(共14张PPT)
第2课时 用列表法求概率
知识点 用列表法求概率
1．[2022·山东临沂改编]某学校门口设置了A，B两条通道，该校同学王明和李强均从A通道入校的概率是( )
A
2．[2022·上海]甲、乙、丙三人参加活动，两个人一组，则甲和乙一组的概率为__．
3．[2022·吉林长春改编]抛掷一枚质地均匀的普通硬币，仅有两种可能的结果：“出现正面”或“出现反面”．正面朝上记2分，反面朝上记1分．小明抛掷这枚硬币两次，用列表法求两次分数之和不大于3的概率．
第二次 第一次
1 2
1 2 3
2 3 4
解：根据题意列表如下：
由表可知，可能的结果有4种，两次分数之和不大于3的情况有3种，
故两次分数之和不大于3的概率为
4．[2022·江苏泰州改编]在泰州举办的江苏省第20届运动会带动了该市的全民体育热．小明去某体育馆锻炼，该体育馆有A，B两个进馆通道和C，D，E三个出馆通道，从进馆通道进馆的可能性相同，从出馆通道出馆的可能性也相同．用列表法列出小明一次经过进馆通道与出馆通道的所有等可能的结果，并求他恰好经过通道A与通道D的概率．
C D E
A AC AD AE
B BC BD BE
解：列表如下：
∵由表可知共有6种等可能的结果数，其中恰好经过通道A与通道D的结果有1种，
∴P(恰好经过通道A与通道D)＝
5．[2022·辽宁营口改编]为传承中华民族优秀传统文化，提高学生文化素养，学校举办“经典诵读”比赛，比赛题目分为“诗词之风”“散文之韵”“小说之趣”“戏剧之雅”四组(依次记为A，B，C，D)．小雨和莉莉两名同学参加比赛．其中一名同学从四组题目中随机抽取一组，然后放回，另一名同学再随机抽取一组．
(1)小雨抽到A组题目的概率是__；
(2)请用列表法求小雨和莉莉两名同学抽到相同题目的概率．
小雨 莉莉
A B C D
A AA BA CA DA
B AB BB CB DB
C AC BC CC DC
D AD BD CD DD
解：列表如下：
由图得，共有16种等可能结果，其中，小雨和莉莉两名同学抽到相同题目的结果数有4种，
∴P(小雨和莉莉两名同学抽到相同题目)＝
6．(跨学科)[2022·山西改编]“二十四节气”是中华上古农耕文明的智慧结晶，被国际气象界誉为“中国第五大发明”．小文购买了“二十四节气”主题邮票，他要将“立春”“立夏”“秋分”“大寒”四张邮票中的两张送给好朋友小乐．小文将它们背面朝上放在桌面上(邮票背面完全相同)，让小乐从中随机抽取一张(不放回)，再从中随机抽取一张，则小乐抽到的两张邮票恰好是“立春”和“立夏”的概率是( )
C
7．[2022·江苏宿迁改编]从甲、乙、丙、丁4名学生中选2名学生参加一次乒乓球单打比赛，求下列事件发生的概率．
(1)甲一定参加比赛，再从其余3名学生中任意选取1名，恰好选中丙的概率是__；
(2)任意选取2名学生参加比赛，用列表法求一定有乙的概率．
甲 乙 丙 丁
甲 甲乙 甲丙 甲丁
乙 乙甲 乙丙 乙丁
丙 丙甲 丙乙 丙丁
丁 丁甲 丁乙 丁丙
解：列表如下：
所有的等可能的情况数有12种，符合条件的情况数有6种，
所以一定有乙的概率为
8．[2022·辽宁铁岭改编]学校开展“阳光体育”运动，根据实际情况，决定开设篮球、健美操、跳绳、毽球四个运动项目，为了解学生最喜爱哪一个运动项目，学校从不同年级随机抽取部分学生进行调查，每人必须选择且只能选择一个项目，并将调查结果绘制成如下两幅统计图．
请根据图中提供的信息，解答下列问题：
(1)本次调查的学生共有____人；
50
(2)在扇形统计图中，求健美操项目所对应的扇形圆心角的度数，并把条形统计图补充完整；
补全条形统计图如图．
喜欢跳绳的学生人数为50－20－15－10＝5(人)．
解：健美操项目所对应的扇形圆心角的度数为360°×
(3)在最喜爱健美操项目的学生中，八年级一班和八年级二班各有2名同学有健美操基础，学校准备从这4人中随机抽取2人作为健美操领操员，请用列表法求选中的2名同学恰好是同一个班级的概率．
第2人 第1人
一班1 一班2 二班1 二班2
一班1 一班2 一班1 二班1 一班1 二班2
一班1
解：用列表法表示所有可能出现的结果如下：
共有12种可能出现的结果，其中2人来自同一班级的有4种，
第2人 第1人
一班1 一班2 二班1 二班2
一班2 一班1 一班2 二班1 一班2 二班2
一班2
二班1 一班1 二班1 一班2 二班1 二班2
二班1
二班2 一班1 二班2 一班2 二班2 二班1 二班2
