九年级数学下册试题 2.2.2 二次函数y=ax2+ bx+c的图像与性质-北师大版（含答案）

2.2.2 二次函数y=ax2+ bx+c的图像与性质
第一课时
一、单选题
1．把二次函数用配方法化成的形式（ ）
A． B． C．D．
2．二次函数的图象可以由二次函数的图象平移而得到，下列平移正确的是（ ）
A．先向左平移2个单位，再向上平移1个单位
B．先向左平移2个单位，再向下平移1个单位
C．先向右平移2个单位，再向上平移1个单位
D．先向右平移2个单位，再向下平移1个单位
3．若A（，），B（，），C（，）为二次函数的图象上的三点，则的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
4．对于二次函数，下列说法正确的是（ ）
A．当，y随x的增大而增大 B．当时，y有最大值-3
C．图象的对称轴是直线 D．图象与x轴有两个交点
5．若抛物线：与抛物线：关于直线对称，则，值为（ ）
A．， B．，
C．， D．，
6．二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，根据图象可得a，b，c与0的大小关系是（　　）
A．a＞0，b＜0，c＜0 B．a＞0，b＞0，c＞0
C．a＜0，b＜0，c＜0 D．a＜0，b＞0，c＜0
7．老师给出了二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的部分对应值如表：
x … ﹣3 ﹣2 0 1 3 5 …
y … 7 0 ﹣8 ﹣9 ﹣5 7 …
同学们讨论得出了下列结论，
①抛物线的开口向上；②抛物线的对称轴为直线x＝2；③当﹣2＜x＜4时，y＜0；④当x＞1时，y随x的增大而增大；⑤若方程ax2＋bx＋c＝m有两个不相等的实数根，则m＞﹣9．其中正确的个数是（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
8．已知点，在抛物线上，且与x轴的交点为和．当时，则，应满足的关系式是（ ）
A． B． C． D．
9．二次函数的图象如图所示，下列结论：①；②；③对任意实数都有；④；其中正确结论的个数是（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
10．如图，已知抛物线与轴交于、两点，将该抛物线向右平移（）个单位长度后得到抛物线，与x轴交于、两点，记抛物线的函数表达式为．则下列结论中错误的是（ ）
A．若，则抛物线的函数表达式为：
B．
C．不等式的解集是
D．对于函数，当时，随的增大而减小
二、填空题
11．二次函数的开口___________，对称轴是______________，顶点是_________________．
12．将二次函数的图象先向右平移a个单位再向下平移2a个单位．
（1）若平移后的二次函数图象经过点，则a＝______．
（2）平移后的二次函数图象与y轴交点的纵坐标最大值为______．
13．已知二次函数y=x2-7x+，若自变量x分别取x1，x2，x3，且0＜x1＜x2＜x3，则对应的函数值y1，y2，y3的大小关系是__________________（用“<”连接）．
14．已知二次函数的图象与轴的两个交点的横坐标分别为和，求当时，x的取值范围为___________.
15．抛物线一定经过非坐标轴上的一点，则点的坐标为___________．
16．函数y=x2－4x+3 (－3≤x≤3)的最小值是_________, 最大值是__________.
17．如图，抛物线与x轴交于点和点，以下结论：
①；②；③；④当时，y随x的增大而减小．其中正确的结论有___________．（填写代表正确结论的序号）
18．将二次函数在轴下方的图象沿轴翻折到轴上方，图象的其余部分不变，得到一个新的图象（实线部分），若直线与这个图象恰好有3个公共点，则的值为______．
三、解答题
19．先确定下列拋物线的开口方向、对称轴和顶点，再描点画图：
（1）； （2）；
（3）； （4）．
20．已知二次函数的图像经过、，．
（1）求这个二次函数的解析式；
（2）如果点和点在函数图像上，那么当时，请直接写出与的大小关系：_____．
21．已知一个二次函数的图像经过三点
（1）求这个二次函数的解析式．
（2）求tan∠BAC的值.
