九年级数学下册试题 3.7 切线长定理 北师大版（含答案）

3.7 切线长定理
第一课时
一、单选题
1．如图，P为⊙外一点，PA、PB分别切⊙于A、B两点，若，则（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
2．如图，从圆外一点引圆的两条切线，，切点分别为，，如果， ，那么弦AB的长是（ ）
A． B． C． D．
3．如图，P是⊙O外一点，PA，PB分别和⊙O切于A，B两点，C是弧AB上任意一点，过点C作⊙O的切线分别交PA，PB于点D，E.若△PDE的周长为12，则PA的长为(　 　)
A．12 B．6 C．8 D．4
4．如图，、切于点、，，切于点，交、于、两点，则的周长是（ ）
A．10 B．18 C．20 D．22
5．如图，PA，PB分别是⊙O的切线，A，B为切点，AC是⊙O的直径，已知∠BAC＝35°，则∠P的度数是( )
A．50° B．60° C．70° D．80°
6．如图，PM、PN是⊙O的切线，B、C是切点，A、D是⊙O上的点，若∠P＝44°，∠D＝98°，则∠MBA的度数为（　　）
A．38° B．28° C．30° D．40°
7．若的外接圆半径为R，内切圆半径为，则其内切圆的面积与的面积比为（ ）
A． B． C． D．
8．如图，PA，PB是⊙O的两条切线，切点分别为A，B．连接OA、OB、AB、PO，PO与AB交于点C．若，OC=1，则PO的长为（ ）
A．12 B．8 C． D．4
9．如图，在菱形中，对角线、交于点，以为直径画圆．过作的切线，切点为，分别交、于点、．已知，，则的长是（ ）
A．3 B．4 C．4.8 D．5
10．如图，在△AOB中，∠AOB＝90°，OB＝3，半径为1的⊙O与OB交于点C，且AB与⊙O相切，过点C作CD⊥OB交AB于点D，点M是边OA上动点．则△MCD周长最小值为（　　）
A．2 B． C． + D．
二、填空题
11．如图，AB、AC、BD是⊙O的切线，P、C、D为切点，如果AB=5，AC=3，则BD的长为________．
12．如图，PA、PB是⊙O的切线，若∠APO＝25°，则∠BPA＝_____．
13．如图，PA，PB是⊙O的切线，CD切⊙O于点E，△PCD的周长为12，∠AOB＝120°，则AB＝_____．
14．将直尺、有角的直角三角板和光盘如图摆放，为角与直尺的交点，为光盘与直尺的交点，若，则光盘表示的圆的半径__________．
15．如图，PA，PB是⊙O的两条切线，切点分别为A，B，连接OA，OP，AB，设OP与AB相交于点C，若∠APB=60°，OC=2cm，则PC=_________cm．
16．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线AB过点A（－3，0），B（0，3），⊙O的半径为1（O为坐标原点），点P在直线AB上，过点P作⊙O的一条切线PQ，Q为切点，则切线长PQ的最小值为____．
三、解答题
17．已知⊙的半径为，点P和圆心O的距离为．过点P画⊙的两条切线，求这两条切线的切线长．
18．如图，在△ABC中，已知∠ABC＝90o，在AB上取一点E，以BE为直径的⊙O恰与AC相切于点D，若AE＝2cm，AD＝4cm．
(1)求⊙O的直径BE的长；
(2)计算△ABC的面积．
19．如图，AB、BC、CD分别与⊙O相切于E、F、G三点，且AB∥CD，OB＝6cm，OC＝8cm．
（Ⅰ）求证：OB⊥OC；
（Ⅱ）求CG的长．
20．如图，以AB为直径作，在上取一点C，延长AB至点D，连接DC，，过点A作交DC的延长线于点E．
(1)求证：CD是的切线；
(2)若，，求AE的长．
21．已知是直径，，分别切于点，．
(1)如图①，若，求的度数；
(2)如图②，延长到点，使，连接，若，求的度数．
22．如图，是的内切圆，切点分别是、、．已知，，
(1)则的度数__________°．
(2)连接、，则的度数__________°．
(3)连接，若的周长为，求的长．
23．在中，，设是的内切圆，分别与的延长线、的延长线以及直线均只有一个公共点，的半径为m，的半径为n．
