九年级数学下册试题 二次函数复习题--最值问题-北师大版（含答案）

二次函数复习题--最值问题
1．已知抛物线，其顶点为，与轴交于点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若直线：与抛物线第一象限交于点，交轴于点，求的值；
（3）若有两个定点，，请在抛物线上找一点，使得的周长最小，并求出周长的最小值．
2．已知抛物线（a，b为常数，）与x轴交于点，顶点为D，且过点．
(1)求抛物线解析式和点C，D的坐标；
(2)点P在该抛物线上（与点B，C不重合），设点P的横坐标为t．
①当点P在直线BC的下方运动时，求的面积的最大值；
②连接BD，当时，求点P的坐标．
3．已知：如图，是等腰直角三角形，，动点P，Q同时从A，B两点出发，分别沿，方向匀速移动，P的速度是，Q的速度是，当点P到达点B时，P，Q两点停止运动，设点P的运动时间为，解答下列问题：
（1）当t为何值时，是直角三角形？
（2）问：是否存在某一时刻t，使四边形的面积与面积差最小？如果存在，求出相应的t值；不存在，说明理由；
（3）设的长为，试确定y与t之间的关系式；写出当t分别为何值时，达到最短和最长，并写出的最小值和最大值．
4．如图，在平面直角坐标系中，直线分别交x轴、y轴于点A、点B，交双曲线于点抛物线过点B，且与该双曲线交于点D，点D的纵坐标为．
（1）求双曲线与抛物线的解析式．
（2）若点P为该抛物线上一点，点Q为该双曲线上一点，且P，Q两点的纵坐标都为，求线段的长．
（3）若点M沿直线从点A运动到点C，再沿双曲线从点C运动到点D．过点M作轴，交抛物线于点N．设线段的长度为d，点M的横坐标为m，直接写出d的最大值，以及d随m的增大而减小时m的取值范围．
5．在平面直角坐标系中，O为原点，直线与y轴交于点A，与直线交于点B，点B关于原点的对称点为点C．
(1)过A，B，C三点的抛物线的解析式为_______；
(2)P为抛物线上一点，它关于原点的对称点为Q．
①当四边形为菱形时，求点P的坐标；
②若点P的横坐标为，当t为何值时，四边形面积最大，并说明理由．
6．如图，在平面直角坐标系中，等腰的斜边在x轴上，．抛物线过点O，A，B．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）点是线段上一动点，过点P作y轴的平行线，交直线于点E，交抛物线于点F，以为一边，在的右侧作矩形．
①若，求矩形面积的最大值；
②若，矩形与等腰重叠部分为轴对称图形，求m的取值范围．
7．如图，已知抛物线y=﹣x2+bx+c与一直线相交于A(﹣1，0)，C(2，3)两点，与y轴交于点N．其顶点为D．
（1）抛物线及直线AC的函数关系式；
（2）若抛物线的对称轴与直线AC相交于点B，E为直线AC上的任意一点，过点E作EF∥BD交抛物线于点F，以B，D，E，F为顶点的四边形能否为平行四边形？若能，求点E的坐标；若不能，请说明理由；
（3）若P是抛物线上位于直线AC上方的一个动点，求△APC的面积的最大值．
8．如图，抛物线(t＞0)与x轴的交点为B，A(点B在左边)，过线段OA的中点M作MPx轴，交直线(x＞0)于点P.
(1)当t＝3时，直线MP于抛物线对称轴之间的距离为______；当直线MP于抛物线对称轴距离为3时，t＝______.
(2)把抛物线在直线MP左侧部分的图像(含与直线MP的交点)记为，用t表示最高点的坐标.
(3)在(2)的条件下，当t＞4时，图像的最高点与P之间的距离何时有最大值，并求出最大值.
