(共8张PPT)
第二十四章 圆
培优精练36 圆中的最值问题(福建热点)
如图，在平面直角坐标系xOy中，已知点A(1，0)，B(3，0)，C为平面内的动点，且满足∠ACB＝90°，D为直线y＝x上的动点，则线段CD的最小值为_______．
1．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AC＝12，AB＝10，D是AC上的一个动点，以AD为直径的⊙O交BD于E，连接CE，则线段CE的最小值是___．
8
2．[2023·厦门思明区月考]我们发现：若AD是△ABC的中线，则有AB2＋AC2＝2(AD2＋BD2)，请利用结论解决问题：如图，在矩形ABCD中，已知AB＝20，AD＝12，E是DC的中点，点P在以AB为直径的半圆上运动，则CP2＋EP2的最小值是____．
68
3．直线y＝－ x－2与x轴，y轴分别交于A，B两点，圆心为(0，2)且与x轴
相切的圆上有一动点P，则点P到直线AB的距离的最小值为_______．
4．如图，在平面直角坐标系中，⊙A的圆心的坐标为(－2，0)，半径为2，点P为直线y＝－ x＋6上的动点，过点P作⊙A的切线，切点为Q，则切线长PQ的最小值是_____．
5．在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝3，AC＝4，D，E分别是AC，BC上的一点，且DE＝3.若以DE为直径的圆与斜边AB相交于M，N两点，求MN的最大值．
解：如图，过点O作OG⊥AB于点G，连接OC，OM.
∵DE＝3，∠ACB＝90°，OD＝OE，
只有C，O，G三点在一条直线上时，OG最小．
∴只有OG最小，GM才能最大，从而MN有最大值．
过点C作CF⊥AB于点F，
∴G和F重合时，MN有最大值．
∵∠ACB＝90°，BC＝3，AC＝4，(共14张PPT)
第二十四章 圆
培优精练39 圆与抛物线问题(创新题型)
[2023·福州平潭城关中学期中]已知抛物线y＝a(x－3)2＋ 过点C(0，4)，顶点为M，与x轴交于A，B两点，如图，以AB为直径作圆，记作⊙D.
(1)由题意可得抛物线的解析式为_______________，D点坐标为________；
(3，0)
解得x＝－2或8.
∴A(－2，0)，B(8，0)．
∴OA＝2，OB＝8.
∴AB＝10.
∵以AB为直径作圆，圆心为D，
∴DA＝DB＝5.
∴DO＝DA－OA＝5－2＝3.
∴D(3，0)．
(2)猜测直线CM与⊙D的位置关系，并证明你的猜想；
解：直线CM与⊙D相切．证明：
如图，连接DC，DM，MC，过点M作ME⊥y轴于点E.
∵点M为抛物线的顶点，
∵C(0，4)，
∴OC＝4.
∵MD⊥AB，EO⊥OB，
EM⊥OE，
∴四边形MEOD为矩形．
∴CM2＋DC2＝DM2.
∴∠DCM＝90°.∴DC⊥MC.
∵DC为⊙D的半径，
∴直线CM与⊙D相切．
(3)在抛物线第一象限的对称轴上是否存在点P，若将线段CP绕点P顺时针旋转90°，能使C点的对应点C′恰好落在抛物线上？若存在，求出点P的坐标，若不存在，说明理由．
解：存在．
∵点P在抛物线的对称轴上，对称轴为x＝3，
∴设点P(3，m)，则PD＝m.
如图，过点C作CG⊥DM于点G，过点C′作C′F⊥DM于点F.
由题意得∠CPC′＝90°，CP＝C′P，CG＝3，DG＝OC＝4.
∴∠CPG＋∠C′PF＝90°，PG＝DG－PD
＝4－m.
∵CG⊥DM，
∴∠CPG＋∠GCP＝90°.
∴∠GCP＝∠FPC′.
