1.4.1点线面位置关系
知识点一：点、线、面的向量表示
直线的方向向量：与直线平行的非零向量
平面的法向量：与平面垂直的非零向量
图解 表示 翻译
点 任取一定点，任意一点， 称为点的位置向量
线 任取一定点，直线的方向向量为，点在直线上的充要条件：＝＋ ＝
面 空间一点位于平面内的充要条件: ＝＋＋ ＝＋
知识点二：空间中直线、平面的平行与垂直
设为直线的方向向量，为平面的法向量
平行：
// //
垂直
//
概念辨析：
1.若直线的方向向量为 ，平面的法向量 ，则// （ ）
2.如果直线的方向确定，则该直线的方向向量是唯一的（ ）
3. 如果直线的方向为 ，则也是该直线的方向向量（ ）
【答案】1.x 可能 2. x 3. x
题型一：方向向量和法向量的求法
已知平面经过点 ,求直线的方向向量和平面的法向量
【解答模板】：
直线方向向量： （答案不唯一）
平面法向量：，设平面的法向量
由 得：，令 则，，
是平面的一个法向量（答案不唯一）
求法向量的一般步骤
设平面的法向量
找出平面内任意两个不平行的向量 ，
由 得：
给任意一个赋具体值（不要赋值为0），解二元一次方程组
在边长为2正方体上建立如图所示坐标系，为的中点，为的中点，求平面的法向量_______.
【答案】
在正方体上建立如图所示坐标系，给出下列结论正确的是_________.
①直线 的一个方向向量为(0,0,1);
②直线 的一个方向向量为(0,1,1);
③平面的一个法向量为(0,1,0);
④平面的一个法向量为(1,1,1).
【答案】①②③
题型二：空间中直线、平面的位置关系
设平面的一个法向量，平面的一个法向量,若//,则______.若,则______.
【答案】;
在如图所示的正方体中，边长为1，用向量法证明
//面
【答案】略，略，求面的法向量 ，证//即可
已知平面{| 0}，其中点（，，），
法向量（，，），则下列各点中不在平面内的是（ ）
A．（，，） B．（，，） C．（，，） D．（，，）
【答案】
已知向量（1，，2），（0，1，2），（1，0，0），若，，共面，则等于（ ）
A．﹣1 B．1 C．1或﹣1 D．1或0
【答案】C
【解答】解： ，，共面，∴ （1，，2）＝（，，2），
∴，解得1， ∴＝±1．
课后作业~
如图，在边长为1的正方体中，以为原点， 为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系，求平面的法向量________.
【答案】
直线的方向向量 ，平面的法向量 ，若//，则______
【答案】
以下命题正确的是（ ）
A. 直线l的方向向量为，直线的方向向量，则
B. 直线l的方向向量，平面的法向量，则
C. 两个不同平面的法向量分别为，，则
D. 平面经过三点，向量是平面的法向量，
则
【答案】
如图，四棱锥中，⊥平面，底面是正方形，，
为中点．
（1）用向量法求证：⊥；
（2）用向量法求证：⊥平面
【答案】（1）略，（2）求面的法向量 ，证 // 即可1.4.1点线面位置关系
知识点一：点、线、面的向量表示
直线的方向向量：与直线平行的非零向量
平面的法向量：与平面垂直的非零向量
图解 表示 翻译
点 任取一定点，任意一点， 称为点的位置向量
线 任取一定点，直线的方向向量为，点在直线上的充要条件：＝＋ ＝
面 空间一点位于平面内的充要条件: ＝＋＋ ＝＋
知识点二：空间中直线、平面的平行与垂直
设为直线的方向向量，为平面的法向量
平行：
// //
垂直
//
概念辨析：
1.若直线的方向向量为 ，平面的法向量 ，则// （ ）
2.如果直线的方向确定，则该直线的方向向量是唯一的（ ）
3. 如果直线的方向为 ，则也是该直线的方向向量（ ）
题型一：方向向量和法向量的求法
已知平面经过点 ,求直线的方向向量和平面的法向量
求法向量的一般步骤
设平面的法向量
找出平面内任意两个不平行的向量 ，
由 得：
给任意一个赋具体值（不要赋值为0），解二元一次方程组
在边长为2正方体上建立如图所示坐标系，为的中点，为的中点，求平面的法向量_______.
