2023年四川省绵阳市涪城区中考数学终极预测试卷（6月份）（含解析）

2023年四川省绵阳市涪城区中考数学终极预测试卷（6月份）
一、选择题（本大题共12小题，共36.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 若，则( )
A. B. C. D.
2. 如图是一个由个相同的正方体组成的立体图形，它的主视图是( )
A. B. C. D.
3. 山西是我国古文明发祥地之一，其总面积约为平方千米，这个数据用科学记数法表示为平方千米．( )
A. B. C. D.
4. 关于等边三角形，下列说法不正确的是( )
A. 等边三角形是轴对称图形 B. 所有的等边三角形都相似
C. 等边三角形是正多边形 D. 等边三角形是中心对称图形
5. 一组数据、、、，若添加一个数后得到一组新数据，则前后两组数据的统计量会发生变化的是( )
A. 平均数 B. 众数 C. 中位数 D. 方差
6. 如图，在平面直角坐标系中，点，，正六边形沿轴正方向无滑动滚动保持上述运动过程，经过的正六边形的顶点是( )
A. 点或点 B. 点或点 C. 点或点 D. 点或点
7. 估计的值应该在( )
A. 和之间 B. 和之间 C. 和之间 D. 和之间
8. 周末，青华到公园游玩，参加套环游戏，共进行四局，套中的次数分别为，，，若将这组数每一个加，则对这一组新数据描述正确的是( )
A. 平均值不变 B. 方差不变 C. 中位数不变 D. 众数不变
9. 如图，锚标浮筒是打捞作业中用来标记锚或沉船位置的，它的上下两部分是圆锥，中间是圆柱单位：电镀时，如果每平方米用锌千克，电镀个这样的锚标浮筒，需要锌的质量为的值取( )
A. 千克 B. 千克 C. 千克 D. 千克
10. 如图，在菱形中，，是的中点，是对角线上一动点，设长为，线段与长度的和为，图是关于的函数图象，图象右端点的坐标为，则图象最低点的坐标为( )
A. B. C. D.
11. 已知二次函数的图象如图所示，对称轴为直线，有下列结论：；；；当时，随的增大而增大．其中正确的有( )
A. 个
B. 个
C. 个
D. 个
12. 如图，在矩形中，为中点，过点且，分别交于，交于，点是中点，，则下列结论是( )
；；是等边三角形；．
A. B. C. D.
二、填空题（本大题共6小题，共24.0分）
13. 因式分解： ______ ．
14. 分式方程的解为______．
15. 如图，在中，，，，则的度数为______ ．
16. 如图，两根竹竿和斜靠在墙上，量得，，则竹竿与的长度之比为______ ．
17. 不等式组的解集为，则的范围是______
18. 如图所示，，，以为底边向上构造等腰直角三角形，连接并延长至点，使，则的最大值为______ ．
三、计算题（本大题共1小题，共12.0分）
19. 某校决定组织学生开展校外拓展活动，若每位老师带个学生，还剩个学生没人带；若每位老师带个学生，就有一位老师少带个学生．现有甲乙两种大客车，它们的载客量和租金如下表所示．学校计划此次拓展活动的租车总费用不超过元，为了安全，每辆客车上至少要有名老师．
客车 甲种 乙种
载客量人辆
租金元辆
参加此次拓展活动的老师有______人，参加此次拓展活动的学生有______人；
既要保证所有师生都有车坐，又要保证每辆客车上至少要有名老师，可知租用客车总数为______辆．
你能得出哪几种不同的租车方案？其中哪种租车方案最省钱？请说明理由．
四、解答题（本大题共6小题，共78.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
20. 本小题分
计算：；
先化简，再求值：，其中
21. 本小题分
目前，全球淡水资源分布不均、总量不足是人类面临的共同问题．某市在实施居民用水定额管理前，通过简单随机抽样对居民生活用水情况进行了调查，获得了若干个家庭去年的月均用水量数据单位：，整理出了频数分布表，频数分布直方图和扇形统计图，部分信息如下：
月均用水量
频数
对应的扇形区域
