双曲线
知识点一 双曲线的定义
定义：平面内与两个定点，的距离的差的绝对值等于非零常数(小于||)的点的轨迹．
知识点二：双曲线的简单几何性质
实轴： 虚轴：
焦点：两个定点、 焦距：
知识点三：双曲线的两种标准方程
焦点位置 焦点在轴上 焦点在轴上
图形
标准方程
，，的关系
总结 分母哪个正，焦点在哪个轴
知识点四：双曲线的渐近线
双曲线与渐近线无限接近，但是永不相交
知识点四：双曲线的离心率
双曲线的焦距与实轴的比值称为离心率，用表示 几何意义：刻画双曲线开口的大小
离心率越大，开口越大
题型一：双曲线的标准方程
已知方程表示焦点在轴上的双曲线，则实数的取值范围是______.
【答案】
已知方程表示双曲线，则实数的取值范围是______.
【答案】
求下列满足条件的双曲线方程
,与轴的一个交点坐标是
,双曲线过点
,且经过点
【答案】（1）（2）（3）（4）
题型二：共焦点的双曲线标准方程
双曲线和椭圆的焦点有什么关系？
【答案】相同
已知过点的双曲线与有公共焦点，则双曲线的标准方程为______.
【答案】
题型二：过两点的标准方程
已知双曲线过,焦点在坐标轴上，则双曲线的标准方程为______.
【答案】
已知双曲线过,焦点在坐标轴上，则双曲线的标准方程为______.
【答案】
题型四：双曲线的渐近线和离心率
若双曲线的一条渐近线与直线相互垂直，则双曲线的两个焦点与虚轴的一个端点构成的三角形的面积为_____.
【答案】
已知离心率为的双曲线，焦点在轴上，则渐近线的倾斜角为_____.
【答案】或
已知焦点在轴上的双曲线，为双曲线上一点，
若,，则_____.
【答案】
来点作业~
已知椭圆的长轴端点和焦点分别是双曲线的焦点和坐标轴的焦点，则双曲线的方程为______.
【答案】
求适合下列条件的双曲线的标准方程：
，过点；
过点，.
【答案】;
已知双曲线的一条渐近线的斜率为，则离心率_____.
【答案】
关于双曲线，求下列的值
为双曲线上一点，，分别为左、右焦点，若，则_____.
先猜想的离心率是否与题设双曲线离心率相同，再验证.
与椭圆有相同的焦距，则____.
过右焦点的弦长最小值为____.
【答案】 不同 , 4
1双曲线
知识点一 双曲线的定义
定义：平面内与两个定点 1， 2的距离的差的绝对值等于非零常数(小于| 1 2|)的点的轨迹．
|| 1| | 2|| = 2 < 2
知识点二：双曲线的简单几何性质
实轴：| 1 2| = 2 虚轴：| 1 2| = 2
焦点：两个定点 1、 2 焦距：| 1 2|
知识点三：双曲线的两种标准方程
焦点位置 焦点在 轴上 焦点在 轴上
图形
2 2 2 2
标准方程 = 1 + = 1
2 2 2 2
， ， 的关系 2 = 2 + 2
总结 分母哪个正，焦点在哪个轴
知识点四：双曲线的渐近线
双曲线与渐近线无限接近，但是永不相交
2 2
= 1 = ±
2 2
2 2
= 1 = ±
2 2
知识点四：双曲线的离心率
双曲线的焦距与实轴的比值 称为离心率，用 表示 几何意义：刻画双曲线开口的大小
离心率越大，开口越大
1
{#{QQABZYCQogiIABBAAABCUwXQCkMQkgCCCIgGhAAcIEABSQFABAA=}#}
题型一：双曲线的标准方程
2 2
1. 已知方程 + = 1表示焦点在 轴上的双曲线，则实数 的取值范围是______.
3 2+
【答案】( ∞, 2)
2 2
2. 已知方程 + = 1表示双曲线，则实数 的取值范围是______.
7+ 5
【答案】( 7,5)
3. 求下列满足条件的双曲线方程
（1） 1( 3,0), 2(3,0),与 轴的一个交点坐标是(√6, 0)
（2） 2 = (4,0), 2 = 4√3
（3） 1 = (3,0),双曲线过点(4,1)
（4） 1 = (0, ), = ,且经过点(1, 3)
2 2 2 2 2 2 2
【答案】（1） = 1（2） = 1（3） 2 = 1（4） = 1
6 3 12 4 8 8 8
题型二：共焦点的双曲线标准方程
2 2 2 2
4. 双曲线 2 2 = 1和椭圆 2 + 2 = 1的焦点有什么关系？ +15 15
【答案】相同
2 2
5. 已知过点(3√2, 2)的双曲线与 = 1有公共焦点，则双曲线的标准方程为______.
