北师大版九年级数学下册试题 3.9 弧长及扇形面积（含答案）

3.9 弧长及扇形面积
第一课时
一、单选题
1．用一个圆心角为，半径为6的扇形做一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面圆的面积为（ ）．
A． B． C． D．
2．如图，圆锥的高，底面圆的半径，则圆锥的全面积为（ ）
A． B． C． D．
3．已知一个圆锥的底面半径与母线长的比为1∶5，圆锥的全面积为，则（ ）
A．该圆锥侧面展开图的圆心角为36° B．该圆锥的底面半径为
C．该圆锥的高为 D．该圆锥的侧面积为
4．如图，正六边形的边长为，以顶点为圆心，的长为半径画弧，则由图中阴影图形围成的圆锥的高为（ ）
A． B． C． D．
5．如图，蒙古包可以近似地看作是由圆锥和圆柱组成，若用毛毡搭建一个底面半径为5米，圆柱高3米，圆锥高2米的蒙古包，则需要毛毡的面积为（ ）
A．米2 B．米2
C．米2 D．米2
6．如图，在中，， ，．将绕直角顶点逆时针旋转得 ，则点转过的路径长为（ ）
A． B． C． D．
7．如图，公园内有一个半径为18米的圆形草坪，从地走到地有观赏路（劣弧）和便民路（线段）.已知、是圆上的点，为圆心，，小强从走到，走便民路比走观赏路少走（ ）米.
A． B．
C． D．
8．如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O分别与BC，AC交于点D，E，过点D作DF⊥AC，垂足为点F，若⊙O的半径为，∠CDF=15°， 则阴影部分的面积为（ ）
A． B．
C． D．
9．如图，边长为的正方形内接于，，分别与相切于点和点，的延长线与的延长线交于点，则图中阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
10．如图，在中，，，是的平分线，经过，两点的圆的圆心恰好落在上，分别与、相交于点、．若圆半径为2．则阴影部分面积（ ）．
A． B． C． D．
二、填空题
11．已知圆锥的母线长是9cm，它的侧面展开图的圆心角是120°，则圆锥的高为 _____cm．
12．如图，在半径为3的⊙O中，A、B、C都是圆上的点，∠ABC=60°，则的长为__________．
13．中，，以直线为轴旋转一周所得圆锥的底面圆的周长是_________，这个圆锥的侧面积是__________，圆锥的侧面展开图的圆心角是_________．
14．如图，在扇形中，半径与的夹角为，点与点的距离为，若扇形恰好是一个圆锥的侧面展开图，则该圆锥的底面半径为______.
15．如图，作的任意一条直经，分别以为圆心，以的长为半径作弧，与相交于点和，顺次连接，得到六边形，则的面积与阴影区域的面积的比值为______；
16．如图，AB是⊙O的直径，BC是⊙O的弦，先将沿BC翻折交AB于点D，再将沿AB翻折交BC于点E．若，AB＝4，则的长度为 _____．
17．如图，在等腰Rt△ABC中，AC=BC=，点P在以斜边AB为直径的半圆上，M为PC的中点，当点P沿半圆从点A运动至点B时，点M运动的路径长是___．
18．如图，在边长为的菱形中，，点分别是上的动点，且与交于点.当点从点运动到点时，则点的运动路径长为_____．
三、解答题
19．如图，点A，B，C在直径为2的⊙O上，∠BAC＝45°．
(1)求弧BC的长度；
(2)求图中阴影部分的面积．（结果中保留π）
20．如图所示，有一直径为的圆形纸片，要从中剪去一个最大的圆心角是90°的扇形ABC．
(1)求被剪掉的阴影部分的面积；
(2)用所留的扇形铁皮围成一个圆锥，该圆锥的底面圆的半径是多少？
21．如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，弦AE的延长线与过点C的切线互相垂直，垂足为D，∠CAD＝36°，连接BC．
(1)求∠B的度数；
(2)若AB＝3，求的长．
22．如图，△ABC内接于⊙O，交⊙O于点D，交BC于点E，交⊙O于点F，连接AF，CF．
(1)求证：AC＝AF；
(2)若⊙O的半径为3，∠CAF＝30°，求的长（结果保留π）．
23．如图，在中，经过A，B两点的⊙O与边BC交于点E，圆心O在BC上，过点O作交⊙O于点D，连接AD交BC于点F，且．
