(共9张PPT)
第2课时 用待定系数法求二次函数的解析式
阅读教材P39~P40内容,归纳结论:
二次函数的解析式有3种不同的形式:(1)一般式:____________________;(2)顶点式:______________________,其中点(h,k)是抛物线的顶点坐标;(3)交点式:__________________________,其中x1,x2是抛物线与x轴的交点的横坐标.待定系数法是求解二次函数解析式的基本方法,解题时应根据不同的已知条件灵活选用解析式的形式.
y=ax2+bx+c(a≠0)
y=a(x-h)2+k(a≠0)
y=a(x-x1)(x-x2)(a≠0)
2.[教材P42T10(1)改编]一个二次函数的图象经过(-1,3),(1,3),(2,6)三点,求这个二次函数的解析式.
解:设二次函数的解析式为y=ax2+bx+c,
∴二次函数的解析式为y=x2+2.
3.已知二次函数的图象如图所示,求这个二次函数的解析式.
解:设这个二次函数解析式为y=a(x-2)2+4,
把(0,1)代入,得4a+4=1,解得a=- ,
∴这个二次函数解析式为y=- (x-2)2+4.
1.(6分)已知二次函数的图象的顶点坐标为(-2,-3),且图象过点(-3,-2),求这个二次函数的解析式.
解:设二次函数的解析式为y=a(x+2)2-3,
将(-3,-2)代入,得-2=a(-3+2)2-3,解得a=1,
∴这个二次函数的解析式为y=(x+2)2-3.
2.(6分)[教材P42T10(3)改编]一个二次函数的图象经过(-1,0),(3,0),(1,-5)三点,求这个二次函数的解析式.
解:设这个二次函数的解析式为y=a(x+1)(x-3),
∴这个二次函数的解析式为
3.(8分)已知二次函数y=ax2+bx+c的图象上部分点的坐标(x,y)满足下表,求这个二次函数的解析式.
x … -1 0 1 2 …
y … -4 -2 2 8 …
解这个方程组,得a=1,b=3,c=-2.
∴这个二次函数的解析式是y=x2+3x-2.
布置作业:完成课时训练第39~40页练习.(共12张PPT)
第3课时 二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质
阅读教材P35~P37内容,归纳结论:
1.二次函数y=a(x-h)2+k(a≠0)的性质:
顶点 坐标 对称轴 开口 方向 增减性 最值
a>0 在对称轴的左侧,y随x的______而减小;在对称轴的右侧,y随x的______而增大 当______时,最小值为___
(h,k)
x=h
向上
增大
增大
x=h
k
顶点 坐标 对称轴 开口 方向 增减性 最值
a<0 在对称轴的左侧,y随x的增大而______;在对称轴的右侧,y随x的增大而______ 当______时,最大值为___
(h,k)
x=h
向下
增大
减小
x=h
k
2.抛物线y=a(x-h)2+k(h>0,k>0)可由抛物线y=ax2先向____平移___个单位长度,再向____平移___个单位长度得到.平移规律是“左____右____,上____下____”.
右
h
上
k
加
减
加
减
1.[教材P37练习改编]写出下列抛物线的开口方向、对称轴及顶点坐标:
抛物线 开口方向 对称轴 顶点坐标
y=2(x+3)2+5
y=-3(x-1)2-2
y=4(x-3)2+7
y=-5(x+2)2-6
向上
x=-3
(-3,5)
向下
x=1
(1,-2)
向上
x=3
(3,7)
向下
x=-2
(-2,-6)
2.[教材P41T7(1)改编]已知函数y=2(x+1)2+1,当x<_____时,y随x的增大而减小;当x>_____时,y随x的增大而增大;当x=_____时,y有最____
值,其值是___.
3.抛物线y=-2(x-1)2+3可以通过抛物线y=-2x2向____平移___个单位长度,再向____平移___个单位长度得到,其对称轴是______.
4.已知二次函数y=(x-2)2+1,若点A(0,y1)和B(3,y2)在此函数图象上,则y1与y2的大小关系是y1____y2.(填“>”“<”或“=”)
-1
-1
-1
小
1
右
1
上
3
x=1
>
1.(3分)在平面直角坐标系中,将抛物线y=x2向上平移2个单位长度,再向右平移1个单位长度,得到的抛物线的解析式是( )
A.y=(x-1)2+2 B.y=(x-1)2-2
C.y=(x+1)2-2 D.y=(x+1)2+2
A
2.(3分)已知二次函数y=(x-2)2+3,当点(3,y1),(5,y2),(7,y3)在函数图象上时,则y1,y2,y3的大小关系正确的是( )
A.y3C.y2D
大
-3
4.(10分)(一题多问)按要求画图,并回答问题.