在正方体上建立如图所示坐标系，给出下列结论正确的是_________.
①直线 的一个方向向量为(0,0,1);
②直线 的一个方向向量为(0,1,1);
③平面的一个法向量为(0,1,0);
④平面的一个法向量为(1,1,1).
题型二：空间中直线、平面的位置关系
设平面的一个法向量，平面的一个法向量,若//,则______.若,则______.
在如图所示的正方体中，边长为1，用向量法证明
//面
已知平面{| 0}，其中点（，，），
法向量（，，），则下列各点中不在平面内的是（ ）
A．（，，） B．（，，） C．（，，） D．（，，）
已知向量（1，，2），（0，1，2），（1，0，0），若，，共面，则等于（ ）
A．﹣1 B．1 C．1或﹣1 D．1或0
课后作业~
如图，在边长为1的正方体中，以为原点， 为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系，求平面的法向量________.
直线的方向向量 ，平面的法向量 ，若//，则______
以下命题正确的是（ ）
A. 直线l的方向向量为，直线的方向向量，则
B. 直线l的方向向量，平面的法向量，则
C. 两个不同平面的法向量分别为，，则
D. 平面经过三点，向量是平面的法向量，
则
如图，四棱锥中，⊥平面，底面是正方形，，
为中点．
（1）用向量法求证：⊥；
（2）用向量法求证：⊥平面1.4.1 点线面位置关系
知识点一：点、线、面的向量表示
直线的方向向量：与直线平行的非零向量
平面的法向量：与平面垂直的非零向量
图解 表示 翻译
任取一定点 ，任意一点 ，
点
称为点 的位置向量
任取一定点 ，直线 的方向向量为 ，点 在
线 ＝
直线 上的充要条件： ＝ ＋
空间一点 位于平面 内的充要条件:
面 ＝ ＋
＝ ＋ ＋
知识点二：空间中直线、平面的平行与垂直
设 为直线的方向向量， 为平面的法向量
平行：
1 // 2 1 = 2 1 ⊥ 1 1 1 = 0 1 // 2 1 = 2
垂直
1 ⊥ 2 1 2 = 0 1 // 1 1 = 1 1 ⊥ 2 1 2 = 0
{#{QQABaYCQgggAAhAAAAACUwWgCEIQkhGCAAgGwAAQoEABSBFABAA=}#}
概念辨析：
1.若直线的方向向量为 = (1,0,2)，平面 的法向量 = ( 2,1,1)，则 // （ ）
2.如果直线的方向确定，则该直线的方向向量是唯一的（ ）
3. 如果直线的方向为 ，则 也是该直线的方向向量（ ）
题型一：方向向量和法向量的求法
1. 已知平面 经过点 (1,1,1)、 ( 1,2,2)、 (2,3,5) ,求直线 的方向向量和平面 的法向量
求法向量的一般步骤
1) 设平面的法向量 = ( , , )
2) 找出平面内任意两个不平行的向量 = ( 1, 1, 1)， = ( 2, 2, 2)
⊥ = 0 + + = 0
3) 由{ { 得：{ 1 1 1
⊥ = 0 2 + 2 + 2 = 0
4) 给 、 、 任意一个赋具体值（不要赋值为 0），解二元一次方程组
2. 在边长为 2正方体上建立如图所示坐标系， 为 1的中点， 为 1 1的中点，求平面
的法向量_______.
3. 在正方体上建立如图所示坐标系，给出下列结论正确的是_________.
①直线 1的一个方向向量为(0,0,1);
②直线 1的一个方向向量为(0,1,1);
③平面 1 1的一个法向量为(0,1,0);
④平面 1 的一个法向量为(1,1,1).
1
{#{QQABaYCQgggAAhAAAAACUwWgCEIQkhGCAAgGwAAQoEABSBFABAA=}#}
题型二：空间中直线、平面的位置关系
4. 设平面 的一个法向量 = (1, ,2, 2)，平面 的一个法向量 = ( 2, 4, ),若 // ,则
=______.若 ⊥ ,则 =______.
