直线和平面 平面的基本性质之一教案 北师大版数学必修2
文档属性
| 名称 | 直线和平面 平面的基本性质之一教案 北师大版数学必修2 |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 24.1KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 北师大版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2014-10-13 10:10:50 | ||
图片预览
文档简介
高中立体几何教案 第一章 直线和平面 平面的基本性质之一教案
教学目标
1．了解三个公理及公理3的三个推论；
2．了解推论1的证明过程．
教学重点和难点
公理3的引入与掌握及推论1的证明是教学的重点也是教学的难点．
教学设计过程
师：上节课我们讲过平面是原名，没有方法定义，所以平面的性质只能以公理的形式给出，我们今天就来研究以公理形式给出的平面的性质．
（当教师说完上述话后，拿出一根小棍作为直线的模型，一矩形硬纸板作为平面的模型，让学生自己也拿同样的模型，师生一起观察．然后，再提出问题）
师：直线与平面有几种位置关系？
生：有三种位置关系：平行，相交，在平面内．
师：相交时，直线与平面有且只有几个公共点？
生：有且只有一个公共点．
师：当直线与平面有几个公共点时，我们就能判定直线在平面内？
生：只要有两个公共点．
师：对，这就是公理1．（同时板书）
公理1 如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内．（如图1）
这时我们说直线在平面内，或者说平面经过直线．
师：为了书写的简便，我们把代数中刚学习过的有关集合的符号，引入立体几何中．我们只把点作为基本元素，于是直线、平面都作为“点的集合”，所以：
点A在直线a上，记作A∈a；
点A在平面α内，记作A∈α；
所以公理1用集合符号为：A∈a，B∈a，A∈α，B∈α，则
公理2可用如下方法引入：教师用矩形硬纸板的一顶点放在讲台面上，让学生观察，并同时提出问题．
师：看模型，能否说这两个平面只有一个公共点？
生：不能，因为平面是无限延展的，所以这两个平面应该有一条经过这公共点的直线．
（这时教师用手动矩形硬纸板，表示同意学生的意见，并说）
师：我们只能用有限的模型或图形来表示无限 ( http: / / www.21cnjy.com )延展的平面，所以我们有时要看模型或图形，但又不能受模型或图形的限制来影响我们对平面的无限延展的了解．（同时板书）
公理2 如果两个平面有一个公共点，那么它们有且只有一条通过这个点的公共直线．（如图2）
a．
关于公理3的引入，可用类比思想，按如下步骤进行．
师：如何确定一条直线？
生：过两点可以确定一条直线．
师：为什么过一点不能确定一条直线？
生：因为过一点可以有无数条直线，所以过一点不能确定一条直线，而过两点有并且只有一条直线，所以说过两点可以确定一条直线．
师：过一点能不能确定一个圆？
生：不能，因为过一点可以有无数个圆，而且这无数个圆的圆心、半径都在变．
师：过两点能不能确定一个圆？
生：不能，因为过两点的圆也有无数个，这无数个圆的圆心都在以这两点为端点的线段的垂直平分线上．
师：过不在一直线上的三点A，B，C能不能确定一个圆？
生：能．连AB，BC，作AB，BC两线段的 ( http: / / www.21cnjy.com )垂直平分线相交于O，以O为圆心，OA为半径作圆，因为圆心、半径都是唯一确定的，所以圆也是唯一确定的．
师：通过复习我们了解了直线的确定和圆的确定．现在我们要来研究平面的确定．
过一点能不能确定一个平面？
（这时教师用一根小棍的一端作为空间的一个点，用一矩形硬纸板作为过这个点的平面，同时用手在硬纸板不离开小棍的一端条件下而能“动”起来）
我们来看一看这个模型．
生：不能，因为过一点可以有无数个平面．
