九年级数学下册试题 1.5 三角函数在相似三角形中的应用-北师大版（含答案）

1.5 三角函数在相似三角形中的应用
第一课时
1．如图，在中，，于点，交边于点，过点作的垂线交的延长线于点．
(1)求证：；
(2)当，，求的长
2．如图，已知在中，，垂足为点 ， 点是边的中点．
(1)求边的长；
(2)求的正弦值．
3．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，E是AC的中点，DE的延长线交BC的延长线于点F，EF＝5，∠B的正切值为
(1)求证：△BDF∽△DCF；
(2)求BC的长．
4．已知：如图，在△ABC中，AB=AC=6，BC=4，AB的垂直平分线交AB于点E，交BC的延长线于点D．
（1）求CD的长；
（2）求点C到ED的距离．
5．已知中，，，，，点是的重心，延长线交于点．
（1）求的长；
（2）求证：．
6．如图，在平行四边形中，，是对角线上的两点（点在点左侧），且．
(1)求证：四边形是平行四边形；
(2)当，，时，求平行四边形的面积．
7．如图，已知在四边形ABCD中，AC与BD相交于点O，AB⊥AC，CD⊥BD．
（1）求证：；
（2）若，S△AOD＝4，求S△BOC的值．
8．如图，已知点D、E分别在△ABC中的边BA、CA的延长线上，且DEBC．
(1)如果AD＝3，BD＝9，DE＝4，求BC的长；
(2)如果，AD＝4，sinB，过点D作BF⊥BC，垂足为点F，求DF的长．
9．如图，已知点、分别在中的边、的延长线上，且．
(1)如果，，，求的长；
(2)如果，，，过点作，垂足为点，求的长．
10．如图，在和中，，，AC与DE相交于点F，联结CE，点D在边BC上．
（1）求证：∽；
（2）若，求的值．
11．如图，在平面直角坐标系xOy中，菱形ABCD的对角线AC与BD交于点P（﹣3，4），AB⊥x轴于点E，正比例函数y＝ax的图象与反比例函数y＝的图象相交于A，P两点．
(1)求a，b的值与点A的坐标；
(2)求证：△CPD∽△AEO；
(3)求sin∠CDB的值．
12．如图，在梯形ABCD中，，，，对角线AC与BD交于点E．点F是线段EC上一点，且．
(1)求证：；
(2)如果，，求FC的长．
第二课时
1．矩形ABCD中，AB=2，AD=4，F是对角线AC上不与点A，C重合的一点，过F作FE⊥AD于E，将△AEF沿EF翻折得到△GEF，点G在线段AD上，连接CG，∠FGC=90°，延长GF交AB于H，连接CH．
(1)求证：△CDG∽△GAH；
(2)求tan∠GHC．
2．如图，在四边形中，，于点，点是延长线上一点，，于点．
(1)求证：四边形是菱形；
(2)若平分，，，求和的长．
3．如图，菱形ABCD中，，，E为AB边上一点，作，其两边分别交菱形的边于点F，G．
(1)如图1，点E与点A重合，点F，G分别在边BC，CD上，求证：；
(2)如图2，．当，点F在边BC上时，求BF的长；
(3)如图3，E为AB的中点．当时，请直接写出EG的长．
4．如图，在边长为6的正方形ABCD中，Q在CD的延长线上，H在CB的延长线上，∠HCQ绕点C逆时针旋转，得到，交AB于点E，交AD的延长线于点N，交BD于点F，NE与BD的交点为M，连结CM．当时．
(1)求ND的长．
(2)求证：
(3)求CM的长．
5．问题背景：
一次数学综合实践活动课上，小慧发现并证明了关于三角形角平分线的一个结论．如图1，已知AD是△ABC的角平分线，可证＝．小慧的证明思路是：如图2，过点C作CE∥AB，交AD的延长线于点E，构造相似三角形来证明＝．
(1)尝试证明：请参照小慧提供的思路，利用图2证明＝；
(2)应用拓展：如图3，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，D是边BC上一点．连接AD，将△ACD沿AD所在直线折叠，点C恰好落在边AB上的E点处．
①若AC＝1，AB＝2，求DE的长；