9．如图1，抛物线y=ax2+bx+c经过A（﹣2，0）、B（8，0）、C（0，4）三点，顶点为D，连结AC，BC．
（1）求抛物线的函数表达式及顶点D的坐标；
（2）判断三角形ABC的形状，并说明理由；
（3）如图2，点P是该抛物线在第一象限内上的一点．
①过点P作y轴的平行线交BC于点E，若CP=CE，求点P的坐标；
②连结AP交BC于点F，求的最大值．
10．在平面直角坐标系中，O是坐标原点，直角梯形AOCD的顶点A的坐标为（0，），点D的坐标为（1，），点C在x轴的正半轴上，过点O且以点D为顶点的抛物线经过点C，点P为CD的中点．
（1）求抛物线的解析式及点P的坐标；
（2） 在y轴右侧的抛物线上是否存在点Q，使以Q为圆心的圆同时与y轴、直线OP相切．若存在，请求出满足条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）点M为线段OP上一动点（不与O点重合），过点O、M、D的圆与y轴的正半轴交于点N．求证：OM+ON为定值．
（4）在y轴上找一点H，使∠PHD最大．试求出点H的坐标．
11．已知：如图1，抛物线的顶点为，平行于轴的直线与该抛物线交于点，（点在点左侧），根据对称性恒为等腰三角形，我们规定：当为直角三角形时，就称为该抛物线的“完美三角形”．
（1）①如图2，求出抛物线的“完美三角形”斜边的长；
②抛物线与的完美三角形的斜边长的数量关系是______；
（2）若抛物线的“完美三角形”的斜边长为4，求的值；
（3）若抛物线的“完美三角形”斜边长为，且的最大值为1，求，的值．
12．在平面直角坐标系中，规定：抛物线的伴随直线为．例如：抛物线的伴随直线为，即．
（1）在上面规定下，抛物线的顶点为 ，伴随直线为 ；
（2）若顶点在第一象限的抛物线与其伴随直线相交于点A，B（点A在点B的左侧），抛物线与x轴交于点C、D（点C在点D的左侧）．
①若求的值；
②如果点是直线BC上方抛物线的一个动点，的面积记为S，当S取得最大值时，求的值．
13．如图1，正方形中，点P为对角线BD上一动点，点E在AD的延长线上，且．
(1)填空：PE的长为______；
(2)如图2，过点P作于点F，交DC于点H，延长FP交AB于点G，求证：；
(3)若点E在直线AD上运动，直线PE与直线CD交于点M，其他条件不变，则PM的长为______；
(4)若点P为正方形对角线BD上的动点，则的最小值为______．
14．如图，抛物线与轴交于，两点．
(1)求该抛物线的解析式；
(2)设（1）中的抛物线交轴于点，在该抛物线的对称轴上是否存在点，使得的周长最小？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
(3)在（1）中的抛物线上的第二象限上是否存在一点，使的面积最大？若存在，求出面积的最大值．若没有，请说明理由．
15．已知抛物线（b、c为常数），若此抛物线与某直线相交于，两点，与y轴交于点N，其顶点为D
(1)求抛物线的函数解析式和顶点D的坐标；
(2)若点P是抛物线上位于直线上方的一个动点，求的面积的最大值及此时点P的坐标；
(3)点为抛物线上的一个动点，H关于y轴的对称点为，当点落在第二象限内，且取得最小值时，求n的值
16．如图1，抛物线与x轴交于点，与y轴交于点C，点P为x轴上方抛物线上的动点，点F为y轴上的动点，连接PA，PF，AF．
(1)求该抛物线所对应的函数解析式；
(2)如图1，当点F的坐标为，求出此时△AFP面积的最大值；
(3)如图2，是否存在点F，使得△AFP是以AP为腰的等腰直角三角形？若存在，求出所有点F的坐标；若不存在，请说明理由．
17．对于平面直角坐标系xOy中的点P，Q，给出如下定义：若P，Q为某个三角形的顶点，且边PQ上的高h，满足h＝PQ，则称该三角形为点P，Q的“完美三角形”．
(1)如图1，已知点A，B在x轴上，点C在y轴上，AB＝3，BC＝6，∠OBC＝30°，试判断△ABC是否是点A，B的“完美三角形”，并说明理由；
(2)如图2，已知A（4，0），点B在x轴上，点C在直线y＝2x﹣5上，若Rt△ABC是点A，B的“完美三角形”，求点B的坐标；
(3)已知直线y＝x+2与抛物线y＝x2交于R，S两点，点M是线段RS下方抛物线上的一个动点，点N是坐标平面内一点，△RSN为点R，S的“完美三角形”，直接写出M，N两点之间距离的最小值．
18．如图，已知抛物线的解析式为，抛物线与x轴交于点A和点B，与y轴交点于点C．
(1)请分别求出点A、B、C的坐标和抛物线的对称轴；
(2)连接AC、BC，将△ABC绕点B顺时针旋转90°，点A、C的对应点分别为M、N，求点M、N的坐标；
(3)若点为该抛物线上一动点，在（2）的条件下，请求出使最大时点的坐标，并请直接写出的最大值．
19．正方形ABCD边长为2，点E、F在CB、DC延长线上，且BE=CF，AE 与BF延长线交于点G．
(1)如图1，求证AE⊥BF；
(2)如图2，点M是FG延长线上一点，MG=BG，∠MAD的平分线交BF于点N，连接CN．试探究AN、CN、BN三条线段的数量关系，并证明；
