九年级数学下册试题 2.5 二次函数与一元二次方程-北师大版（含答案）

2.5 二次函数与一元二次方程
第一课时
一、单选题
1．抛物线与x轴的交点坐标为（　　　）
A． B． C． D．
2．若抛物线y＝x2+bx+c与x轴只有一个公共点，且过点A(m，n），B(m﹣8，n)，则n的值为（　　）
A．8 B．12 C．15 D．16
3．已知二次函数（m为常数）的图象与x轴的一个交点为，则关于x的一元二次方程的两个实数根是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
4．如图是二次函数的部分图象，与y轴的交点A的坐标是，顶点B的坐标是，根据图象可知，下列说法不正确的是（ ）
A．抛物线的对称轴是直线 B．抛物线的开口向下
C．当时， D．方程有两个解
5．如图，一次函数y＝﹣x与二次函数y＝ax2+bx+c的图象相交于点M，N，则关于x的一元二次方程ax2+（b+1）x+c＝0的根的情况是（　　）
A.有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根
C．无实数根 D．无法确定
6．对于二次函数，下列结论错误的是（ ）
A．它的图像与轴有两个交点 B．方程的两根之积为
C．它的图像的对称轴在轴的右侧 D．时，随的增大而减小
7．如图，二次函数的图象的对称轴为x＝，且经过点（﹣2，0），（），（），下列说法正确的是（　　）
A．bc＞0 B．当≥﹣时，
C．a＝2b D．不等式的解集是﹣2＜x＜
8．如图，抛物线（a≠0）与x轴交于A（－5，0）、B（1，0）两点，则下列结论中：①abc＞0；②；③＞4ac；④9a+4c＜0；⑤若m为任意实数，则a+bm≥4a－2b，正确的个数是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题
9．已知二次函数的部分图象如图所示，则关于x的一元二次方程的解为 _____．
10．若抛物线与x轴只有一个公共点，则k的值为________．
11．二次函数的图象如图所示，则三个代数式①abc，②，③中，值为正数的有______．（填序号）
12．如图，已知二次函数的图像与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点．若，则m的值是______．
13．如图，直线和抛物线，当时，x的取值范围是______．
14．抛物线中，函数y与自变量x之间的部分对应值如表：
x … 1 2 4 5 …
y … 0 4 3 …
设抛物线与y轴的交点为C，那么点C的坐标为__________，抛物线的表达式为______________________________．
15．若抛物线y＝a x 2＋bx＋c（a≠0）的对称轴为直线x＝3，且与x轴的一个交点坐标为（5，0），则一元二次方程a x 2＋bx＋c ＝0（a≠0）的根为___________．
16．在平面直角坐标系中，已知二次函数，其中，有下列结论：
①这个函数的图像必经过原点；
②若这个函数的图像经过点，则它必有最大值；
③若，则方程必有一根大于1；
④若，则当时，必有y随x的增大而增大．
其中正确的结论是___________（把正确结论的序号都填上）．
三、解答题
17．已知二次函数y=x2+mx+m2 3（m为常数，m>0）的图象经过点P(2，4)．
(1)求m的值；
(2)判断二次函数y=x2+mx+m2 3的图象与x轴交点的个数，并说明理由．
18．已知关于x的一元二次方程x2+x m=0．
(1)设方程的两根分别是x1，x2，若满足x1+x2=x1 x2，求m的值．
(2)二次函数y=x2+x m的部分图象如图所示，求m的值．
19．已知抛物线．
(1)求证：对于任意实数t，抛物线与x轴必有交点；
(2)当t为何值时，抛物线的图象与x轴的两个交点横坐标互为相反数？请说明理由．
第二课时
一、单选题
1．已知抛物线经过点和点，且对称轴在y轴的左侧，有下列结论：①；②；③抛物线经过点；④关于的一元二次方程有两个不相等的实数根．其中，正确结论的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
2．根据下表中二次函数的自变量x与函数值y的对应值，判断方程（a≠0，a，b，c为常数）的一个解x的范围是（ ）
x 6.17 6.18 6.19 6.20
y＝ax2+bx+c 0.03 0.01 0.02 0.04
A． B．
C． D．
3．表中所列x，y的6对值是二次函数（a≠0）图象上的点所对应的坐标，其中，n＜m．
x … ﹣3 x1 x2 x3 x4 1 …
y … m 0 c 0 n m …
根据表中信息，下列4个结论：①b﹣2a＝0；②abc＜0；③3a+c＞0；④如果x3＝，c＝﹣，那么当﹣3＜x＜0时，直线y=k与该二次函数图象有一个公共点，则﹣≤k＜；其中正确的有（　　）个．
A．1 B．2 C．3 D．4
4．已知a，b，c是互不相等的非零实数，有三条抛物线：，，．则这三条抛物线与x轴的交点个数情况是（ ）
A．三条抛物线中至少有一条与x轴有两个交点
B．三条抛物线中至多有一条与x轴有两个交点
C．三条抛物线与x轴都只有一个交点
D．三条抛物线与x轴都没有交点
5．对于每个非零自然数n，抛物线与x轴交于、两点，以表示这两点间的距离，则的值是（ ）
A． B． C． D．
