CBP＝30°，
又∠PCE＝∠CPH＝∠PHE＝90°，CP＝CE，
∴四边形CPHE为正方形，
∴PH＝CP＝2.
方法2：如图2，连接PD.
由题意得，PC＝EC，∠PCE＝90°＝∠DCB，BC＝DC.
∴∠DCP＝∠BCE.
在△DCP和△BCE中，
∴△DCP≌△BCE(SAS)，
∴PD＝BE.
当DP⊥OM时，DP最短，此时BE最短．
∵∠AOB＝30°，AB＝4＝AD，
类型二 两点之间，线段最短求最值
5．[2023·泉州丰泽区期末]如图，P是边长为2的正方形ABCD内一动点，Q为边BC上一动点，连接PA，PD，PQ，则PA＋PD＋PQ的最小值为( )
A．4 B．3
D
6．[2023·福州三牧中学月考]如图，菱形ABCD的边长为4，∠A＝60°，E是边AD的中点，F是边AB上的一个动点，将线段EF绕着点E逆时针旋转60°得到EG，连接BG，CG，则BG＋CG的最小值为( )
B
7．如图，在四边形ABCD中，AB＝3，BC＝2，若AC＝AD且∠ACD＝60°，则对角线BD的最大值为___．
5
8．[2023·福州平潭城关中学期中]如图，在矩形ABCD中，AB＝5，BC＝9，E是边AB上一点，AE＝2，F是直线BC上一动点，将线段EF绕点E逆时针旋转90°得到线段EG，连接CG，DG，则CG＋DG的最小值是____．
13
9．如图，在△ABC中，∠ABC＝30°，AB＝5，BC＝6，P是△ABC内部的任意一点，连接PA，PB，PC，求PA＋PB＋PC的最小值．
解：如图，以BP为边作等边三角形BPD，将△BPC绕点B顺时针旋转60°，得到△BDC′，连接AC′.
∵△BPD是等边三角形，
∴BP＝BD＝DP，∠PBD＝60°.
∵将△BPC绕点B顺时针旋转60°，
∴PC＝C′D，∠PBC＝∠DBC′，BC＝BC′＝6.
∴∠ABC′＝∠ABP＋∠PBD＋∠DBC′＝∠PBD＋∠ABP＋∠PBC＝
∠PBD＋∠ABC＝60°＋30°＝90°.
∵PA＋PB＋PC＝PA＋PD＋DC′，
∴当点A，P，D，C′共线时，PA＋PB＋PC有最小值为AC′.
类型三 利用二次函数求最值
10．[2023·厦门集美中学期中]如图，在正方形ABCD中，AB＝4，E为AB边上一点，点F在BC边上，且BF＝1，将点E绕着点F顺时针旋转90°得到点G，连接DG，则DG的最小值为( )
C
11．[2022·三明模拟]如图，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝4，点P是BC上的动点，连接PA，将PA绕点P顺时针旋转90°得到线段PE，连接CE.P从点B向点C运动过程中，求CE的最小值．
解：如图，过点E作EM⊥BC于点M.
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B＝90°＝∠PME.
∵PA绕点P顺时针旋转90°得到线段PE，
∴AP＝PE，∠APE＝90°.
∴∠EPM＝90°－∠APB＝∠BAP，
∴△ABP≌△PME(AAS)．
∴PM＝AB＝2，BP＝EM.
∵BC＝4，∴BP＋CM＝BC－PM＝2.
设BP＝EM＝x，则CM＝2－x，
在Rt△CEM中，
CE2＝EM2＋CM2＝x2＋(2－x)2＝2x2－4x＋4＝2(x－1)2＋2，
∴当x＝1时，CE2取最小值，最小值为2，
∴CE的最小值是
