2022-2023学年江苏省连云港市高二下学期6月检测数学试卷（word版含解析）

2022-2023学年江苏省连云港市高二下学期6月检测试卷
数学试题
第I卷（选择题）
一、单选题（本大题共8小题，共40分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 函数在区间上单调递减．( )
A. B. C. D.
2. 已知函数的图象在 处的切线方程为，则 ( )
A. B. C. D.
3. 在道题中有道数学题和道物理题，如果不放回地依次抽取道题，则在第一次抽到数学题条件下，第二次抽到数学题的概率是( )
A. B. C. D.
4. 若函数在区间内单调递增，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
5. 某地计划在月日至月日举办“菊花花会”，如图是某展区的一个菊花布局图，现有个不同品种的菊花可供选择摆放，要求相邻的两个展区不使用同一种菊花，则不同的布置方法有( )
A. 种 B. 种 C. 种 D. 种
6. 函数的图像大致为( )
A. B.
C. D.
7. 有种不同颜色的涂料，给图中的个区域涂色，要求相邻区域的颜色不相同，则不同的涂色方法共有( )
A. 种 B. 种 C. 种 D. 种
8. 若对任意的、，且，，则的最小值是( )
A. B. C. D.
二、多选题（本大题共4小题，共20分。在每小题有多项符合题目要求）
9. 下列等式中，正确是( )
A. B.
C. D.
10. 已知，则( )
A. 展开式中所有项的二项式系数和为 B. 展开式中所有奇次项系数和为
C. 展开式中所有偶次项系数和为 D.
11. 下列说法正确的有( )
A. 曲线在点处的切线方程为．
B. 已知函数在处取得极值，则函数的极小值为．
C. 已知函数的图象与轴恰有两个公共点，则或．
D. 若函数有两个不同的极值点，则实数的取值范围是．
12. 已知函数，则以下结论正确的是( )
A. 函数的单调减区间是
B. 函数有且只有个零点
C. 存在正实数，使得成立
D. 对任意两个正实数，，且，若则
第II卷（非选择题）
三、填空题（本大题共4小题，共20分）
13. 过点作曲线的切线，则切线方程是 ．
14. 二项式的展开式中常数项是__________．
15. 已知函数，若函数至少有两个零点，则 的取值范围是 ．
16. 已知是函数的导函数，在定义域内满足，且，若，则实数 的取值范围是 ．
四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. 本小题分
已知函数．
若是的极值点，求的单调区间；
求的取值范围，使得恒成立．
18. 本小题分
名师生站成一排照相留念，其中老师名，男同学名，女同学名．
若两位女生相邻，但都不与老师相邻的站法有多少种？
若排成一排，其中甲不站最左边，乙不站最右边的站法有多少种？
现有个相同的口罩全部发给这名学生，每名同学至少发个口罩，则不同的发放方法有多少种？
19. 本小题分
年是中国共产主义青年团成立周年，某市团委决定举办一次共青团史知识擂台赛．该市县团委为此举办了一场选拔赛，选拔赛分为初赛和决赛，初赛通过后才能参加决赛，决赛通过后将代表县参加市赛．已知县甲、乙、丙位选手都参加初赛且通过初赛的概率均为，通过初赛后再通过决赛的概率依次为，，，假设他们之间通过与否互不影响．
求这人中至少有人通过初赛的概率；
设这人中参加市赛的人数为，求的分布列；
某品牌商赞助了县的这次共青团史知识擂台赛，提供了两种奖励方案：
方案：参加了选拔赛的选手都可参与抽奖，每人抽奖次，每次中奖的概率均为，且每次抽奖互不影响，中奖一次奖元；
方案：参加了选拔赛未进市赛的选手一律奖元，进入了市赛的选手奖元．
若品牌商希望给予选手更多的奖励，试从三人奖金总额的数学期望的角度分析，品牌商选择哪种方案更好．
20. 本小题分
如图所示，某小区有一个半径为米、圆心角为的扇形花圃，点，在弧上，且小区物业计划在弓形区域阴影部分种植观赏植物，区域种植花卉，其余区域种植草皮已知种植观赏植物的成本是每平方米元，种植花卉的成本是每平方米元，种植草皮的成本是每平方米元记，．