在△CGP和△PFC′中，
∴△CGP≌△PFC′(AAS)．
∴CG＝PF＝3，PG＝C′F＝4－m.
∴DF＝PF＋PD＝3＋m.
∴C′(7－m，3＋m)．
如图，抛物线的顶点为A(0，2)，且经过点B(2，0)．以坐标原点O为圆心的圆的半径r＝ ，OC⊥AB于点C.
(1)求抛物线的函数解析式．
解：∵抛物线的顶点为A(0，2)，
∴可设抛物线的解析式为y＝ax2＋2.
∵抛物线经过点B(2，0)，
∴4a＋2＝0.解得a＝－ ，
∴抛物线的解析式为y＝－ x2＋2.
(2)求证：直线AB与⊙O相切．
证明：∵A(0，2)，B(2，0)，
∵OC⊥AB，
∴OC是⊙O的半径．
∴直线AB与⊙O相切．
(3)已知P为抛物线上一动点，线段PO交⊙O于点M.当以M，O，A，C为顶点的四边形是平行四边形时，求PM的长．
当以M，O，A，C为顶点的四边形是平行四边形时，
∵点C是AB的中点，
∴C(1，1)，M(1，－1)．
设直线OM的解析式为
y＝kx，将点M(1，－1)代入，
得k＝－1.
∴直线OM的解析式为y＝－x.
∵点P在OM上，(共6张PPT)
第二十四章 圆
培优精练32 切线的判定方法
如图，在菱形ABCD中，点P是对角线AC上的一点，且PA＝PD，⊙O为△APD的外接圆．试判断直线AB与⊙O的位置关系，并说明理由．
解：直线AB与⊙O相切．理由如下：
如图，连接OP，OA，OP交AD于点E.
∵PA＝PD，
∴OP⊥AD，AE＝DE.∴∠1＋∠OPA＝90°.
∵OP＝OA，∴∠OAP＝∠OPA.
∴∠1＋∠OAP＝90°.
∵四边形ABCD为菱形，∴∠1＝∠2，∴∠2＋∠OAP＝90°.
∴OA⊥AB.∵OA是⊙O的半径，∴直线AB与⊙O相切．
1．如图，直线MN交⊙O于A，B两点，AC是直径，AD平分∠CAM交⊙O于点D，过点D作DE⊥MN于点E.求证：DE是⊙O的切线．
证明：如图，连接OD.
∵AD平分∠CAM，∴∠1＝∠2.
∵OA＝OD，∴∠2＝∠3，
∴∠1＝∠3，∴OD∥MN.
∵DE⊥MN，∴OD⊥DE.
∵OD是⊙O的半径，∴DE是⊙O的切线．
2．[2022·厦门思明区模拟]如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，CD⊥AB于点D，点E是圆外一点，CA平分∠ECD.求证：CE是⊙O的切线．
证明：∵CA平分∠ECD，∴∠ECA＝∠DCA.
∵CD⊥AB，∴∠CAD＋∠DCA＝90°.
∴∠ECA＋∠CAD＝90°.
∵OA＝OC，∴∠CAD＝∠ACO.
∴∠ECA＋∠ACO＝90°.
即∠OCE＝90°，∴OC⊥EC.
∵OC是⊙O的半径，∴CE是⊙O的切线．
3．如图，以正方形ABCD的边AB为直径作⊙O，E是⊙O上一点，EF⊥AB于点F，AF＞BF，作直线DE交BC于点G，CD＝10，EF＝4.求证：DG是⊙O的切线．
证明：如图，连接OE，OD，过点E作EH⊥AD于点H.
∵正方形ABCD的边长为10，AB是直径，∴OB＝OE＝5.
∵EF⊥AB，EF＝4，∴OF＝
∴BF＝2，∴AF＝8.
∴四边形AFED为直角梯形．
∴EH＝AF＝8，HD＝10－4＝6，
∴AD＝DE.
又OA＝OE，OD为公共边，
∴△OAD≌△OED(SSS)，
∴∠OED＝∠OAD＝90°.