(1)在如图所示的平面直角坐标系中,画出二次函数y=-
2)2-4的图象;
向下
x=-2
(-2,-4)
>-2
布置作业:完成课时训练第35~36页练习.(共11张PPT)
第3课时 抛物线形问题
阅读教材P51内容,归纳结论:
建立坐标系解决实际问题的一般步骤:
第一步:根据题意建立适当的________________;
第二步:根据条件求出函数的________;
第三步:确定自变量的__________;
第四步:解决__________.
平面直角坐标系
解析式
取值范围
实际问题
1.一座古拱桥的截面图如图所示,拱桥桥洞的上沿是抛物线形状,当水面的宽度为10 m时,桥洞与水面的最大距离是5 m.
(1)求抛物线的解析式;
解:如图,以水面为x轴、桥洞的顶点所在直线
为y轴建立平面直角坐标系.
根据题意,得A(5,0),C(0,5),
设抛物线解析式为y=ax2+5,
(2)因为上游水库泄洪,水面宽度变为6 m,求水面上涨的高度.
2.在一次高尔夫球的比赛中,某运动员击球后,球的飞行路线满足抛物线
(1)请求出当球水平飞行距离为多少米时,球的高度达到最大,并求出最大高度;
(2)这次击球,球飞行的最大水平距离是多少?
1.(4分)如图1,这是一个横断面为抛物线形状的拱桥,当水面在l时,拱顶(拱桥洞的最高点)离水面2 m,水面宽4 m.如图2,建立平面直角坐标系,则抛物线的解析式是( )
A
2.(4分)比赛中羽毛球的某次运动路线可以看作是一条抛物线(如图).若不考虑外力因素,羽毛球行进高度y(m)与水平距离x(m)之间满足关系式y=
5
3.(12分)如图,某大学的楼门是一抛物线形水泥建筑物,大
门的地面宽度为8 m,两侧距离地面4 m高处各有一个挂校
名横匾用的铁环,两铁环的水平距离为6 m,求校门的高约
为多少.(水泥建筑物的厚度忽略不计,精确到0.1 m)
解:如图,以地面为x轴,大门左边与地面的交点
为原点建立平面直角坐标系.
则抛物线过O(0,0),E(8,0),A(1,4),B(7,4)四点.
设该抛物线的解析式为y=ax2+bx+c,
布置作业:完成课时训练第49~50页练习.(共10张PPT)
第二十二章 二次函数
22.1 二次函数的图象和性质
22.1.1 二次函数
阅读教材P28~P29内容,归纳结论:
一般地,形如_______________(a,b,c是常数,a____0)的函数,叫做二次函数.其中,自变量是___,二次项系数是___,一次项系数是___,常数项是___.
y=ax2+bx+c
≠
x
a
b
c
1.下列函数:①y=5x-5;②y=3x2-1;③y=4x3-3x2;④y=2x2-2x+1;⑤y= 其中是二次函数的是______(填序号).
2.[教材P29练习T1改编]一个圆柱的高等于底面半径,则它的表面积S与底面半径r之间的关系式为___________,其中二次项系数为_____,一次项系数为___,常数项为___.
3.已知函数y=(m+2)x2+2x+5是关于x的二次函数,则m的取值范围是________.
②④
S=4πr2
4π
0
0
m≠-2
4.(一题多问)如图,矩形绿地的长、宽各增加x m时,面积就增加y m2.
(1)试写出y与x之间的关系式.
解:∵y=(30+x)(20+x)-30×20=x2+50x,
∴y与x之间的函数解析式为y=x2+50x.
4.(一题多问)如图,矩形绿地的长、宽各增加x m时,面积就增加y m2.
(2)请问(1)中的关系式是二次函数吗?如果是,写出它的二次项、一次项和常数项.
解:它是二次函数,其中二次项为x2,
一次项为50x,常数项为0.
4.(一题多问)如图,矩形绿地的长、宽各增加x m时,面积就增加y m2.