根据以上信息，解答下列问题：
补全频数分布直方图，并求出扇形图中扇形对应的圆心角的度数；
为了鼓励节约用水，要确定一个用水量的标准，超出这个标准的部分按倍价格收费，若要使该市的家庭水费支出不受影响，你觉得家庭月均用水量应该定为多少？并说明理由．
22. 本小题分
如图，一次函数与反比例函数在第一象限交于、两点，垂直轴于点，为坐标原点，四边形的面积为．
求反比例函数及一次函数的解析式；
点是反比例函数第三象限内的图象上一动点，请简要描述使的面积最小时点的位置不需证明，并求出点的坐标和面积的最小值．
23. 本小题分
如图，已知：在中，，点是边上的动点，交于，以为直径的分别交，于点，．
求证：．
若，．
当，求的长．
当为等腰三角形时，请求出所有满足条件的的腰长．
若，且，，在一条直线上，则与的比值为______．
24. 本小题分
如图，已知与轴交于、两点，交轴于，连接，，过作的平行线交抛物线于点．
判断的形状；
点是上方抛物线上的一点，过点作于，作轴交于点，交于，当最大时，将沿射线平移得，当点与重合时停止运动，点在上，点在上，求的最小值；
如图，将绕点顺时针旋转得，当点落在抛物线的对称轴上时停止旋转，在轴上有一动点，连接，将翻折得到，是否存在点，使得为等腰三角形？若存在，求出点的坐标，若不存在，说明理由．
25. 本小题分
【探究发现】如图，已知矩形的对角线的垂直平分线与边，分别交于点，求证：四边形是菱形；
【类比应用】如图，直线分别交矩形的边，于点，，将矩形沿翻折，使点的对称点与点重合，点的对称点为，若，，求四边形的周长；
【拓展延伸】如图，直线分别交平行四边形的边，于点，，将平行四边形沿翻折，使点的对称点与点重合，点的对称点为，若，，，求的长．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：，
，
即，
，，
，
故选：．
根据确定的取值范围，进而确定，的符号，再根据绝对值的定义进行计算即可．
本题考查绝对值，理解绝对值的定义是正确解答的前提．
2.【答案】
【解析】解：主视图有列，每列小正方形数目分别为，，．
故选：．
找到从正面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在主视图中．
本题考查了三视图的知识，主视图是从物体的正面看得到的视图．
3.【答案】
【解析】解：平方千米，这个数据用科学记数法表示为平方千米．
故选：．
科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正数；当原数的绝对值时，是负数．
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值．
4.【答案】
【解析】解：、根据轴对称图形的定义，沿边上的垂直平分线折叠能够重合，所以本选项错误；
B、因为所有的等边三角形的角都是，所以本选项错误；
C、因为等边三角形的角相等，边相等，所以本选项错误；
D、根据中心对称图形的定义，等边三角形不是中心对称图形，所以本选项正确；
故选：．
根据轴对称图形的定义，沿边上的垂直平分线折叠能够重合，即可判断；根据所有的等边三角形的角都是，即可判断；根据等边三角形的角相等，边相等，即可判断；根据中心对称图形的定义即可判断．
本题主要考查对等边三角形的性质，多边形，相似三角形的判定，轴对称图形，中心对称图形等知识点的理解和正确，能熟练地运用这些性质进行推理是解此题的关键．
5.【答案】
【解析】解：原数据的，，，，的平均数为，中位数为，众数为，方差为；
新数据，，，，的平均数为，中位数为，众数为，方差为；
故选：．
依据定义和公式分别计算新旧两组数据的平均数、中位数、众数、标准差求解即可．
本题主要考查的是众数、中位数、方差、平均数，熟练掌握相关概念和公式是解题的关键．
6.【答案】
【解析】解：如图，连接、、、、、，
正六边形，，
，
在滚动的过程中，，，，，，，
，如图，
，
由旋转规律可知，点
故选：．
根据正六边形的性质以及坐标的定义，可求出、、、、、的长，再由旋转的规律得出点，进而得出，即可．