又OE是⊙O的半径，∴DG是⊙O的切线．(共15张PPT)
第二十四章 圆
培优精练38 尺规作图与圆(福建热点)
[2023·厦门大同中学期中]几何作图题．
(1)如图1，△ABC内接于⊙O，D是 的中点，请用无刻度的直尺作出△ABC的中线AE.
解：线段AE如图所示．
(2)如图2，已知△ABC，请用无刻度的直尺和圆规作⊙P，使圆心P到AB，AC边的距离相等，且⊙P经过A，B两点．(不写作法，保留作图痕迹，标上相应字母)
解：⊙P如图所示．
1．[2022·福州一检]如图，P为⊙O外一点，M为OP的中点．
(1)过点P作⊙O的一条切线PQ，且Q为切点(尺规作图，保留作图痕迹，不写作法)；
解：如图，PQ为所求作的⊙O的切线，其中Q为切点．
(2)在(1)的条件下，若PQ＝ PM，求证：点M在⊙O上．
证明：由(1)得，PQ与⊙O相切于点Q.
如图，连接OQ.
∴OQ⊥PQ.
∴∠OQP＝90°.
设PM＝x，
则PQ＝ x.
∵M是OP的中点，
∴OM＝PM＝x，OP＝2PM＝2x.
在Rt△OPQ中，OQ＝ ＝x，即⊙O的半径r＝x，
∴OM＝r.
∴点M在⊙O上．
2．[2023·厦门双十中学期中]如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点D为边AC上一点．
(1)尺规作图：在边AB上找一点E，使得∠DEA＝2∠BDE.
解：如图，连接BD，作BD的垂直平分线HF，交AB于点E，点E即为所求．
(2)在(1)的条件下，以点E为圆心，EB为半径的圆分别与AB，BC交于M，N两点，且∠DEM＝∠DEN.求证：AC与⊙E相切．
证明：如图，连接EN.
由作图可知，HF垂直平分BD，
∴DE＝BE，∴∠BDE＝∠1.
∵BE是半径，
∴DE也是⊙E的半径．
∵∠DEA＝2∠BDE，
∴∠DEA＝2∠1.
∵∠DEM＝∠DEN，
∴∠DEN＝2∠1.
∵∠DEN＝2∠2，
∴∠1＝∠2，∴∠2＝∠BDE，
∴DE∥BC.
∴∠ADE＝∠C＝90°.
∴DE⊥AC.
∵DE是⊙E的半径，
∴AC与⊙E相切．
3.[2023·三明模拟]如图，在△ABC中，∠C＝90°.
(1)以AC边上一点O为圆心作⊙O，使得⊙O经过点C，且与AB边相切于点D；(尺规作图，保留作图痕迹，不写作法)
解：如图，⊙O为所作．
(2)在(1)的条件下，若AC＝3，BC＝4，求⊙O的半径．
解：在△ABC中，∵∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，
∵AC⊥BC，∴BC为⊙O的切线．
∵BA与⊙O相切于D，
∴BD＝BC＝4.
∴AD＝AB－BD＝5－4＝1.
设⊙O的半径为r，则OC＝OD＝r，AO＝3－r.
在Rt△OAD中，12＋r2＝(3－r)2，
4．[2022·宁德模拟]如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D在AB上，CD＝BC.
(1)尺规作图：(保留作图痕迹，不写作法)
①求作⊙O，使得圆心O在AC上，⊙O经过A，D两点；
②在⊙O上求作点E，使得DE⊥AC.
解：①如图，⊙O为所作．
②如图，点E为所作．
(2)在(1)的条件下，设⊙O与AC的另一个交点为F.求证：直线BE经过点F.
证明：如图，连接DF，BF，EF.
∵AF为⊙O的直径，
∴∠ADF＝90°.
∵DE⊥AC，∠ACB＝90°，
∴DE∥BC.∴∠ADE＝∠ABC.