(3)要使绿地的面积增加159 m2,则长和宽各增加多少米?
解:当y=159时,x2+50x=159,
解得x1=3,x2=-53(不合题意,舍去),
∴当绿地面积增加159 m2时,长和宽都增加3 m.
1.(3分)下列函数解析式中,一定为二次函数的是( )
A.y=2x-5 B.y=ax2+bx+c
C.h=(t+2)2 D.y=x2+
C
2.(6分)(一题多问)设圆的半径为r,请填空:
(1)这个圆的周长C=______,它是关于r的______函数;
(2)这个圆的面积S=______,它是关于r的______函数.
3.(3分)已知函数y=2x2-1,则当x=2时,对应的函数值y=___;当函数值y=17时,对应的自变量x=_____.
2πr
一次
πr2
二次
7
±3
4.(8分)[教材P41T2改编]某种商品的价格是2元,准备进行两次降价.如果每次降价的百分率都是x,经过两次降价后的价格y(单位:元)随每次降价的百分率x的变化而变化,y与x之间的关系可以用怎样的函数来表示?它是二次函数吗?如果是,写出它的二次项系数、一次项系数和常数项.
解:根据题意,得y与x之间的函数关系式为y=2(1-x)2,即y=2x2-4x+2.
它是二次函数,二次项系数为2,一次项系数是-4,常数项是2.
布置作业:完成课时训练第27~28页练习.(共11张PPT)
22.3 实际问题与二次函数
第1课时 几何图形面积问题
阅读教材P49~P50内容,归纳结论:
1.当a>0时,抛物线y=ax2+bx+c的顶点是最____点,当x=____时,二
次函数y=ax2+bx+c有最____值_______.
2.当a<0时,抛物线y=ax2+bx+c的顶点是最____点,当x=____时,二
次函数y=ax2+bx+c有最____值_______.
低
小
高
大
1.二次函数y=-x2+6x有最____值,是___.
大
9
2.(一题多问)[教材P57T7改编]如图,用30 m长的篱笆沿墙建造一边靠墙的矩形菜园,已知墙长18 m.
(1)设矩形的宽AB为x m,则BC的长为___________(用含x的代数式表示);
(2)设矩形菜园的面积为S m2,则菜园面积S与x之间的函数关系式为________________,自变量x的取值范围为__________;
(30-2x)m
S=-2x2+30x
6≤x<15
(3)这个矩形菜园的长和宽各为多少时,菜园的面积S最大?最大面积是多少?
解:∵S=-2x2+30x
=-2(x-7.5)2+112.5,
a=-2<0,
∴当x=7.5时,30-2x=15<18,S有最大值,最大面积是112.5 m2.
此时这个矩形菜园的长为15 m、宽为7.5 m.
答:这个矩形菜园的长、宽各为15 m,7.5 m时,菜园的面积最大,最大面积是112.5 m2.
3.[教材P52T5]如图,四边形ABCD的两条对角线AC,BD互相垂直,AC+BD=10.当AC,BD的长是多少时,四边形ABCD的面积最大?
解:设AC=x,四边形ABCD的面积为S,则BD=10-x,
∴当AC=BD=5时,四边形ABCD的面积最大.
1.(3分)当x=____时,二次函数y=x2-3x+1有最____值,为____.
小
2.(8分)[教材P52T4改编]已知直角三角形两条直角边的和等于8,若设其中一直角边为x.
(1)写出这个直角三角形的面积S关于x的函数解析式;
(2)当两条直角边各为多少时,这个直角三角形的面积最大?最大值是多少?
即当两条直角边都为4时,这个直角三角形的面积最大,为 8.
3.(9分)有一个窗户形状如图所示,上部分是由两个相同的正方形组成的矩形,下部分是一个矩形,如果制作窗框的材料总长为6 m,则当AB的长为多少时,这个窗户透光面积最大?
布置作业:完成课时训练第45~46页练习.(共11张PPT)
第2课时 最大利润问题
阅读教材P50内容,归纳结论:
与利润有关的公式:(1)商品利润=______-成本;
(2)利润=___________×利润率;
(3)商品总利润=__________×销售数量.
售价
进价(成本)
单件利润
1.[教材P51习题T2改编]某种商品每件的进价为30元,在某段时间内若以每件x元出售,可卖出(100-x)件,应如何定价才能使利润最大?最大利润是多少元?