16 4
2 2
【答案】 = 1
12 8
题型二：过两点的标准方程
6. 已知双曲线过(1, 1), (2, √5),焦点在坐标轴上，则双曲线的标准方程为______.
2 2
【答案】 1 1 = 1
4 3
2
{#{QQABZYCQogiIABBAAABCUwXQCkMQkgCCCIgGhAAcIEABSQFABAA=}#}
7. 已知双曲线过(6√2, 7), ( 3,2√7),焦点在坐标轴上，则双曲线的标准方程为______.
2 2
【答案】 = 1
25 75
题型四：双曲线的渐近线和离心率
2 2
8. 若双曲线 : 2 = 1 的一条渐近线与直线 : 3 + 2 2 = 0相互垂直，则双曲线
C 的两
4
个焦点与虚轴的一个端点构成的三角形的面积为_____.
【答案】2√13
9. 已知离心率为2的双曲线，焦点在 轴上，则渐近线的倾斜角为_____.
π 2π
【答案】 或
3 3
10. 已知焦点在 轴上的双曲线， 1, 2为左右焦点， 为双曲线上一点，
若 1 ⊥ 2 ,∠ 1 2 = ，则 =_____. 3
【答案】√3 + 1
来点作业~
2 2
1. 已知椭圆 + = 1的长轴端点和焦点分别是双曲线的焦点和坐标轴的焦点，则双曲线的
16 12
方程为______.
2 2
【答案】 = 1
4 12
2. 求适合下列条件的双曲线的标准方程：
(1) = 4，过点
4√10
( 1, )；
3
15 16
(2)过点( 3, )，( , 5).
4 3
3
{#{QQABZYCQogiIABBAAABCUwXQCkMQkgCCCIgGhAAcIEABSQFABAA=}#}
2 2 2 2
【答案】(1) = 1;(2) = 1
16 9 9 16
2 2 5
3. 已知双曲线 2 = 1的一条渐近线的斜率为 ，则离心率 =_____. 4 2
√29
【答案】
2
2
4. 关于双曲线 2
= 1，求下列的值
2
(1) 为双曲线上一点， 1， 2分别为左、右焦点，若| 1| = 2| 2|，则∠ 1 2 =_____.
2
(2)先猜想 2 = 1的离心率是否与题设双曲线离心率相同，再验证.
2
2
(3)与椭圆
+ 2 = 1有相同的焦距，则 =____.
(4)过右焦点的弦长最小值为____.
6
【答案】(1) (2)不同 √ 1 = √3, 2 = (3) 4 (4) 2 3 2
4
{#{QQABZYCQogiIABBAAABCUwXQCkMQkgCCCIgGhAAcIEABSQFABAA=}#}双曲线
知识点一 双曲线的定义
定义：平面内与两个定点，的距离的差的绝对值等于非零常数(小于||)的点的轨迹．
知识点二：双曲线的简单几何性质
实轴： 虚轴：
焦点：两个定点、 焦距：
知识点三：双曲线的两种标准方程
焦点位置 焦点在轴上 焦点在轴上
图形
标准方程
，，的关系
总结 分母哪个正，焦点在哪个轴
知识点四：双曲线的渐近线
双曲线与渐近线无限接近，但是永不相交
知识点四：双曲线的离心率
双曲线的焦距与实轴的比值称为离心率，用表示 几何意义：刻画双曲线开口的大小
离心率越大，开口越大
题型一：双曲线的标准方程
已知方程表示焦点在轴上的双曲线，则实数的取值范围是______.
已知方程表示双曲线，则实数的取值范围是______.
求下列满足条件的双曲线方程
,与轴的一个交点坐标是
,双曲线过点
,且经过点
题型二：共焦点的双曲线标准方程
双曲线和椭圆的焦点有什么关系？
已知过点的双曲线与有公共焦点，则双曲线的标准方程为______.
题型二：过两点的标准方程
已知双曲线过,焦点在坐标轴上，则双曲线的标准方程为______.
已知双曲线过,焦点在坐标轴上，则双曲线的标准方程为______.
题型四：双曲线的渐近线和离心率
若双曲线的一条渐近线与直线相互垂直，则双曲线的两个焦点与虚轴的一个端点构成的三角形的面积为_____.
已知离心率为的双曲线，焦点在轴上，则渐近线的倾斜角为_____.
已知焦点在轴上的双曲线，为双曲线上一点，
若,，则_____.
来点作业~
已知椭圆的长轴端点和焦点分别是双曲线的焦点和坐标轴的焦点，则双曲线的方程为______.