∴从4人中随机抽取2人，来自同一班级的概率为(共15张PPT)
第二十五章 概率初步
25.3 用频率估计概率
第2课时 用频率估计概率在问题决策中的应用
知识点 用频率估计概率在问题决策中的应用
1．某地区林业局要考察一种树苗移植的成活率，对该地区这种树苗移植的成活情况进行了调查统计，并绘制了如图所示的统计图，根据统计图提供的信息，下列说法不正确的是( )
A．随着移植树木的增加，这种树苗的成活率会逐渐稳定在某一个数附近
B．这种树苗成活的频率稳定在0.8，成活概率的估计值为0.8
C．若该地区已经移植这种树苗3万棵，则这种树苗大约成活2.4×104万棵
D．如果该地区计划成活12万棵这种树苗，那么需移植这种树苗约15万棵
C
2．农科院新培育出A，B两种新麦种，为了了解它们的发芽情况，在推广前做了五次发芽试验，每次随机各自取相同种子数，在相同的培育环境中分别试验，试验情况记录如下：
下面有三个推断：①在同样的地质环境下播种，A种子的出芽率可能会高于B种子；②当试验种子数量为100时，两种种子的发芽率均为0.96，所以它们的发芽概率一样；③随着试验种子数量的增加，A种子出芽率在0.98附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计A种子出芽的概率是0.98.其中不合理的是____．(填序号)
②
3．某林业部门对某种幼树在一定条件下的移植成活率进行了统计，结果如下表所示：
(1)该种幼树移植成活的概率为_____．(结果保留小数点后一位)
移植总数/棵 10 50 270 400 1 500 3 500 7 000 9 000 14 000
成活率 0.800 0.940 0.870 0.923 0.890 0.915 0.905 0.897 0.902
0.9
(2)若这批树苗移植后要有27万棵成活，试估计需要移植多少棵树苗较为合适．
当移植总数为14 000时，成活率为0.902，于是可以估计树苗移植成活的概率为0.9，
解：由表格可知，随着树苗移植数量的增加，树苗移植成活率越来越稳定．
则需要移植的树苗数量约为27÷0.9＝30(万棵)．
4．苗木种植不仅绿化家园，也成为乡村增收致富的“绿色银行”，助力脱贫攻坚．小王承包了一片荒山，他想把这片荒山改造成一个苹果园，现在有一种苹果树苗，它的成活率如下表所示：
根据以上信息，回答下列问题：
(1)当移植的棵数是7 000时，表格记录成活数是_______，那么成活率x是_______．
(2)随着移植棵数的增加，树苗成活的频率总在0.900附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计树苗成活的概率是_______．
(3)若小王移植10 000棵这种树苗，则可能成活_______棵．
6 335
0.905
0.900
9 000
(4)若小王移植20 000棵这种树苗，则一定成活18 000棵．此结论正确吗？说明理由．
解：此结论不正确，理由如下：∵概率只是用来衡量在一定条件下，某事件发生的可能性大小，并不代表事件一定会发生，∴若小王移植20 000 棵这种树苗，不一定能成活18 000棵，只能说是可能成活18 000 棵．
5.如图，地面上有一个不规则的封闭图形ABCD，为求得它的面积，小明设计了一个如下方法：
①在此封闭图形内画出一个半径为1 m的圆．
②在此封闭图形旁边闭上眼睛向封闭图形内掷小石子(可把小石子近似地看成点)，记录如下：
掷小石子落在不规则图形内的总次数 50 150 300 500 …
小石子落在圆内(含圆上)的次数m 20 61 123 203 …
小石子落在圆外的阴影部分(含外缘)的次数n 29 91 176 288 …
m∶n 0.690 0.693 0.699 0.705
(1)通过以上信息，可以发现当投掷的次数很大时，则m∶n的值越来越接近_____(结果精确到0.1)．
0.7
解：观察表格得：随着投掷次数的增大，小石子落在圆内(含圆上)的频率值稳定在0.4.
0.4
(2)若以小石子所落的有效区域为总数(即m＋n)，则随着投掷次数的增大，小石子落在圆内(含圆上)的频率值稳定在_____附近(结果精确到0.1)．
(3)请你利用(2)中所得频率的值，估计整个封闭图形ABCD的面积是多少平方米．(结果保留π)
答：封闭图形的面积约为2.5π m2.
解：设封闭图形的面积为a m2.根据题意，得 ＝0.4，解得a＝2.5π.
