湘教版数学九年级上册 2.5 用一元二次方程解几何问题 教案（表格式）

《用一元二次方程解几何问题》
--------教学设计
一、教材分析
本节课属于湘教版（2013）九年级上册第2章P52面内容，是一元一次方程、二元一次方程组、分式方程解应用题的延续，又是学习二次函数的基础，动点问题又是中考试题的热点也是难点，它是研究数形结合重要数学模型。
二、学情分析
学生解动态几何应用题难，主要是不会分析题目中变量之间的关系，不能把动态的数学问题转换成静态数学问题来处理，建立数学模型来解决问题。初三学生具有一定的认知能力，但综合分析能力较弱，鉴于此，教者在课本例题的基础上一题多变，强化基础的同时，培养学生的发散思维能力和创新能力。
三、教学方式与教学手段
以课本例题为载体，多角度设计问题。改变问题以强化练习验证一元二次方程的根是否符合题意，然后让学生出题，让学生体验到练习题从课本例题中来，一题多变，跳出题海。能让学生体会到“学例题---变例题----我设计例题”的快乐。
四、教学目标
知识与技能
能根据具体的几何实际问题中的数量关系列出一元二次方程并求解，并检验一元二次方程的根是否符合题意。
体会方程建模思想，培养数形结合意识。
学生自己出题，培养创新能力、发散思维能力、综合分析能力。
重点：从实际问题中抽象出数量关系并列方程求解，最后对方程的解的合理性做出解释。
难点：学生自主出题，抽象实际问题中的数量关系，方程建模的全过程。
过程与方法
创设情境--精讲例题--多角度提出新问题--学生出题--合作交流
情感态度与价值观
本节课通过动态几何数学建模的分析思考过程，教师改编例题，启发学生设计新问题，激发学生学数学的兴趣，培养学生的创新思维能力。
技术准备
多媒体计算机、几何画板教学软件。
教学环节 教 师 活 动 学生活动 设计意图
创设情境 引入新课. 1、抢答激趣、导入新课抢答题：圆的面积公式平行四边形的面积公式梯形的面积公式三角形的面积公式直角三角形的面积公式 学生积极思考，检测反应能力。 快速抢答能有效激发学生学习的兴趣，以基础知识导入，为新课做铺垫，自然地引入课题。
教学环节 教 师 活 动 学生活动 设计意图
启发探究建立模型 例题4如图所示，在△ABC 中，∠C = 90°，AC = 6cm， BC = 8cm. 点P沿AC边从点A向终点C以1cm/s 的速度移动；同时点Q沿CB边从点C向终点B以2cm/s的速度移动，且当其中一点到达终点时，另一点也随之停止移动.问点P，Q出发几秒后，可使△PCQ的面积为9cm2？ 解：设点P，Q出发xs后可使△PCQ的面积为9c㎡根据题意得 AP=xcm，PC=（6-x）cm，CQ=2xcm.则由S△PCQ=PC·QC即=9整理得：x2 -6x+9=0 答：点P，Q同时出发3s后可使△PCQ的面积为9 c㎡ . 1、学生讨论如何设未知数？如何用未知数的代数式表示PC、CQ的长。如何表示三角形PCQ的面积？找到等量关系2、学生独立思考并列方程解方程，以及结合题目中的已知条件，正确决定一元二次方程两个根的取舍.请学生展示讲解解题过程。 教师通过几何画板动态演示P、Q点的运动，引导学生观察动点运动的过程中的变化情况，才能做好计算推理的过程。在变化中找到不变的性质是解决数学“动点”探究题基本思路，然后“化动为静”这也是解决动态几何数学问题中最核心的数学本质。此例题方程恰好有两个相等的实数根，且符合题意，为进一步加强一元二次方程根的检验，特设计以下几个问题，以强化检验根的步骤。
教学环节 教 师 活 动 学生活动 设计意图