用表示弓形的面积
求种植总费用的最小值及相应的值．
21. 本小题分
已知二项式．
若它的二项式系数之和为．
求展开式中二项式系数最大的项；
求展开式中系数最大的项；
若，求二项式的值被整除的余数．
22. 本小题分
已知函数，，
设的导函数为，试讨论的零点个数
设，当时，若恒成立，求实数的取值范围．
答案和解析
1.【答案】
【解析】【分析】本题考查利用导数研究函数的单调性．
求出导函数，由解不等式求解，然后选择即可．
【解答】由函数解析式知定义域是，
又，由，解得，
故函数的单调递减区间是，，
是是真子集，故选D．
2.【答案】
【解析】【分析】本题考查切线方程问题，属于基础题目．
根据导数的几何意义可得 ，从而可得 的值，再利用切点在曲线也在切线上，可得 的值，即可求得答案．
【解答】因为 ，所以 ．
又 的图象在 处的切线方程为 ，
所以 ，解得 ，
则 ，所以 ，切点为
代入切线方程得 ，解得 ，故 ．故选：．
3.【答案】
【解析】【分析】本题考查条件概率的计算，属于基础题．
分析出第一次抽到数学题条件下，剩余试题的特征，从而即可求出概率．
【解答】在第一次抽到数学题的条件下，还剩下道试题，其中有道数学题和道物理题，
因此第二次抽到数学题的概率．故选B．
4.【答案】
【解析】【分析】本题考查已知单调性求参问题，以及恒成立问题，属于中档题目．
求出函数的导数，将问题转化为 在 恒成立，令 ，求出 的取值范围，从而可求得的取值范围．
【解答】由函数 ，
可得 ，
若 在区间 内单调递增，
则 在 上恒成立，
即 在 上恒成立，
令
由于 ，

故 ，即实数的取值范围是 ．故选：．
5.【答案】
【解析】【分析】本题考查两种计数原理的应用，排列问题，属于中档题．
先放，分、选则同一种花和不同种花两种情况，再考虑、，由分步乘法和分类加法原理可得答案．
【解答】先放，共有种选择，
若、选择同一种花，有四种选择，剩下的、均有三种选择，共种，
若、选择不同种花，有种选择，剩下的、均有两种选择，共种，
故共有种．故本题选D．
6.【答案】
【解析】【分析】本题考查函数图像的判定，涉及利用导数研究函数的单调性和函数的零点，属中档题，
求出函数的导数，并利用导数研究函数的单调性，进而做出判断即可．
【解答】，
令，即，
与的图像有个交点，即有个零点，
不妨设为，
易知在和上单调递增，在上单调递减，排除，；
，排除，故选D．
7.【答案】
【解析】
【分析】本题考查两个计数原理的综合应用，属于中档题．
先涂区域，则有种方法，再按，区域涂相同颜色的涂料与不同颜色的涂料分类，结合两个计数原理可得．
【解答】先涂区域，则有种方法，
若，区域涂相同颜色的涂料，则有种方法，，，区域分别有种方法，
根据分步乘法原理，共有种方法；
先涂区域，则有种方法，
若，区域涂不同颜色的涂料，则有种方法，则区域有种方法，，分别有种方法，
根据分步乘法原理，共有种方法．
故不同的涂色方法共有种．故选D．
8.【答案】
【解析】
【分析】本题考查了函数的单调性问题，考查函数恒成立以及转化思想，考查导数的应用，属于较难题．
问题等价于，令，根据函数的单调性求出的范围即可．
【解答】由已知，，
等价于，
即，
，，
令，则，又，
在是减函数，
由，得，即减区间为
则．故选D．
9.【答案】
【解析】【分析】本题考查排列数公式，组合数公式应用，考查阶乘运算．
利用阶乘、排列组合数公式作转化判断各选项正误．
【解答】：，正确；
：，错误；
：，正确；
：，正确；故选ACD．
10.【答案】
【解析】【分析】本题主要考查二项式定理的应用，注意根据题意，分析所给代数式的特点，通过给二项式的赋值，求展开式的系数和，可以简便的求出答案，属于中档题．
由题意利用二项式系数的性质，分析所给代数式的特点，得展开式中所有项的二项式系数和判断，通过给二项式的赋值，求展开式的系数和，从而即可判断．
【解答】，
故所有项的二项式系数和为，故A正确；
令，可得 ，
令，可得，
，并除以，可得展开式中所有偶次项系数和为，
