湘教版数学八年级下册 1.4 角平分线的性质 教案

1.4《角平分线的性质》教学设计
教学内容：
角平分线的性质（第一课时）
教学目标：
1.知识与技能：让学生理解并掌握角平分线的基本性质和判定方法,会用相关定理解决实际问题.
2.过程与方法：通过动手操作，培养学生的观察、归纳总结能力；发展几何直觉，提高综合运用三角形全等的有关知识解决问题的能力.
3.情感态度价值观：在自主探索角平分线性质的过程中，学生经历观察、比较、猜想、交流等环节，从而获得正确的学习方式和良好的情感体验，并进一步提高学生的合作交流意识.
重点难点：
教学重点：角平分线的性质及其应用
教学难点：理解角平分线性质的探究过程
教学准备：
多媒体课件,三角板，三角形纸片
教学流程：
创景导入
师：同学们，你们喜欢户外运动吗？今天，老师想大家推荐一个户外拓展基地，它位于两条河流形成的三角地带，到两条河流的距离都相等，并且离交汇点O点400米.我们要怎样快速找到它的具体位置呢？
让我们一起开始今天的探究--角平分线的性质.（板书课题：角平分线的性质）
二、探究新知
（一）知识回顾
1.PPT出示∠AOB及角平分线OC，回顾角平分线的定义及特征.
2.学生根据图形用符号语言描述角平分线的特征.
符号语言：∵OC平分∠AOB
∴∠AOC=∠BOC
3.小结：角平分线的这一特征可以帮助我们解决与角度相关的问题.
4.师：角平分线还有哪些性质呢？请大家拿出准备好的三角形纸片，按照如下过程展开探究.
（二）活动探究
【活动一】探究角平分线的性质
（1）PPT出示探究内容，学生按步骤自主探究：
学生活动：将手中的三角形纸片按如下顺序折叠： ①将∠AOB对折，记折痕为OC；②以OA(OB)为直角边剪一个直角三角形；③展开，观察分析纸片.
（2）学生以小组为单位展开讨论，并思考探究卡上的问题，组长做好记录，进行猜想.
问题一：第一条折痕分得的两个角大小有什么特点？
问题二：折成后的两个直角三角形全等吗？两条折痕PD和PE与OA和OB有什么位置关系？它们的长度有什么关系？
问题三：你能用自己的语言总结角平分线上的点的特点吗？
问题四：你能证明你的结论吗？
（3）各小组派代表阐述讨论结果及猜想（角平分线上的点到角两边的距离相等）.
（4）师：我们通过折叠三角形，根据重合图形的特征，发现了角平分线上的点到角两边
的距离相等.但是要说明猜想的准确性，还有至关重要的一步--证明.你能证明你的发现吗？
（5）学生证明结论
已知：如图，OC平分∠AOB，PD⊥OA于点D，PE⊥OB于点E.
求证：PD=PE.
证明：∵OC平分∠AOB，
∴∠AOC=∠BOC.
∵PD⊥OA，PE⊥OB，
∴∠PDO=∠PEO=90°.
又∵OP=OP ,
∴△POD≌△POE（AAS）,
∴PD=PE。
师：一般情况下，我们要证明一个几何命题时，可以按照类似的步骤进行，即：1.明确命题中的条件和结论；2.根据题意，画出图形，并用数学符号表示已知和求证；3.经过分析，写出证明过程.
（6）教师总结角平分线性质定理
角平分线的性质：角平分线上的点到角的两边的距离相等.
符号语言：∵OC平分∠AOB，PD⊥OA，PE⊥OB
∴PD=PE
（7）定理辨析练习
师：对于这一定理，我们要把握哪些关键词呢？请大家判断下列说法是否正确，并说明
理由.
①如图1，点P在射线OC上，PE⊥OA，PF⊥OB，则PE=PF.
②如图2，点P是∠AOB的平分线OC上的一点，E、F分别在OA，OB上，则PE=PF.
图1 图2
师总结：角平分线的性质定理可以理解为：一个平分，两个垂直，得一个相等.
（8）几何画板验证角平分线性质定理.
在几何画板中变换角度的大小和点P的位置，使学生再次感受到不论是锐角，直角还是
钝角，只要是角平分线上的任意一点，到角两边的距离都相等.
【活动二】探究角平分线性质定理的逆定理
（1）PPT出示问题：问题一：角平分线的性质定理的逆命题是什么？问题二：你能证明它吗？
（2）学生口答逆命题，教师板书.
逆命题：“到角两边距离相等的点在角的平分线上.”(此处学生有可能考虑不到点应该在角的内部，归纳定理时再引导学生分析辨别.)
（3）结合命题证明的方法，证明该逆命题.
已知：如图，PD⊥OA，PE⊥OB，且PD=PE，
求证：OC是∠AOB的角平分线.
证明：∵PD⊥OA，PE⊥OB，
∴∠PDO=∠PEO=90°.
