湘教版数学九年级上册 3.4.2 相似三角形的性质课件（18张PPT）

(共19张PPT)
3.4 相似三角形的判定与性质
第3章 图形的相似
3.4.2 相似三角形的性质
教学目标
掌握相似三角形对应线段（高、中线、角平分线）及相似三角形的面积、周长比与相似比之间的关系.
重点难点：相似三角形性质的应用.
新课引入
1.如图,△ ∽ △ABC，相似比为k，
分别作BC， 上的高AD， ．
求证：
D′
C′
D
A
B
A′
B′
┓
┓
C
解:
∵△ ∽△ABC，
∴ ∠B′= ∠B．
又∵ =∠ADB =90°，
∴△ ∽△ABD. (两角对应相等的两个三
角形相似)
从而
(相似三角形的对应边成比例)
由此得出定理：
相似三角形的对应高的比等于相似比.
类比探究相似三角形对应中线的比、对应角平分线的比
2、如图：已知△ABC∽△A′B′C′，相似比为k，AD平分∠BAC，A'D'平分∠B'A'C'；E、E'分别为BC、B'C'的中点。试探究AD与 A'D'的比值关系，AE与A'E'呢？
A
B
C
D
E
A′
B′
C′
D′
E′
∵△ABC∽△A′B′C′
∴
由此得出定理：
相似三角形对应角平分线的比,对应中线的比都等于相似比.
3.如果两个三角形相似，它们的周长之间有什么关系？两个相似多边形呢？
如果△ABC∽△ A'B'C'，相似比为k，那么
因此
AB＝k A'B'，BC＝kB'C'，CA＝kC'A'
从而
A
B
C
A'
B'
C'
由此得出定理：
相似三角形周长的比等于相似比
相似多边形周长的比等于相似比
4.如图ΔABC∽Δ A'B'C'，相似比为k，它们的面积比是多少？
A
B
C
D
A /
B /
C /
D /
由此得出定理：
相似三角形的面积比等于相似比的平方
例题探究
例1 CD是Rt△ABC斜边AB上的高， DE⊥AC，垂足为点E.已知CD=2，AB=6，AC=4,求DE的长.
A
B
D
C
E
例2 已知△ABC∽△DEF，BG、EH分△ABC和△DEF的角平分线，BC＝6cm,EF＝4cm,BG＝4.8cm.求EH的长.
解：∵ △ABC∽△DEF， 　
解得EH＝3.2(cm).
A
G
B
C
D
E
F
H
（相似三角形对应角平
线的比等于相似比），
例3 在△ABC和△DEF中，AB＝2DE，AC＝2DF，∠A＝∠D，△ABC的周长是24，面积是48，求△DEF的周长和面积．
解：在△ABC和△DEF中，
∵ AB＝2DE，AC＝2DF
∴
又 ∠D＝∠A
∴ △DEF∽△ABC，相似比为
课堂练习
1、如图，已知DE∥BC，BD=3AD，S△ABC =48，求：△ADE的面积。
解：因为DE∥BC
所以∠ADE=∠ABC, ∠AED =∠ACB
所以△ADE ∽△ABC
又因为BD=3AD
可得相似比k=AD:AB=1:2
所以S△ADE =1/4 S△ABC =12
2、如图，△ABC中，DE∥FG∥BC，且DE、FG把△ABC的面积三等分，若BC=12cm，求FG的长。
解：因为DE∥FG∥BC，
所以△ADE∽△AFG∽△ABC，
所以S△ADE:S△AFG:S△ABC=AD2:AF2:AB2，
又因为DE、FG把△ABC的面积三等分，
所以S△ADE:S△AFG:S△ABC=1:2:3，
所以AD:AF:AB= : : ，
又因为FG∥BC，所以 ，且BC=12cm，所以FG
=cm。
能力提升
2．如图，射线AM∥BN，∠A＝∠B＝90°，点D，C分别在AM，BN上运动(点D不与A重合、点C不与B重合)，E是AB边上的动点(点E不与A，B重合)，在运动过程中始终保持DE⊥EC且AD＋DE＝AB＝a.
(1)求证：△ADE∽△BEC；
(2)设AE＝m，请探究：△BEC的周长是否与m的值有关？若有关，请用含有m的代数式表示△BEC的周长；若无关，请说明理由．
课堂小结
相似三角形的性质
对应角相等
对应边成比例
对应高的比，对应中线的比、对应角平分线的比都等于相似比.
相似比等于对应边的比
周长的比等于相似比
面积的比等于相似比的平方
通过本小节，你有什么收获？
你还存在哪些疑问，和同伴交流。