本节结束后请使用阶段训练11.(共13张PPT)
第1课时 用直接列举法求概率
知识点 用直接列举法求概率
1．[2022·湖南邵阳]假定按同一种方式掷两枚均匀硬币，如果第一枚出现正面朝上，第二枚出现反面朝上，就记为(正，反)，如此类推，出现(正，正)的概率是( )
D
2．[2022·四川雅安]从－1，0，2中任取两个不同的数求和，则和为正的概率为__．
3．一个两位数，它的十位数字是1，个位数字是抛掷一枚质地均匀的骰子(六个面分别标有数字1～6)朝上一面的数字．任意抛掷这枚骰子一次，求得到的两位数是4的倍数的概率．
解：根据题意，得到的两位数有11，12，13，14，15，16这6种等可能结果，
∴得到的两位数是4的倍数的概率等于
其中两位数是4的倍数有12，16这2种结果，
4．国庆期间，甲、乙两人分别从A，B，C三部电影中随机选择两部观看．
(1)甲选择电影A，B观看的概率为__；
4．国庆期间，甲、乙两人分别从A，B，C三部电影中随机选择两部观看．
(2)求甲、乙两人选择观看的两部电影恰好相同的概率．
解：甲、乙各选择两部电影观看，所有可能出现的结果共有9种，
即(AB，AB)，(AB，AC)，(AB，BC)，(AC，AB)，(AC，AC)，(AC，BC)，(BC，AB)，(BC，AC)，(BC，BC)，这些结果出现的可能性相等．
所有的结果中，满足甲、乙两人选择观看的两部电影相同(记为事件M)的结果有3种，
5．在一个不透明的袋子中装有红、黄、蓝三个小球，除颜色外无其他差别．从袋子中随机摸球三次，每次摸出一个球，记下颜色后不放回．请用列举法列出三次摸球的结果，并求出第三次摸出的球是红球的概率．
解：依题意，共有6种等可能结果，分别是
(红，黄，蓝)，(红，蓝，黄)，(黄，红，蓝)，(黄，蓝，红)，(蓝，红，黄)，(蓝，黄，红)．
所有结果发生的可能性都相等．
其中第三次摸出的球是红球(记为事件A)的结果有2种，
6.(跨学科)孟德尔被誉为现代遗传学之父，他通过豌豆杂交实验，发现了遗传学的基本规律．如图，纯种高茎豌豆和纯种矮茎豌豆杂交，子一代都是高茎豌豆，子一代种子种下去，自花传粉，获得的子二代豌豆由DD，Dd，dd三种遗传因子控制．由此可知，子二代豌豆中含遗传因子D的概率是( )
D
7．[2022·广西贵港]从－3，－2，2这三个数中任取两个不同的数作为点的坐标，则该点落在第三象限的概率是__．
8．袋中有四张卡片，其中两张红色卡片a1，a2，标号分别为1，2；两张蓝色卡片b1，b2，标号分别为1，2.
(1)从以上四张卡片中任取两张，求这两张卡片颜色不同且标号之和小于4的概率；
解：从装有四张卡片的袋中任取两张的所有结果有：a1a2，a1b1，a1b2，a2b1，a2b2，b1b2共6种，
且每种结果出现的可能性都相同，其中这两张卡片颜色不同且标号之和小于4的结果有a1b1，a1b2，a2b1，共3种，
∴所求的概率为
(2)向袋中再放入一张绿色卡片c0，标号记为0，从这五张卡片中任取两张，求这两张卡片颜色不同且标号之和小于4的概率．
解：∵向袋中再放入一张标号为0的绿色卡片c0，从这五张卡片中任取两张的所有结果有：a1a2，a1b1，a1b2，a2b1，a2b2，b1b2，c0a1，c0a2，c0b1，c0b2共10种，其中这两张卡片颜色不同且标号之和小于4的结果有a1b1，a1b2，a2b1，c0a1，c0a2，c0b1，c0b2共7种，∴所求的概率为
9．(数学文化)[2023·福州屏东中学检测]两千多年前我们的祖先就使用“算筹”表示数，后渐渐发展为算盘．算筹有纵式和横式两种排列方式，0～9各个数字及其算筹表示的对应关系如下表：
按照一定顺序排成的三位数中，百位数字只可在3或6中任选一个，十位是0，2，9，个位是3，0，6.
①若百位数字为3，则三位数有：306，320，326，390，396；
②若百位数字为6，则三位数有：603，620，623，690，693.(共16张PPT)
第二十五章 概率初步
25.1 随机事件与概率
25.1.1 随机事件
知识点1 必然事件、不可能事件、随机事件的概念
1．[2023·福州教育学院附中月考]下列事件为必然事件的是( )
A．口袋中装有2个红球和1个白球，从中摸出2个球，其中必有红球
B．明天会下雪
C．打开电视机，正在播放新闻
D．购买一张彩票中奖一百万元
A
2．[2022·江苏扬州]下列成语所描述的事件属于不可能事件的是( )
A．水落石出 B．水涨船高
C．水滴石穿 D．水中捞月
D
3．下列事件中，是随机事件的是( )
A．抛掷一块石头，石头终将落地
B．从装有黑球、白球的袋里摸出红球
C．太阳绕着地球转
D．站在三分线上投篮，球进了
D
4．“随手翻开人教版初中数学课本，翻到的页码恰好是3的倍数”，这个事件是______事件(填“随机”“必然”或“不可能”)．
随机
5．(1)下列事件中，哪些是必然事件？哪些是不可能事件？哪些是随机事件？(填入题后括号内)