(1)填空:
①当每件以35元出售时,可卖出____件;利润为_____元;
②当每件以x元出售时,利润为_________________元,其中x的取值范围是____________.
65
325
(x-30)(100-x)
30(2)完成对本题的解答.
答:商品每件定价为65元时才能使利润最大,最大利润为1 225元.
2.[教材P52T8]某宾馆有50个房间供游客居住,当每个房间每天的定价为180元时,房间会全部住满;当每个房间每天的定价每增加10元时,就会有一个房间空闲.如果游客居住房间,宾馆需对每个房间每天支出20元的各种费用.房价定为多少时,宾馆利润最大?
∴当x=170时,y最大=10 890. ∴180+170=350(元).
答:房价定为每天350元时,宾馆利润最大.
1.(8分)超市销售的某商品进价为10元/件.在销售过程中发现,该商品每
天的销售量y(件)与售价x(元/件)之间满足函数关系式y=-5x+150(10≤x
≤30).
(1)利润w和售价x之间的函数关系式为______________________________;
(2)该商品销售单价为多少元时,该商品每天的销售利润最大,最大利润是多少元?
解:由(1)知w=-5x2+200x-1 500(10≤x≤30),
∴w=-5(x-20)2+500.
∵-5<0,∴w有最大值,
∴当x=20时,w取最大值,最大值为500.
即该商品销售单价为20元时,该商品每天的销售利润最大,最大利润为500元.
2.(12分)某经销商销售一种红枣,这种红枣进价为每千克50元(规定每千克销售利润不低于5元),现在以75元/千克的售价卖出,则每周可卖出800千克,该经销商通过对当地市场调查发现,若每千克降价0.5元,则每周多卖出20千克.节假日促销,该经销商决定暂时降价销售,设每千克售价降低x元,每周销售利润为y元.
(1)当售价为每千克65元时,每周销售量为_______千克,利润为________元.
1 200
18 000
(2)求y与x之间的函数关系式,并写出自变量x的取值范围.
解:由题意,得
=-40x2+200x+20 000,
其中55≤75-x≤75,即0≤x≤20.
(3)当销售单价定为多少元时,该经销商每周可获得最大利润?最大利润是多少?
即当降价2.5元时,该经销商每周可获得最大利润,此时销售单价为 72.5元,最大利润是20 250元.
布置作业:完成课时训练第47~48页练习.(共13张PPT)
第2课时 二次函数y=a(x-h)2的图象和性质
阅读教材P33~P35内容,归纳结论:
1.二次函数y=a(x-h)2(a≠0)的图象是一条________,它与二次函数y=ax2的图象________________相同,只是______不同;它的对称轴是
______,顶点坐标是________.
2.抛物线y=ax2(a≠0)向____平移(h<0)或向____平移(h>0)|h|个单位长度,得到抛物线y=a(x-h)2.
抛物线
开口大小及方向
位置
x=h
(h,0)
左
右
(一题多问)[教材P35练习改编]在同一直角坐标系中,画出下列二次函数的图象:
(1)列表:
2
0
2
2
0
2
2
0
2
(2)描点并连线:
(3)观察图象并填空:
向上
y轴
(0,0)
向上
x=-2
(-2,0)
向上
x=2
(2,0)
右
2
1.(3分)y=-2(x-1)2的图象大致是( )
C
2.(3分)(1)抛物线y=-2x2向左平移5个单位长度,得到抛物线_______________;
(2)抛物线y=(x-3)2可以看作是由y=x2向____平移___个单位长度得到的.
y=-2(x+5)2
右
3
3.(5分)(一题多问)已知抛物线y=3(x+2)2,当x_______时,y随x的增大而增大;当x_______时,y随x的增大而减小;当x=_____时,y有最____值,其值是___.
>-2
<-2
-2
小
0
4.(9分)(一题多问)下图为二次函数y=-x2的图象,请在同一平面直角坐标系中画出二次函数y=-(x-1)2的图象.
(1)列表、描点、连线:
x … -1 0 1 2 3 …
y=-(x-1)2 … …
-4
-1
0
-1
-4
(2)观察图象并填空:
(3)归纳:由图象可知,抛物线y=-x2向____平移___个单位长度可得到抛物线y=-(x-1)2.
