2022-2023学年安徽省滁州市定远县启明中学九年级（上）期末数学试卷（PDF版含答案）

2022-2023学年安徽省滁州市定远县启明中学九年级（上）期末
数学试卷
一、选择题（本大题共 10小题，共 40分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 关于 的函数 是二次函数的条件是( )
A. B. C. D.
2. 若点 是线段 的黄金分割点 ， ，则 的长为( )
A. B. C. D.
3. 在 中， ， ， ，下列各式中，正确的是( )
A. B. C. D.
4. 如图， 是 的边 的延长线上的一点，连接 ，交边 于
点 若 ，则 与 的周长之比为( )
A. B. C. D.
5. 如图， ， 和 平分 和 ， 过点 且与直线 垂直．若 ，
则点 到 的距离是( )
A.
B.
C.
D.
6. 一次函数 的图象如图所示，点 在该函数
的图象上，则不等式 的解集为( )
A.
B.
C.
D.
7. 如图，矩形 的边 与 轴平行，顶点 的坐标为 ，
的坐标为 ，反比例函数 的图象与矩形 有公共点，
则 的取值范围为( )
A. B. C. D.
8. 如图，在边长为 的小正方形网格中，点 ， ， ， 都在这些小正方形的顶点上， ，
相交于点 ，则 ( )
A. B. C. D.
9. 如图，在 中， 、 为边 的三等分点， ， 为 与 的交点 若 ，
则 ( )
A.
B.
C.
D.
10. 平面直角坐标系中，随着 取值的变化，一次函数 与函数
的
图象的公共点的个数分别为( )
A. ， ， B. ， ， ，
C. ， ， ， ， D. ， ，
二、填空题（本大题共 4小题，共 20分）
11. 反比例函数 的图象的一个分支在第二象限，则 的取值范围是 ．
12. 在 中，若 ， ， 都是锐角，则 的度数是 ．
13. 如图是小孔成像原理的示意图， ， ， 若物体 的高度为
，则像 的高度是 ．
14. 如图，在 中， ， ， 为
边 上一动点 点除外 ，以 为一边作正方形 ，连
接 ，则 的面积是 ， 面积的最大值
为 ．
三、解答题（本大题共 9小题，共 90分。解答应写出文字
说明，证明过程或演算步骤）
15. 本小题 分
计算： ．
16. 本小题 分
如图，在 中， ， ， ，动点 从点 出发，按 的
路径，以 每秒的速度运动，设运动时间为 秒．
当 时，求 的面积；
已知，当点 运动到 时， 请利用备用图继续探索：当 为何值时，
是等腰三角形？
17. 本小题 分
在平面直角坐标系内， 的位置如图所示．
将 绕点 顺时针旋转 得到 ，作出 ．
以原点 为位似中心，在第四象限内作出 的位似图形 ，且 与
的相似比为 ： ．
18. 本小题 分
如图，在平面直角坐标系中，已知点 ， ，反比例函数 的图象经过
点 ，动直线 ， 与反比例函数的图象交于点 ，与直线 交于点 ．
求 的值；
求 面积的最大值．
19. 本小题 分
如图， 中，分别在边 、 上取点 、 ，使 ，再取 的中点 ，连接 交 于点
．
求证： ；
判断线段 与 的大小关系，并说明理由．
20. 本小题 分
为应对近年冬季出现的寒冷天气，农科所在某蔬菜基地试用新型保温大棚技术 大棚横截面为
抛物线型，一端固定在距离地面 的墙体 处 另一端固定在对面墙体上距离地面 的 处，
现建立平面直角坐标系 如图所示 已知大棚上某处离地面的高度 单位： 与其离墙体
的水平距离 单位： 之间的关系满足： ，两墙体之间的距离 ．
求 关于 的函数关系式；
现打算在大棚顶部最高处安装照明设备，试计算设备安装位置距离地面的高度；
为了避免大雪压垮顶棚，现打算加装一根长度为 的支撑立柱 立柱位于墙体 和墙体
之间 ，立柱距离两边墙体的水平距离不少于 ，直接写出立柱长度 的范围．
21. 本小题 分
