1.4.1 立体几何中的向量方法（垂直、平行） 课件（共21张PPT）

(共21张PPT)
1.4.1
立体几何中的向量方法
XXXX学校 XXX
2023.09
研究
00 概要
平面向量
空间向量
推广
向量
成为重要工具
立体几何问题
（研究的基本对象是点、线、面以及它们组成的空间图形）
01 方向向量
【直线的方向向量】
换句话说,直线上的非零向量叫做直线的方向向量
l
A
P
直线ｌ的向量表示式
确定点A，方向向量 ，可以唯一确定一条直线
这样点A和向量 不仅可以确定直线 l的位置，还可以具体写出l上的任意一点.
A
B
P
练习 若A(-1,0,1),B(2,1,2)在直线l上,则直线l的一个方向向量为(　　)　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A.(2,2,6) B.(-1,1,3)
C.(3,1,1) D.(-3,0,1)
01 方向向量
02 法向量
平面 α的向量式方程
换句话说,与平面垂直的非零向量叫做平面的法向量
（法向量 和点A可以确定平面α的位置）
如果直线l⊥平面α，取直线l的方向向量 ，则向量 叫做平面α的法向量.
A
l
P
A
l
P
平面 α的向量式方程
（法向量 和点A可以确定平面 的位置）
Q3.向量 是平面的法向量，向量 为平面内的任一向量，则必有 成立吗？
Q1.法向量一定是非零向量吗？
Q2.一个平面的所有法向量都互相平行;
02 法向量
【典例】1.如图,四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为矩形,PA⊥平面ABCD,E为PD的中点.AB=AP=1,AD= ,试建立恰当的空间直角坐标系,求平面ACE的一个法向量.
二、　立体几何中的向量方法
——证明平行与垂直
m
l
03 平行关系
α
证明线面平行：
03 平行关系
【典例】在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,N分别是CC1,B1C1的中点.
求证:MN∥平面A1BD.
【素养·探】
在如图所示的多面体中,EF⊥平面AEB,AE⊥EB,AD∥EF,EF∥BC, BC=2AD=4,EF=3,AE=BE=2,G是BC的中点,求证:AB∥平面DEG.
因为EF⊥平面AEB,AE 平面AEB,BE 平面AEB,所以EF⊥AE,EF⊥BE.
又因为AE⊥EB,所以EB,EF,EA两两垂直.
以点E为坐标原点,EB,EF,EA分别为x轴,y轴,z轴建立如图所示的空间直角坐标系.
A(0,0,2),B(2,0,0),C(2,4,0),F(0,3,0),D(0,2,2),G(2,2,0),
α
β
证明面面平行：
03 平行关系
【典例】已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2,E,F分别是BB1,DD1的中点,求证:平面ADE∥平面B1C1F.
l
04 垂直关系
【典例】如图所示,正三棱柱ABC-A1B1C1的所有棱长都为2,D为CC1的中点.求证:AB1⊥平面A1BD.
04 垂直关系
【典例】如图所示,正三棱柱ABC-A1B1C1的所有棱长都为2,D为CC1的中点.求证:AB1⊥平面A1BD.
04 垂直关系
如图所示，取BC的中点O，连接AO.因为△ABC为正三角形，所以AO⊥BC.
因为在正三棱柱ABC A1B1C1中，平面ABC⊥平面BCC1B1，所以AO⊥平面BCC1B1.
α
β
04 垂直关系
【典例】三棱锥被平行于底面ABC的平面所截得的几何体如图所示,截面为
A1B1C1,∠BAC=90°,A1A⊥平面ABC,A1A= ,AB=AC=2A1C1=2,D为BC的中点.
证明:平面A1AD⊥平面BCC1B1.