本题考查正多边形与圆，坐标与图形变化，掌握正多边形的性质以及图形与坐标的变化规律是正确解答的关键．
7.【答案】
【解析】解：
，
，
，
估计的值应该在和之间．
故选：．
直接利用二次根式加减运算法则化简，进而估算无理数的大小即可．
此题主要考查了估算无理数的大小，正确进行二次根式的运算是解题关键．
8.【答案】
【解析】解：将一组数据中的每个数都加，那么所得的新数据的众数、中位数、平均数都增加，方差不变．
故选：．
将一组数据中的每个数都加，那么所得的新数据的众数、中位数、平均数都增加，方差不变，据此可得答案．
本题主要考查了方差，掌握方差、众数、中位数和平均数的概念是关键．
9.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查圆锥与圆柱的计算，掌握圆柱、圆锥侧面积的计算方法是正确解答的关键．
求出锚标浮筒上下两部分的圆锥侧面积和中间圆柱体的侧面积的和即可．
【解答】
解：由图形可知圆锥的底面圆的半径为米，圆锥的高为米，圆柱的高为米．
则圆锥的母线长为：米．
圆锥的侧面积米，
圆柱的侧面积米，
浮筒的表面积为米，
每平方米用锌千克，
一个浮筒需用锌：千克，
个这样的锚标浮筒需用锌：千克．
故选：．
10.【答案】
【解析】解：如图，连接，，
四边形是菱形，，
，垂直平分，，，
，
，
当点在线段上时，有最小值为的长，
点的坐标为，
，，
点是的中点，
，
，
，
，
，
，
，
，
点的坐标为：，
故选：．
由函数图象可得点表示图中点与点重合时，即可求，的长，由锐角三角函数可求解．
本题考查了菱形的性质，锐角三角函数，动点问题的函数图象，理解函数图象中点表示的具体意义是解题的关键．
11.【答案】
【解析】解：时，，由图象知：，故错误；
抛物线对称轴为直线，与轴交于
抛物线与轴的另一个交点为，
把代入解析式得，，
，
，，
，
，故正确；
抛物线交轴的正半轴，
，
，
，故正确；
抛物线开口向下，对称轴为直线，
当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小，故错误；
故正确的有、，共有个，
故选：．
根据图象上点的坐标特征以及二次函数的性质即可判断．
本题考查了二次函数图象与系数的关系，属于基础题，关键是正确获取图象信息进行解题．
12.【答案】
【解析】解：，点是中点，
，
，
，，
是等边三角形，故正确；
设，则，
由勾股定理得，，
为中点，
，
，
在中，由勾股定理得，，
四边形是矩形，
，
，故正确；
，，
，故错误；
，，
，故正确；
综上所述，结论正确的是，
故选：．
由直角三角形斜边上的中线性质得，再求出求出，得是等边三角形，则正确；设，由等边三角形的性质表示出，再由勾股定理列式求出，从而得到，再求出，然后由勾股定理求出，得正确，错误；最后由三角形的面积和矩形的面积得正确即可．
本题考查了矩形的性质，直角三角形斜边上的中线的性质，等腰三角形的性质，等边三角形的判定与性质，勾股定理等知识；熟练掌握矩形的性质，由勾股定理求出的长是解题的关键．
13.【答案】
【解析】解：
．
故答案为：．
先提取公因式，再利用平方差公式．
本题主要考查了整式的因式分解，掌握因式分解的提公因式法和公式法是解决本题的关键．
14.【答案】
【解析】解：去分母，得，
去括号，得，
．
经检验，是原方程的解．
故答案为：．
去分母，求解整式方程并验根即可
本题考查了分式方程的解法．题目比较简单，掌握解分式方程的一般步骤，是解决本题的关键．
15.【答案】
【解析】解：，
，
，，
，
．
故答案为：．
根据平行线的性质，，只需求出即可．
本题考查了平行线的性质以及三角形的内角和定理，综合性较强，难度适中．
16.【答案】
【解析】解：根据题意可知：
，
，
，
，
，
，
：．
所以竹竿与的长度之比为．
故答案为：．
根据题意可得，，，根据三角函数可得，由，可得，进而可得竹竿与的长度之比．
本题考查了解直角三角形的应用，解决本题的关键是掌握特殊角的三角函数值．
17.【答案】