(1)当时，时，m＝ ，n＝ ．
(2)如图①，，则m＝ ，n＝ ．(用含有的代数式表示)；并求出的面积（用含有的代数式表示）；
(3)如图②，，求出的面积（用含有的代数式表示）．
第二课时
一、单选题
1．如图，在矩形中，，，，，分别与相切于，，三点，过点作的切线于点，切点为，则的长为（ ）
A． B． C． D．
2．如图，点A是⊙O外一点，过点A作⊙O的切线AB、AC，切点分别为B、C两点，连结AC并延长交BO的延长线于点D．若AB＝3，BD＝4，则⊙O的半径为（ ）
A． B． C． D．
3．如图，AB、AC为⊙O的切线，B和C是切点，延长OB到点D，使BD＝OB，连接AD，若∠DAC＝78°，则∠ADO等于（ ）
A．70° B．64° C．62° D．51°
4．如图，FA、FB分别与⊙O相切于A、B两点，点C为劣弧AB上一点，过点C的切线分别交FA、FB于D、E两点，若∠F＝60°，△FDE的周长为12，则⊙O的半径长为（　　）
A． B．2 C．2 D．3
5．如图，△ABC的顶点A是⊙O上的一个动点，∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，边AC，AB分别交⊙O于点E，D，分别过点E，D作⊙O的切线交于点F，且点F恰好在边BC上，连接OC，若⊙O的半径为6，则OC的最大值为（　　）
A． B． C． D．
6．如图，为⊙外一点，过点作⊙的切线、，与过圆心的直线交于、两点，点、为切点，线段交⊙于点．若，，，则的长度为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
7．如图，过⊙O外一点P引⊙O的两条切线PA、PB，切点分别是A、B，OP交⊙O于点C，点D是优弧上不与点A、点C重合的一个动点，连接AD、CD，若∠APB＝80°，则∠ADC的度数是 _____．
8．如图（1），与相切于点，与相交于、两点，可证明，从而有．请应用以上结论解决下列问题：如图（2），、分别与相交于、、、四点，已知，，，则________．
9．如图，的内切圆与两直角边、分别相切于点、，过劣弧不包括端点、上任一点作的切线，与、分别交于点、，，，则的周长为______．
10．如图，的内切圆与边切于点，与边相切，且与，的延长线相切（为在内的旁切圆），若，，，则________
三、解答题
11．如图，平行四边形中，，，，点P在对角线上运动（点P不与点A重合），以P为圆心，为半径作．
(1)当与边相切时，　　．
(2)当与边相切时，求的值．
(3)随着的变化，与平行四边形的边的公共点的个数也在变化．请根据的取值范围探索与平行四边形四边的公共点的个数．
12．探究问题：
(1)如图1，PM、PN、EF分别切于点A、B、C，猜想的周长与切线长PA的数量关系，并证明你的结论．
(2)如果图1的条件不变，且，的周长为16cm，求的半径．
(3)如图2，点E是的边PM上的点，于点F，与边EF及射线PM、射线PN都相切．若，，求的半径．
13．如图，内接于⊙为⊙O的直径，AD交BC于点E，且．
(1)如图1，求证：AD平分；
(2)如图2，点P为弧CD上一点，连接AP交BC于点F，过点P作⊙O的切线，交BC的延长线于点G，点H是PF的中点，求证：；
(3)如图3，在（2）的条件下，连接DF，且，点R在CG上，连接交CH于点N，，求DE的长．
第一课时答案
一、单选题
B.C．B.C．C.C．B．D．C．A．
二、填空题
11．2．
12.50°．
13．6．
14．．
15．6
16．．
三、解答题
17．解：连接AO
∵PA，PB为⊙的切线，
∴PA=PB，OA⊥PA，
∴△APO是直角三角形．
∵OA=3cm，OP=6cm，
∴cm，
∴PA=PB=cm．
18．（1）连接OD，
∴OD⊥AC
∴△ODA是直角三角形
设半径为r
∴AO＝r＋2
∴
解之得：r＝3
∴BE＝6
(2)∵∠ABC＝900
∴OB⊥BC
∴BC是⊙O的切线
∵CD切⊙O于D
∴CB＝CD
令CB＝x
∴AC＝x＋4， CB＝x，AB＝8
∵
∴x＝6.
∴S△ABC＝24（cm2）.
故答案为（1）BE＝6；(2) S△ABC＝24..