（1）试判断AC与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若，．求图中阴影部分的面积（结果保留）．
24．如图，中，O为圆心，圆上两点分别是定点A与动点B，连接，．以，和分别为半径作半圆C、半圆D和半圆E．
（1）若，求证：半圆C与半圆D面积之和等于半圆E的面积．
（2）若F是半圆D上的中点，且半径为5，求F运动路径长．
（3）在（2）的条件下，连接，当与其运动路线相切时，求的长，
第二课时
一、单选题
1．如图，扇形中，，，点在上，连接，点 关于的对称点刚好落在上，则阴影部分的面积是（ ）
A． B． C． D．
2．如图，C为半圆内一点，O为圆心，直径长为，，将绕圆心O逆时针旋转至，点在上，则边扫过区域（图中阴影部分）的面积为（ ）
A． B． C． D．
3．如图，边长为2的正方形ABCD的顶点A、B在一个半径为2的圆上，顶点C、D在该圆上．将正方形ABCD绕点A逆时针旋转，当点D第一次落在圆上时，点C运动的路线长为（ ）
A． B． C． D．
4．把量角器和含角的三角板按如图方式摆放：零刻度线与长直角边重合，移动量角器使外圆弧与斜边相切时，发现中心恰好在刻度处，短直角边过量角器外沿刻度处（即，）．则阴影部分的面积为（　　）
A． B．
C． D．
5．如图，等边的边长为，以为圆心，为直径的半圆经过点，连接，相交于点，将等边从与重合的位置开始，绕着点顺时针旋转，交点运动的路径长是(　　)
A． B． C． D．
二、填空题
6．如图，在扇形AOB中，∠AOB＝90°，AO＝1．分别以点A、B为圆心，AO、BO长为半径画弧，与相交，则图中阴影部分的周长为 _____．
7．如图，AB为圆锥轴截面△ABC的一边，一只蚂蚁从B地出发，沿着圆锥侧面爬向AC边的中点D，其中AB＝6，OB＝3，请蚂蚁爬行的最短距离为 ____．
8．如图，在中，，，，将绕点顺时针旋转，点的对应点落在边上，交于点，则图中阴影部分的面积为______．
9．中国科学技术馆有“圆与非圆”展品，涉及了“等宽曲线”的知识．因为圆的任何一对平行切线的距离总是相等的，所以圆是“等宽曲线”．除了圆以外，还有一些几何图形也是“等宽曲线”，如勒洛三角形（图1），它是分别以等边三角形的顶点为圆心，以其边长为半径作圆弧，由这三段圆弧围成的“曲边三角形”．如图2，勒洛三角形的周长_______圆的周长．（填“大于”、“等于”或“小于”）
10．如图，矩形ABCD为的内接矩形，，，点E为弧BC上一动点，把弓形ABE沿AE折叠，使点O恰好落在弧AE上，则图中阴影部分的面积为______．
三、解答题
11．如图，是的直径，是弦，直线经过点，于点，．
(1)求证：是的切线；
(2)求证：；
(3)若的半径为4，，求图中阴影部分的面积．
12．如图，AB是⊙O直径，以AB为边作等腰△ABC，且AB＝BC，⊙O与边AC相交于点D，过点D作DE⊥BC于点E，并交AB的延长线于点F．
(1)求证：DF是⊙O的切线．
(2)若DF＝2，∠F＝45°，求由线段BF、FD及所围成的图形（阴影部分）面积．
(3)若tanA，BD＝1，求FD的长．
13．在扇形AOB中，半径OA＝6，点P在OA上，连接PB，将沿PB折叠得到．
(1)如图1，若，且与所在的圆相切于点B，求AP的长；
(2)如图2，与相交于点D，若点D为的中点，且．
①试说明PO＝DB，
②求扇形AOB的面积．（结果保留）
14．如图，在矩形中，点E在边延长线上，，交延长线于点G，边交于点F，，以为半径的交边于点P、Q，交于点M，延长交边于点N．
(1)求证：．
(2)若，，求扇形的面积．
(3)延长交于点H，且，记，四边形的面积为S，求S关于x的函数表达式．
第一课时答案
一、单选题
D．C．C．B．A．B．D．A．C．C．
二、填空题
11．．
12．2π．
13．
14．
15．．
16．
17．．
18．
三、解答题
19．（1）
如图，连接OB，OC．
∵∠BOC＝2∠A，∠A＝45°，
∴∠BOC＝90°，
∵⊙O的直径为2，
∴OB＝OC＝1，
∴；
（2）
∵∠BOC＝90°，
∴△BOC是直角三角形，
∵⊙O的直径为2，
∴OB＝OC＝1，
∴△BOC的面积为，
∵，
即S阴＝S扇形OBC﹣S△OBC＝．
20．（1）
解：如图，连结BC，
∵∠A＝90°，
∴BC为⊙O的直径．即，