①校运会上，我班一位女同学的100米跑成绩是14秒11. (______事件)
②人在地球上所受的重力比在月球上小．(________事件)
③一个四边形四个内角的和等于360°. (______事件)
(2)(开放题)写出一个随机事件．________________________．(只需写一个，填在横线上)
随机
不可能
必然
明天会下雨(答案不唯一)
知识点2 随机事件发生的可能性大小
6．袋中装有8个红球，4个白球，1个绿球，它们除颜色外无差别，随机从袋子中摸出一球，则下列事件可能性最大的是( )
A．摸到红球 B．摸到白球
C．摸到绿球 D．摸到黄球
A
7．如图，一只蚂蚁在一块地砖上爬来爬去，停在区域可能性最大的是( )
A．红色区域 B．黄色区域
C．白色区域 D．黑色区域
A
8．[教材P129练习T1变式]某商场利用转盘举行抽奖活动，一等奖、二等奖、三等奖的数量比为1∶3∶6，则一名顾客转动一次转盘，获奖可能性最大的奖项是________．
三等奖
9．一个不透明的袋子中只有4个黑球和2个白球，这些球除颜色外无其他差别．随机从袋子中一次摸出3个球，下列事件是必然事件的是( )
A．3个球都是黑球 B．3个球都是白球
C．3个球中有黑球 D．3个球中有白球
C
10．下面是一些质地均匀且可以自由转动的转盘，转出黄色的可能性最大的转盘是( )
B
11．一盒乒乓球中共有6个，其中2个次品，4个正品，正品和次品大小和形状完全相同．每次任取3个，指出下列这些事件分别是什么事件：
(1)取了3个正品，属于______事件；
(2)取了至少一个次品，属于______事件；
(3)取了3个次品，属于________事件；
(4)取了至少一个正品，属于______事件．(填“随机”“不可能”或“必然”)
随机
随机
不可能
必然
12．一个黑色口袋中装有4个红球、2个白球、1个黄球，这些球的形状、大小、质地等完全相同，随机地从袋子中摸出一个球．
(1)小明认为袋中共有三种颜色不同的球，所以摸到红球、白球或者黄球的可能性是相同的，你认为正确吗？请说明理由；
由已知得红球数目多于白球数目，也多于黄球的数目，故摸到红球的可能性是最大的，白球第二，黄球的可能性最小．
解：不对．理由：因为比较可能性大小应该比较各自的数目或所占的比例．
12．一个黑色口袋中装有4个红球、2个白球、1个黄球，这些球的形状、大小、质地等完全相同，随机地从袋子中摸出一个球．
(2)能否通过改变袋子中某种颜色的球的数量，使“摸出白球”和“摸出黄球”的可能性大小相同？
由已知得红球数目多于白球数目，也多于黄球的数目，故摸到红球的可能性是最大的，白球第二，黄球的可能性最小．
解：不对．理由：因为比较可能性大小应该比较各自的数目或所占的比例．
13．小明在一个不透明的盒子中放入10个除颜色外其他均相同的小球，用来设计一个摸球游戏．其中小球的颜色分别为白色、红色、黄色和蓝色，要求同时满足下列三个条件：
(1)摸到白球和红球的可能性相同；
(2)摸到红球比蓝球的可能性小；
(3)摸到黄球比蓝球的可能性大．
解：我设计的方案如下：白球___个，红球___个，蓝球___个，黄球___个．
(答案不唯一)
1
1
2
6
14．从小颖、小叶等4名初二学生和6名初三学生中选出6名学生参加演讲比赛，规定初三学生选n名．
(1)若小颖当选是必然事件，则n的值为___；
(2)若小叶当选是不可能事件，则n的值为___；
(3)若小颖当选是随机事件，则n的值为_________．
2
6
3，4，5(共16张PPT)
第二十五章 概率初步
25.2 用列举法求概率
第3课时 用画树状图法求概率
知识点 用画树状图法求概率
1．[2022·内蒙古包头]2022年2月20日北京冬奥会大幕落下，中国队在冰上、雪上项目中，共斩获9金4银2铜，创造中国队冬奥会历史最好成绩．某校为普及冬奥知识，开展了校内冬奥知识竞赛活动，并评出一等奖3人．现欲从小明等3名一等奖获得者中任选2名参加全市冬奥知识竞赛，则小明被选到的概率为( )
D
2．抛掷一枚质地均匀的硬币3次，掷得“两个正面，一个反面”的概率为( )
D
3．[2022·贵州安顺]在一个不透明的口袋中有四个完全相同的小球，把它们分别标号为1，2，3，4.随机摸出一个球后不放回，再随机摸出一个，则两次摸出的小球标号之和为5的概率为__．
4．[教材P139练习变式]小红上学要经过三个十字路口，每个路口遇到红、绿灯的机会都相同，则小红上学时经过每个路口都是绿灯的概率是__．
5．[2022·山东济南改编]某班级计划举办手抄报展览，确定了“5G时代”“北斗卫星”“高铁速度”三个主题，若小明和小亮每人随机选择其中一个主题，请用画树状图的方法求他们恰好选择同一个主题的概率．
∴小明和小亮恰好选择同一个主题的概率为
共有9种等可能的结果，其中小明和小亮恰好选择同一个主题的结果有3种，
解：把“5G时代”“北斗卫星”“高铁速度”三个主题分别记为A，B，C，画树状图如下：