22．已知二次函数，其图象与y轴交于点B， 与轴交于A，C两点 (点A在点C的左侧)．
(1)求三点的坐标；
(2)当取何值时，随着的增大而减小
23．已知抛物线y＝x2+x+与x轴交于A、B两点（A在B的右侧），与y轴交于点C．
（1）求点A、B、C的坐标．
（2）试判断AOC与BOC是否相似，并说明理由．
24．如图，已知抛物线与轴交于点、两点，与轴交于点，点的坐标为，抛物线与直线交于、两点，连接，．
（1）求的值；
（2）抛物线上有一点，满足，求点的坐标．
第二课时
一、单选题
1．将抛物线先向右平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度后，得到的新抛物线恰好和抛物线关于y轴对称，则m，n值为（　　）
A．m=2，n=-4 B．m=4，n=0 C．m=6，n=4 D．m=3，n=-2
2．已知二次函数和且，（　　）
A．若，，则
B．若，，则
C．若，，则
D．若，，则
3．表中所列x，y的6对值是二次函数（a≠0）图象上的点所对应的坐标，其中，n＜m．
x … ﹣3 x1 x2 x3 x4 1 …
y … m 0 c 0 n m …
根据表中信息，下列4个结论：①b﹣2a＝0；②abc＜0；③3a+c＞0；④如果x3＝，c＝﹣，那么当﹣3＜x＜0时，直线y=k与该二次函数图象有一个公共点，则﹣≤k＜；其中正确的有（　　）个．
A．1 B．2 C．3 D．4
4．抛物线：的顶点的纵坐标为2，若，则有关该函数的最值情况，下列判断正确的是（　　）
甲：最大值为2，最小值为-20；乙：最大值为20，最小值为4；丙：值不确定，故无法求最值
A．只有甲正确 B．只有乙正确
C．只有丙正确 D．甲、乙、丙均不正确
5．已知二次函数的图象经过点，，，其中a，b，c均大于0，记A、B、C到该二次函数的对称轴的距离分别为，，，若，则下列结论正确的是（ ）
A．当时，y随着x的增大而减小
B．当时，y随着x的增大而减小
C．当时，y随着x的增大而增大
D．当时，y随着x的增大而增大
6．如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点A（5，0），与y轴交于点C，其对称轴为直线x＝2，结合图象分析如下结论：①abc＞0；②b+3a＜0；③当x＞0时，y随x的增大而增大；④若一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象经过点A，则点E（k，b）在第四象限；⑤点M是抛物线的顶点，若CM⊥AM，则a＝．其中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题
7．已知函数（b，c为常数）的图像经过点，．
（1）当时，y的最大值为___________.
（2）当时，若y的最大值与最小值之和为-1，则m的值为___________.
8．抛物线与轴交于点，过点作平行于轴的直线，交该抛物线于另一点．
（1）若，将该抛物线向左平移3个单位长度后，所得新抛物线的解析式为_________；
（2）点的坐标为_________；
（3）已知点，点，若该抛物线与线段恰有一个公共点，则的取值范围是_________．
9．如图，二次函数的图像过点(，0)，对称轴为直线x=2，下列结论：
①abc<0 ②4a+b=0；③9a+c<3b；④8a+7b+2c>0；⑤若点A(，)、点B()、点C()在该函数图像上，则：⑥若方程的两根为，且，则其中正确的结论有__________． (只填序号)
10．下列关于二次函数的结论：
①该函数图像的对称轴为直线x＝m；
②若函数图像的顶点为M，与x轴交于A、B两点，则为定值；
③若P（，），Q（，）在该函数图像上，且＞，＞2m，则有＜；
④该函数图像与y轴交于C点，与x轴交于A、B两点，△ABC不可能为直角三角形．
其中正确的结论是 _____________．
三、解答题
11．设二次函数（b，c是常数）的图像与x轴交于A，B两点．
(1)若A，B两点的坐标分别为（1，0），（2，0），则函数的解析式为 ．
(2)若函数的解析式可以写成（h是常数）的形式，求 的最小值．
(3)设一次函数（n是常数），若函数的解析式还可以写成的形式，当函数的图像经过点（m，0）时，直接写出的值．
12．如图，抛物线（a≠0）与x轴交于A，B两点（点B在点A的右侧），与y轴交于点C，OB=OC，抛物线的对称轴为直线x=1．
(1)求抛物线的解析式；
(2)点P为抛物线的对称轴上一点，连接 AC，CP，AP，当△ACP的周长最小时，求点P的坐标；
(3)在（2）的情况下，在y轴上是否存在点Q，使以A，P，Q为顶点的三角形为直角三角形，若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
13．设二次函数y=﹣2（m+1）x+3﹣m，其中m是实数.
