九年级数学下册试题 2.2.1特殊二次函数的图像与性质 北师大版（含答案）

2.2.1特殊二次函数的图像与性质
第一课时
一、单选题
1．抛物线的顶点坐标为（ ）
A． B． C． D．
2．二次函数y = x2+2的对称轴为（ ）
A． B． C． D．
3．抛物线与抛物线的相同点是（　　）
A．顶点相同 B．对称轴相同
C．开口方向相同 D．顶点都在x轴上
4．二次函数的图象的顶点坐标是（　　）
A．（1，3） B．（－1，3） C．（1，－3） D．（－1，－3）
5．将抛物线：向右平移3个单位，再向上平移2个单位得到抛物线，则抛物线的函数表达式为（ ）
A． B．
C． D．
6．若，，为二次函数图像上的一点，则，，的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
7．对于二次函数的图象，下列说法正确的是（ ）
A．开口向上 B．对称轴是直线
C．当时，随x的增大而减小 D．顶点坐标为
8．抛物线y=x2，y=﹣3x2，y=﹣x2，y=2x2的图象开口最大的是（　　）
A．y=x2 B．y=﹣3x2 C．y=﹣x2 D．y=2x2
9．已知，是抛物线上两点，则正数（ ）
A．2 B．4 C．8 D．16
10．若二次函数y=mx2-（m2-3m）x+1-m的图象关于y轴对称，则m的值为（ ）
A．0 B．3 C．1 D．0或3
11．如图，直线y＝2x与直线x＝2相交于点A，将抛物线y＝x2沿线段OA从点O运动到点A，使其顶点始终在线段OA上，抛物线与直线x＝2相交于点P，则点P移动的路径长为（　　）
A．4 B．3 C．2 D．1
12．如图，抛物线y1=(x+1)2+1与y2=a(x﹣4)2﹣3交于点A(1，3)，过点A作x轴的平行线，分别交两条抛物线于B，C两点，且D，E分别为顶点.则下列结论：
①a=；②AC=AE；③△ABD是等腰直角三角形；④当x＞1时y1＞y2.
其中正确的结论是(　　)
A．①③④ B．①③ C．①②④ D．②
二、填空题
13．抛物线的顶点坐标是________．
14．抛物线与轴交点坐标为______.
15．二次函数：
①；②；③；④；⑤；⑥．
（1）以上二次函数的图象的对称轴为直线x=－1的是__________(只填序号)；
（2）以上二次函数有最大值的是_______________(只填序号)﹔
（3）以上二次函数的图象中关于x轴对称的是________________(只填序号)．
16．已知a＜﹣1，点（a﹣1，y1）、（a，y2）、（a+1，y3）都在函数y＝x2+5的图象上，则y1、y2、y3按从小到大排列为___．
17．抛物线沿某条直线平移一段距离，我们把平移后得到的新抛物线叫做原抛物线的“同簇抛物线”．如果把抛物线沿直线向上平移，平移距离为时，那么它的“同簇抛物线”的表达式是_____．
18．如图，抛物线y＝ax2+c与直线y＝3相交于点A、B，与y轴交于点C（0，﹣1），若∠ACB为直角，则当ax2+c＜0时自变量x的取值范围是_____．
19．已知二次函数y＝（x－m）2＋m2＋1，且．
（1）当m＝1时，函数y有最大值__________．
（2）当函数值y恒不大于4时，实数m的范围为__________．
20．如图，已知P是函数y1图象上的动点，当点P在x轴上方时，作PH⊥x轴于点H，连接PO．小华用几何画板软件对PO，PH的数量关系进行了探讨，发现PO﹣PH是个定值，则这个定值为 _____．
三、解答题
21．在同一直角坐标系中，画出下列三条抛物线：
，，．
（1）观察三条抛物线的相互关系，并分别指出它们的开口方向、对称轴和顶点坐标；
（2）请你说出抛物线的开口方向，对称轴及顶点坐标．
22．说出下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标．
(1)
(2)
(3)
23．根据下列条件求a的取值范围：
（1）函数y＝(a-2)x2，当x＞0时，y随x的增大而减小，当x＜0时，y随x的增大而增大；
（2）函数y＝(3a-2)x2有最大值；
（3）抛物线y＝(a+2)x2与抛物线的形状相同；
（4）函数的图象是开口向上的抛物线．
24．如图，直线l过x轴上一点，且与抛物线相交于B、C两点．B点坐标为．
(1)求抛物线解析式；
(2)若抛物线上有一点D（在第一象限内），使得，求点D的坐标．
25．已知二次函数y＝﹣（x﹣2）2+3．
（1）写出此函数图象的开口方向和顶点坐标；
（2）当y随x增大而减小时，写出x的取值范围；