师：过两点能不能确定一个平面？
（这时教师用相交两个小棍的两个端点作为空间两点，再用硬纸板作为过这两点的平面，教师用手使这个平面仍然“动”起来）
我们来看这个模型．
生：不能，因为过两点仍有无数个平面．
师：过不在一直线上的三点能不能确定一个平面？
（这时教师用相交于一点的三根小棍的三个端点 ( http: / / www.21cnjy.com )作为空间不在一直线上的三个点，当把作为平面的硬纸板放在上面时，这时作为平面的硬纸板不能再“动”了，因为一动就要离开其中的一个点，就不满足题目中条件的要求）
我们来观察这个模型．（如图3）
生：能．因为过这三点的平面有一个而且只有一个．
师：这就是我们今天所要讲的公理3．
公理3 经过不在同一条直线上的三个点，有且只有一个平面．（如图4）
师：例如一扇门用两个合页和一把锁就可以固定了，但要注意，锁与合页不能放在同一直线位置上，否则，门也无法固定．
师：以上我们讲了三个公理，下面我们来应用这三个公理证明三个推论．
推论1 经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面．
已知：点A，直线a，A a．（如图5）
求证：过点A和直线a可以确定一个平面．
证明：存在性．
因为A a，在a上任取两点B，C．
所以过不共线的三点A，B，C有一个平面α．（公理3）
因为B∈α，C∈α，
所以a∈α．（公理1）
故经过点A和直线a有一个平面α．
唯一性：如果经过点A和直线a的平面还有一个平面β，那么A∈β，a β，
因为B∈a， C∈a，
所以B∈β，C∈β．（公理1）
故不共线的三点A，B，C既在平面α内又在平面β内．
所以平面α和平面β重合．（公理3）
所以经过点A和直线a有且只有一个平面．有时“有且只有一个平面”，我们也说“确定一个平面”．
类似地可以得出下面两个推论：
推论2 经过两条相交直线，有且只有一个平面．（如图6）
推论3 经过两条平行直线，有且只有一个平面．（如图7）
下面应用平面的基本性质证明 ( http: / / www.21cnjy.com )空间有关点和直线的共面问题．（空间的几个点和几条直线，如果都在同一平面内，简单地说它们“共面”，否则说它们“不共面”）
例1 两两相交且不过同一点的三条直线必在同一个平面内．（如图8）
已知：AB∩AC=A，AB∩BC=B，AC∩BC=C．
求证：直线AB，BC，AC共面．
证法一：因为AB∩AB=A，
所以直线AB，AC确定一个平面α．（推论2）
因为B∈AB，C∈AC，
所以B∈α，C∈α，
故BC α．（公理1）
因此直线AB，BC，CA都在平面α内，即它们共面．
证法二：
因为A 直线BC上，
所以过点A和直线BC确定平面α．（推论1）
因为A∈α， B∈BC，所以B∈α．
故AB α，
同理AC α，
所以AB，AC，BC共面．
证法三：
因为A，B，C三点不在一条直线上，
所以过A，B，C三点可以确定平面α．（公理3）
因为A∈α，B∈α，所以AB α．（公理1）
同理BC α，AC α，所以AB，BC，CA三直线共面．
这个例题证完后，教师可以提出两个问题让学生思考．
师：在这题中“且不过同一点”这几个字能不能省略，为什么？
生：不能，因为三条直线两两相交且过同一 ( http: / / www.21cnjy.com )点，则这三条直线可以共面，也可以不共面（这时学生可用手中的三个小棍作为模型来说明什么情况共面，什么情况不共面）
师：这个题我们能不能推广？即把这题 ( http: / / www.21cnjy.com )改为：四条直线两两相交且不过同一点，则这四条直线必共面；也可以把这题推广为更一般地的情况：n条直线两两相交且不过同一点，则这n条直线必共面，当然这两种推广的情况的证明与例1类似，这里只要求你们了解这两种情况，不要求你们去证明．
师：由例1的证明可知，要证明空间的点、直线共面，可以先由某些元素确定一个平面，然后证明其它的元素也在这个平面内．