(3)如图3，G为BC上一点，过G作GH⊥DG交AB于H点，当BG=____，BH达到最大值，最大值是____ ．
20．如图，已知抛物线的图象与x轴交于点A（1，0），B（-3，0），与y轴的正半轴交于点C．
(1)求该抛物线的解析式；
(2)点D是线段上一动点，过点D作y轴的平行线，与交于点E，与抛物线交于点F．
①连接，当的面积最大时，求此时点F的坐标；
②探究是否存在点D使得为直角三角形？若存在，求出点F的坐标；若不存在，说明理由．
21．如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，AD为等腰△ABC底边BC上的高，抛物线的顶点为点A，且经过B、C两点，已知直线AB的解析式为y=x+2
(1)求该抛物线的解析式；
(2)点E为抛物线上位于直线AC上方的一点，过点E作EN⊥x轴交直线AC于点N，点M（5，b）是抛物线上的一点，点P为对称轴上一动点，当线段EN的长度最大时，求PE+PM的最小值．
(3)点H是射线BA上的一个动点，过点D作DH的垂线交射线AC于点G，过点G作OC的垂线交抛物线于点F，直接写出H点坐标为何值时， CG的长为，并写出此时点F的坐标．
22．抛物线交轴于，两点在的左边），交轴于，直线经过，两点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)如图1，点M在抛物线上，点在抛物线的对称轴上，以点A、C、M、N为顶点，AC为边的的四边形是平行四边形，请求出所有符合条件的点N的坐标．
(3)如图2，为直线上方的抛物线上一点，y轴交于点，过点作于点．设，求的最大值；
23．在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线与x轴交于A、B两点，OB=3OA，与y轴交于C点，对称轴是x=1，D为抛物线顶点．
(1)求抛物线的表达式和点D的坐标．
(2)连接AD，交y轴于点E，P是抛物线上的一个动点．Q是抛物线对称轴上一个点，是否存在以B，E，P，Q为顶点的四边形为平行四边形，若存在，求出P点坐标；若不存在，请说明理由．
(3)如图，点P在第四象限的抛物线上，连接AP、BE交于点G，设，则w有最大值还是最小值？w的最值是多少？
(4)已知点C和M关于抛物线对称轴对称，点N在直线BC上运动，求的最小值 ．
答案
1．解：（1）将点代入得：，解得，
；
（2）由题意得：
解得：或，
结合题意可得：
顶点 而
，故，
连接并延长至点，使，
则是的中垂线，连接交轴于点，
由中点公式可得：点，则，
则，
设为：
则，
解得：，
所以直线的函数表达式为：，故点，
在中，，，，
过点作与点，设：，则，
则，
解得：，则，故，
即：；
（3）作直线，交轴于点，过点作直线交于点，连接，
则点，设点，
则，
则，而，即，
而（点位于点时取等号），
故的最小值为，而，
故周长的最小值为：．
2．（1）解：把点，点代入，
可得：，解得
∴抛物线解析式为，
，
∴顶点．
把代入在，得，
∴点．
（2）解：由题意可知点P坐标为，
①如图，过点P作轴于点H，交直线BC于点E，
设直线BC的解析式为，将，点代入，
得，解得．
∴直线BC的解析式为．
∵点P的坐标为，由题意可知，
∴点E的坐标为．
∴．
∴
．
∵，
∴当时，的面积的最大值为．
②存在．
如图①，当点P在直线BC的上方，且时，则，
设直线DB的解析式为，将，点代入，
得，解得．
∴直线BD的解析式为．
∵，
∴设直线PC的解析式为．
∵，
∴．
∴．
∴直线PC的解析式为．
∴．
解得，（舍）．
当时，．
∴点P的坐标为．
如图②，当点P在直线BC的下方时，设直线PC与BD交于点M，
∵，
∴．
设，
∵，
，
∴
解得．
∴点M的坐标为．
由点和点可得直线CM的解析式为，
由，
解得，（舍）．
所以点．
综上，点P的坐标为或．
3．解：（1）由题可得：，，，，．
①当时，如图1，
，
，
．
，
解得：；
②当时，如图2，
同理可得：，
，
解得：；
综上所述；当为1或时，是直角三角形．
（2）分两种情况：
①当时，作于，如图3所示：
，
是等腰直角三角形，
，
的面积，
四边形的面积的面积的面积，
四边形的面积的面积，当时，面积差最小，
但是，不符合题意；
②当时，作于，如图4所示：
，
是等腰直角三角形，
，
的面积，
四边形的面积的面积的面积，
四边形的面积的面积，
当时，面积差最小；
因此，存在某一时刻，使四边形的面积与面积差最小，；
（3）根据题意得：时，存在的值，使最短，；理由如下：
如图3所示：，，
由勾股定理得：，
∴y=，
当时，y的最小值，
当时，；
当时，；
综上所述：当时，最短，最小值；
当到达时，恰好到达，此时秒，的最大值．
4．解：（1）令，则，
解得，
令，则，
所以，点，，
时，，
所以，点，
设双曲线解析式为，
则，
解得，
所以，双曲线解析式为，
点的纵坐标为，
，
解得，
点，
抛物线过点、，
，
解得，
抛物线的解析式为；
（2）当时，，
整理得，，
解得，，
点的坐标为，或，，
，
解得，
点的坐标为，
或；
（3）①点在上时，，
，
随的增大而减小，
②点在上时，，
，
时，有最大值为，
时，随的增大而减小，
③点在上时，，