函数 开口方向 对称轴 顶点坐标
y=-x2
y=-(x-1)2
向下
y轴
(0,0)
向下
x=1
(1,0)
右
1
布置作业:完成课时训练第33~34页练习.(共10张PPT)
第2课时 二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴
交点情况的探究
阅读教材P44~P46内容,归纳结论:
1.
Δ=b2-4ac 方程ax2+bx+c=0(a≠0) 抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)
Δ>0 有两个________的实数根 与x轴有___个交点
Δ=0 有__________的实数根 与x轴有___个交点
Δ<0 ______实数根 与x轴有___个交点
2.抛物线y=ax2+bx+c与y轴有且只有___个交点(___,___).
不相等
2
两个相等
1
没有
0
1
0
c
1.(一题多问)观察下图,回答下列问题:
(1)二次函数y=-x2-x+2的图象与x轴有___个交
点,则方程-x2-x+2=0的根的判别式Δ____0;
(2)二次函数y=x2-4x+4的图象与x轴有___个交
点,则方程x2-4x+4=0的根的判别式Δ____0;
(3)二次函数y=x2+x+1的图象与x轴______交
点,则方程x2+x+1=0的根的判别式Δ____0.
2
>
1
=
没有
<
2.(一题多问)已知二次函数y=-x2+4x+c.
(1)若二次函数的图象与x轴有2个交点,则c_______.
(2)若二次函数的图象与x轴有1个交点,则c_______.
(3)若二次函数的图象与x轴没有交点,则c_______.
(4)若二次函数的图象与x轴有交点,则c_______.
>-4
=-4
<-4
≥-4
1.(3分)二次函数y=-x2+6x-1的图象与x轴的交点个数为( )
A.0 B.1
C.2 D.3
C
2.(3分)给出下列表格对应值:
根据表格,可得关于x的方程ax2+bx+c=0(a≠0)的一个解x的范围是( )
A.2.1C.2.3x … 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 …
ax2+bx+c … -0.12 -0.03 -0.01 0.06 0.18 …
C
3.(3分)二次函数y=x2-6x+c的图象与x轴有两个交点,则实数c的取值范围是______.
4.(3分)(易错题)抛物线y=x2-2 x+2与坐标轴的交点个数为___.
c<9
2
5.(8分)已知二次函数y=x2+2mx-2m-1(m为常数).
(1)当m=-1时,此函数的图象与x轴有几个交点?
解:当m=-1时,y=x2-2x+1,
∵Δ=(-2)2-4=0,
∴此函数的图象与x轴有一个交点.
(2)求证:不论m为何值,该二次函数的图象与x轴总有公共点.
证明:∵a=1,b=2m,c=-2m-1,
∴b2-4ac=(2m)2-4(-2m-1)=4m2+8m+4=4(m+1)2.
∵4(m+1)2≥0,∴b2-4ac≥0,
故不论m为何值,二次函数y=x2+2mx-2m-1的图象与x轴总有公共点.
布置作业:完成课时训练第43~44页练习.(共10张PPT)
22.2 二次函数与一元二次方程
第1课时 二次函数与一元二次方程
阅读教材P43~P44内容,归纳结论:
二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与x轴的交点的横坐标x1,x2是一元二次方程ax2+bx+c=0的根.
1.(一题多问)[教材P47T5改编]画出函数y=x2-2x-3的图象,利用图象回答:
(1)方程x2-2x-3=0的解是
________________;
(2)当函数值大于0时,自变
量x的取值范围是______________;
(3)当函数值小于0时,自变
量x的取值范围是___________.
x1=-1,x2=3
x<-1或x>3
-12.抛物线y=x2-3x-4与x轴的交点坐标是__________________,与y轴的交点坐标是__________.
3.已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)图象上部分点横坐标、纵坐标的对应值如下表:
直接写出该二次函数的图象与x轴的交点坐标:__________________.
x … 0 1 2 3 4 …
y … -3 -4 -3 0 5 …
(-1,0),(4,0)
(0,-4)
(-1,0),(3,0)
4.[教材P47T3改编]如图,一名男生推铅球,铅球行进高度y(单位:m)与水平距离x(单位:m)之间的关系是y=-
解:令y=0,
解得x1=10,x2=-2(负值舍去),
∴该男生把铅球推出的距离是10 m.