【解析】解：解不等式，得：，
解不等式，得：，
不等式组的解集为，
，
解得，
故答案为：．
先解不等式组求出每个不等式的解集，再根据不等式组的解集得出关于的方程，解之可得答案．
本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
18.【答案】
【解析】解：如图，以为斜边作等腰直角三角形，延长至点使，连接，．
和都是等腰直角三角形，
，，
，即，
∽，
，
，
，
，，
是的中位线，
，
是等腰直角三角形，，
垂直平分，
，
，
，
当，，三点共线时，的值最大，
的最大值为，
故答案为：．
如图，以为斜边作等腰直角三角形，延长至点使，连接，，根据等腰直角三角形的性质得到，，根据相似三角形的性质得到，根据三角形的中位线定理得到，根据线段垂直平分线的性质得到，当，，三点共线时，的值最大，于是得到结论．
本题考查了等腰直角三角形的性质，相似三角形的判定和性质，三角形的中位线定理，正确地作出辅助线是解题的关键．
19.【答案】
【解析】解：设老师有名，学生有名．
依题意，得，解得，
故答案为：，；
每辆客车上至少要有名老师，
汽车总数不能超过辆；
又要保证名师生有车坐，汽车总数不能小于取整为辆，
综合起来可知汽车总数为辆；
故答案为：；
设租辆甲种客车，由题意可得：
，
解得为整数，
共有种租车方案：
方案一：租用甲种客车辆，乙种客车辆，租车费用元；
方案二：租用甲种客车辆，乙种客车辆，租车费用元；
方案三：租用甲种客车辆，乙种客车辆，租车费用元；
最节省费用的租车方案是：租用甲种客车辆，乙种客车辆．
设出老师有名，学生有名，得出二元一次方程组，解出即可；再由每辆客车上至少要有名老师，且要保证名师生有车坐，可得租用客车总数；
根据汽车总数不能超过取整为辆，即可求出；
设租辆甲种客车，由题意列出不等式组，得出取值范围，分析得出即可．
此题主要考查了二元一次方程组的应用与一次不等式的综合应用，由题意得出租用辆甲种客车与租车费用的不等式关系是解决问题的关键．
20.【答案】解：原式
；
原式
，
当时，原式．
【解析】分别根据特殊角的三角函数值、负整数指数幂的运算法则、数的开方法则分别计算出各数，再根据实数混合运算的法则进行计算即可；
先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再求出的值代入进行计算即可．
本题考查的是分式的化简求值，涉及到特殊角的三角函数值、负整数指数幂的运算法则、数的开方法则等知识，熟知以上知识是解题的关键．
21.【答案】解：抽取的总数为：，
的频数为：，
的频数为：，
的频数为：，
频数分布直方图如下：
扇形图中扇形对应的圆心角的度数为：；
要使的家庭收费不受影响，家庭月均用水量应该定为吨，理由如下：
因为月平均用水量不超过吨的有户，．
【解析】根据题的频数和百分比得到抽取的总数，进而求得、的频数即可补全频数分布直方图，求出的频数，乘以所占的比例即可求解；
由于，所以为了鼓励节约用水，要使的家庭收费不受影响，即要使户的家庭收费不受影响，而，故家庭月均用水量应该定为吨．
本题考查读频数分布直方图和频数分布表的能力及利用统计图表获取信息的能力；利用统计图获取信息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题．
22.【答案】解：反比例函数过点，
，
反比例函数的解析式为，
设，
，
过点作轴
，
四边形的面积为，
四边形的面积为，
，
解得，舍去，
，
一次函数的图象经过点、，
，解得，
一次函数的解析式为；
与直线平行，且在第三象限与反比例函数有唯一公共点时，的面积最小，
设与直线平行的直线的关系式为，当与在第三象限有唯一公共点时，
有方程唯一解，
即有两个相等的实数根，
，
解得或舍去，
与直线平行的直线的关系式为，
方程的解为或舍去，
经检验，是原方程的解，
当时，，
点，
如图，过点作的垂线，交的延长线于点，交轴于点，延长交于点，由题意得，
，，，，，
，
答：点，面积的最小值为．