，
由图可知，随的增大而减小，
综上所述，的最大值是，，，时，随的增大而减小．
5．（1）
解：联立两直线解析式可得，
解得，
点坐标为，
又点为点关于原点的对称点，
点坐标为，
直线与轴交于点，
点坐标为，
设抛物线解析式为，
把、、三点坐标代入可得，
解得，
抛物线解析式为，
故答案为：；
（2）
①当四边形为菱形时，则，
直线解析式为，
直线解析式为，
联立抛物线解析式可得，
解得或，
点坐标为，或，；
②当时，四边形的面积最大．
理由如下：
如图，过作，垂足为，作轴的垂线，交直线于点，
则，
线段长固定不变，
当最大时，四边形面积最大，
又（固定不变），
当最大时，也最大，
点在抛物线上，点在直线上，
点坐标为，点坐标为，
，
当时，有最大值1，此时有最大值，即四边形的面积最大．
6．解：（1）过点A作AD⊥x轴于D
∵等腰的斜边在x轴上，，
∴OD=DB==4，点B的坐标为（8，0）
∴AD==4
∴点A的坐标为（4，4）
由抛物线过点O，A，B，设抛物线的解析式为
将点A的坐标代入，得
解得：
∴抛物线的解析式为；
（2）①设抛物线与直线的右交点为C，
联立
解得：或
∴点C的坐标为（6，3）
当0≤m＜6时，如下图所示，
∴点E的坐标为（m，），点F的坐标为（m，）
∴EF=－=
∴S矩形EFGH=FG·EF==
∵＜0
∴当m=3时，S矩形EFGH有最大值，最大值为；
当6≤m≤8时，如下图所示
∴点E的坐标为（m，），点F的坐标为（m，）
∴EF=－=
∴S矩形EFGH=FG·EF==，对应抛物线的开口向上，对称轴为直线m=3，
∴在对称轴右侧，y随x的增大而增大
∵6≤m≤8
∴当m=8时，S矩形EFGH有最大值，最大值为8；
∵＜8
∴矩形面积的最大值为8；
②（i）当矩形的四个顶点都在抛物线对称轴左侧时，如下图所示，此时，m＋≤4，即m≤，
若矩形与等腰重叠部分为轴对称图形，易知此时四边形为正方形
∴EF=FG
∴=
解得：m1=，m2=（不符合前提，舍去）
∴此时m=；
（ii）当矩形的四个顶点中，E、F在抛物线对称轴左侧、G、H在抛物线对称轴右侧时，如下图所示，此时，m≤4且m＋＞4，即＜m≤4，
若矩形与等腰重叠部分为轴对称图形，易知此时抛物线的对称轴直线x=4也是矩形的对称轴
∴此时点E的横坐标m=4－FG=；
（iii）当矩形的四个顶点都在抛物线对称轴右侧，且H在AB左侧时，如下图所示，矩形与等腰重叠部分为直角梯形，不可能是轴对称图形，不符合题意，舍去；
（iiii）当点H落在AB上时，设直线与AB交于点M，
∵EH∥OB
∴∠EHA=∠OBA=45°
∴矩形与等腰重叠部分为等腰直角三角形，即为轴对称图形
∴此时符合题意
设直线AB的解析式为y=kx＋b
将点A、B的坐标代入，得
解得：
∴直线AB的解析式为y=-x＋8
由点E（m，）
∴点H的坐标为（m＋，），代入y=-x＋8中，得
=-（m＋）＋8
解得：m=
联立
解得：
∴点M的坐标为（，）
由下图可知：从点H落在AB上到点E与点M重合之前，矩形与等腰重叠部分为等腰直角三角形，即为轴对称图形
∴此时符合题意
∴≤m＜；
（iiiii）当m≥，即点E和点M重合或点E在点M右侧时，如下图所示，矩形与等腰无重叠部分，故不符合题意，舍去；
综上：m=或m=或≤m＜．
7．解：（1）将A（﹣1，0），C（2，3）代入y＝﹣x2+bx+c，得：
，解得：，
∴抛物线的函数关系式为y＝﹣x2+2x+3．
设直线AC的函数关系式为y＝kx+a（k≠0），
将A（﹣1，0），C（2，3）代入y＝kx+a，得：
，解得：，
∴直线AC的函数关系式为y＝x+1．
（2）∵y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，
∴点D的坐标为（1，4）．
当x＝1时，y＝x+1＝2，
∴点B的坐标为（1，2）．
设点E的坐标为（x，x+1）．
分两种情况考虑（如图1）：
①当点E在线段AC上时，点F在点E上方，
∴点F的坐标为（x，x+3）．
∵点F在抛物线上，
∴x+3＝﹣x2+2x+3，
解得：x1＝0，x2＝1（舍去），
∴点E的坐标为（0，1）；
②当点E在线段AC（或CA）延长线上时，点F在点E下方，
∴点F的坐标为（x，x﹣1）．
∵点F在抛物线上，
∴x﹣1＝﹣x2+2x+3，
解得：，
∴点E的坐标为（）或（，）．
综上：满足条件的点E的坐标为（0，1），（）或（，）．
（3）过点P作PM⊥x轴，垂足为点M，过点C作CN⊥x轴，垂足为N，如图2所示．
设点P的坐标为（x，﹣x2+2x+3）（﹣1＜x＜2），则点M的坐标为（x，0）．
∵点A的坐标为（﹣1，0），点C的坐标为（2，3），
∴AM＝x+1，MN＝2﹣x，PM＝﹣x2+2x+3，CN＝3，AN＝3，
∴S△APC＝S△APM+S梯形PMNC﹣S△ACN，
．
∴当x＝时，S△APC取得最大值，最大值为，此时点P的坐标为（）．
8．解：(1)时，=，
当y=0时，解得x1=3，x2=-1，
∴
∴
直线MP：
∵对称轴
∴距离为.
= ，
当y1=0时，解得x1=t，x2=-t-4，
∴
∴
∴直线MP：.
对称轴：.
∵，
∴，
∴.