（3）当1＜x＜4时，求出y的取值范围．
26．在平面直角坐标系xOy中，点A（x1，y1），B（x2，y2）在抛物线y＝ax2+2ax（0＜a＜3）上，其中x1＜x2．
（1）求抛物线的对称轴；
（2）若A（﹣2，y1），B（0，y2），直接写出y1，y2的大小关系；
（3）若x1+x2＝1﹣a，比较y1，y2的大小，并说明理由．
第二课时
一、单选题
1．已知二次函数的图象经过点，且，则m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
2．二次函数的图象过四个点，下列说法一定正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
3．已知二次函数，如果当时，，则下列说法正确的是（ ）
A．有最大值，也有最小值 B．有最大值，没有最小值
C．没有最大值，有最小值 D．没有最大值，也没有最小值
4．如图，Rt△OAB的顶点A（-2，4）在抛物线y=ax2上，将Rt△OAB绕点O顺时针旋转90°，得到△OCD，边CD与该抛物线交于点P，则点P的坐标为（ ）
A．(,) B．(2,2) C．(,2) D．(2,)
5．如图，在平面直角坐标系中，已知A（﹣2，4）、P（﹣1，0），B为y轴上的动点，以AB为边构造△ABC，使点C在x轴上，∠BAC＝90°，M为BC的中点，则PM的最小值为（ ）
A． B． C． D．
6．如图，抛物线G：（常数a为正数）．下列关于G的四个命题：
①G的最低点坐标为；
②b是任意实数，x=2+b时的函数值大于x=2－b时的函数值；
③当a=1时，G经过点（1，－1）；
④当G经过原点时，G与x轴围成的封闭区域（边界除外）内的整点（横、纵坐标都是整数）的个数为1．
其中正确的是（ ）
A．①③ B．②③ C．②④ D．①④
二、填空题
7．对于二次函数y＝ax2和y＝bx2，其自变和函数值的两组对应值如表所示：
x ﹣1 m（m≠﹣1）
y＝ax2 c c
y＝bx2 c+3 d
根据二次函数图象的相关性质可知：m＝___，c﹣d＝___．
8．已知的三个顶点为， 将向右平移 个单位后， 某一边的中点恰好落在二次函数的图象上， 则的值为____________.
9．二次函数的图象如图，点在轴的正半轴上，点，在二次函数的图象上，四边形为菱形，且，则菱形的面积为_________．
10．把二次函数的图象作关于x轴的对称变换，所得图象的解析式为，若，则m的最大值是________________．
11．已知函数y的图象如图所示，若直线y＝kx﹣3与该图象有公共点，则k的最大值与最小值的和为 _____．
12．记实数，中的最小值为，例如，当取任意实数时，则的最大值为___________．
三、解答题
13．已知抛物线是抛物线上的两点．
(1)当时，直接写出y的取值范围是____________；
(2)当时．____________；
(3)当m在不断增大时，在不断减小，而在不断增大，且，求m的取值范围．
14．如图，抛物线与轴交于A，B两点点B在点A的右侧，其顶点为C，点P为线段上一点，且过点P作，分别交抛物线于，两点点在点的右侧，连接，．
(1)直接写出A，B，C三点的坐标；用含，的式子表示
(2)猜想线段与之间的数量关系，并证明你的猜想；
(3)若，，求的值．
15．如图，抛物线的顶点为A，对称轴与x轴交于点C，当以为对角线的正方形的另外两个顶点B、D恰好在抛物线上时，我们把这样的抛物线称为“美丽抛物线”，正方形为它的内接正方形．
(1)当抛物线是“美丽抛物线”时，则 ；
(2)当抛物线是“美丽抛物线”时，则 ；
(3)若抛物线是“美丽抛物线”，求a，k之间的数量关系．
16．定义：若二次函数的图象记为，其顶点为，二次函数的图象记为，其顶点为，我们称这样的两个二次函数互为“反顶二次函数”．
分类一：若二次函数经过的顶点B，且经过的顶点A，我们就称它们互为“反顶伴侣二次函数”．
(1)所有二次函数都有“反顶伴侣二次函数”是______命题．（填“真”或“假”）
(2)试求出的“反顶伴侣二次函数”．
(3)若二次函数与互为“反顶伴侣二次函数”，试探究与的关系，并说明理由．
(4)分类二：若二次函数可以绕点M旋转180°得到二次函数；，我们就称它们互为“反顶旋转二次函数”．
①任意二次函数都有“反顶旋转二次函数”是______命题．（填“真”或“假”）
②互为“反顶旋转二次函数”的对称中心点M有什么特点？