∵∠AFE＝∠ADE，
∴∠AFE＝∠ABC.
∵∠BDF＝90°，∠BCF＝90°，
∴D点和C点在以BF为直径的圆上．
∴∠BDC＝∠BFC.
∵CB＝CD，∴∠BDC＝∠DBC.
∴∠BFC＝∠DBC，
∴∠AFE＝∠BFC.
∴直线BE经过点F.
5．[2022·泉州模拟]在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，
已知⊙O经过点C，且与AB相切于点D.
(1)在图1中作出⊙O；(要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹)
解：如图1，⊙O即为所求．
(2)若点D是边AB上的动点，设⊙O与边CA，CB分别相交于点E，F，求EF的最小值．
解：如图2，连接CO，OD，过点C作CT⊥AB于点T.
∵∠ECF＝90°，∴EF是直径．
∴EF＝CO＋OD≥CD.(共20张PPT)
第二十四章 圆
培优精练37 求与圆有关的阴影部分面积的
常见方法
方法一 和差法(直接＋构造)
角度一 直接和差法
方法解读：
1．如图，在⊙O中，OA＝2，∠C＝45°，则图中阴影部分的面积为_______．
π－2
2．如图，在等腰Rt△ABC中，AB＝AC，BC＝4，AD⊥BC，以A为圆心，AD为半径作圆弧，阴影部分的面积等于_______.
4－π
3．如图，在正方形ABCD中，连接对角线AC，BD相交于点O.分别以点A，C为圆心，以AO的长为半径画弧，与正方形的边相交．当AB＝6 cm时，图中的阴影部分的面积为_________ cm2.
36－9π
角度二 构造和差法
方法解读：
4．如图，矩形ABCD内接于⊙O，AD＝1，AC＝2，则图中阴影部分的面积为( )
B
5．[2022·河南]如图，将扇形AOB沿OB方向平移，使点O移到OB的中点O′
处，得到扇形A′O′B′.若∠O＝90°，OA＝2，则阴影部分的面积为______．
6．[2022·湖北恩施州]如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，⊙O为Rt△ABC的内切圆，则图中阴影部分的面积为_____．
方法二 等积变换法
方法解读：
7．[2022·贵州铜仁]如图，在边长为6的正方形ABCD中，以BC为直径画半圆，则阴影部分的面积是( )
A．9 B．6
C．3 D．12
A
8．如图，AB是⊙O的直径，CD⊥OB交⊙O于C，D两点，∠ABC＝60°，⊙O的直径为4，则图中阴影部分的面积为( )
A
9．如图，在□ABCD中，∠A＝50°，AD＝6，O为BC的中点，以O为圆心，OB为半径画弧交AD于点E.若E为AD的中点，则图中阴影部分的面积为( )
A
10．如图，AB和CD是⊙O的两条互相垂直的弦，若AD＝4，BC＝2，则阴影部分的面积是( )
A．2π－1 B． π－4
C．5π－4 D．5π－8
B
11．如图，将△ABC绕点C顺时针旋转120°得到△A′B′C，已知AC＝3，BC＝2，则 的长为_____；线段AB扫过的图形(阴影部分)的面积为____．
2π
方法三 容斥原理法
方法解读：
12．如图，在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝4，E是AD的中点，连接BE，CE，分别以B，C为圆心，BE，CE为半径画弧交BC于点G，F，则图中阴影部分的面积为________．
2π－4
13．如图，菱形ABCD的边长为4，∠ABC＝60°，分别以B，D为圆心，菱形的边长为半径画弧，两弧交于A，C两点，则图中阴影部分的面积为
__________.
14．如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝4，以A为圆心，AD长为半径画弧交AB于点E，以C为圆心，CD长为半径画弧交CB的延长线于点F，则图中阴影部分的面积是__________．
13π－24(共19张PPT)
第二十四章 圆
培优精练31 与圆的性质有关的辅助线的作法
类型一 与弧中点有关的辅助线的作法
满分技法：
(1)连等弧所对的弦(圆心角)，运用等弧所对的弦(圆心角)相等解题；
(2)连过弧(弦)中点的半径，运用垂径定理解题．
2．如图，AB是半圆O的直径，点C是半圆O上异于A，B的一点，点D为
的中点，延长DC交AB的延长线于点E，若∠CAE＝14°，则∠E的度数是______．
24°
3．如图，AB为⊙O的直径，C是⊙O上的一点，连接AC，BC. D是
中点，过点D作DE⊥AB于点E，交BC于点F.