(2)直线MP：
对称轴：
①当，时
，
∴坐标为
②当，时
，
∴坐标为
③当，时
，
∴坐标为
综上所述：04时，(，)；
(3)t>4时，最高点D坐标为
P点坐标为
∴无最大值
9．（1）设抛物线的解析式为y=a（x+2）（x﹣8）．
∵抛物线经过点C（0，4），
∴﹣16a=4，解得a=﹣．
∴抛物线的解析式为y=﹣（x+2）（x﹣8）=x2+x+4．
∵A（﹣2，0）、B（8，0），
∴抛物线的对称轴为x=3．
∵将x=3代入得：y=，
∴抛物线的顶点D坐标为（3，）．
（2）三角形ABC是直角三角形，理由如下：
∵AB=10，AC=2，BC=4，
∴AC2+BC2=AB2．
∴∠BCA=90°，所以三角形ABC是直角三角形.
(3) ①如图1所示：作CM⊥PE，垂足为M．
设直线BC的解析式为y=kx+b．
∵将B、C的坐标代入得：，解得k=﹣，b=4，
∴直线BC的解析式为y=﹣x+4．
设点P（m，﹣ m2+m+4），则点E（m，﹣ m+4），M（m，4）．
∵PC=EC，CM⊥PE，
∴PM=EM．
∴﹣m2+m+4﹣4=4﹣（﹣m+4），解得：m=0（舍去），m=4．
∴P（4，6）．
②作PN⊥BC，垂足为N．
由①得：PE=﹣m2+2m．
∵PE∥y轴，PN⊥BC，
∴∠PNE=∠COB=90°，∠PEN=∠BCO．
∴△PNE∽△BOC．
∴=．
∴PN=PE=（﹣m2+2m）．
由（2）知∠BCA=90°，
又∵∠PFN=∠CFA，
∴△PFN∽△CAF．
∴=﹣m2+m．
∴当m=4时，的最大值为．
10．解：（1）∵抛物线的顶点D的坐标为（1，），
∴设抛物线的解析式为y＝a(x 1)2＋，
将（0，0）代入，得a＋＝0，a＝ ，
∴抛物线的解析式为y＝ (x 1)2＋，
即 y＝ x2＋2x，
设y＝0，则x＝0或2，
∴点C的坐标为（0，2），
∵点P为CD的中点，
∴；
（2）在y轴右侧的抛物线上存在点Q，使以Q为圆心的圆同时与y轴、直线OP相切，
理由如下：
①若⊙Q在直线OP上方，则Q与D点重合，此时Q1(1，)；
②若⊙Q在直线OP下方，与y轴、直线OP切于E、F，
则QE＝QF，QE⊥y轴，QF⊥OP，
∴OQ平分∠EOF，
∵∠EOF＝120°，
∴∠FOQ＝60°，
∵∠POC＝30°，则∠QOC＝30°，
设Q(m， m)，则 m＝ m2＋2m，
解得m1＝0（舍去），m2＝，
∴Q2(， )；
（3）证明：∵在过点O、M、D的圆中，有∠MOD＝∠NOD，
∴，
∴MD＝ND，
易得OD平分∠AOP，DA⊥y轴，DP⊥OP，
∴DA＝DP，
可证得△NAD≌△MPD（HL），
∴MP＝AN，
∴OM＋ON＝OP MP＋OA＋AN＝OP＋OA＝2OA＝，
则OM＋ON＝2，即OM＋ON为定值；
（4）作过P、D两点且与y轴相切于点H的圆S，
则由圆周角大于圆外角可知，∠PHD最大．
设S（x，y），则由HS＝SD＝SP，
可得，y＝2±6，
∵0＜y＜，
∴H（0，2 6）．
11．（1）①过点作轴于，
∵△AMB为等腰直角三角形，
∴∠ABM=45°，
∵AB∥x轴，
∴∠BMN=∠ABM=45°，
∴∠MBN=90°-45°=45°，
∴∠BMN=∠MBN，
∴MN=BN，
设点坐标为，代入抛物线，得，
∴，（舍去），
∴MN=BN=1，
∴
∴
在Rt△AMB中，
∴抛物线的“完美三角形的斜边
②∵抛物线y=x2+1与y=x2的形状相同，
∴抛物线y=x2+1与y=x2的“完美三角形”的斜边长的数量关系是相等；
故答案为：相等．
（2）∵抛物线与抛物线的形状相同，
∴抛物线与抛物线的完美三角形”全等，
∵抛物线的“完美三角形”斜边的长为4，∴抛物线的“完美三角形”斜边的长为4，
∴点坐标为或，∴．
（3）∵的最大值为－1，
∴，
∴，
∵抛物线的“完美三角形”斜边长为，
抛物线的“完美三角形”斜边长为，
∴点坐标为，
∴代入抛物线，得，
∵n＞0
∴，
∴，
∴
12．（1）抛物的顶点坐标为(-1，-4)，伴随直线为，即，
故答案为：(-1，-4)；；
（2）当时，有，
解得：，
∴点C的坐标为(-1，0)，点D的坐标为(3，0)．
抛物线的伴随直线为，即，
联立，
解得：，，
①∵A(1，-4m)，B(2，-3m)，C(-1，0)，
∴，
，
．
∵∠CAB=90°，
∴，即，
解得：，（不合题意，舍去），
∴m的值为；
②过点P作PE∥y轴，交直线AC于点E，如图所示．
设直线BC的解析式为（k≠0），
将点B(2，-3m)、C(-1，0)代入，得：
，解得：，