5. 在如图所示的正方体中，边长为 1，用向量法证明
（1） ′// ′ (2) ′ ⊥ ′ (3) ′ ⊥面 ′ ′
→ →
6. 已知平面 ={ | 0 =0}，其中点 0（1，2，3），
→
法向量 =（1，1，1），则下列各点中不在平面 内的是（ ）
A．（3，2，1） B．（ 2，5，4） C．（ 3，4，5） D．（2， 4，8）
→ → → → → →
7. 已知向量 =（1， 2，2）， =（0，1，2）， =（1，0，0），若 ， ， 共面，则 等于
（ ）
A．﹣1 B．1 C．1或﹣1 D．1或 0
2
{#{QQABaYCQgggAAhAAAAACUwWgCEIQkhGCAAgGwAAQoEABSBFABAA=}#}
课后作业~
1. 如图，在边长为 1的正方体中，以 为原点， 为 轴， 为 轴， 1为 轴建立空间直
角坐标系，求平面 1 1的法向量________.
2. 直线 的方向向量 = ( 1,1,1)，平面 的法向量 = (2, 2 + , )，若 // ，则 =______
3. 以下命题正确的是（ ）
A. 直线 l的方向向量为 = (1, 1,2)，直线 的方向向量 = (1,2,1)，则 ⊥
B. 直线 l的方向向量 = (0,1, 1)，平面 的法向量 = (1, 1, 1)，则 ⊥
C. 两个不同平面 ， 的法向量分别为 1 = (2, 1,0)， 2 = ( 4,2,0)，则 //
D. 平面 经过三点 (1,0, 1), (0,1,0), ( 1,2,0)，向量 = (1, , )是平面 的法向量，
则 = 1, = 0
4. 如图，四棱锥 ﹣ 中， ⊥平面 ，底面 是正方形， ＝ ＝2，
为 中点．
（1）用向量法求证： ⊥ ；
（2）用向量法求证： ⊥平面
3
{#{QQABaYCQgggAAhAAAAACUwWgCEIQkhGCAAgGwAAQoEABSBFABAA=}#}1.4.1 点线面位置关系
知识点一：点、线、面的向量表示
直线的方向向量：与直线平行的非零向量
平面的法向量：与平面垂直的非零向量
图解 表示 翻译
任取一定点 ，任意一点 ，
点
称为点 的位置向量
任取一定点 ，直线 的方向向量为 ，点 在
线 ＝
直线 上的充要条件： ＝ ＋
空间一点 位于平面 内的充要条件:
面 ＝ ＋
＝ ＋ ＋
知识点二：空间中直线、平面的平行与垂直
设 为直线的方向向量， 为平面的法向量
平行：
1 // 2 1 = 2 1 ⊥ 1 1 1 = 0 1 // 2 1 = 2
垂直
1 ⊥ 2 1 2 = 0 1 // 1 1 = 1 1 ⊥ 2 1 2 = 0
{#{QQABaYCQgggAAhAAAAACUwWgCEIQkhGCAAgGwAAQoEABSBFABAA=}#}
概念辨析：
1.若直线的方向向量为 = (1,0,2)，平面 的法向量 = ( 2,1,1)，则 // （ ）
2.如果直线的方向确定，则该直线的方向向量是唯一的（ ）
3. 如果直线的方向为 ，则 也是该直线的方向向量（ ）
【答案】1.x 可能 2. x 3. x
题型一：方向向量和法向量的求法
1. 已知平面 经过点 (1,1,1)、 ( 1,2,2)、 (2,3,5) ,求直线 的方向向量和平面 的法向量
【解答模板】：
直线方向向量： = ( 2,1,1) （答案不唯一）
平面法向量： = (1,2,4)，设平面的法向量 = ( , , )
⊥ 由{ {
= 0 2 + + = 0 9 5 得：{ ，令 = 1， 则 = ， = ，
⊥ = 0 + 2 + 4 = 0 2 2
9 5
∴ = (1, )是平面 的一个法向量（答案不唯一）
2 2
求法向量的一般步骤
1) 设平面的法向量 = ( , , )
2) 找出平面内任意两个不平行的向量 = ( 1, 1, 1)， = ( 2, 2, 2)
⊥ = 0 + + = 0
3) 由{ { 得：{ 1 1 1
⊥ = 0 2 + 2 + 2 = 0
4) 给 、 、 任意一个赋具体值（不要赋值为 0），解二元一次方程组
2. 在边长为 2正方体上建立如图所示坐标系， 为 1的中点， 为 1 1的中点，求平面
的法向量_______.