6．如图，二次函数的图像与轴负半轴交于，对称轴为直线．有以下结论：①；②；③若点，，均在函数图像上，则；④若方程的两根为，且，则；⑤点，是抛物线与轴的两个交点，若在轴下方的抛物线上存在一点，使得，则的范围为．其中结论正确的有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
二、填空题
7．已知二次函数 的图象如图所示，并且关于x 的一元二次方程 有两个不相等的实数根，下列结论：①；②③；④．其中正确的个数有___________个
8．已知函数，若使成立的值恰好有两个，则m的取值范围为_________．
9．在平面直角坐标系中，已知二次函数，其中，有下列结论：
①这个函数的图像必经过原点；
②若这个函数的图像经过点，则它必有最大值；
③若，则方程必有一根大于1；
④若，则当时，必有y随x的增大而增大．
其中正确的结论是___________（把正确结论的序号都填上）．
三、解答题
10．在平面直角坐标系中，二次函数的图象与y轴交于点C，过点C作x轴的平行线，与抛物线交于另一点D．
(1)求点C和点D的坐标；
(2)当时，对于x的每一个值，函数的值大于二次函数的值，直接写出m的取值范围．
11．在平面直角坐标系内，二次函数（a为常数）．
(1)若函数的图象经过点（1，0），求函数的表达式；
(2)若的图象与一次函数（b为常数）的图象有且仅有一个交点，求b的值；
(3)已知（x0，n）在函数的图象上，当时，求证：n＞﹣ ．
12．在平面直角坐系中，已知抛物线G：．
(1)当时，
①抛物线G的对称轴为直线　 　；
②若抛物线上有两点，，且，m的取值范围是 　 　；
(2)已知点)，若抛物线G与线段恰有一个公共点，结合图象，求a的取值范围．
13．已知抛物线与轴有两个交点．
(1)求实数的取值范围；
(2)如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于两点(点在原点的左边，点在原点的右边)，与轴的负半轴交于点，连接，且满足，求抛物线的解析式；
(3)如图2，在（2）的条件下，直线，直线交抛物线于两点(点在点的左边)，直线交轴于点，直线交轴于点，设的纵坐标分别为、，试问是否为定值？若是定值，求出其定值，若不是定值，请说明理由．
第一课时答案
一、单选题
C．D．B．C．B．C．B．D．
二、填空题
9．．
10．16．
11．①②③．
12．4．
13．．
14．（0，3），．
15．xl＝5，x2＝1．
16．①②③④．
三、解答题
17．（1）
解：∵二次函数y= x2+mx+m2 3图象经过点P(2，4) ，
∴4=4+2m+m2 3，
即m2+2m 3=0，
解得：m1=1，m2= 3，
又∵m>0，
∴m=1；
（2）
解：由（1）知二次函数y=x2+x 2，
∵Δ=b2 4ac=12+8=9>0，
∴二次函数y=x2+x 2的图象与x轴有两个交点．
18．（1）
解：由题意得：x1+x2=-1，x1 x2=-m，
∴-1=-m．
∴m=1．
当m=1时，x2+x-1=0，
此时Δ=1+4m=1+4=5＞0，符合题意．
∴m=1；
（2）
解：图象可知：过点（1，0），
当x=1，y=0，代入y=x2+x-m，得
12+1-m=0．
∴m=2．
19．（1）
证明：对于抛物线，
，
∴对于任意实数t，抛物线与x轴必有交点；
（2）
解：令y=0，得到，
设方程的两根分别为m、n，
∵抛物线与x轴的两个交点横坐标互为相反数，
∴方程的两个根互为相反数，
∴m+n=t-1=0，
解得：t=1．
∴当t=1时，抛物线与x轴的两个交点横坐标互为相反数．
第二课时答案
一、单选题
D．C．C.A．D．B
二、填空题
7．2．
8．或．
9．①②③④．
三、解答题
10．（1）解∶∵二次函数的图象与y轴交于点C，
∴令x=0，则y=0+0+3=3，
∴C（0，3），
∵过点C作x轴的平行线，与抛物线交于另一点D，
∴二次函数，令y=3，得，
解得x=0，或x=2，
∴D(2，3)；
（2）解：∵当x=2时，，则m=
∴当时，的值小于3，
∵当时，对于x的每一个值，函数的值大于二次函数的值，且，
∴m
11．（1）
解：∵函数的图象经过点（1，0），
∴，
解得：a＝0或1，
∴函数的表达式为或；
（2）
解：∵若的图象与一次函数（b为常数）的图象有且仅有一个交点，
∴方程有两个相等的实数根，
∴，
∴，
解得：；
（3）
证明：∵，
∴，
∵抛物线的对称轴为直线，抛物线开口方向向上，
∴和时的函数值相同，
∴由图象可知当时的函数值小于当时的函数值，
即：，
∵，
∴，
∴．
12．（1）
解：当时，抛物线解析式为，
①抛物线的对称轴为：，
故答案为：1；
②由①得抛物线的对称轴为，则关于对称轴对称的点为，
∵，
∴当时，y随x增大而减小；当时，y随x增大而增大；
∴时，或，
故答案为：或；
（2）
解：根据题意得：抛物线G与线段恰有一个公共点，
的对称轴为，
对称轴与x轴的交点坐标为点，
把点代入，
解得，
∴此时抛物线的解析式为：，作出图象如图所示：
把点代入，
解得，
∴此时抛物线的解析式为：，作出图象如图所示：
把点代入，
解得，作出函数图象如图所示：
结合函数图象得：或时，抛物线G与线段恰有一个公共点．
13．（1）
解：抛物线与轴有两个交点，
，解得，
实数的取值范围为；
（2）
，
，
，
，则，即，
，
，解得，
，
，
则抛物线的解析式为；
（3）
是定值，理由如下：
当时，有，解得，
，
，
设直线的解析式为：，
则，
解得：，
直线的解析式为：，
，
设直线的解析式，，，
联立得，
则，
过点D作轴于点，过点作轴于点，
，
∴，则，
，
解得，
同理，
则，
．