师：今天我们讲了平面的基本性质，就 ( http: / / www.21cnjy.com )是三个公理．公理1的作用是判定直线在平面内的根据；公理2是判定两个平面相交的根据；公理3及三个推论是确定一个平面的根据．
作业
课本第8页习题一 3，5，6，7．（要求写出已知、求证、证明，并画出图形）
教学目标
1．了解三个公理及公理3的三个推论；
2．了解推论1的证明过程．
教学重点和难点
公理3的引入与掌握及推论1的证明是教学的重点也是教学的难点．
教学设计过程
师：上节课我们讲过平面是原名，没有方法定义，所以平面的性质只能以公理的形式给出，我们今天就来研究以公理形式给出的平面的性质．
（当教师说完上述话后，拿出一根小棍作为直线的模型，一矩形硬纸板作为平面的模型，让学生自己也拿同样的模型，师生一起观察．然后，再提出问题）
师：直线与平面有几种位置关系？
生：有三种位置关系：平行，相交，在平面内．
师：相交时，直线与平面有且只有几个公共点？
生：有且只有一个公共点．
师：当直线与平面有几个公共点时，我们就能判定直线在平面内？
生：只要有两个公共点．
师：对，这就是公理1．（同时板书）
公理1 如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内．（如图1）
这时我们说直线在平面内，或者说平面经过直线．
师：为了书写的简便，我们把代数中刚学习过的有关集合的符号，引入立体几何中．我们只把点作为基本元素，于是直线、平面都作为“点的集合”，所以：
点A在直线a上，记作A∈a；
点A在平面α内，记作A∈α；
所以公理1用集合符号为：A∈a，B∈a，A∈α，B∈α，则
公理2可用如下方法引入：教师用矩形硬纸板的一顶点放在讲台面上，让学生观察，并同时提出问题．
师：看模型，能否说这两个平面只有一个公共点？
生：不能，因为平面是无限延展的，所以这两个平面应该有一条经过这公共点的直线．
（这时教师用手动矩形硬纸板，表示同意学生的意见，并说）
师：我们只能用有限的模型或图形来表示无限 ( http: / / www.21cnjy.com )延展的平面，所以我们有时要看模型或图形，但又不能受模型或图形的限制来影响我们对平面的无限延展的了解．（同时板书）
公理2 如果两个平面有一个公共点，那么它们有且只有一条通过这个点的公共直线．（如图2）
a．
关于公理3的引入，可用类比思想，按如下步骤进行．
师：如何确定一条直线？
生：过两点可以确定一条直线．
师：为什么过一点不能确定一条直线？
生：因为过一点可以有无数条直线，所以过一点不能确定一条直线，而过两点有并且只有一条直线，所以说过两点可以确定一条直线．
师：过一点能不能确定一个圆？
生：不能，因为过一点可以有无数个圆，而且这无数个圆的圆心、半径都在变．
师：过两点能不能确定一个圆？
生：不能，因为过两点的圆也有无数个，这无数个圆的圆心都在以这两点为端点的线段的垂直平分线上．
师：过不在一直线上的三点A，B，C能不能确定一个圆？
生：能．连AB，BC，作AB，BC两线段的 ( http: / / www.21cnjy.com )垂直平分线相交于O，以O为圆心，OA为半径作圆，因为圆心、半径都是唯一确定的，所以圆也是唯一确定的．
师：通过复习我们了解了直线的确定和圆的确定．现在我们要来研究平面的确定．
过一点能不能确定一个平面？
（这时教师用一根小棍的一端作为空间的一个点，用一矩形硬纸板作为过这个点的平面，同时用手在硬纸板不离开小棍的一端条件下而能“动”起来）
我们来看一看这个模型．
生：不能，因为过一点可以有无数个平面．
师：过两点能不能确定一个平面？
（这时教师用相交两个小棍的两个端点作为空间两点，再用硬纸板作为过这两点的平面，教师用手使这个平面仍然“动”起来）
我们来看这个模型．
生：不能，因为过两点仍有无数个平面．
师：过不在一直线上的三点能不能确定一个平面？