6．现有四张完全相同的不透明卡片，其正面分别标有数字－2，－1，0，2，把这四张卡片背面朝上洗匀后放在桌面上．
(1)随机抽取一张卡片，抽取的卡片上的数字为负数的概率为__．
(2)随机抽取两张卡片，其上的数字分别作为点A的横坐标和点A的纵坐标．试用画树状图的方法求出点A在第二象限的概率．
∴点A在第二象限的概率为
一共有12种等可能性，落在第二象限的有2种等可能性，
解：画树状图如下．
7．校园足球燃激情，绿茵场上展风采．甲、乙、丙三人在练习互相传球，规则是：第一次传球由甲将球随机地传给乙、丙中的某一人，以后的每一次传球都是由持球者随机地传给其他两人中的某一人．
(1)求两次传球后，球恰在乙手中的概率；
两次传球后的所有结果有4种，每种结果发生的可能性相等，球恰好在乙手中
(记为事件A)的结果有1种，
解：画树状图如图：
(2)求三次传球后，球恰在甲手中的概率．
三次传球后的所有结果有8种，每种结果发生的可能性相等，其中球恰在
甲手中(记为事件B)的结果有2种，
解：画树状图如图：
8．(跨学科)如图，电路图上有三个开关A，B，C，开关闭合记“＋”，开关断开记“－”．
(1)若只闭合其中一个开关，则小灯泡发光(即电流通过)的概率是__；
(2)用画树状图的方法表示三个开关A，B，C闭合或断开的所有情况，并求小灯泡发光(即电流通过)的概率．
∴小灯泡发光(即电流通过)的概率为
由树状图可知共有8种等可能的情况，其中小灯泡发光的情况有5种，
解：由题意可画树状图如下，
9．[2022·山东东营改编]中国共产党的助手和后备军——中国共青团，担负着为中国特色社会主义事业培养合格建设者和可靠接班人的根本任务．成立一百周年之际，各中学持续开展了A：青年大学习；B：青年学党史；C：中国梦宣传教育；D：社会主义核心价值观培育践行等一系列活动，学生可以任选一项参加．为了解学生参与情况，进行了一次抽样调查，根据收集的数据绘制了两幅不完整的统计图．
请根据图中提供的信息，解答下列问题：
(1)在这次调查中，一共抽取了_____名学生；
200
(2)补全条形统计图；
补全条形统计图如图所示．
解：参加C项活动的人数为：200－20－80－40＝60.
(3)若该校共有学生1 280名，请估计参加B项活动的学生数；
答：估计参加B项活动的学生有512名．
(4)小杰和小慧参加了上述活动，请用画树状图的方法，求他们参加同一项活动的概率．
∴他们参加同一项活动的概率为
由树状图可知，共有16种等可能的结果，其中他们参加同一项活动的情况数有4种，
解：画树状图如图．(共12张PPT)
第二十五章 概率初步
25.3 用频率估计概率
第1课时 用频率估计概率
知识点1 频率与概率的关系
1．在大量重复试验中，关于随机事件发生的频率和概率，下列说法正确的是( )
A．频率就是概率
B．频率与试验次数无关
C．随着试验次数的增加，频率一般会逐步稳定在概率数值附近
D．在相同的条件下进行试验，如果试验次数相同，则各试验小组所得频率的值也会相同
C
2．[2023·福州教育学院附中月考]在一个不透明袋子里有1个红球、1个黄球、n个白球，除颜色外其余都相同，每次摇匀后随机摸出一个小球，记下颜色后再放回袋中，经过大量重复摸球试验后发现，摸到白球的频率稳定在0.5左右，则n的值为___．
变式 在一个不透明的布袋中，红色、黑色、白色的玻璃球共有20个，除颜色外其他完全相同，通过多次摸球试验后发现，其中摸到红色、黑色球的频率稳定在20%和50%，则口袋中白色球的个数可能是___．
2
6
知识点2 用频率估计概率
3．现有两张正面印有吉祥物的不透明卡片，卡片除正面图案不同外，其余均相同，其中一张正面印有“冰墩墩”图案，另一张正面印有“雪容融”图案，将两张卡片正面向下洗匀，从中随机抽取一张卡片，小颖和同学抽取卡片获得的数据如下表：
若抽取卡片的次数为1 000，则抽到“冰墩墩”的频数最接近( )
A．250 B．500
C．700 D．850
抽取卡片的次数/次 100 200 300 400 500
抽到“冰墩墩”的次数/次 53 98 156 201 248
B
4．[2023·厦门检测]某区为了解初中生体质健康水平，在全区进行初中生体质健康的随机抽测，结果如下表：根据抽测结果，下列对该区初中生体质健康合格的概率的估计，最合理的是( )
A．0.92 B．0.905
C．0.03 D．0.9
累计抽测的学生数n 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1 000
体质健康合格的学生数与n的比值 0.85 0.9 0.93 0.91 0.89 0.9 0.91 0.91 0.92 0.92
A
5．[2023·福州十九中月考]“头盔是生命之盔”，质检部门对某工厂生产的头盔质量进行抽查，抽查结果如下表：
(1)估计该工厂合格头盔的概率；
解：根据频率可靠性可知，总数越大时频率越稳定，则该工厂合格头盔的概率的估计值为0.96.
