湖南省郴州市嘉禾县第六中学2022-2023学年高二下学期期末摸底数学试题（含解析）

2022-2023学年下学期高二期末摸底考试
数学
考生注意：
1.本试卷满分150分，考试时间120分钟.
2.考生作答时，请将答案答在答题卡上，选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡对应题的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米，黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出簽题区域书写的答客元效，在试卷 草稿纸上作答无效.
3.本卷命题范围：高中全部内容.
一 单项选择题：本题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合，则（ ）
A. B. C. D.
2.若，则（ ）
A. B. C. D.
3.若等差数列和等比数列满足，则的公差为（ ）
A.-1 B.1 C.-2 D.2
4.在财务审计中，我们可以用本福特定律来检验数据是否造假.本福特定律指出，在一组没有人为编造的自然生成的数据（均为正实数）中，首位非零数字是这九个事件并不是等可能的.具体来说，假设随机变量是一组没有人为编造的数据的首位非零数字，则.根据本福特定律，首位非零数字是1的概率与首位非零数字是8的概率之比约为（ ）（参考数据：）
A.4 B.5 C.6 D.7
5.在中，点满足，则（ ）
A. B.
C. D.
6.椭圆的左 右焦点分别为为上顶点，若的面积为，则的周长为（ ）
A.5 B.6 C.7 D.8
7.设，则（ ）
A. B.
C. D.
8.已知函数的定义域为，且，则不等式解集为（ ）
A. B. C. D.
二 多项选择题：本题共4个小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9.以下四个命题中，真命题的有（ ）
A.在回归分析中，可用相关指数的值判断模型的拟合效果，越大，模型的拟合效果越好；
B.回归模型中残差是实际值与估计值的差，残差点所在的带状区域宽度越窄，说明模型拟合精度越高；
C.对分类变量与的统计量来说，值越小，判断“与有关系”的把握程度越大；
D.已知随机变量服从二项分布，若，则.
10.已知函数图象的最小正周期是，则（ ）
A.的图象关于点对称
B.将的图象向左平移个单位长度，得到的函数图象关于轴对称
C.在上的值域为
D.在上单调递增
11.已知函数，则（ ）
A.函数在上单调递增
B.有三个零点
C.有两个极值点
D.直线是曲线的切线
12.在通用技术课上，某小组将一个直三棱柱展开，得到的平面图如图所示.其中是线段上的动点，则（ ）
A.与是异面直线
B.
C.平面将三棱柱截成两个四面体
D.的最小值是
三 填空题：本题共4个小题，每小题5分，共20分.
13.已知平面向量，求__________.
14.已知定义在上的偶函数满足，则的一个解析式为__________.
15.有三台车床加工同一型号的零件，第一台加工的次品率为0.06，第二三台加工的次品率均为0.05，加工出来的零件混放在一起.已知第一，二，三台车床加工的零件数分别占总数的，任取一个零件，求它是次品的概率__________.
16.在数列中，已知，，则__________，当为偶数时，__________.
四 解答题：本题共6个小题，共70分.解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤.
17.如图，在平面四边形中，，.
（1）求边的长；
（2）求的面积.
18.已知公差不为零的等差数列的首项为1，且是一个等比数列的前三项，记数列的前项和为.
（1）求数列的通项公式；
（2）求数列的前项的和.
19.飞盘运动是一项入门简单，又具有极强的趣味性和社交性的体育运动，目前已经成为了年轻人运动的新潮流.某倶乐部为了解年轻人爱好飞盘运动是否与性别有关，对该地区的年轻人进行了简单随机抽样，得到如下列联表：
性别 飞盘运动 合计
不爱好 爱好
男 6 16 22
女 4 24 28
合计 10 40 50
（1）在上述爱好飞盘运动的年轻人中按照性别采用分层抽样的方法抽取10人，再从这10人中随机选取3人访谈，记参与访谈的男性人数为，求的分布列和数学期望；
（2）依据小概率值的独立性检验，能否认为爱好飞盘运动与性别有关联？如果把上表中所有数据都扩大到原来的10倍，在相同的检验标准下，再用独立性检验推断爱好飞盘运动与性别之间的关联性，结论还一样吗？请解释其中的原因.
附：，其中.
0.1 0.01 0.001
2.706 6.635 10.828
20.正三棱柱中，为的中点，点在上.
（1）证明：平面；
（2）若二面角大小为，求以为顶点的四面体体积.
21.已知双曲线的一条渐近线方程为，且左焦点到渐近线的距离为，直线经过且互相垂直（斜率都存在且不为0），与双曲线分别交于点和分别为的中点.
（1）求双曲线的方程；
（2）证明：直线过定点.
22.已知函数.
（1）当，求的单调递减区间；
（2）若在恒成立，求实数的取值范围.