(1)若函数的图象经过点（1，﹣1），
①求此函数的表达式；
②当0≤x≤t时，﹣2≤y≤2，直接写出t的取值范围.
(2)若﹣2≤x≤2，二次函数y=﹣2（m+1）x+3﹣m的最小值为1，求m的值.
(3)已知A（﹣1，3），B（2，3），若该二次函数的图象与线段AB只有一个交点（不包括A，B两个端点），直接写出m的取值范围.
14．定义若抛物线（）与直线有两个交点，则称抛物线为直线的“双幸运曲线”，其交点为该直线的“幸运点”．
(1)已知直线解析式为，下列抛物线为该直线的“双幸运曲线”的是________；（填序号）
①； ②； ③；
(2)如图，已知直线l：，抛物线为直线l的“双幸运曲线”，“幸运点”分别为、，在直线l上方抛物线部分是否存在点使△面积最大，若存在，请求出面积的最大值和点坐标，若不存在，请说明理由；
(3)已知x轴的“双幸运曲线”（）经过点（1，3），（0，），在x轴的“幸运点”分别为、，试求的取值范围．
第一课时答案
一、单选题
C．B．B．B．D．D．C．D．D．D．
二、填空题
11． 向上；直线；．
12．3或1；2．
13．y314．或．
15．（3，4）．
16．﹣1；24.
17．①②．
18．4
三、解答题
19．解：（1）∵抛物线解析式为
∴a＝－3，b＝12，c＝－3，
∴－＝－＝2，＝＝9，
∴抛物线y＝－3x2＋12x－3的开口向下，对称轴为直线x＝2，顶点坐标是（2，9），
函数图像如下所示：
（2）∵抛物线解析式为：，
∴a＝4，b＝－24，c＝26，
∴－＝－＝3，＝＝－10，
∴抛物线y＝4x2－24x＋26的开口向上，对称轴为直线x＝3，顶点坐标是（3，－10），
函数图像如下所示：
（3）∵抛物线解析式为：，
∴a＝2，b＝8，c＝－6，
∴－＝－＝－2，＝＝－14，
∴抛物线y＝2x2＋8x－6的开口向上，对称轴为直线x＝－2，顶点坐标是（－2，－14），函数图像如下所示：
（4）∵抛物线解析式为：，
∴a＝，b＝－2，c＝－1，
∴－＝－＝2，＝＝－3，
∴抛物线y＝x2－2x－1的开口向上，对称轴为直线x＝2，顶点坐标是（2，－3），
函数图像如下所示：
20．（1）将、，代入中得：
，
解得：，
二次函数解析式为：；
（2）由题可知：，
二次函数开口向下，
对称轴为直线，
当时，图像y随x的增大而减小，
，
．
故答案为：．
21．解：（1）设二次函数解析式为y＝ax2＋bx＋c，
∴，
解得，
∴二次函数的解析式为y＝x2 4x＋3；
（2）如图，过点C作CM⊥AB于点M，
∴点M的坐标为（1，3），
∴tan∠BAC＝．
22．（1）
解：∵二次函数，
∴当x＝0时，y＝﹣3，当y＝0时，x＝3或x＝1，
∴当点A在点C的左侧时，点A的坐标为（1，0），点B的坐标为（0，﹣3），点C的坐标为（3，0）；
（2）
对于二次函数来说，
∵，
∴抛物线开口向下，
∵对称轴为直线，
∴当x＞2时，y随x的增大而减小．