5．[2023·福州十九中月考]“头盔是生命之盔”，质检部门对某工厂生产的头盔质量进行抽查，抽查结果如下表：
(2)若工厂生产10 000个头盔，则合格的头盔有多少个？
解：估计该工厂生产10 000个头盔，合格的头盔有
10 000×0.96＝9 600(个)．
6．[2022·厦门模拟]不透明袋子中装有红、黄小球各若干个，这些球除颜色外无其他差别．把“从袋子中随机摸出一个小球”作为试验，每次试验后，将摸出的小球放回摇匀，再进行下一次试验．试验数据显示：大量重复试验后，摸出红球的频率越来越稳定于0.2，则下列对于袋子中球的数量的估计，最合理的是( )
A．红球有2个 B．黄球有10个
C．黄球的数量是红球的4倍 D．黄球和红球的数量相等
C
7．一个不透明的袋子里装有黑、白两种颜色的球共40个，这些球除颜色外都相同．小明从袋子中随机摸一个球，记下颜色后放回，不断重复，并绘制了如图所示的统计图，根据统计图提供的信息解决下列问题：
(1)估计袋中黑球的个数为____；
20
(2)若小明又将一些相同的黑球放进了这个不透明的袋子里，然后再次进行摸球试验，当重复大量试验后，发现黑球的频率稳定在0.6左右，则小明后来放进了多少个黑球？
∴小明后来放进了10个黑球．
经检验，x＝10是原方程的根且符合题意，
8．在一个不透明的口袋里装有颜色不同的黑、白两种颜色的球共4个，某学习小组做摸球试验，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复，下表是活动进行中的一组统计数据：
(1)请估计：当n很大时，摸到白球的频率将会接近_____(精确到0.1)，白球有___个；
0.5
2
(2)若从中先任摸一球，不放回，再摸一球，请用列表或画树状图的方法(只选其中一种)，求摸到的两球颜色相同的概率．
第一次 第二次
白1 白2 黑1 黑2
白1 (白1，白2) (白1，黑1) (白1，黑2)
白2 (白2，白1) (白2，黑1) (白2，黑2)
黑1 (黑1，白1) (黑1，白2) (黑1，黑2)
黑2 (黑2，白1) (黑2，白2) (黑2，黑1)
∴P(两球颜色相同)
由列表可得，共有12种等可能结果，其中两个球颜色相同的有4种可能．
解：列表得：(共19张PPT)
25.1.2 概率
知识点1 概率的意义
1．[2023·厦门外国语学校检测]气象台预报“本市明天降水概率是90%”．对此信息，下列说法正确的是( )
A．本市明天将有90%的时间降水
B．本市明天降水的可能性比较大
C．本市明天肯定下雨
D．本市明天将有90%的地区降水
B
2．[2023·福州鼓楼区期末]下列说法正确的是( )
A．概率很小的事件不可能发生
B．抛一枚硬币，第一次正面朝上，则正面朝上的概率为1
C．必然事件发生的概率是1
C
知识点2 等可能结果下随机事件的概率
3．(跨学科)[2022·黑龙江齐齐哈尔]在单词statistics(统计学)中任意选择一个字母，字母为“s”的概率是( )
C
4．[2022·福建]一个不透明的袋中装有3个红球和2个白球，这些球除颜色
外无其他差别．现随机从袋中摸出一个球，这个球是红球的概率是__．
5．同一副扑克中有9张分别写有数字1，2，3，4，5，6，7，8，9的扑克牌，把它们的背面朝上洗匀后，在桌面排开，从中任意摸取1张牌，求下列事件的概率：
(1)摸到数字“9”；
解：任意摸出一张牌，所有可能的结果有9种，而且每种结果出现的可能性相等．
∵摸到数字“9”的结果只有1种，
∴P(摸到数字“9”)＝
5．同一副扑克中有9张分别写有数字1，2，3，4，5，6，7，8，9的扑克牌，把它们的背面朝上洗匀后，在桌面排开，从中任意摸取1张牌，求下列事件的概率：
(2)摸到数字“0”；
解：∵摸到数字“0”的结果没有，
∴P(摸到数字“0”)＝0.
5．同一副扑克中有9张分别写有数字1，2，3，4，5，6，7，8，9的扑克牌，把它们的背面朝上洗匀后，在桌面排开，从中任意摸取1张牌，求下列事件的概率：
(3)摸到数字大于“4”．
解：∵摸到数字大于“4”的结果有5种，
∴P(摸到数字大于“4”)＝
知识点3 与几何图形有关的概率的计算
6．[2022·辽宁朝阳]如图所示的是由8个全等的小正方形组成的图案，假设可以随意在图中取一点(不在边界上)，那么这个点取在阴影部分的概率是( )
A
7．如图，一块正方形地板由9块边长均相等的小正方形组成，米粒随机地撒在如图所示的正方形地板上(落在边界上的忽略不计)，则米粒落在阴影区域的概率为__．
B
9．[2022·山东东营]如图，任意将图中的某一白色方块涂黑后，能使所有黑色方块构成的图形是轴对称图形的概率是( )
A
∴任意将图中的某一白色方块涂黑后，能使所有黑色方块构成的图形是轴对称图形的概率是
解析：如图所示，由轴对称图形的定义可知当选取编号为1，3，5，6其中一个白色方块涂黑后，能使黑色方块构成的图形是轴对称图形．
10．[2022·黑龙江绥化]一个不透明的箱子中有5个红球和若干个黄球，除颜色外无其他差别．若任意摸出一个球，摸出红球的概率为 ，则这个箱子中黄球的个数为____．
15
11．有红球、白球、黄球若干个备用，它们除颜色外其他完全相同．在一个不透明的口袋中放入8个红球和12个白球，摇匀．
(1)求从这个不透明口袋中随机摸出一个球是白球的概率；
解：∵不透明的口袋中放入8个红球和12个白球，
∴摸出一个球是白球的概率为
(2)现从口袋中取出若干个红球，并放入相同数量的黄球，充分摇匀后，要使从口袋中随机摸出一个球不是红球的概率是 ，问放入了多少个黄球．
解：设取出x个红球，放入了x个黄球．
解得x＝4.