19．解：（Ⅰ）连接OF；根据切线长定理得：BE＝BF，CF＝CG，∠OBF＝∠OBE，∠OCF＝∠OCG；
∵AB∥CD，
∴∠ABC+∠BCD＝180°，
∴∠OBE+∠OCF＝90°，
∴∠BOC＝90°，
∴OB⊥OC；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，∠BOC＝90°．
∵OB＝6cm，OC＝8cm，
∴由勾股定理得到：BC＝＝10cm，
∴ 即
∴OF＝4.8cm．
∴ ＝6.4cm，
∵CF、CG分别与⊙O相切于F、G，
∴CG＝CF＝6.4cm．

20．（1）
证明：连接OC，如图，
∵AB为直径，
∴∠ACB＝90°，即∠BCO＋∠ACO＝90°，
∵OC＝OA，
∴∠ACO＝∠CAD，
又∵∠DCB＝∠CAD，
∴∠ACO＝∠DCB，
∴∠DCB＋∠BCO＝90°，即∠DCO＝90°，
∵OC是⊙O的半径，
∴CD是⊙O的切线；
（2）
解：∵∠DCO＝90°，OC＝OB，
∴OC2＋CD2＝OD2，
∴OB2＋42＝（OB＋2）2，
∴OB＝3，
∴AB＝6，AD＝8，
∵AE⊥AD，AB是⊙O的直径，
∴AE是⊙O的切线，
∵CD是⊙O的切线，
∴AE＝CE，
∵在Rt△ADE中，AD2＋AE2＝DE2，
∴82＋AE2＝（4＋AE）2，
∴AE＝6．
21．（1）
解∶如图，连接OC，
∵PC，PB分别切OO于点C，B，AB是直径，
∴∠PCO=∠PBO=90°，
∵OC=OA，
∴∠A=∠ACO=58°，
∴∠BOC=∠A+∠ACO=116°，
∴∠P=360°-90°-90°-116°=64°；
（2）
解：如图，连接OP，
∵PC，PB分别切OO于点C，B，AB是直径，
∴∠CPO=∠BPO，∠PBO=90°，
∵BD=OB，
∴PB是OD的垂直平分线，
∴PO=PD，
∴∠OPB=∠DPB，
∴∠OPB=∠DPB=∠CPO，
∵∠DPC=81°，
∴∠OPB=∠DPB=∠CPO=27°，
∴∠D=90°-27°=63°．
22．（1）
解：∵是的内切圆，切点分别是、、
∴∠BDO=∠BEO=90°
∴∠BDO+∠BEO=180°
∵∠B=180°-∠A-∠C=180-100°-20°=60°，
∴∠DOE=180°-∠B=180°-60°=120°，
又∵，
∴∠DFE=∠DOE=60°，
故答案为：60；
（2）
如图，连接，
∵是的内切圆，切点分别是、、，
∴CE=CF，AD=AF，
∴∠FAO=∠DAO=∠DAF=50°，∠FCO=∠ECO=∠ECF=10°，
∴∠AOC=180°-∠FAO-∠FCO=120°，
故答案为：120；
（3）
如图，连接DE，
∵是的内切圆，切点分别是、、，
∴CE=CF，AD=AF，BD=BE，
设AD=AF=a，BD=BE=b，CE=CF=c，
∵的周长为，
∴，a+c=6，
∴b=4，即BD=BE=4，
∵BD=BE， ∠B=60°，
∴是等边三角形，
=4．
23．（1）
如图①，设点分别是3个切点，
连接，连接
∵，
∴，
∴，
由已知，四边形为正方形，
∴，
由切线长定理可知，，
∴，
故答案为：2，12；
（2）
如图①，由切线的性质，可知，，
设的面积为，周长为，
同（1），根据面积法可知，
①如图①∵，
又∵，
∴，
故答案为：；；
（3）
如图②，
连接，由切线长定理得：
，
∵，
∴平分，
∴ ，
∴，
又∵，
∴．
第二课时答案
一、单选题
A．D．B．C.A．C．
二、填空题
7．
8．．
9．．
10．．
三、解答题
11．（1）解：∵平行四边形中，，，，
∴，，
∴，即，
∴当与边相切时，切点即为点C，则此时是的直径，
∴，
故答案为：4
（2）解：如图所示，当与边相切时，设切点为点E，连接PE，
∴，
∵，
∴是的切线，
∴，
∴，
设，则，
在中，由勾股定理得，
∴，
∴；
（3）解：由（2）可知当时，与相切，此时与平行四边形四边的公共点的个数为3个；
如图3-1所示，当时，与平行四边形四边的公共点的个数为2个；
由（1）可知当时，与相切，此时与平行四边形四边的公共点的个数为4个；
如图3-2所示，当时，与平行四边形四边的公共点的个数为4个；
如图3-3所示，当恰好经过点D时，此时与平行四边形四边的公共点的个数为3个
，连接，设，则，
在中，由勾股定理得：，
∴，
解得，
如图3-4所示，当时，与平行四边形四边的公共点的个数为4个；
如图3-5所示，当时，与平行四边形四边的公共点的个数为2个；
综上所述，当时，与平行四边形四边的公共点的个数为2个；当时，与平行四边形四边的公共点的个数为3个；当时，与平行四边形四边的公共点的个数为4个；当时，与平行四边形四边的公共点的个数为3个；当时，与平行四边形四边的公共点的个数为2个；
12．（1）
解：的周长，
证明：、分别切于、，
，
与为的切线，
，
同理得到，
的周长
；
（2）
解：如图1所示，连接，，
是的切线，
，
，
的周长为，
，
，
的半径为；
（3）
解：如图2所示，
设与射线、射线相切于，，与相切于，
则，
连接，，，
，
，
，
四边形是正方形，
，
设的半径为，
，
，，
，
，
，
即，
．
如图3所示，，
，
解得．
的半径为2或1．
13．（1）证明：如图1，连接，，
∵为⊙的直径，交于点E，且，
∴，
∴垂直平分，
∴，
∵，
∴平分；
（2）证明：连接，
∵是圆O的切线，
∴，
∴，
即，
∵为⊙的直径，交于点E，且，
∴，
∴，
∴ ，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵点H是的中点，
∴；
（3）解：连接，延长交于点M，交于点T，
∵，为⊙的直径，
∴，
∴ ，
∵点H是的中点，
∴点M是的中点，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴，
∵，
∴ ， ，
∴，
∴ ，
∴，
∴ ， ，
∵ ，
∵ ，
∴ ，
∴，
∵ ，
∴，
∴．