故C正确；
，并除以，可得，故B错误；
令，可得，而，
，故D正确，故选：．

11.【答案】
【解析】【分析】
本题考查利用导数研究函数单调性、极值，导数几何意义，二次函性质，属于较难题．
利用导数几何意义可判断，利用导数研究函数极值，可判断，，利用导数研究函数极值，再结合二次函数性质可判断．
【解答】对于，，又，
所以在处的切线方程为，化简得，故A错误；
对于，因为，该函数的定义域为，
所以，
由已知条件可得，解得：，
所以，
则，
列表如下：
递增 极大值 递减 极小值 递增
所以，函数的极小值为，故B正确；
对于，求导函数可得，
令，可得或令，可得，
函数在，上单调递增，在上单调递减，
函数在处取得极大值，在处取得极小值，
函数的图象与轴恰有两个公共点，
极大值等于或极小值等于，
或，
或，故C正确；
对于，因为函数有两个不同的极值点，
所以在有个不同的零点，
所以方程在上有两个不同的实根，
所以，解得，
故实数的取值范围是，故D错误．故选BC．
12.【答案】
【解析】【分析】本题考查利用导数研究函数的单调性，导数中的零点问题，导数中的不等式问题，属于中档题．
求出导函数，得到单调性，可判断；分别构造函数，利用导数分析函数的单调性与最值，判断，，．
【解答】函数定义域为，，
当时，，故函数单调递减，
当时，，故函数单调递增，则A正确；
令，
，
则函数在上单调递减，
又，，
函数有且只有个零点，即B正确；
，可得，
令，
则，
令，则，
在上单调递增，在上单调递减，
，，
在上单调递减，
函数无最小值，当时，，
不存在正实数，使得恒成立，即不正确；
因为，且，
由可知，，
令，
则，
则函数在上单调递减，
则，即，
则，
因为，则，
因为函数在上单调递增，
则，即．
故选ABD．

13.【答案】
【解析】【分析】本题考查了利用导数研究曲线的切线方程，属于基础题．
设切点为，利用导数的几何意义求出切线的斜率，表示出切线方程，再将代入，求出的值，可得结果．
【解答】令，则，
设切点为，则，
所以切线方程为，
代入，得，
解得：，
所以切线方程为，整理得：．
故答案为：．
14.【答案】
【解析】【分析】本题考查了二项展开式的特定项与特定项的系数，考查了学生的运算能力，属于基础题．
求出展开式的通项公式，然后令的指数为，即可求解．
【解答】二项式的展开式的通项公式为，
令，解得，
则展开式的常数项为．故答案为：．
15.【答案】
【解析】【分析】本题考查函数零点问题，属于中档题目．
根据题意转化为 至少有两个不同的解，令 ，转化为函数 的图象与 至少有两个交点，求得 ，求得函数 单调性和极值，结合图象，即可求解．
【解答】由题意，函数 至少有两个零点，即 至少有两个不同的解，
令 ，则函数 的图象与 至少有两个交点，
又由 ，
令 ，解得 ，令 ，解得 或 ，
所以函数 在 上单调递减，在 上单调递增，
且 ， ，当 时， ，
作出函数 的图象，如图所示，
由图象可知， ，即实数 的取值范围是 ．
故答案为： ．
16.【答案】
【解析】【分析】本题考查利用导数证明不等式及求参问题，属于较难题目．
由 ，得 ，利用 ，可求得 ，利用导数证明 在 上递增， 等价于 ，由单调性可得结果．
【解答】由 ，
得 ，
，
令 可得．
，
即 ， ，
令 ，
当 时， ，当 时， ，
所以 在 上单调递减，在 上单调递增，
，
，所以函数 在 上单调递增，
，
，
可得 ，解得 ，
即实数 的取值范围是 ．
故答案为： ．
17.【答案】函数的定义域为，，
因为是的极值点，所以，解得，
当时，，
令，得或；令，得
所以函数的单调增区间为，单调减区间为
要使得恒成立，即时恒成立，
设，则，
当时，由得单调减区间为，由得单调增区间为，
故，得；
当时，由得单调减区间为，
由得单调增区间为，，此时，不合题意；
当时，在上单调递增，此时，不合题意；
当时，由得单调减区间为，由得单调增区间为，，此时，不合题意；
综上所述：当时，恒成立．

【解析】本题考查利用导数研究函数的单调性，考查利用导数研究不等式恒成立问题，属于中档题．