∴放入了4个黄球．
12．(新情境)如图，一个均匀的转盘被平均分成8等份，分别标有“我”“骄”“傲”“我”“是”“中”“国”“人”这8个汉字，转动转盘，当转盘停止后，指针指向的汉字即为转出的汉字．
(1)转动转盘，当转盘停止时，指针指向“我”的概率是__，指针指向汉字的笔画数是偶数的概率是__．
(2)小明和小华利用该转盘做游戏，当转出的汉字笔画不小于8画时小明获胜，否则小华获胜．请你判断这个游戏是否公平，并说明理由．
解：游戏公平．理由如下：
8个汉字中笔画不小于8画的有“骄”“傲”“是”“国”，
8个汉字中笔画小于8画的有“我”“我”“中”“人”，
∴小明获胜的概率＝小华获胜的概率．
∴游戏公平．
本节结束后请使用阶段训练10.(共30张PPT)
第二十五章 概率初步
章末复习
考点一 事件的类型及概率的意义
1．[2022·宁夏]下列事件为确定事件的有( )
①打开电视，正在播动画片；②长、宽为m，n的矩形面积是mn；③掷一枚质地均匀的硬币，正面朝上；④π是无理数．
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
B
2．[2022·湖北襄阳]下列说法正确的是( )
A．自然现象中，“太阳东方升起”是必然事件
B．成语“水中捞月”所描述的事件，是随机事件
C．“襄阳明天降雨的概率为0.6”，表示襄阳明天一定降雨
A
考点二 求随机事件的概率
3．[2022·湖南永州]李老师准备在班内开展“道德”“心理”“安全”三场专题教育讲座，若三场讲座随机安排，则“心理”专题讲座被安排在第一场的概率为( )
C
4．不透明袋子中装有红、绿小球各一个，除颜色外无其他差别，随机摸出一个小球后，放回并摇匀，再随机摸出一个，两次都摸到红球的概率为( )
D
5．[2022·辽宁阜新]如图，这是由12个全等的等边三角形组成的图案，假设可以随机在图中取点，那么这个点取在阴影部分的概率是( )
D
6．为了维持图书馆秩序，某图书馆需要从甲、乙、丙、丁4名志愿者中随机抽取2名协助某区域的借阅工作，则甲被抽中的概率是( )
A
7．(跨学科)[2022·四川南充]老师为帮助学生正确理解物理变化与化学变化，将6种生活现象制成看上去无差别的卡片(如图)．从中随机抽取一张卡片，抽中生活现象是物理变化的概率是__．
8．[2022·湖北襄阳]经过某十字路口的汽车可能直行，也可能向左转或向右转，如果这三种可能性大小相同，那么两辆汽车经过这个十字路口时，第一辆车向左转，第二辆车向右转的概率是__．
9．[2022·辽宁鞍山]2022年4月15日是第七个全民国家安全教育日，某校七、八年级举行了一次国家安全知识竞赛，经过评比后，七年级的两名学生(用A，B表示)和八年级的两名学生(用C，D表示)获得优秀奖．
(1)从获得优秀奖的学生中随机抽取一名分享经验，恰好抽到七年级学生的概率是__．
(2)从获得优秀奖的学生中随机抽取两名分享经验，请用列表法或画树状图法，求抽取的两名学生恰好一名来自七年级、一名来自八年级的概率．
由图知，共有12种等可能结果，其中抽取的两名学生恰好一名来自七年级、一名来自八年级的有8种结果，∴抽取的两名学生恰好一名来自七年级、一名来自八年级的概率为
解：画树状图如下．
考点三 用频率估计概率
10．[2022·甘肃兰州]2022年3月12日是我国第44个植树节，某林业部门为了考察某种幼树在一定条件下的移植成活率，在同等条件下，对这种幼树进行大量移植，并统计成活情况，下表是这种幼树移植过程中的一组统计数据：
估计该种幼树在此条件下移植成活的概率是_____．(结果精确到0.1)
幼树移植数/棵 100 1 000 5 000 8 000 10 000 15 000 20 000
幼树移植成活数/棵 87 893 4 485 7 224 8 983 13 443 18 044
幼树移植成活的频率 0.870 0.893 0.897 0.903 0.898 0.896 0.902
0.9
11．[2022·广西桂林]当重复试验次数足够多时，可用频率来估计概率．历史上数学家皮尔逊曾在试验中掷均匀的硬币24 000次，正面朝上的次数是
12 012次，频率约为0.5，则掷一枚均匀的硬币，正面朝上的概率是_____．
0.5
12．[2022·漳州一模]一个不透明的布袋里，装有若干个只有颜色不同的红球和黄球，其中红球有5个．某同学从袋中任意摸出一个球，记下颜色后放回，通过这样多次反复试验，发现摸到红球的频率稳定在0.25左右，则可估计袋中球的总个数是____．
20
考点四 概率的应用