③如图，，互为“反顶旋转二次函数”，点E，F的对称点分别是点Q，G，且轴，当四边形EFQG为矩形时，试探究二次函数，的顶点有什么关系．并说明理由．
第一课时答案
一、单选题
A．B．B．A．A．A．D．A．C．B．C．B．
二、填空题
13．（1，2）．
14．（0，2）
15． ②③ ①③⑤ ⑤⑥
16．y3＜y2＜y1．
17．．
18．﹣2＜x＜2．
19． 2
20．2．
三、解答题
21．解：（1）列表：
… -3 -2 -1 0 1 2 3 …
… 2 0 2 …
描点、连线，可得抛物线．
将的图象分别向上和向下平移3个单位，就分别得到与的图象（如图所示）．
抛物线，与开口都向上，对称轴都是y轴，顶点坐标依次是（0，0）、（0，3）和（0，-3）．
（2）抛物线的开口向上，对称轴是y轴（或直线），顶点坐标为（0，c）．
22．（1）
开口向下，对称轴为直线x=1，顶点坐标为(1，0)．
（2）
开口向上，对称轴为y轴，顶点坐标为(0，-7)．
（3）
开口向上，对称轴为直线x=-3，顶点坐标为(-3，6)
23．解：(1)由题意得，a-2＜0，解得a＜2；
(2)由题意得，3a-2＜0，解得；
(3)由题意得，，解得，；
(4)由题意得，，
解得a1＝-2，a2＝1，但a＞0，
∴a＝1．
24．（1）
把代入得：，
∴抛物线解析式为；
（2）
设直线AB的函数解析式为，
把，代入得：，，
∴直线AB的解析式为，
将与联立得：
或，
∴，，
∴，
设，
∵，
∴，
解得：，（舍），
∴．
25．解：（1）∵a＝﹣1＜0，
∴图象开口向向下；
∵y＝﹣（x﹣2）2+3，
∴顶点坐标是（2，3）；
（2）∵对称轴x＝2，图象开口向选，y随x增大而减小
∴x的取值范围为x＞2；
（3）∵抛物线的对称轴x＝2，满足1＜x＜4，
∴此时y的最大值为3，
∵当x＝1时，y＝2；当x＝4时，y＝﹣1，
∴当1＜x＜4时，y的取值范围是﹣1＜y≤3．
26．解：（1）由题意得：对称轴x==-1；
（2）∵0＜a＜3，
∴抛物线开口向上，
又∵对称轴x=-1，
∴，
∴A、B两点到对称轴的距离相等，即：=
（3）由题意得：
=
=
=
=
∵0＜a＜3，x1＜x2
∴<0，
即：<．
第二课时答案
一、单选题
B．C．C．C．C．D．
二、填空题
7．1，-3．
8．1，2，3．
9．．
10．6．
11．17．
12．3．
三、解答题
13．（1）
解：∵1>0，
∴抛物线开口向上．
∵对称轴是直线x=，
∴当x=1时函数取得最小值，当x=4时函数取得最大值，
当x=1时，，
当x=4时，，
∴当时，y的取值范围是．
（2）
解：把代入得，
把代入得，，
∵，
∴=，
解得m=0．
故答案为：0．
（3）
解：∵当m在不断增大时，在不断减小，而在不断增大，对称轴是直线x=1，
∴m<1，m+2>1．
∵，
∴比离对称轴远，
∴1-m>m+2-1．
∴，
解得－114．（1）
解：对于，
令，解得，
令，则，
故点A，B，C的坐标分别为、、；
（2）
解：，理由：
∵，点C在y轴负半轴，
∴，
∴，
则，
故点的坐标为，
当时，则，
解得，
则，
由点A，B的坐标得：，
∴；
（3）
解：当时，
由知，点的坐标为，点C的坐标为，，
∴，，，，
∵，
∴，
又∵，
，
，
∴，即，
∴，
解得．
15．（1）
解：函数的图像如下：
抛物线是美丽抛物线时，则AC=2，
∵四边形ABCD为正方形，则点D的坐标为（1，1），
将点D的坐标代入得：，
解得；
故答案为：；
（2）
解：∵，
∴顶点A的坐标为，
同理，点D的坐标为，
将点D的坐标代入得：
,
解得；
故答案为：4；
（3）
解：∵，
∴顶点A的坐标为，
同理，点D的坐标为，
将点D的坐标代入得：
,
解得．
16．(1)
解：令的顶点坐标A为（1，4），开口向上，则的顶点坐标B为（4，1），
此时C1不经过B（4，1），
∴所有二次函数都有“反顶伴侣二次函数”是假命题．
故答案为：假．
(2)
解：，则“反顶伴侣二次函数”为，
由题意，得将（2，1）代入，得
，
解得a=-1，
∴的“反顶伴侣二次函数”为．
(3)
解：∵二次函数经过的顶点B，且经过的顶点A，
∴①，
②，
①+②，得，
当h=k时，与任意非零实数；
当h≠k时，=0．
(4)
解：①如图
∵A，B的中点为M，
∴对称中心为M，
∴任意二次函数都有“反顶旋转二次函数”．
故答案为：真；
②∵M为A，B的中点，
∴M的坐标为，
即M在直线y=x上．
③解：∵轴，四边形EFQG为矩形，
∴AB∥y轴，
∴h=k，
即A，B的坐标均为（h，h），
∴A，B两点重合在直线y=x上．