又∵PD=PE，PO=PO，
∴Rt△POD≌Rt△POE（HL），
∴∠AOC=∠BOC.
即OC是∠AOB的角平分线.
归纳总结角平分线性质定理的逆定理
师：我们再次按照命题证明的一般步骤，得到了只要点P到角两边的距离相等，那么点P就一定在角的平分线上.
老师请大家再观察这样一个图形（如右图）：已知PD⊥OA于点D，PE⊥OB于点E，且PD=PE，点P在∠AOB的角平分线上吗？
观察发现，此时点P并不在∠AOB的角平分线上，它在角的外部，因此，我们在总结角平分线的性质定理的逆定理时，要注意添加前提条件：点P要在角的内部.
角平分线性质定理的逆定理：角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上。
符号语言：∵PD⊥OA，PE⊥OB，且PD=PE
∴OC是∠AOB的角平分线
师：与性质定理对比分析，逆定理的关键词是：两个垂直，一个相等，得一个平分.特别提醒大家注意的是，不论是定理还是逆定理的运用，都必须满足两个垂直这一条件.
（5）回归书本：学生再次认真学习教材P22-P23的内容，并进行相关补充.
【活动三】解决问题
师：现在，同学们是否能找到拓展基地的位置呢？
只需要做出两条河流所形成的夹角∠AOB的角平分线OC，再在射线OC上截取OD=400m，则可确定拓展基地就在点D处.
三、知识应用
师：同学们，通过刚才的探究，交流，总结，我们知道了角平分线的性质定理和逆定理，你能灵活运用这些定理解决问题吗？让我们一起来试试吧.
（一） 角平分线性质定理的运用
1.如图所示，点P是∠BAC的平分线AD上一点，PE⊥AC于点E，已知PE=5，则点P到AB的距离是 .
（学生直接口答）
变式训练 如图,∠AOE=∠BOE=15°,EF∥OB，EC⊥OB，若EC=1，则EF= .
【学生活动】小组成员交流讨论已知条件，联系角平分线的性质定理做出辅助线，整理出简洁的解题思路，并推选出中心发言人准备举手回答.
【解答过程】
解：作EG⊥OA于G，
∵∠AOE=∠BOE，EC⊥OB，EG⊥OA，
∴EG=CE=1（角的平分线上的点到角的两边的距离相等），
∵EF∥OB，
∴∠EFA=∠BOA=30°，
∴EF=2×1=2（直角三角形中30°的角所对的直角边等于斜边的一半）.
已知：如图，∠B=∠C=90°，M是BC的中点，DM和AM分别平分∠ADC和∠BAD.
求证：BM=CM.
【学生活动】1.学生自主思考，分析已知条件，写下完整的证明过程；
2.小组内部交流讨论不同的证明方法，并选择最
简洁的方法准备小组展示.
【解答过程】
证明：过点M作ME⊥AD于点E.
∵AM平分∠BAD，∠B=90°，ME⊥AD，
∴MB=ME （角平分线上的点到角两边的距离相等），
同理可证，ME=MC，
∴BM=CM.
师：通过这一组练习，我们发现，角平分线的性质定理可以用来解决与线段长度相关的问题，如求线段的长度，证明边相等，从而为证明全等提供条件.接下来我们看下一组练习.
（二）角平分线的性质定理的逆定理的运用
3.已知：如图,∠B=∠C=90 ，M是BC的中点，DM平分∠ADC.求证：AM平分∠DAB.
【学生活动】1.学生读题，根据已知条件迅速口答解题方法.
2.老师记录学生的解题过程.
【解答过程】
证明：过点M作ME⊥AD于点E.
∵M是BC的中点，
∴CM=BM.
∵DM平分∠ADC，∠C=90°，ME⊥AD，
∴MC=ME，
∴ME=MB.
又∵ME⊥AD，∠B=90°，
∴AM平分∠DAB.
师：通过这一练习，我们不难发现，角平分线的性质定理的逆定理可以用来解决与角相关的问题，如求证角相等，求角的大小等.
四、拓展延伸
刚刚基地工作人员发布了一条消息，在基地三角形区域内有一神秘礼物，已知存放礼物的位置到三角形三边的距离都相等.你能迅速找到礼物的位置吗？
五、课堂小结
同学们，通过我们的努力，掌握了与角平分线的性质相关的问题，并且能用来解决实际生活中的问题，并且终于找到了宝藏.在这一过程中，你究竟收获了什么呢？
图形 名称 图形语言 文字语言 符号语言 关键词
角平分线 性质定理 角平分线上的点到角两边的距离相等. ∵OC平分∠AOB，PD⊥OA，PE⊥OB, ∴PD=PE 一个平分，两个垂直，得一个相等.
性质定理的逆定理 角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上. ∵PD⊥OA，PE⊥OB，且PD=PE∴OC是∠AOB的角平分线 两个垂直，一个相等，得一个平分.