(1)求证：BC＝2DE；
证明：如图，延长DE交⊙O于点G.
∵AB为⊙O的直径，DE⊥AB，
∴BC＝DG＝2DE.
(2)若AC＝6，AB＝10，求DF的长．
解：如图，连接BD，OD.
∵AB为⊙O的直径，AB＝10，
∴∠ACB＝90°，OB＝OD＝5.
∴BE＝OB－OE＝2.
设DF＝BF＝a，则EF＝4－a，
在Rt△BEF中，由勾股定理，得22＋(4－a)2＝a2，
类型二 构造同弧或等弧所对的圆心角
类型解读：
4．如图，点A，B，C在⊙O上，BC＝6，∠BAC＝30°，则⊙O的半径为( )
A．3 B．6
C． D．12
B
变式 如图，A，B，C三点都在⊙O上，∠B＝ ∠A，∠A＝45°.若△ABC的面积为2，则⊙O的半径为___．
2
5．如图，A，B，C，D是⊙O上的四点，且点B是 的中点，BD交OC于点E，若∠AOC＝100°，∠OCD＝35°，则∠OED＝______．
60°
类型三 利用直角构造直角三角形(利用直径找直角)
类型解读：
6．如图，AB为⊙O的直径，C，D为⊙O上两点，若∠BCD＝25°，
则∠ABD的度数为( )
A．50° B．55°
C．60° D．65°
D
7．如图，在⊙O中，弦AB⊥CD，连接AD，BC＝2，AD＝6，则⊙O的直径为_____．
8．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D为AB边的中点，以CD为直径作⊙O，分别与AC，BC，AB交于点E，F，G.若CE＝4，CF＝3，求DG的长．
解：如图，连接DE，CG.
∵∠ACB＝90°，D为AB边的中点，∴DA＝DC.
∵CD是⊙O的直径，∴∠DEC＝90°，∴AE＝EC.
同理得CF＝BF.
∴AC＝2CE＝8，BC＝2CF＝6.
类型四 构造圆内接四边形
类型解读：
9．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，BE是⊙O的直径，连接BD.若∠BCD＝2∠BAD，则∠EBD的度数是( )
A．30° B．35°
C．45° D．60°
A
10．如图，A，B，P是⊙O上的三点，若∠P＝110°，则∠AOB＝_____°.
140
11．如图，点A，B，C，D，E都是⊙O上的点，
则∠B＝_____°.
116(共22张PPT)
第二十四章 圆
培优精练35 作辅助圆问题(隐圆问题)
(福建热点)
类型一 定点、定长作圆
满分技法：
条件：如图，在平面内，点A为定点，点B为动点，线段AB的长度是定值．
结论：点B在以点A为圆心，AB长为半径的圆上．
1．如图，点O为△ABC内一点，OA＝OB＝OC，且∠ABO＝40°，则∠ACB的大小是( )
A．40° B．50°
C．60° D．70°
B
2．如图，点O为线段BC的中点，点A，C，D到点O的距离相等，若∠ABC＝50°，则∠ADC的度数是_____°.
130
3．[2023·厦门思明区月考]如图，在四边形ABCD中，AB＝AC＝AD，∠CBD＝20°，∠BDC＝30°，则∠BAD＝_____°.