∴直线AC的解析式为．
设点P的坐标为，则点Q的坐标为(，)，
∵P是直线BC上方抛物线上的一个动点，
∴，
∴S=，
∴当时，△PBC的面积有最大值，
依题意得：，
∴．
13．（1）
解：如图，过点P作于点F，
∵点P在正方形对角线BD上，
∴∠ADP=45°，
∵，，
∴，
∴，
在Rt△中，根据勾股定理得：
，
（2）
证明：∵，，
∴
∴，
如图，作于点I，
得到矩形，矩形，
∴GI=AD，BG=CI，
∴AD=CD=GI，
∵GI=CD，∠GIC=∠CDE=90°，
∴△HIG≌△DEC（AAS），
∴HI=DE，
∴CI=CH+HI=CH+DE，
∴BG=CH+DE．
（3）
当点M在CD边上时，过点PN⊥AD于点N，
∴PNDM，
∴△EDM∽△ENP，
∴，
由（1）得：，
∴，
∴；
当点在CD延长线上时，作于点O，
由（1）知：AO=NO=2，
∵，
∴，
∵，ON=DN，，
∴△≌△（ASA），
∴，
∴，
综上：PM的长为或
（4）
点P为正方形ABCD对角线BD上的动点，
∴BD=，
∴，
∴当时，的最小值为36．
14．（1）
解：将，代入中，
可得：，
解得：，
∴抛物线的解析式为：；
（2）
解：存在，理由如下：
如图，
∵、两点关于抛物线的对称轴对称，
∴直线与的交点即为点，此时周长最小，连接、，
∵点是抛物线与轴的交点，
∴的坐标为，
又∵，
∴直线解析式为：，
∴点坐标即为，
解得：，
∴；
（3）
解：存在，理由如下：
如图，设，过点作轴交于点，连接、、，
∵，
若有最大值，则就最大，
∴，
∵，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴当时，最大值为．
15．（1）
∵将点A和点C的坐标代入抛物线的解析式得：，解得：．
∴抛物线的解析式为 ．
∴
∴抛物线的顶点坐标为，
（2）
设直线的解析式为．
∵将点A和点C的坐标代入得，解得．
∴直线的解析式为．
如图，
设点 ，
∴，
∴ ＝，
∴
，
∴当m时，， ，
∴P（，）；
（3）
∵落在第二象限内，H关于y轴的对称点为
∴点在第一象限，即n＞0，t＞0．
∵抛物线的顶点坐标为（1，4），
∴ ，
∵在抛物线上，
∴ ，
∴ ，
∵，，
∴＝ ＝ ＝ ＝；
∴当t时，有最小值，即有最小值，
∴ ，解得或，
∵ ，
∴不合题意，舍去，
∴n的值为．
16．（1）
解：∵抛物线与x轴交于点，
∴ ，
解得：，
∴该抛物线所对应的函数解析式为；
（2）
如图1，过点P作PQy轴交直线AF于点Q，
设直线AF的解析式为，
∵，
∴，
解得：，
∴直线AF的解析式为，
设，则Q，
∴，
∴，
∵＜0，，
∴当t时，△AFP面积的最大值为；
（3）
设P（m，）（），F（0，n），
∵A（3，0），
∴OA3，OF|n|，
①当APAF，∠PAF90°时，如图2，过点P作PD⊥x轴于点D，
则∠ADP90°∠AOF，
∴∠PAD+∠APD90°，
∵∠PAD+∠FAO90°，
∴∠APD∠FAO，
在△APD和△FAO中，
，
∴△APD≌△FAO（AAS），
∴PDOA，ADOF，
∵PD，AD，OA，
∴，
解得：m0或2，
当m0时，P（0，3），AD3，
∴OF3，即|n|3，
∵点F在y的负半轴上，
∴，
∴F；
当m2时，P（2，3），AD1，
∴OF＝1，即|n|1，
∵点F在y的负半轴上，
∴，
∴F（0，）；
②当APPF，∠APF90°时，如图3，过点P作PD⊥x轴于点D，PG⊥y轴于点G，
则∠PDA∠PDO∠PGF90°，
∵∠PDO∠PGF∠DOG90°，
∴四边形PDOG是矩形，
∴∠FPG+∠FPD90°，
∵∠APD+∠FPD∠APF90°，
∴∠FPG∠APD，
在△FPG和△APD中，
，
∴△FPG≌△APD（AAS），
∴PGPD，FGAD，
∵PD，AD3﹣m，PGm，
∴m，
解得： （舍去）， ，
当m＝时，P（，），
∴＝，
∴F（0，）；
综上所述，点F的坐标为（0，）或（0，）或（0，）．
17．（1）
解：∵∠BOC＝90°，∠OBC＝30°，
∴COBC，
∵BC＝6，
∴CO＝3，
又∵AB＝3，
∴CO＝AB即△ABC的边AB上的高等于AB，
∴△ABC是点A，B的“完美三角形”；
（2）
分A、B、C为直角顶点讨论：
①若C为直角顶点，如答图1，
则∠ACB＝90°，作CH⊥AB于H，取AB中点M，
根据Rt△ABC是点A，B的“完美三角形”得AB＝CH，
∵M为AB中点，∠ACB＝90°，
∴CMAB，
CH⊥AB于H有CM≥CH，