（这时教师用相交于一点的三根小棍的三个端点 ( http: / / www.21cnjy.com )作为空间不在一直线上的三个点，当把作为平面的硬纸板放在上面时，这时作为平面的硬纸板不能再“动”了，因为一动就要离开其中的一个点，就不满足题目中条件的要求）
我们来观察这个模型．（如图3）
生：能．因为过这三点的平面有一个而且只有一个．
师：这就是我们今天所要讲的公理3．
公理3 经过不在同一条直线上的三个点，有且只有一个平面．（如图4）
师：例如一扇门用两个合页和一把锁就可以固定了，但要注意，锁与合页不能放在同一直线位置上，否则，门也无法固定．
师：以上我们讲了三个公理，下面我们来应用这三个公理证明三个推论．
推论1 经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面．
已知：点A，直线a，A a．（如图5）
求证：过点A和直线a可以确定一个平面．
证明：存在性．
因为A a，在a上任取两点B，C．
所以过不共线的三点A，B，C有一个平面α．（公理3）
因为B∈α，C∈α，
所以a∈α．（公理1）
故经过点A和直线a有一个平面α．
唯一性：如果经过点A和直线a的平面还有一个平面β，那么A∈β，a β，
因为B∈a， C∈a，
所以B∈β，C∈β．（公理1）
故不共线的三点A，B，C既在平面α内又在平面β内．
所以平面α和平面β重合．（公理3）
所以经过点A和直线a有且只有一个平面．有时“有且只有一个平面”，我们也说“确定一个平面”．
类似地可以得出下面两个推论：
推论2 经过两条相交直线，有且只有一个平面．（如图6）
推论3 经过两条平行直线，有且只有一个平面．（如图7）
下面应用平面的基本性质证明 ( http: / / www.21cnjy.com )空间有关点和直线的共面问题．（空间的几个点和几条直线，如果都在同一平面内，简单地说它们“共面”，否则说它们“不共面”）
例1 两两相交且不过同一点的三条直线必在同一个平面内．（如图8）
已知：AB∩AC=A，AB∩BC=B，AC∩BC=C．
求证：直线AB，BC，AC共面．
证法一：因为AB∩AB=A，
所以直线AB，AC确定一个平面α．（推论2）
因为B∈AB，C∈AC，
所以B∈α，C∈α，
故BC α．（公理1）
因此直线AB，BC，CA都在平面α内，即它们共面．
证法二：
因为A 直线BC上，
所以过点A和直线BC确定平面α．（推论1）
因为A∈α， B∈BC，所以B∈α．
故AB α，
同理AC α，
所以AB，AC，BC共面．
证法三：
因为A，B，C三点不在一条直线上，
所以过A，B，C三点可以确定平面α．（公理3）
因为A∈α，B∈α，所以AB α．（公理1）
同理BC α，AC α，所以AB，BC，CA三直线共面．
这个例题证完后，教师可以提出两个问题让学生思考．
师：在这题中“且不过同一点”这几个字能不能省略，为什么？
生：不能，因为三条直线两两相交且过同一 ( http: / / www.21cnjy.com )点，则这三条直线可以共面，也可以不共面（这时学生可用手中的三个小棍作为模型来说明什么情况共面，什么情况不共面）
师：这个题我们能不能推广？即把这题 ( http: / / www.21cnjy.com )改为：四条直线两两相交且不过同一点，则这四条直线必共面；也可以把这题推广为更一般地的情况：n条直线两两相交且不过同一点，则这n条直线必共面，当然这两种推广的情况的证明与例1类似，这里只要求你们了解这两种情况，不要求你们去证明．
师：由例1的证明可知，要证明空间的点、直线共面，可以先由某些元素确定一个平面，然后证明其它的元素也在这个平面内．
师：今天我们讲了平面的基本性质，就 ( http: / / www.21cnjy.com )是三个公理．公理1的作用是判定直线在平面内的根据；公理2是判定两个平面相交的根据；公理3及三个推论是确定一个平面的根据．
作业
课本第8页习题一 3，5，6，7．（要求写出已知、求证、证明，并画出图形）