②若BC＝m，∠AED＝，求DE的长（用含m，的式子表示）．
6．如图，在矩形ABCD中，点E在边AD上，，的平分线BF交CE于点G，交CD于点F．
(1)如图1，若点E为AD中点，求证：；
(2)如图2，若，求证：；
(3)如图3，若，DF＝4，求的值．
7．已知，在中，，，．点P、H分别是边BC、AB上一点，将沿PH翻折，使得点B落在AB边上的点D处．
(1)如图1，PE平分，交AC边于点E，连接DE．
①探索PE与AB位置关系，证明你的结论；
②若，求的面积；
(2)连接CD，若，求BP的长．
8．在中，，点D是的中点，点P是上一动点（不与点C，D重合），过点C作交射线于点E，过点D作交于点F．
(1)观察猜想
如图（1）．当时，_______，线段之间的数量关系为________．
(2)类比探究
当时，如图（2），求的度数，并探究线段之间的数量关系．
(3)解决问题
当时，若，点P是边上一动点（不与点B，C，D重合），其他条件不变，当点A，F，E中的一点是另外两点的连线的中点时，直接写出的长．
第一课时答案
1．（1）
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB，
∵∠AEC=90°+∠ABC，∠ACD=90°+∠ACB，
∴∠AEC=∠ACD，
∵∠EAC=∠CAD，
∴△AEC∽△ACD．
（2）
∵∠BAE=∠DCE=90°，∠BEA=∠DEC
∴∠ABE=∠CDE，
∴tan∠B=tan∠D=，
设AE=x，则AB=AC=2x，
∵△AEC∽△ACD，
∴，
∴AD=4x，
∴ED=AD-AE=3x，
∵CE=1，CD=2，
∴ED=，
∴3x=，
∴4x=，
即AD=．
2．
（1）
∵
∴和均为直角三角形，
∵
∴
∵
∴
∵
由勾股定理得，
（2）
过点作于点F，如图，
∵，
∴//
∴
∴
∵点是边的中点
∴
∴
∵
∴
∴
∴
在中，∵
∴
∴
3．（1）
证明：∵CD⊥AB，
∴∠ADC＝90°，
∵E是AC的中点，
∴DE＝EC，
∴∠EDC＝∠ECD，
∵∠ACB＝90°，∠BDC＝90°
∴∠ECD+∠DCB＝90°，∠DCB+∠B＝90°，
∴∠ECD＝∠B，
∴∠B＝∠FDC，
又∵∠F＝∠F，
∴△BDF∽△DCF；
（2）
解：设DE＝x，则AC＝2DE＝2x，DF＝DE+EF＝x+5．
∵△BDF∽△DCF，
∴＝＝＝tan∠B＝，
∴BF＝2DF＝2（x+5），CF＝DF＝（x+5），
∴BC＝BF﹣CF＝（x+5），
在直角△ABC中，∵tan∠B＝＝，
∴BC＝2AC，即（x+5）＝2×2x，
解得x＝3
∴BC＝（3+5）＝12．
4．解：（1）过A点作AF⊥BC于点F．
∵AB=AC=6，BC=4，AF⊥BC，
∴BF=FC=2，∠BFA=90°．
∴在Rt△ABF中，．
∵DE垂直平分AB，AB=6，
∴AE=BE=3，∠DEB=90°．
在Rt△DEB中，，
∴BD=9，
∴CD=BD-BC=5．
（2）过C点作CH⊥ED于点H．
∵CH⊥ED，AB⊥ED，
∴∠DEB=∠DHC=90°，
∴CH∥AB，
∴．
∵BE=3，BD=9，CD=5，
∴，
∴点C到ED的距离CH为．
5．（1）解：∵AD⊥BC，
∴∠ADB＝∠ADC＝90°，
在Rt△ABD中，∵tanB＝＝2，
∴AD＝2BD，
∵BD2＋AD2＝AB2，
∴BD2＋4BD2＝（）2，解得BD＝1，
∴AD＝2，
在Rt△ADC中，∵∠C＝45°，
∴CD＝AD＝2，
∴BC＝BD＋CD＝1＋2＝3；
（2）解：∵点G是△ABC的重心，
∴AG＝2GE，BE＝CE＝BC＝，
∴DE＝BE BD＝ 1＝，
∵，，
∴，
而∠DEG＝∠BEA，
∴△EDG∽△EBA，
∴∠EDG＝∠B，
∴DG∥AB．
6．（1）
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，，