∴AB≥AB得AB≤0，这和AB为线段矛盾，
故C不可能为直角顶点；
②若A为直角顶点，如答图2，过A作y轴平行线交直线y＝2x﹣5于C，
∵A（4，0），
∴C点横坐标＝4，代入y＝2x﹣5得C纵坐标＝3，即AC＝3，
∵Rt△ABC是点A，B的“完美三角形”，
∴AB＝3，
∴（1，0）或（7，0）；
③若B为直角顶点，如答图3，过B作y轴平行线交直线y＝2x﹣5于C，
设B（m，0），则C（m，2m﹣5），
∴BC＝|2m﹣5|，
而A（4，0），故AB＝|4﹣m|，
∵Rt△ABC是点A，B的“完美三角形”，
∴BC＝AB，即|2m﹣5|＝|4﹣m|，
由2m﹣5＝4﹣m得m＝3，此时（3，0），
由2m﹣5＝m﹣4得m＝1，此时（1，0）；
综上所述，Rt△ABC是点A，B的“完美三角形”，（1，0）或（7，0）或（3，0）；
（3）
由得，，
如答图4，
∴R（﹣1，1），S（2，4），
∴RS＝3，
∵△RSN为点R，S的“完美三角形”，
∴N到RS的距离为3，
令y＝x+2中y＝0可得x＝﹣2，即直线y＝x+2与x轴交点D（﹣2，0），
过D作DE⊥RS，在垂线上取DE＝3，（注：点M是线段RS下方抛物线上的一个动点，且M，N两点之间距离的最小值，故E应在D右侧）
∵直线y＝x+2与x轴夹角∠ODR＝45°，
∴∠ODE＝45°，
过E作EFRS交x轴于F，则△DEF是等腰直角三角形，
∵DE＝3，
∴DF＝6，
∴F（4，0），
设EF解析式为y＝x+b，将F（4，0）代入可得EF为y＝x﹣4，
即N点在直线y＝x﹣4上，且直线y＝x﹣4与y轴交点P（0，﹣4）
∵线段RS下方抛物线上的一个动点M到EF距离最近，
∴将直线y＝x﹣4平移至与抛物线只有一个交点时，此交点即为M，
设此时直线为y＝x+c，
由联立方程只有一个交点，
得，即，
可得c，即直线MN为y＝x，
∴直线MN与y轴交点G（0，），过G作GH⊥EF于H，则△GHP是等腰直角三角形，且GP，
∴GH，
∴M，N两点之间距离的最小值是，
故答案为：．
18．（1）
解：∵，
令x=0，则y=3，
令y=0，则，
解得x=-4或1，
∴A（-4，0），B（1，0），C（0，3），
∵，
∴对称轴为直线x=-；
（2）
解：如图所示：
过N作NQ⊥x轴于点Q，
由旋转性质得MB⊥x轴，∠CBN=90°，BM=AB=5，BN=BC，
∴M（1，5），∠OBC+∠QBN=90°，
∵∠OBC+∠BCO=90°，
∴∠BCO=∠QBN，
又∵∠BOC=∠NQB=90°，BN=BC，
∴△OBC≌△QNB（AAS），
∴BQ=OC=3，NQ=OB=1，
∴OQ=1+3=4，
∴N（4，1）；
（3）
解：设直线NB的解析式为y=kx+b.
∵B（1，0）、N（4，1）在直线NB上，
∴，
解得：，
∴直线NB的解析式为：y=x-，
当点P，N，B在同一直线上时|NP-BP|=NB=，
当点P，N，B不在同一条直线上时|NP-BP|＜NB，
∴当P，N，B在同一直线上时，|NP-BP|的值最大，
即点P为直线NB与抛物线的交点．
解方程组：，
解得：或，
∴当P的坐标为（1，0）或时，|NP-BP|的值最大，此时最大值为．
19．（1）
解：证明：如图1，
四边形是正方形，
，，，
，，
，
，
，
，
，
，
．
（2）
，
证明：如图2，连接，作交于点，
，，
，，
，，
，
，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
．
（3）
如图3，设，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
当时，，
当，达到最大值，最大值是，
故答案为：1，．
20．（1）
解：将点A（1，0）、B（ 3，0）代入y＝，
得：，
解得：
∴二次函数解析式为．
（2）
①令x=0，代入，得：，
∴C（0，3），
∵B（-3，0），
∴设直线BC的解析式为y=kx+b，代入得
，
解得：，
∴直线BC的解析式为：y=x+3
设F（x，），则E（x，x+3）
∴FE=-（x+3）=，
∴的面积=（）=，
∴x=-时，的面积最大，此时F（-，）；
②Ⅰ当∠CFE=90°时，如图：
∵DFy轴，
∴DF⊥x轴，
∴∠ODF=∠CFE=90°，
∴CFOB，
∴点F的纵坐标为3，
∴3=﹣﹣2x+3，
解得=0（舍去），=﹣2，
∴F（﹣2，3），
Ⅱ当∠ECF=90°时，过点C作CH⊥EF于H，
∵DFy轴，
∴DF⊥x轴，
∴∠BDE=90°，