【解析】利用待定系数法求得反比例函数的解析式，进而利用四边形的面积得出，解方程即可求得的坐标，然后把、的坐标代入，进一步求得一次函数的解析式；
求出与直线平行且在第三象限内与反比例函数有唯一公共点的坐标即为点的坐标，此时面积的最小，利用三角形、梯形面积以及各个部分面积之间的关系进行计算即可．
本题考查反比例函数与一次函数的交点坐标，待定系数法求一次函数、反比例函数的关系式，掌握反比例函数与一次函数的交点坐标的计算方法是正确解答的前提，根据坐标得出相应线段的长是计算面积的关键．
23.【答案】
【解析】证明：为的直径，，
为的切线，
；
解：，，
，
．
．
，，
．
，
；
当时，
，
，
，
．
为的直径，
．
，
在和中，
，
≌，
．
，
，
；
当时，
，
，
为的直径，
，
，
．
，
，
．
，，
，
，
．
．
．
．
，
；
当时，
，
．
，，
，
．
．
，
，
．
设，
，
．
，
．
．
，
．
．
．
．
综上，当为等腰三角形时，满足条件的的腰长为或或．
解：当，，在一条直线上时，
为的直径，
，
，
，
．
，
∽．
，
．
，
．
，．
．
，
．
解得：或不合题意，舍去．
，
故答案为：．
利用切线的判定定理与弦切角定理解答即可；
利用直角三角形的边角关系解答即可；
利用分类讨论的方法分三种情况讨论解答：当时，通过证明≌，利用直角三角形的边角关系解答即可；当时，利用垂径定理和直角三角形的边角关系解答即可；当时，利用等腰三角形的判定与性质，直角三角形的边角关系和勾股定理解答即可；
画出符合题意的图形，通过证明∽，得出比例式，利用等腰直角三角形的判定与性质，通过等量代换得到关于与的一元二次方程，解方程即可得出结论．
本题主要考查了圆周角定理，切线的判定与性质，弦切角定理，求得三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，解直角三角形，特殊角的三角函数值，一元二次方程的解法，勾股定理，利用分类讨论的思想方法解答是解题的关键．
24.【答案】解：如图，
由得，，，
，
，
，
又，
∽，
，
，
是直角三角形；
如图，
，
，
，
、、、共圆，
，
设，
，，
的函数关系式是，
，
，
在中，，
，
，
当时，最大，
，，，
如图，连接，交于，交于，
则最小，
直线过，，
的解析式是：，
直线的解析式是：，
由得，，，
，
，
，
，
在中，，
，
，
，
，
，
，
在中，，，
，
则最小．
如图，
当在的垂直平分线上时，，，
，
，
设，
在中，，，
，
，
，
如图，
当，，
如图，
当时，．
综上所述，当，，时，为等腰三角形．
【解析】由，，，得出，进而得出结果；
先由最大时，得出点的位置，再得出平移后的位置，找出的最小时，、的位置，进而求出；
为等腰三角形，分为三种情形，作出图形后，可以观察出两种，利用勾股定理列方程计算一种．
本题考查一次函数、二次函数、三角形相似、解直角三角形等综合知识的运用，题目难度很大，计算复杂，解决问题的关键是画出图形和分类．
25.【答案】证明：四边形是矩形，
，
，
垂直平分，
，，
≌，
，
四边形为平行四边形，
，
平行四边形为菱形；
解：过点作于，
由折叠可知：，，
在中，，即，
，
，
，
，
，
，
四边形是矩形，
，，
，
，
四边形的周长；
解：过点作，交的延长线于，过点作于，
四边形是平行四边形，，
，
，
，
，
，
由折叠的性质可知：，，
，
，
，
，
，
，
，
，，
四边形是平行四边形，
，
四边形是矩形，
，
在中，，
，
在中，．
【解析】通过证明≌，得到，可证四边形为平行四边形，再由，可证平行四边形为菱形；
过点作于，先判断四边形是矩形，再求矩形的边长，进而求出周长；
过点作，交的延长线于，过点作于，先证明四边形是平行四边形，再证明四边形是矩形，在中，求出，中，求出即可．
本题是四边形的综合题，熟练掌握菱形的判定及性质，平行四边形的判定及性质，图形折叠的性质是解题的关键．
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