100
4．如图，在四边形ABCD中，DC∥AB，BC＝1，AB＝AC＝AD＝2，则BD＝____．
类型二 直角对直径
满分技法：
90°的圆周角所对的弦是直径(定弦对定角的特殊形式)．
5．如图，在Rt△ABD中，∠ADB＝90°，AB＝8，BD＝4，在BD的延长线上取一点C，使得DC＝BD.在直线AD左侧有一动点P满足∠PAD＝∠PDB，连接PC，则线段CP长度的最大值为___________．
6．如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，其中AB＝12，∠AOC＝90°，D为⊙O上的动点，连接AD，取AD的中点M，连接CM，则线段CM的最大值为__________．
7．如图，在Rt△ABC中，AB⊥BC，AB＝4，BC＝3，点P是△ABC内部的一个动点，且满足∠PAB＝∠PBC，求线段CP长度的最小值．
解：∵∠ABC＝90°，
∴∠ABP＋∠PBC＝90°.
∵∠PAB＝∠PBC，
∴∠BAP＋∠ABP＝90°.∴∠APB＝90°.
∴点P在以AB为直径的⊙O上，O为AB的中点．
如图，连接OC交⊙O于点P，此时PC最小．
在Rt△BCO中，
∵∠OBC＝90°，BC＝3，
类型三 四点共圆
满分技法：
条件：如图，∠ADB＝∠ACB＝90°.
结论：点A，B，C，D在以AB为直径的圆上．
8．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝8，点D为△ABC外一点，且AD⊥BD，连接CD，若CD＝4，则∠AEB的度数为_______.
120°
9．如图，正方形ABCD的边长为4，点E是正方形外一动点，且点E在CD的右侧，∠AED＝45°，点P为AB的中点，当点E运动时，线段PE的最大值为_________．
10．如图，在四边形ABCD中，AC，BD为对角线，∠ABC＝∠ADC＝90°，DB平分∠ADC.判断△ABC的形状，并给出证明．
解：△ABC为等腰直角三角形．证明如下：
∵∠ABC＝∠ADC＝90°，
∴点A，B，C，D在以AC为直径的圆上．
∴∠ADB＝∠ACB，
∴∠BAC＝∠BDC.
∵DB平分∠ADC，
∴∠ADB＝∠CDB.
∴∠CAB＝∠ACB，
∴AB＝CB，
∴△ABC为等腰直角三角形．
类型四 定弦定角
满分技法：
条件：若线段AB的长度及其所对的∠ACB的大小不变．
(1)当∠C<90°时，如图1所示．
结论：点C在优弧 上运动(不与点A，B重合)．
(2)当∠C＝90°时，如图2所示．
结论：点C在 上运动(不与点A，B重合)．
(3)当∠C >90°时，如图3所示．
结论：点C在劣弧 上运动(不与点A，B重合)．
11．如图，在△ABC中，BC＝2，点A为动点，在点A运动的过程中始终有∠BAC＝45°，则△ABC面积的最大值为_______．
1
13．如图，在Rt△ABC中，AC＝2 ，∠CAB＝30°，点D和点B分别在线段AC的异侧，且∠ADC＝30°，连接BD，求BD的最大值．
2BC＝4.
∵∠ADC＝30°，∴点D在⊙O的弦AC所对的优弧上．
且弦AC所对的圆心角为60°.
如图，以AC为边长作等边三角形OAC，O为圆心，连接OA，OC，当BD经过点O时，BD的值最大．(共8张PPT)
第二十四章 圆
培优精练30 垂径定理的应用
如图，已知⊙O中，弦AB＝8，点P是弦AB上一点，OP＝3 ，∠OPB＝45°.
(1)求OB的长；
解：如图，过点O作OE⊥AB于点E，
(2)过点P作弦CD与弦AB垂直，求证：AB＝CD.
证明：如图，过点O作OF⊥CD于点F.
∵CD⊥AB，∴∠FPE＝90°.
∵∠OPB＝45°，∴∠FPO＝45°，
∴∠FPO＝∠OPE.