某住宅小区为缓解停车难问题，新建了地下停车场，建筑设计师提供了地下停车场的设计示
意图 按规定，停车场坡道口要张贴限高标志，以便告知车辆能否安全驶入 请根据如图，求出
汽车通过坡道口的限高 的长 ，结果精确到 ．
22. 本小题 分
现要修建一条公路隧道，其截面为抛物线型，如图所示，线段 表示水平的路面，以 为坐
标原点，以 所在直线为 轴，以过点 垂直于 轴的直线为 轴，建立平面直角坐标系 根据
设计要求 ，隧道上距点 水平方向 米及竖直方向 米的 点有一照明灯．
求满足设计要求的抛物线的函数表达式；
现需在这个隧道中间位置设置双向通行车道，加中间隔离带合计宽度 米，隧道入口对车
辆要求限高，请通过计算说明高度不超过 米的车辆能否安全通过该隧道？
23. 本小题 分
如图，在等腰 中， ， ，点 在线段 的中垂线上，连接 、
．
如图 ，若 时，连接 并延长交 于点 ，若 ，求 的面积；
如图 ，连接 ，若 ，过点 作 于点 ，交 于点 ，过点 作
交 的延长线于点 求证： ；
在等腰 内部有一点 ，连接 、 、 ，将 沿直线 翻折至 所在
平面内得到 ，连接 ，当 取得最小值时，请直接写出 的值．
答 案
1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10.
11.
12.
13.
14.
15.解：原式
．
16.解： 在 中， ，
， ，
，
如图， 时， ，
所以 的面积 ；
如图 ， ， ， ：
因为 是以 为边的等腰三角形，
如图 ，当 时， ；
如图 ，当 时， ；
如图 中，当 时，过点 作 于点 ．
， ，
，
，
；
如图 ，当 时， ， ，
， ，
，
，
，
．
综上所述， 或 或 或 ．
17.解： 如图， 即为所作．
如图， 即为所作．
18.解： 把点 代入反比例函数 得：
， ，
；
设直线 的解析式为： ，
根据题意得： ，
解得： ， ，
直线 的解析式为： ；
设 ， ，
则 ，
的面积 ，
的面积 是 的二次函数，
，
有最大值，
当 时， 的面积的最大值为 ．
19. 证明： ，
∽
，
；
解：结论： ．
理由： ，
，
，
，
是 的中点，
，
．
20.解： 由题意可得， ， ，
将 ， 代入 得，
，
解得： ，
；
，
顶点坐标为 ，
，图象开口向下，
函数有最大值 ，
设备安装位置距离地面的高度为 ；
立柱距离两边墙体的水平距离不少于 ，
当 时， ，
当 时， ，
，
．
21.解：如图，延长 交 于点 ，在 中， ，
，
，
米，
在 中， ， 米，
使用的方法是“去尾法” ，
答：坡道口的限高 的长是 ．
22.解： 抛物线经过点 ， ，
可以设抛物线的解析式为 ，
把点 代入，可得 ，
抛物线的解析式为
即 ；
解： ，
根据对称性，令 ，得 ﹒
，
高度不超过 米的车辆能安全通过该隧道．
23. 解：如图，过 作 ，交 于 ，
点在 的中垂线上，
，
，
，
，
，
，
，
，
；
证明：在线段 上截取 ，过 点作 ，交 于 ，如图：
， ， ，
， ，
， ， ，
，
，
，
，
，即 ，
在 和 中，
，
≌ ，
，
在 和 中，
，
≌ ，
， ， ，
在 的中垂线上，
，
，
，
，
四边形 是矩形，
， ，
，
，
，
，
，
，
在 和 中，
，
≌ ，
，
，
，
，
，
；
解：如图，过 作 ，使 ，作 ，使 ，
，
，
，
，
，
，
∽ ，
，
，
如图，当 、 、 、 在一条直线上时， 的值最小，即 的值最小，
如图，过 作 ，交 于 ，过 作 交 的延长线于 ，过 作 ，交 的延
长线于 ，
，
，
，
，
设 ，则 ，
，
，
，
，
∽ ，
，
，
，
∽ ，
，
， ，
，
，
，
，
，
，
在 和 中，
，
≌ ，
，
由翻折得： ， ，
，
，
，
∽ ，
，
设 ，则 ，
，
，
解得： ，
，
，
，
．