∴；
∵，
∴
∴，
在△ABE和△CDF中：
∴△ABE≌△CDF
∴AE=CF
又，
∴四边形是平行四边形；
（2）
解：∵在Rt△ABE中，，
∴，
设AE=3x，则BE=4x，
∴，即：，
解得（-1舍去），
∴AE=3x=3，BE=4x=4，
由（1）可知，四边形是平行四边形，
∴CF=AE=3，
∵，∠AEF=∠CFB=90°，
∴△AEF∽△BFC
∴，即，
解得：，或（舍去），
∴，
∴平行四边形的面积：．
7．（1）证明： AB⊥AC，CD⊥BD，
，
，
，
，
，
又，
；
（2）解：在 中，，
，
，
，
S△AOD＝4，
．
8．(1)
∵，
∴，
∵，
∴
∵，
∴
∴
(2)
∵，
∴，
∵
∴，
∵，
∴，
∴
∵，垂足为点，
∴，
在中，，
即，
∴
9．（1）
解：∵，
∴∠E=∠C，∠EDA=∠B，
∴△DEA∽△BCA，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴．
∴．
（2）
解：∵，
∴△DEA∽△BCA，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，垂足为点，
∴．
在中，，
即，
∴．
10．（1）∵，，
∴∽，
∴，
∵，
∴，
∴∽．
（2）∵∽，
∴，即，
在中，，
∴
∴，
∵∽．
∴，
∵
∴∽，
∴．
11．（1）
解：将点P（﹣3，4）代入y＝ax，得：4＝﹣3a，
解得：a＝﹣，
∴正比例函数解析式为y＝﹣x；
将点P（﹣3，4）代入y＝，得：﹣12＝b﹣3，
解得：b＝﹣9，
∴反比例函数解析式为y＝﹣．
∵正比例函数与反比例函数都关于原点对称，
∴点A的坐标为（3，﹣4）．
（2）
证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，ABCD，
∴∠DCP＝∠BAP，即∠DCP＝∠OAE．
∵AB⊥x轴，
∴∠AEO＝∠CPD＝90°，
∴△CPD△AEO．
（3）
解：∵点A的坐标为（3，﹣4），
∴AE＝4，OE＝3，．
∵△CPD∽△AEO，
∴∠CDP＝∠AOE，
∴sin∠CDB＝sin∠AOE＝．
12．（1）
证明：∵ ，
∴△EAD∽△ECB，
∴ ，即，
∵，∠AEB=∠DEF，
∴△ABE∽△DFE，
∴ ，
∴，
∴；
（2）
解：∵， ，，
∴ ，即AC=9，
∴ ，
∵，
∴AD=3，
∵，
∴∠BAD=90°，
∴ ，
∵△EAD∽△ECB，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，，
∴EC=6， ，
∵，
∴ ，
∴EF=4，
∴FC=EC-EF=6-4=2．
第二课时答案
1．（1）
证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠D=∠GAH=90°，
∴∠DCG+∠DGC=90°，
∵∠FGC=90°，
∴∠AGH+∠DGC=90°，
∴∠DCG=∠AGH，
∴△CDG∽△GAH；
（2）
解：由翻折得∠EGF=∠EAF，
∴∠AGH=∠DAC=∠DCG，
∵CD=AB=2，AD=4，
∴，
∴DG=CD=×2=1，
∴GA=4-1=3，
∵△CDG∽△GAH，
∴，
∴tan∠GHC=．
2．（1）
证明：∵，，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴平行四边形是菱形．
（2）
解：∵四边形是菱形，
∴，平分，，
∵平分，，
∴，和都是直角三角形，
∵，，
∴在中，，，
∴，
∴，
∴，
在中，，，
∴，
∴，
∴，
∴．
∴的长为，的长为．
3．(1)
证明：连接AC，如图，
∵四边形ABCD为菱形，
∴，．
∴，为等边三角形．
∴，．
又∵，∴．
∴．
∴．
(2)
解：连接AC，由题意可得：，
①如图，
当G在BC上时，作，交AB于点H．