∵C（0，3），B（﹣3，0），
∴OC=OB=3，
∴∠OBC=45°，
∴∠OEB=∠CEH=45°，
∵∠ECF=90°，
∴CE=CF，
∵CH⊥EF，
∴EF=2CH，
设D（m，0），则E（m，m+3），F（m，），
∴EF=﹣（m+3）=﹣﹣3m，CH=﹣m，
∴﹣﹣3m=﹣m，
∴=0（舍去），=﹣1，
∴点D坐标为（﹣1，0）．
∴F（﹣1，4）
综上，点F的坐标为（﹣2，3）或（﹣1，4）．
21．（1）
∵抛物线的顶点为A，
∴.A的横坐标为2，
又∵直线AB的解析式为
∴当时，，当时，
∴点A的坐标为（2，4），B（，0）
将（2，4），（，0）代入得：，
∴抛物线的解析式为．
（2）
由（1）得：
∵对称轴为直线，B（，0）
设E（t，），N（t，）
∴当时，EN最大为1
∴E（4，3）
∵AD是此抛物线的对称轴
∴过点E作AD的对称点（0，3），连接交AD于点P，此时最短，M（5，）
（3）
如图①所示：
设GF交x轴于点E，在中，，，
∴，
∴，
将代入抛物线的解析式可得：，
∴点F的坐标为（3，）
在与中，
∴，
又∵点A的坐标为（2，4）
∴H的坐标为（1，3）；
同理如图②所示，
在中，，，
∴，
∴，
将代入抛物线的解析式可得：，
∴F的坐标为（7，），
在与中，
∴，
又∵点A的坐标为（2，4）
∴H的坐标为（3，5）；
综上所述，H（1，3），点F（3，）或H（3，5），F（7，）．
22．（1）
解：当时，；
当时，，；
，，
点，在抛物线上，
，解得：，
；
（2）
当以AC为边时，点N的坐标为（，）；当以AC为对角线时，点N的坐标为（，）；
∵抛物先线的函数表达式：，
∴抛物线的对称轴为：x=，
当y=0时，，解得：x=-3或x=4，
∴点A（-3，0），
设点N（，n），点M（m，），
①当AN为平行四边形的边时，AM和CN为对角线，
，解得：，
∴N（，）
②当AM为平行四边形的边时，AN和CM为对角线，
，解得：
∴N（，），
综上：点N的坐标为：（，）或（，）．
（3）
如图1，连接，延长交轴于，
轴，
轴，
设，，
，
，且，，，
，
，
，
∵，
∴，
当时，有最大值是，
23．（1）
解：∵OB=3OA，
∴设A(-β，0)，则B(3β，0)，
∵对称轴是x=1，
∴=1，
∴β=1，
∴A(-1，0)，B(3，0)，
∴，解得：，
∴抛物线的表达式为，
当x=1时，y=1-2-3=-4，
∴点D的坐标为(1，4)；
（2）
解：∵A(-1，0)，B(3，0)，D (1，4)，
设直线AD的表达式为y=kx+c，
∴，解得，
∴直线AD的表达式为y=-2x-2，
当x=0时，y=-2，
∴点E的坐标为(0，-2)，
∵P是抛物线上的一个动点，Q是抛物线对称轴上一个点，
∴设P(m，)，Q(1，t)，
①当BE为边时，PQBE且PQ=BE，
当E对应Q，由(0，-2)变为(1，t)，要向右平移1个单位，
则当B(3，0)对应P(m，)，也要向右平移1个单位，即m=3+1=4，
∴=5，
∴P(4，5)；
当E对应P，B对应Q，由(3，0)变为(1，t)，向左平移2个单位，
则由(0，-2)变为(m，)，也向左平移2个单位，
∴m=0-2=-2，
∴m2-2m-3=5，
∴P(-2，5)；
②当BE为对角线时，BE的中点坐标为(，)，即(，)，
∴PQ的中点坐标也为(，)，
∴=，∴m=2，则=-3，
∴P(2，-3)；
综上，点P的坐标为(4，5)或(-2，5)或(2，-3)；
（3）
解：∵点P在第四象限的抛物线上，AP、BE交于点G，
设P(m，)，其中0＜m＜3，
设直线AP的表达式为y=cx+d，
∵A(-1，0)，P(m，)，
∴，解得：，
∴直线AP的表达式为y=(m-3)x+m-3，
同理求得直线BE的表达式为y=x-2，
联立方程组，得：，
解得：，
∴，
∵0＜m＜3，
∴24-8m＞0，3m-11＜0，
∴，
∴
令，
∵-3＜0，
∴当m=时，z取得最大值，w取得最小值为，
∴w有最小值，最小值为．
（4）
解：当x=0时，y=-3，
∴点C的坐标为(0，-3)，
∵点B的坐标为(3，0)，
∴OB=3，OC=3，
∴△OBC是等腰直角三角形，
∴∠OBC=∠OCB=45°，
同理求得直线BC的表达式为y=x-3，
∵点C和M关于抛物线对称轴对称，
∴点M的坐标为(2，-3)，
过点N作NH⊥x轴于点H，
∵∠OBC=45°，
∴△BHN是等腰直角三角形，
∴HN=BN，
∴，
∴当M、N、H在同一直线上时，取得最小值，
∴的最小值为3．
故答案为：3．