1.(4分)已知二次函数y=ax2+bx+c的部分图象如图所示,则关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0的根为( )
A.x1=-4,x2=2
B.x1=-3,x2=-1
C.x1=-4,x2=-2
D.x1=-2,x2=2
A
2.(4分)二次函数y=ax2+bx+c的部分点的坐标(x,y)的对应值如下表:
利用二次函数的图象可知,当函数值y<0时,x的取值范围是___________.
x … -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 …
y … 12 5 0 -3 -4 -3 0 5 12 …
-13.(12分)(一题多问)已知二次函数y=x2-6x+8.
(1)求抛物线与x轴、y轴相交的交点坐标.
解:由题意,令y=0,得x2-6x+8=0,解得x1=2,x2=4.
∴抛物线与x轴的交点为(2,0)和(4,0),令x=0,y=8.
∴抛物线与y轴的交点为(0,8).
(2)画出此二次函数图象,利用图象回答下列问题:
①方程x2-6x+8=0的解是什么?
②x取什么值时,函数值大于0
③x取什么值时,函数值小于0
解:如图所示.
①由图象知,x2-6x+8=0的解为x1=2,x2=4.
②当x<2或x>4时,函数值大于0.
③当2<x<4时,函数值小于0.
布置作业:完成课时训练第41~42页练习.(共10张PPT)
22.1.3 二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质
第1课时 二次函数y=ax2+k的图象和性质
阅读教材P32~P33内容,归纳结论:
1.二次函数y=ax2+k(a≠0)的图象是一条________,它与抛物线y=ax2的________________相同,只是______不同;它的对称轴是_____,顶点坐标是________.
2.把抛物线y=ax2向上平移k(k>0)个单位长度,可得到抛物线_________;把抛物线y=ax2向下平移k(k>0)个单位长度,可得到抛物线___________.
抛物线
开口大小及方向
位置
y轴
(0,k)
y=ax2+k
y=ax2-k
(一题多问)[教材P33练习改编]在同一直角坐标系中,画出下列二次函数的图象:
(1)列表:
4.5
2
0.5
0
0.5
2
4.5
6.5
4
2.5
2
2.5
4
6.5
2.5
0
-1.5
-2
-1.5
0
2.5
(2)描点并连线:
(3)观察图象并填空:
向上
y轴
(0,0)
向上
y轴
(0,2)
向上
y轴
(0,-2)
下
2
1.(4分)(一题多问)已知抛物线y=-x2+4.
(1)图象开口向____,对称轴是_____,顶点坐标是________;
(2)当x<0时,y随x的增大而______,当x>0时,y随x的增大而______;
(3)当x=___时,函数y的最____值是___.
2.(4分)抛物线y= x2-3可由抛物线y= x2向____平移___个单位长度得到.
3.(4分)[2023·莆田荔城区月考]已知点A(-2,y1),B(5,y2)为函数y=x2+a图象上的两点,则y1____y2(填“>”“<”或“=”).
下
y轴
(0,4)
增大
减小
0
大
4
下
3
<
4.(8分)已知抛物线y=ax2+b过点(-2,-3)和点(1,6).
(1)求这个函数的关系式;
解:∵抛物线y=ax2+b过点(-2,-3)和点(1,6),
∴这个函数的关系式为y=-3x2+9.
(2)写出当x为何值时,y随x的增大而增大.
解:∵二次函数y=-3x2+9的图象开口向下,对称轴为y轴,
∴当x<0时,y随x的增大而增大.
布置作业:完成课时训练第31~32页练习.(共9张PPT)
22.1.2 二次函数y=ax2的图象和性质
阅读教材P29~P32内容,归纳结论:
1.二次函数y=ax2(a≠0)的图象是一条________.
抛物线
y=ax2(a≠0) a>0 a<0
对称轴 y轴
开口 方向 向____ 向____
大小 |a|越大,开口越____
顶点 坐标 (0,0)
最值 当x=0时,最小值为___ 当x=0时,最____值为___
增减性 x>0 y随x的增大而增大 y随x的增大而______
x<0 y随x的增大而______ y随x的增大而______
0
大
0
减小
减小
增大
2.二次函数y=ax2(a≠0)的图象和性质:
上
下
小
1.(一题多问)[教材P32练习改编]
(1)抛物线y=3x2的开口方向______,对称轴是_____,顶点坐标是
________;抛物线y=-3x2的开口方向______,对称轴是_____,顶点坐标是________.
(2)抛物线y=3x2与抛物线y=-3x2的图象关于___轴对称.