∴OP平分∠EPF.
∵OF⊥CD，OE⊥AB，∴OE＝OF，
∴AB＝CD.
1．如图，将⊙O沿弦AB折叠，圆弧AB恰好经过圆心O，P是AMB上一点，则∠APB的度数为( )
A．30°
B．45°
C．60°
D．75°
C
2．如图，在平面直角坐标系中，半径为5的⊙E与y轴交于点A(0，－2)，B(0，4)，与x轴交于C，D，则点D的坐标为( )
B
3．如图，点A在半径为20的⊙O上，以OA为一条对角线作矩形OBAC，设
直线BC交⊙O于D，E两点．若OC＝12，则线段CE，BD的长度差是__．
4．[2022·湖北武汉]如图，以AB为直径的⊙O经过△ABC的顶点C，AE，BE分别平分∠BAC和∠ABC，AE的延长线交⊙O于点D，连接BD.
(1)判断△BDE的形状，并证明你的结论；
解：△BDE为等腰直角三角形．
证明：∵AE 平分∠BAC，BE 平分∠ABC，
∴∠BAE＝∠CAD＝∠CBD，∠ABE＝∠EBC.
∵∠BED＝∠BAE＋∠ABE，∠DBE＝∠DBC＋∠CBE，
∴∠BED＝∠DBE.∴BD＝ED.
∵AB为直径，∴∠ADB＝90°.
∴△BDE是等腰直角三角形．
解：如图，连接OC，CD，OD，OD交BC于点F.
∵∠DBC＝∠CAD＝∠BAD＝∠BCD，∴BD＝DC.
∵OB＝OC，∴OD垂直平分BC.
∵△BDE是等腰直角三角形，
∵AB＝10，∴OB＝OD＝5.
设OF＝t，则DF＝5－t.
解得t＝3，∴BF＝4.∴BC＝8.(共9张PPT)
第二十四章 圆
培优精练34 与线段有关的问题(福建热点)
[2023·莆田城厢区模拟]如图，AB为⊙O的直径，CD是⊙O的弦，延长DC交切线AF于点F，交AB于点E，AC＝CE.
(1)求证：AF＝AD；
证明：如图，连接BC.
∵CA＝CE，∴∠CAE＝∠CEA.
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°.
∴∠CAE＋∠CBA＝90°.
∵AF与⊙O相切于点A，
∴∠BAF＝90°.
∴∠AEC＋∠F＝90°.
∴∠F＝∠CBA.
∵∠CBA＝∠CDA，
∴∠CDA＝∠F，∴AF＝AD.
(2)若EF＝5，AD＝4，求点O到AD的距离．
解：如图，连接BD，过点O作OH⊥AD，
垂足为H，∴AH＝DH.
∵OA＝OB，∴OH是△ABD的中位线，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°.
在Rt△AFE中，FE＝5，AF＝AD＝4，
∵∠CAE＝∠CDB，∠CEA＝∠BED，
∴∠BED＝∠CDB.∴BE＝BD.
设BE＝BD＝x，
∴AB＝AE＋BE＝3＋x.
在Rt△ABD中，AD2＋BD2＝AB2，
∴16＋x2＝(3＋x)2.
1．如图，AB是⊙O的直径，点D是AB延长线上的一点，CD与⊙O相切于点E，AC交⊙O于点F，AE平分∠DAC.
(1)求证：AC⊥CD；
证明：如图，连接OE.
∵CD与⊙O相切于点E，
∴OE⊥CD.
∵OE＝OA，∴∠OEA＝∠OAE.
∵AE平分∠DAC，
∴∠EAC＝∠OAE.
∴∠OEA＝∠EAC.
∴OE∥AC，∴AC⊥CD.
(2)若∠D＝30°，AD＝6，求AF的长．
解：如图，连接BF.
由(1)得AC⊥CD，
∴∠C＝90°.