23．（1）抛物线y＝x2+x+与x轴交于A、B两点，A在B的右侧，与y轴交于点C，
令，解得，
，
令，
即，
解得，
；
（2），理由如下，
如图，
，；，
，
，
，
又，
．
24．解：（1）抛物线过点，
，
；
（2）由得，，
，
，
，
当时，，无实数根；
当时，
，
或．
第二课时答案
一、单选题
C．D．C．D．D．D．
二、填空题
7． 2 或-1
8． （1）；（2）；（3）．
9．①②③④⑥．
10．①②．
三、解答题
11．（1）
解：将点A（1，0）、B（2，0）的坐标代入函数解析式，
可得，解得，
所以，该函数解析式为．
故答案为：；
（2）
根据题意，得，
又∵，
∴，
∴，
∴当时，有最小值－4；
（3）
根据题意，得，
又∵函数y的图像经过点，
∴，
∴或．
12．（1）
解：令，则，
，
，
，
，
抛物线的对称轴为直线，
，
，
，
将代入，
，
解得，
；
；
（2）
解：、关于对称轴对称，
，
，
当、、三点共线时，的值最小，此时的周长最小，
连接交对称轴于点，
设直线的解析式为，
，
解得，
，
；
（3）
解：存在点，使得以，，为顶点的三角形为直角三角形，理由如下：
在中，令，则，
解得或，
，
设，
，，，
当时，，
解得，
；
当时，，
解得，
；
当时，，
解得或，
或；
综上所述：点坐标为或或或．
13．（1）
解：①将点（1，﹣1）代入y=﹣2（m+1）x+3﹣m，
∴﹣1=1﹣2（m+1）+3﹣m，
解得m=1，
∴y=﹣4x+2；
②∵y=﹣4x+2=（x﹣2）2﹣2，
∴当x=2时，函数有最小值﹣2，
当y=2时，x=0或x=4，
∴2≤t≤4；
（2）
∵y=﹣2（m+1）x+3﹣m=﹣﹣3m+2，
∴当x=m+1时，函数有最小值﹣﹣3m+2，
当m+1≤﹣2时，即m≤﹣3，此时x=﹣2，函数有最小值，
∴4+4（m+1）+3﹣m=1，
解得m=﹣；
当﹣2＜m+1＜2时，即﹣3＜m＜1，此时﹣﹣3m+2=1，
解得m=，
∵﹣3＜m＜1，
∴m=；
当m+1≥2时，即m≥1，此时x=2，函数有最小值，
∴4﹣4（m+1）+3﹣m=1，
解得m=（舍）；
综上所述：m的值为﹣或；
（3）
∵二次函数的图象与线段AB只有一个交点，
∴或，
解得m>0或m＜﹣3.
14．（1）
解：联立
∴ 即
∴ 方程无解，
∴两个函数图象没有交点，
∴根据定义：抛物线不为该直线的“双幸运曲线”；
同理：由可得： 方程有两个不相等的实根，
∴两个函数有两个交点，
∴抛物线为该直线的“双幸运曲线”；
由可得：
解得： 方程有两个相等的实根，
∴两个函数有1个交点，
∴抛物线不为该直线的“双幸运曲线”；
故选②
（2）
存在，理由如下：
如图，过作轴交于点
联立
∴
解得：
∴
∴
设 则
∴
∴
当时，面积最大，最大面积为
此时
∴
（3）
∵（）经过点（1，3），（0，），
∴
解得：
∴抛物线为：
令 则结合题意可得方程有两个不相等的实根
∴
∴
∵
∴当时，即时，MN最小，最小值为：
∴