(3)抛物线y= x2,当x____0时,抛物线上的点都在x轴上方,当x____0时,抛物线从左向右逐渐上升,它的顶点是最____点;抛物线y=- x2,当
x____0时,抛物线从左向右逐渐下降,它的顶点是最____点.
向上
y轴
(0,0)
向下
y轴
(0,0)
x
≠
>
低
>
高
2.已知A(-1,y1),B(-2,y2),C(3,y3)三点都在二次函数y=-2x2的图象上,求y1,y2,y3的大小关系.
解:∵y=-2x2的图象关于y轴对称,
∴x=3与x=-3的纵坐标都是y3.
∵-2<0,∴图象开口向下.
∵-3<-2<-1<0,
∴y3<y2<y1.
1.(4分)在同一坐标系中,作y=2x2,y=-2x2,y= x2的图象,它们共同的特点是( )
A.都关于y轴对称,抛物线开口向上
B.都关于y轴对称,抛物线开口向下
C.都关于原点对称,抛物线的顶点都是原点
D.都关于y轴对称,抛物线的顶点都是原点
D
2.(4分)若点(a,8)和(-1,b)都在二次函数y=2x2的图象上,则a的值为_____,b的值为___.
3.(4分)点(x1,y1)和(x2,y2)在函数y=- x2的图象上,若x1±2
2
y1y1>y2
(1)图象开口向____,对称轴是_____,顶点坐标是________;
(2)当x=___时,函数y有最____值为___;
(3)当x_____时,y随x的增大而增大;
下
y轴
(0,0)
0
大
0
<0
=
>
布置作业:完成课时训练第29~30页练习.(共11张PPT)
22.1.4 二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质
第1课时 二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质
阅读教材P37~P39内容,归纳结论:
向上
减小
增大
向下
增大
减小
1.[2023·福州翰英平潭中学月考]将二次函数y=x2+2x+3通过配方可化为y=a(x-h)2+k的形式,结果是( )
A.y=(x+1)2+2 B.y=(x-1)2+2
C.y=(x+1)2-2 D.y=(x-1)2-2
2.将抛物线y=x2+2x-3先向右平移1个单位长度,再向上平移4个单位长度,所得抛物线的函数解析式为_______.
A
y=x2
3.[教材P39练习(2)(4)节选改编]写出下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点,并求当x为何值时,y取得最小或最大值.
(1)y=-x2-2x;
解:y=-x2-2x=-(x+1)2+1,
∴抛物线y=-x2-2x的开口向下,对称轴是x=-1,顶点坐标是(-1,1).
当x=-1时,y最大值=1.
1.(4分)若二次函数y=x2+bx+c经过配方可化为y=(x-1)2+2,则b,c的值分别为( )
A.5,-1 B.2,3
C.-2,3 D.-2,-3
C
2.(4分)二次函数y=x2+4x+3的图象可以由二次函数y=x2的图象平移而得到,下列平移正确的是( )
A.先向左平移2个单位长度,再向上平移1个单位长度
B.先向左平移2个单位长度,再向下平移1个单位长度
C.先向右平移2个单位长度,再向上平移1个单位长度
D.先向右平移2个单位长度,再向下平移1个单位长度
B
3.(4分)[教材P41T7(2)]已知函数y=-2x2+x-4,当x<____时,y随x的增大而增大,当x>____时,y随x的增大而减小.
4.(8分)[教材P41T6(1)(3)节选改编]先确定下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点,再描点画图,并求当x为何值时,y取得最小或最大值.
(1)y=-3x2+12x-3;
解:∵抛物线解析式为y=-3x2+12x-3,
∴a=-3,b=12,c=-3.
∴抛物线y=-3x2+12x-3的开口向下,
对称轴为x=2,顶点坐标是(2,9).
函数图象如图所示:
当x=2时,y最大值=9.
(2)y=2x2+8x-6.
解:∵抛物线解析式为y=2x2+8x-6,∴a=2,b=8,c=-6.
∴抛物线y=2x2+8x-6的开口向上,
对称轴为x=-2,顶点坐标是(-2,-14).
函数图象如图所示:
当x=-2时,y最小值=-14.
布置作业:完成课时训练第37~38页练习.