在Rt△ABC中，AB＝AC，且AB2＋AC2＝BC2，
∴AB＝AC＝1，
∴＝；
（2）
解：设圆锥底面半径为r，则的长为2πr，
∴，
∴．
21．（1）
连接OC，
∵CD是⊙O的切线，
∴OC⊥CD，
∵AE⊥CD，
∴OC∥AE，
∴∠CAD＝∠OCA，
∵OA＝OC，
∴∠OCA＝∠OAC，
∴∠COB＝2∠CAD＝36°×2＝72°，
∵OB＝OC，
∴∠B＝（180°﹣∠COB）÷2＝（180°﹣72°）÷2＝54°；
（2）
连接OE，
∵⊙O的直径AB＝3，
∴OA＝1．5，
∵∠COE＝2∠CAD＝2×36°＝72°，
∴．
22．（1）
∵，，
∴四边形ABED是平行四边形，
∴∠B＝∠D．
又∠AFC＝∠B，∠ACF＝∠D，
∴，
∴AC＝AF．
（2）
连接AO，CO．
由（1）得∠AFC＝∠ACF，
又∵∠CAF＝30°，
∴，
∴．
∴的长．
23．（1）与相切，理由如下：
，
，
，
，
又，
，
，
，
，即，
，
是的半径，
是的切线，
即与相切；
（2）如图，过点作于点，
设，
，
，
在中，，即，
解得，
，
，
，
，
在中，，
则阴影部分的面积为．
24．解（1）设半圆C和半圆D的半径为r，设半圆E的半径为R，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴半圆C与半圆D面积之和等于半圆E的面积．
（2）根据题意得出F的运动轨迹是以OF为原心的圆，如下图，连接DF、OF，
∵F是半圆D上的中点，
∴，
即△FDO是等腰直角三角形，
∵的半径为5，
∴FD=OD=，
∴，
∴F的运动路径长为
（3）∵AF与其运动路线相切，
∴OF⊥AF，
由（2）知OF=，OA=5，
∴
即△AOF为等腰直角三角形，
根据题意可知，F的位置存在，如图中F和两种情况：
①当位置在F点时，
∵△AOF为等腰直角三角形，F是半圆的中点，
∴此时B点与A点重合，即长为0；
②当位置在点时，
∵△AOF为等腰直角三角形，F是半圆的中点，
∴此时，
∵OA=5，
∴的长为，
综上，长为0或．
第二课时答案
一、单选题
B．B．A.C．B.
二、填空题
6．π+2．
7．．
8．等于．
10．．
三、解答题
11．（1）
证明：如图，连接OC，
，
，
，
，
，
，
，
OC是半径，
EF是的切线．
（2）
证明：如图，连接BC，
AB是直径，
，
，
，
，
．
（3）
解：，
，
，
是等边三角形，
，，
在中，，
，
=
=．
12．（1）
证明：连接OD，
∵OA＝OD，
∴∠OAD＝∠ODA，
又∵AB＝CB，
∴∠BAC＝∠BCA，
∴∠ODA＝∠BCA，
∴OD∥BC，
又∴DE⊥BC，
∴DE⊥OD，
又∵OD是半径，
∴DF是⊙O的切线．
（2）
解：∵∠F＝45°，∠ODF＝90°，
∴∠FOD＝45°，
∴，
∴，
∴，
∴S阴影＝S△ODF﹣S扇OBD＝4﹣π；
（3）
解：由（1）知，∠FDB＝90°﹣∠ODB，
又∵∠FAD＝90°﹣∠OBD，
∵OD＝OB，
∴∠ODB＝∠OBD，
∴∠FDB＝∠FAD．
又∵∠BFD＝∠DFA，
∴△FDB∽∠FAD．
∴，
∵，BD＝1，
∴AD＝3，
∴AB，
∴，
∴FD＝3FB，FA＝3FD，
∴FA＝9FB＝AB+FB，
∴8FB，
∴FB，
∴FD．
13．(1)
连接交于点，由折叠可知，BP垂直平分，，，．
∵与圆相切，，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴在中， ，
∴．
∴．
(2)
①连接OD，
∵点D为的中点，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴．
由折叠可知，，同理可得：，所．
②在①的基础上，可证得．
所以．
14．（1）证明：∵四边形是矩形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）解：∵，
∴，
∵中， ，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
（3）解：∵，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
设，
∵，
∴，，，
∵，
∴，
∴，（舍），
∴．