根据题意得出，求出，进而由求得增区间，由求得减区间；
根据题意将问题转化为时恒成立，设，求出，分类讨论参数，得到，即可得到的取值范围．
18.【答案】先把除两位女生和老师这人外的人排好，有 种排法，
由于两名女生相邻，故再把两名女生排好，有 种排法，
最后把排好的女生这个整体与老师分别插入原先排好的人之间及两端的个空隙中，有 种排法．故排法共有 种．
法一：甲在最右边时，其他的可全排，有 种方法；
甲不在最右边时，可从余下的个位置任选一个，有 种，而乙可排在除去最右边的位置后剩下的个中任选一个有 种，其余人全排列，只有 种不同排法，
共有 种．
法二：名学生全排列，只有 种方法，
其中甲在最左边时，有 种方法，乙在最右边时，有 种方法，
其中都包含了甲在最左边且乙在最右边的情形，有 种方法，
共有 种．
法一：个相同的口罩，每位同学先拿一个，剩下的个口罩排成一排有个间隙，插入块板子分成份，每一种分法所得份给到个人即可，所以不同的发放方法 种．
法二：先分发给每位学生个口罩，再将剩下只相同的口罩分给位同学，有五类分法：
四只口罩分给人，有 种分法；
四只口罩分成，，三份分给人，有 种分法；
四只口罩分成，两份分给人，有 种分法；
四只口罩分成，两份分给人，有 种分法；
四只口罩分成，，，四份分给人，有 种分法；
则共有 种分法．
19.【答案】人都没通过初赛的概率为，
所以这三人中至少有人通过初赛的概率．
依题意可能取值为，，，设事件表示“甲参加市赛”，事件表示“乙参加市赛”，事件表示“丙参加市赛”，
则，，，
则，
，
，
，
所以的分布列为：
方案设三人中奖人数为，所获奖金总额为元，则，
且∽，所以元，
方案记甲、乙、丙三人获得奖金之和为元，则的所有可能取值为，，，，
由知，的分布列为：
则，
因为，所以从三人奖金总额的数学期望的角度分析，品牌商选择方案更好．
【解析】本题考查概率计算、考查离散型随机变量的分布列和期望，属于中档题．
利用对立事件的概率公式即可求解
依题意可能取值为，，，设事件表示“甲参加市赛”，事件表示“乙参加市赛”，事件表示“丙参加市赛”求出概率，列出分布列即可
分别求出两种方案的期望，比较即可作出判断．
20.【答案】，
，
，．
设种植总费用为元，由题意得，
令，，
则，
令得，，，
时，，单调递减，
时，，单调递增，
所以当时，取得最小值，此时取得最小值，
，
故当的值为时，总种植费用取最小值元
【解析】本题主要考查了实际应用问题，以及三角函数的最值问题，考查利用导数求函数的最值问题，同时考查了转化能力和运算求解的能力，属于较难题．
根据扇形面积公式以及三角形面积公式即可求得；
令，，求导求出取得最小值，
可得，故得到答案．
21.【答案】 ，．
所以二项展开式的通项为 ．
二项式系数最大的项为第，项，
，
．
设展开式中系数最大的项为第项，则
， ，
，解得 ，
所以 或 ，
所以展开式中系数最大的项为第，项，
，
．
当 时， ，
因为
，
所以二项式的值被整除的余数就是 被整除的余数，
因为
，
所以 被整除的余数为，
所以二项式的值被整除的余数为．

【解析】本题考查二项式展开式，二项式的系数问题以及综合应用问题，属于较难题目．
先求出 的值，由于展开式共有项，所以二项式系数最大的项为第，项，设展开式中系数最大的项为第项，然后列不等式组可求得结果；
由于 ，所以将问题转化为 被除的余数，而 ，从而可求得答案．
22.【答案】，令，
函数的零点即为的方程的根，令，
，
当或时，，单调递增，
当时，，单调递减，
且，，
时，，时，，且当或时，当
时，则的大致图象如图所示：
由数形结合可知，当或时，有一个零点
当或时，有两个零点
当时，有三个零点
当时，无零点．
当时，若成立，
即对恒成立，
即对恒成立，
亦即对恒成立，
设函数，对恒成立，又，
设，，
当时，，此时点在上单调递减，当
时，，此时在上单调递增，
，
在上单调递增，又，在上恒成立，
令，则，
当时，在上恒成立，，此时满足已知条件，
当时，由，解得，
当时，，此时在上单调递减，
当时，，此时在上单调递增，
的最小值，解得，
综上，的取值范围是．