2022-2023学年下学期高二期末摸底考试
数学答案
1.C 由题设，所以.
2.A ；
3.B 设等差数列的公差为，等比数列的公比为
，又
又
4.C 由题意可得：.
5.D 为的中点，
，
6.B 设椭圆的半短轴长为，半焦距为，
则的面积由题知，所以，
，由椭圆的定义知，又，
所以的周长为.
7.A .
8.D 由得，即，令，
则
因为，即，且，所以，
故函数在上单调递减，由，
故，即的解集是.
9.AB 对于，由相关指数的定义知：越大，模型的拟合效果越好，正确；
对于，残差点所在的带状区域宽度越窄，则残差平方和越小，模型拟合精度越高，正确；
对于，由独立性检验的思想知：值越大，“与有关系”的把握程度越大，错误.
对于D，，又，解得：错误.
10.ABD 解：因为，
函数的最小正周期是，
关于对称，故A正确.
关于轴对称，故B正确.
当时，有，则，所以，
，故错误.由，解得，
所以的一个单调增区间为，而，
在上单调递增，故D正确.
11.CD 函数，定义域为，
，解得或，解得，
在和上单调递增，在上单调递减，
极大值为，极小值为，，函数图像如图所示，
则函数的图像与轴只有一个交点，即只有一个零点，
所以选项错误，选项正确；曲线切线的切点坐标为，当切线斜率为2时，，解得，当时，切点坐标为，切线方程为，即，D选项正确.
12.ABD 由题设，可得如下直三棱柱：
由直三棱柱的结构特征知：与是异面直线，正确；
因为，且，则面，
又面，故，B正确；
由图知：面将三棱柱截成四棱锥和三棱锥
，一个五面体和一个四面体，C错误：
将面和面展开展开为一个平面，如下图：
当共线时，最小为正确.
13. ，
所以模长为.
14.（答案不唯一） 为上的偶函数，，
又用替换，得，
的周期为4，则的一个解析式可以为
15.0.0525 它是次品的概率为.
16.；
因为在数列中，已知，
所以，
，
令，则，令，则，
所以，所以，
所以数列是以3为公比，6为首项的等比数列，
所以，所以，所以，
17.（1）（2）
（1）在中，，
由正弦定理得.
（2）在中，由余弦定理得
.
.
.
18.（1）（2）
（1）设等差数列的公差为，又，所以.
因为是一个等比数列的前三项，所以.
即又，所以所以数列的通项公式为
（2）由（1）知数列的前项和
所以，数列的前项的和为
19.（1）答案见解析（2）答案见解析
（1）样本中爱好飞盘运动的年轻人中男性16人，女性24人，比例为，
按照性别采用分层抽样的方法抽取10人，则抽取男性4人，女性6人.
随机变量的取值为：.
，
随机变量的分布列为
0 1 2 3
随机变量的数学期望.
（2）零假设为爱好飞盘运动与性别无关联.
根据列联表重的数据，经计算得到，
根据小概率值的独立性检验，没有充分证据推断不成立，因此可以认为成立，即认为爱好飞盘运动与性别无关联.
列联表中所有数据都扩大到原来的10倍后，
根据小概率值的独立性检验，推断不成立，即认为爱好飞盘运动与性别有关联.
所以结论不一样，原因是每个数据都扩大为原来的10倍，相当于样本量变大为原来的10倍，导致推断结论发生了变化.
20.（1）证明见解析（2）
（1）正三棱柱平面，
又为的中点，平面
（2）因为为的中点，，所以，
为正三角形，如图建立空间坐标系，由（1）易知平面法向量，
设，
设平面的法向量为，
则，即，取，
由，解得或（舍去），
，点到平面距离为1，
以为顶点的四面体体积为.
21.（1）
（2）
（1）双曲线的渐近线方程为，所以，
左焦点到渐近线的距离为，所以，又，
联立得，解之得，所以双曲线的方程为.
（2）设直线的方程为，令
联立，整理得，，
所以，所以，
，则，
设直线的方程为，令
联立，整理得，
所以，所以，
，则，
当，即时，直线的方程为.
当时，
直线的斜率为，
直线的方程为，即，
所以直线过点，又直线过点，综上，直线过定点.
22.（1）单调递减区间为（2）
（1）当时，，所以，
令，所以，
当时，，故为增函数；
当时，，故为减函数，
所以，即，
所以函数的单调递减区间为，无单调递增区间.
（2）因为，所以，
所以在上恒成立，
即在上恒成立，
转化为在上恒成立，
令，则且
当时，恒成立，故在上为增函数，
所以，即时不满足题意；
当时，由，得，
若，则，故在上为减函数，在上为增函数，
所以存在，使得，即时不满足题意；
若，则，故在上为减函数，
所以，所以恒成立，
综上所述，实数的取值范围是.