∴，
∴为等边三角形．
．而
∴，，
∴．
∴．
∵，，，
∴．
②如图，
当G在CD上时，作，交BA的延长线于点H．
∵四边形ABCD为菱形，
∴．
∴四边形ACGH是平行四边形．
∴，
∴．
∵，
∴．
∴．
∴．
∴．
∴．
∵，，，
∴．
综上所述：或．
(3)
分三种情况：
第一种，如图，当G与A重合时，过作于F，连接EF，
为的中点，
四边形为平行四边形，
，
所以此时
第二种，①如图，当F与A重合，且时，
同理：四边形是平行四边形，
；
②如图，
结合①把沿折叠，则
此时
结合菱形的性质可得：落在BC上，
此时
第三种，如图，当在上，
过作，
而而为两平行线间的距离，则也为两平行线间的距离，
过作于
则
为等边三角形，
综上：的长为2，4或．
4．(1)
解：（1）由题意可知，
∵，
∴．
∵，，
∴，
∴．
(2)
证明：∵，
∴，
∵，
∴．
∵，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴．
(3)
解：∵，
∴．
∵，
∴，
∴．
∵，
∴△MCE为等腰直角三角形，
．
在Rt△BEC中，，
∴．
5．(1)
解：∵AB∥CE，
∴∠BAD=∠DEC，
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD=∠CAD，
∴∠CAD=∠DEC，
∴AC=EC，
∵∠BDA=∠CDE，
∴，
∴，
即，
∴；
(2)
①由折叠可知，AD平分∠BAC，CD=DE，
由（1）得，，
∵AC＝1，AB＝2，
∴，
∴，
解得：CD=，
∴DE= CD=；
②由折叠可知∠AED＝∠C=，
∴，
由①可知，
∴，
∴，
即：．
6．（1）
解：在矩形中，，AD∥BC
∵点为中点，
∴，
在和中，
，
∴；
∴∠AEB=∠DEC，
∵，
∴∠AEB+∠DEC=2∠AEB=180°-∠BEC=90°，
∴∠AEB=45°，
∵AD∥BC，
∴∠EBC=AEB=45°；
（2）
证明：在矩形中，，
∴∠AEB=∠EBC，
∵∠BEC=∠A=90°，
∴△ABE∽△ECB，
∴，
∵，
∴，
∵平分，
∴∠EBG=∠CBF，
∵，
∴△BEG∽△BCF，
∴，
∴，
∴；
（3）
解：过点F作FH⊥BE，交BE延长线于H，连接，如图，
∵，FH⊥BE，
∴，
∴，
∵平分，
∴∠HBF=∠CBF，
在△BHF和△BCF中，
，
∴△BHF≌△BCF（AAS），
∴BH=BC，，HF=CF，
∴，
∴，
在△BHG和△BCG中，
，
∴△BHG≌△BCG（SAS），
∴HG=CG，
∴四边形为菱形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
7．(1)
①．
证明：∵PE平分，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴．
②∵，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴由勾股定理得，
∴，
∴，，
将沿PH翻折，使得点B落在AB边上的点D处，
，
，
∴．
(2)
如图，
取AB的中点F，连接CF，
，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
，
，
，
∴，
∴，
∴，
∴．
8．(1)
连接AD，
，点D是的中点，
，，
，
，
，即，
，
，
，
在和中，又，
，
，
，
，
，
故答案为：45°，；
(2)
连接AD，
，点D是的中点，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
；
(3)
当点F是AE的中点时，如图
，
在中，根据勾股定理得，
即，
，
，
；
当点E是AF的中点时，如图，连接AD，
，
，
在中，根据勾股定理得，
即，
，
，
；
综上，的长为或．