探究创新 创新问题一：点P，Q出发几秒后，可使△PCQ的面积为5cm2？解：设点P，Q出发xs后可使△PCQ的面积为5c㎡根据题意得 AP=xcm，PC=（6-x）cm，CQ=2xcm.则由S△PCQ=PC·QC即=5整理得：x2 -6x+5=0 答：点P，Q同时出发1s后可使△PCQ的面积为5 c㎡ .创新问题二：点P，Q出发几秒后，可使PQ平分△ABC的面积？解：设点P，Q出发xs后可使可使PQ平分△ABC的面积？根据题意得 AP=xcm，PC=（6-x）cm，CQ=2xcm.则由S△PCQ=S△ABC即=××6×8整理得：x2 -6x+12=0 △＜0 原方程无解答：PQ不能平分△ABC的面积。创新问题三：点P，Q出发几秒后，可使四边形APQB的面积为16 cm2？解：设点P，Q出发x秒后可使四边形APQB的面积为16 cm2AP=xcm，PC=（6-x）cm，CQ=2xcm.S四边形APQB= S△ABC-S△PCQ×6×8-=16整理得：x2 -6x+8=0 答：点P，Q出发2秒后可使四边形APQB的面积为16 cm2。 学生独立列方程解方程，合作交流讨论方程的根的取舍问题，学生展示讲解解题过程。 创新问题一第四秒时Q点已经到达B点且停止运动，故X=5应舍去。设计此问题的目的在于让学生考虑到有一点到达终点时，另一点也随即停止运动（0≤x≤4）这一隐含条件去验根。创新问题二强调方程无实数根所表示的几何意义。创新问题三第四秒时Q点与B点重合，此时APQB不再是四边形，故X=4应舍去。通过以上四个问题，重点在于强化学生从实际问题中抽象出数量关系并列方程求解，最后对方程的解的合理性做出解释。验根时不仅要考虑题目中的隐含条件，还要考虑动点问题运动过程中图形的变换是否符合题意。
教学环节 教 师 活 动 学生活动 设计意图
拓展提升我来出题我来出题 教师再适当归纳一元二次方程解动点问题方法和技巧，再鼓励学生观察课件动画演示，启发学生观察思考：三角形PCQ的形状可否变为等腰直角三角形，四边形APQB的形状是否可变为特殊的四边形（梯形），直线PQ与直线AB的位置关系（平行）、三角形PCQ的面积变化有什么规律（极大值）、三角形PCQ与三角形ABC的形状是否可以相似？能建立方程模型，求出时间吗？学生设计问题一：P、Q出发几秒后三角形PCQ是等腰三角形？解：设x秒后PC=CQ则有AP=x PC=6-x CQ=2x6-x=2x解得 x=2学生设计问题二：P、Q出发几秒后四边形APQB 是梯形（或PQ//AB）？解：设x秒后PQ//AB则有AP=x PC=6-x CQ=2x BC=8 AC=6即 解得：x=2.4学生设计问题三P、Q出发几秒后三角形PCQ与三角形ABC相似？解：(1)设x秒后PQ//AB则有△PCQ∽△ACBAP=x PC=6-x CQ=2x BC=8 AC=6即 解得：x=2.4解：（2）设x秒后则有△PCQ∽△BCAAP=x PC=6-x CQ=2x BC=8 AC=6即 解得: x=答：2.4秒或后△PCQ与△ACB相似。学生设计问题四：P、Q出发几秒后三角形PCQ的面积达到最大值？最大值是多少？ 解：设x秒后则有△PCQ的面积达到最大值AP=x PC=6-x CQ=2x BC=8 AC=6S△PCQ= =6x- x2 =-( x2 -6x+9)+9 = -(x-3)2 +9当X=3时△PCQ的面积达到最大值9。 1、合作交流在题目已知条件不变的情况下，设计一个问题并列出方程求解：2、学生各组选派代表依次展示设计的问题。3、学生通过建立数学模型验证。 此环节在小组合作交流的基础上老师适当点拨，出题解题然后验证充分发挥学生的想象能力，创新意识，能让学生体会到“学例题---变例题----我设计例题”的快乐。
课堂小结 通过本课的学习，请试着谈一谈。你学到了什么？你有什么发现？你有什么样的收获？作业：课后习题A组1、2题
总之本节课教者以课本例题为基础，灵活变通，从不同的角度提出新问题，巩固基础的同时启发学生应用创新，培养了学生的发散思维能力、综合分析能力和创新能力。