求适合下列条件的双曲线的标准方程：
，过点；
过点，.
已知双曲线的一条渐近线的斜率为，则离心率_____.
关于双曲线，求下列的值
为双曲线上一点，，分别为左、右焦点，若，则_____.
先猜想的离心率是否与题设双曲线离心率相同，再验证.
与椭圆有相同的焦距，则____.
过右焦点的弦长最小值为____.
1双曲线
知识点一 双曲线的定义
定义：平面内与两个定点 1， 2的距离的差的绝对值等于非零常数(小于| 1 2|)的点的轨迹．
|| 1| | 2|| = 2 < 2
知识点二：双曲线的简单几何性质
实轴：| 1 2| = 2 虚轴：| 1 2| = 2
焦点：两个定点 1、 2 焦距：| 1 2|
知识点三：双曲线的两种标准方程
焦点位置 焦点在 轴上 焦点在 轴上
图形
2 2 2 2
标准方程 = 1 + = 1
2 2 2 2
， ， 的关系 2 = 2 + 2
总结 分母哪个正，焦点在哪个轴
知识点四：双曲线的渐近线
双曲线与渐近线无限接近，但是永不相交
2 2
= 1 = ±
2 2
2 2
= 1 = ±
2 2
知识点四：双曲线的离心率
双曲线的焦距与实轴的比值 称为离心率，用 表示 几何意义：刻画双曲线开口的大小
离心率越大，开口越大
1
{#{QQABZYCQogiIABBAAABCUwXQCkMQkgCCCIgGhAAcIEABSQFABAA=}#}
题型一：双曲线的标准方程
2 2
1. 已知方程 + = 1表示焦点在 轴上的双曲线，则实数 的取值范围是______.
3 2+
2 2
2. 已知方程 + = 1表示双曲线，则实数 的取值范围是______.
7+ 5
3. 求下列满足条件的双曲线方程
（1） 1( 3,0), 2(3,0),与 轴的一个交点坐标是(√6, 0)
（2） 2 = (4,0), 2 = 4√3
（3） 1 = (3,0),双曲线过点(4,1)
（4） 1 = (0, ), = ,且经过点(1, 3)
题型二：共焦点的双曲线标准方程
2 2 2 2
4. 双曲线 2 = 1和椭圆 + = 1的焦点有什么关系？ +15 2 15 2 2
2 2
5. 已知过点(3√2, 2)的双曲线与 = 1有公共焦点，则双曲线的标准方程为______.
16 4
题型二：过两点的标准方程
6. 已知双曲线过(1, 1), (2, √5),焦点在坐标轴上，则双曲线的标准方程为______.
7. 已知双曲线过(6√2, 7), ( 3,2√7),焦点在坐标轴上，则双曲线的标准方程为______.
2
{#{QQABZYCQogiIABBAAABCUwXQCkMQkgCCCIgGhAAcIEABSQFABAA=}#}
题型四：双曲线的渐近线和离心率
2 2
8. 若双曲线 : 2 = 1 的一条渐近线与直线 : 3 + 2 2 = 0相互垂直，则双曲线
C 的两
4
个焦点与虚轴的一个端点构成的三角形的面积为_____.
9. 已知离心率为2的双曲线，焦点在 轴上，则渐近线的倾斜角为_____.
10. 已知焦点在 轴上的双曲线， 1, 2为左右焦点， 为双曲线上一点，
若 1 ⊥ 2 ,∠ 1 2 = ，则 =_____. 3
来点作业~
2 2
1. 已知椭圆 + = 1的长轴端点和焦点分别是双曲线的焦点和坐标轴的焦点，则双曲线的
16 12
方程为______.
2. 求适合下列条件的双曲线的标准方程：
4 10
(1) = 4，过点 √( 1, )；
3
15 16
(2)过点( 3, )，( , 5).
4 3
2 2 5
3. 已知双曲线
4 2
= 1的一条渐近线的斜率为 ，则离心率 =_____.
2
3
{#{QQABZYCQogiIABBAAABCUwXQCkMQkgCCCIgGhAAcIEABSQFABAA=}#}
2
4. 关于双曲线 2
= 1，求下列的值
2
(1) 为双曲线上一点， 1， 2分别为左、右焦点，若| 1| = 2| 2|，则∠ 1 2 =_____.
2
(2)先猜想 2 = 1的离心率是否与题设双曲线离心率相同，再验证.
2
2
(3)与椭圆
+ 2 = 1有相同的焦距，则 =____.
(4)过右焦点的弦长最小值为____.
4
{#{QQABZYCQogiIABBAAABCUwXQCkMQkgCCCIgGhAAcIEABSQFABAA=}#}