∵AB是⊙O的直径，
∴∠BFA＝90°，
∴∠BFA＝∠C.
∴BF∥CD，
∴∠FBA＝∠D＝30°.
设⊙O的半径为r，
在Rt△ODE中，∠D＝30°，
∴DO＝2OE＝2r，
∴AD＝DO＋AO＝3r.
∵AD＝6，∴r＝2，∴AB＝2r＝4.
在Rt△BFA中，∠FBA＝30°，
∴AF的长为2.
2.如图，△ABC是⊙O的内接三角形，∠BAC＝75°，∠ABC＝45°，连接AO并延长，交⊙O于点D，过点C作⊙O的切线，与BA的延长线相交于点E.
(1)求证：AD∥EC；
证明：如图，连接OC.
∵CE是⊙O的切线，
∴∠OCE＝90°.
∵∠ABC＝45°，
∴∠AOC＝2∠ABC＝90°.
∵∠AOC＋∠OCE＝180°，
∴AD∥EC.
(2)若AE＝6，求⊙O的半径．
解：如图，连接BD，过点A作AF⊥EC交EC于点F.
∵∠BAC＝75°，∠ABC＝45°，
∴∠ACB＝60°，
∴∠D＝∠ACB＝60°.
∵AD是⊙O的直径，
∴∠ABD＝90°，∴∠BAD＝30°.
∵AD∥CE，
∴∠E＝∠BAD＝30°.
∵AE＝6，∴AF＝ AE＝3.
∵AF⊥EC，∠OCE＝90°，∠AOC＝90°，OA＝OC，
∴四边形OAFC是正方形，
∴CO＝AF＝3，∴⊙O的半径为3.(共7张PPT)
第二十四章 圆
培优精练33 与角度有关的问题
如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，CD⊥AB，垂足为E，过点F作⊙O的切线交DC的延长线于点G，连接BF与CD交于点H.求证：∠GFH＝∠GHF.
证明：如图，连接OF.
∵FG为⊙O的切线，∴OF⊥FG.
∴∠OFG＝90°.∵GD⊥AB，
∴∠BEH＝90°.
∵∠GFH＋∠OFB＝90°，
∠BHE＋∠B＝90°，
而∠OFB＝∠B，
∴∠GFH＝∠BHE.
∵∠BHE＝∠GHF，
∴∠GFH＝∠GHF.
1．如图，已知⊙O是正五边形ABCDE的外接圆，点P为 上的一点，则∠APC＝____°.
72
2．如图，量角器的0°刻度线的两端A，B分别在y轴正半轴与x轴负半轴上滑动，点C位于该量角器上13°刻度处．
(1)若点C在靠近点A处，连接CO，则∠COA＝_____°；
(2)当点C与原点O的距离最大时，∠ABO＝_______________．
6.5
83.5°或6.5°
3．如图，△ABC内接于⊙O，BM与⊙O相切于点B.若∠MBA＝105°，则∠ACB＝____°.
75
4．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，以BC为直径的⊙O交AB于点D，E为 的中点．求证：∠ACD＝∠DEC.
证明：∵BC是⊙O的直径，
∴∠BDC＝90°，
∴∠BCD＋∠B＝90°.
∵∠ACB＝90°，
∴∠BCD＋∠ACD＝90°，
∴∠ACD＝∠B.
∵∠DEC＝∠B，
∴∠ACD＝∠DEC.
5．如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AC是⊙O的直径，OE⊥AB于点H，连接CE，过点C作⊙O的切线交AB的延长线于点D.求证：∠COE＝2∠DCE.
证明：如图，连接AE.
∵CD为⊙O的切线，
∴AC⊥CD，
∴∠ACD＝90°，即∠ACE＋∠DCE＝90°.
∵AC是⊙O的直径，
∴∠AEC＝90°，
∴∠ACE＋∠CAE＝90°，
∴∠CAE＝∠DCE.
∵∠COE＝2∠CAE，
∴∠COE＝2∠DCE.