【答案】( 4,1, 2)
1
{#{QQABaYCQgggAAhAAAAACUwWgCEIQkhGCAAgGwAAQoEABSBFABAA=}#}
3. 在正方体上建立如图所示坐标系，给出下列结论正确的是_________.
①直线 1的一个方向向量为(0,0,1);
②直线 1的一个方向向量为(0,1,1);
③平面 1 1的一个法向量为(0,1,0);
④平面 1 的一个法向量为(1,1,1).
【答案】①②③
题型二：空间中直线、平面的位置关系
4. 设平面 的一个法向量 = (1, ,2, 2)，平面 的一个法向量 = ( 2, 4, ),若 // ,则
=______.若 ⊥ ,则 =______.
【答案】 = 4; = 5
5. 在如图所示的正方体中，边长为 1，用向量法证明
（1） ′// ′ (2) ′ ⊥ ′ (3) ′ ⊥面 ′ ′
【答案】略，略，求面 ′ ′的法向量 ，证 // ′ 即可
→ →
6. 已知平面 ={ | 0 =0}，其中点 0（1，2，3），
→
法向量 =（1，1，1），则下列各点中不在平面 内的是（ ）
A．（3，2，1） B．（ 2，5，4） C．（ 3，4，5） D．（2， 4，8）
【答案】
2
{#{QQABaYCQgggAAhAAAAACUwWgCEIQkhGCAAgGwAAQoEABSBFABAA=}#}
→ → → → → →
7. 已知向量 =（1， 2，2）， =（0，1，2）， =（1，0，0），若 ， ， 共面，则 等于
（ ）
A．﹣1 B．1 C．1或﹣1 D．1或 0
【答案】C
→ → → → → →
【解答】解： ， ， 共面，∴ = + （1， 2，2）＝（ ， ，2 ），
1 =
∴{ 2 = ，解得 2 = =1， ∴ ＝±1．
2 = 2
3
{#{QQABaYCQgggAAhAAAAACUwWgCEIQkhGCAAgGwAAQoEABSBFABAA=}#}
课后作业~
1. 如图，在边长为 1的正方体中，以 为原点， 为 轴， 为 轴， 1为 轴建立空间直
角坐标系，求平面 1 1的法向量________.
【答案】(1,1,1)
2. 直线 的方向向量 = ( 1,1,1)，平面 的法向量 = (2, 2 + , )，若 // ，则 =______
【答案】±√2
3. 以下命题正确的是（ ）
A. 直线 l的方向向量为 = (1, 1,2)，直线 的方向向量 = (1,2,1)，则 ⊥
B. 直线 l的方向向量 = (0,1, 1)，平面 的法向量 = (1, 1, 1)，则 ⊥
C. 两个不同平面 ， 的法向量分别为 1 = (2, 1,0)， 2 = ( 4,2,0)，则 //
D. 平面 经过三点 (1,0, 1), (0,1,0), ( 1,2,0)，向量 = (1, , )是平面 的法向量，
则 = 1, = 0
【答案】
4. 如图，四棱锥 ﹣ 中， ⊥平面 ，底面 是正方形， ＝ ＝2，
为 中点．
（1）用向量法求证： ⊥ ；
（2）用向量法求证： ⊥平面
【答案】（1）略，（2）求面 的法向量 ，证 // 即可
4
{#{QQABaYCQgggAAhAAAAACUwWgCEIQkhGCAAgGwAAQoEABSBFABAA=}#}