13．甲、乙两同学用一副扑克牌中牌面数字分别是3，4，5，6的4张牌做抽数字游戏．游戏规则是：将这4张牌的正面全部朝下，洗匀，从中随机抽取一张，抽得的数作为十位上的数字，然后，将所抽的牌放回，正面全部朝下、洗匀，再从中随机抽取一张，抽得的数作为个位上的数字，这样就得到一个两位数．若这个两位数小于45，则甲获胜，否则乙获胜．你认为这个游戏公平吗？请运用概率知识说明理由．
解：不公平．理由：列表如下：
第一次 第二次
3 4 5 6
3 33 34 35 36
4 43 44 45 46
5 53 54 55 56
6 63 64 65 66
易错点一 事件可能性大小判断有误
1．盒子里有大小、材质完全相同的红球、黄球、绿球各5个，亮亮每次任意摸出一个球，然后放回再摸．亮亮前两次摸球连续摸到黄球，当亮亮第三次摸球时，下列说法正确的是( )
A．一定摸到黄球
B．摸到黄球的可能性大
C．不可能摸到黄球
D．摸到红球、黄球、绿球的可能性一样大
D
2．如图，转动三个可以自由转动的转盘(转盘均被等分)，当转盘停止转动后，根据“指针落在灰色区域内”的可能性的大小，将转盘的序号按事件发生的可能性从大到小排列为________．
②①③
易错点二 对概率的意义理解不透彻
3．“从一个布袋中随机摸出1个球，恰好是红球的概率为 ”的意思是( )
A．布袋中有1个红球和5个其他颜色的球
B．摸球6次就一定有1次摸中红球
C．布袋中共有6个红球，从中摸到了1个红球
D．如果摸球次数很多，那么平均每摸球6次就有1次摸中红球
D
4．关于频率与概率有下列几种说法，其中正确的说法是( )
A．“某彩票中奖的概率是1%”表示买10张该种彩票不可能中奖
B．“抛一枚硬币正面朝上的概率为 ”表示每抛两次就有一次正面朝上
C．“明天下雨的概率是90%”表示明天下雨的可能性很大
D．随意翻到一本书的某页，这一页的页码是偶数
C
易错点三 未分清“放回”与“不放回”
5．有3个完全相同的小球，把它们分别标号为1，2，3，放在一个口袋中，随机地摸出一个小球不放回，再随机地摸出一个小球．则摸出的两个球号码之和等于5的概率为__．
6．[2022·江苏苏州]一个不透明的袋子中装有1个白球，3个红球，这些球除颜色外都相同．
(1)搅匀后从中任意摸出1个球，这个球是白球的概率为__；
(2)搅匀后从中任意摸出1个球，记录颜色后放回，搅匀，再从中任意摸出1个球，求两次摸到的球恰好是1个白球和1个红球的概率．(请用画树状图或列表等方法说明理由)
∴2次摸到的球恰好是1个白球和1个红球的概率为
共有16种不同的结果数，其中两个球颜色不同的有6种，
解：画树状图，如图所示．
易错点四 不能正确理解事件发生的等可能性
7．把大小和形状完全相同的6张卡片分成两组，每组3张，分别都标上数字1，2，3，将这两组卡片分别放入两个不透明的盒子中摇匀，再从中各随机抽取一张．
(1)请用画树状图或列表的方法求取出的两张卡片上的数字都为奇数的概率；
则取出的两张卡片上的数字都为奇数的概率是
由上图可知，所有等可能结果共有9种，其中两张卡片都为奇数的结果有4种，
解：画树状图如下．
(2)若取出的两张卡片上的数字都为奇数，则甲胜；取出的两张卡片上的数字为一奇一偶，则乙胜．试分析这个游戏是否公平，请说明理由．
解：公平．理由：
由(1)可得出：取出的两张卡片上的数字都为奇数的有4种，一奇一偶有4种，
因此这个游戏公平．
取出的两张卡片上的数字为一奇一偶的概率为 ，
则取出的两张卡片上的数字都为奇数的概率是 ，
易错点五 把随机事件的试验频率等同于其概率而出错
8．小明的爸爸昨天一次性买了10注彩票，结果中了一注一等奖，他高兴地说：“这种彩票好，中奖率高，中一等奖的概率是10%！”小明爸爸的说法正确吗？请说明理由．
解：小明爸爸的说法是不正确的．理由：小明爸爸一共才买了10注彩票，相当于做了10次试验，用10次试验确定中一等奖的概率为10%，显然不合理，∵试验次数太少，∴不能用中一等奖的频率估计概率．
【活动过程】
1．在如图所示的图形中随机撒一把豆子，计算落在A，B，C三个区域中豆子数的比．多次重复这个试验，发现上述比与A，B，C三个区域面积比的关系是______．
相等
2．把“在图形中随机撒豆子”作为试验，把“豆子落在区域C中”记作事件W，估计事件W的概率P(W)的值为__．
【试题拓展】
1．如图，在正方形ABCD中，分别以B，D为圆心，以正方形的边长2为半径画弧，形成阴影部分的树叶图案(计算时π取3)．若在正方形ABCD中随机撒一粒豆子，则豆子落在阴影区域内的概率(豆子落在弧上不计)是__．
2．如图，在一不规则区域内，有一边长为3 m的正方形，向区域内随机地撒4 000粒黄豆，数得落在正方形区域内(含边界)的黄豆有1 350粒，以此试验数据为依据，可以估计出该不规则图形的面积．随机向不规则区域内
掷一粒黄豆，则黄豆落在正方形区域内(含边界)的概率为__．
