2023 年南通市高二学年度质量监测
数学参考答案与评分建议
一、选择题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40分。在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的。
1． 已知集合 A { x | x2 2x 3 0}， B { x | 0 x 4}，则 A∩B
A．{ x |-1< x< 4} B．{ x |-3< x<1} C．{ x | 0< x<3} D．{ x | 0< x<1}
【答案】C
2． 已知 (1 i)z 1 i，则 | z |
A． 2 B．1 C． 2 D． 2
2
【答案】B
3． 从 5件不同的礼物中选出 3件分别送给 3名同学，则不同的送法共有
A． 240种 B．125种 C．120种 D． 60种
【答案】D
4． 若一组数据1，1，a，4，5，5，6，7 的 25百分位数是 2，则 a
A．1 B． 2 C．3 D． 4
【答案】C
5． 已知 P是△ ABC所在平面外一点，M 是 BC的中点，若 AM xPA yPB zPC ，则
A． x+ y+ z= 0 B． x+ y+ z=1 C． x- y- z=1 D． x- y- z= -1
【答案】A
6． 若3a b3 2，则
A．b a 2 B． b 2 a C． a 2 b D． a b 2
【答案】D
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7． 已知圆台的上、下底面半径分别为1和 2，用一个平行于底面的平面去截圆台，截得上
下两部分的体积之比为14 :13，则截面半径为
5 7 40 41
A． B． C． D．
3 4 27 27
【答案】A
x | x 2 |，x≥0，8． 已知函数 f (x) 若函数 g(x) f (x) f ( x) 有五个零点，则实数 a的取
ax， x 0，
值范围是
A． ( ，2) B． (0，2) C． ( ， 2) D． ( 2，0)
【答案】D
二、选择题：本题共 4小题，每小题 5分，共 20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题
目要求。全部选对的得 5分，部分选对的得 2分，有选错的得 0分。
9． 已知 (x 2)6 a0 a1x a2x
2 a3x
3 a x4 a x54 5 a x
6
6 ，则
A． a0 1 B． a4 60
36C． a 11 a2 a3 a4 a5 a6 63 D． a0 a2 a4 a6 2
【答案】BC
10．已知正方体 ABCD A1B1C1D1，则
A．平面 AB1C // 平面 DA1C1 B． BD1 平面 AB1C
C． A1D与 AC所成角为 60
D． BD1与平面 BCC1B1 所成角为 45
【答案】ABC
11．已知 f (x)是定义在R 上的奇函数， f (x 2) f (x) ，当 0 x≤1时， f (x) x，则
A． f ( 3) f ( 1) B． f ( 1) f (5)2 2
C． f (7) f (8) D． f (x) ≥ f (3)
【答案】BCD
12．某农业种植基地在三块实验地种植同一品种的苹果，甲地块产出苹果中一级果个数占
75％，乙地块产出苹果中一级果个数占 60％，丙地块产出苹果中一级果个数占 80％. 已
知甲、乙、丙地块产出的苹果个数之比为 2 : 5 : 3，现将三个地块产出的苹果混放一堆，
则下列说法正确的是
数学参考答案与评分建议 第 2 页（共 11页）
{#{QQABKYCUogggAAJAAAACUwVwCAIQkhGCAAgGRFAYsEABCBFABAA=}#}
A．任取一个苹果是甲地块产出的概率为 0.2
B．任取一个苹果是甲地块产出的一级果的概率为 0.75
C．任取一个苹果是一级果的概率为 0.69
D 5．如果取到的一个苹果是一级果，则其是由甲地块产出的概率为
23
【答案】ACD
三、填空题：本题共 4小题，每小题 5分，共 20分。
13．如果随机变量 X ~ N (2， 2) ，且 P(X≤0) 0.2，则 P(X≤4) .
【答案】 0.8
14．已知向量 a (1， 2)， b (m，1)，若 a (a b)，则实数m .
【答案】 3
15．已知正四棱锥的底面边长和侧棱长分别为 4和 2 5 ，其所有面都与同一个球相切，则
该球的表面积为 .
16
【答案】 π
3
16．已知直线 l 与曲线 y ex 2 和 y ln x都相切，请写出符合条件的两条直线 l 的方
程： ， .（对一空得 2分，对两空得 5分）
【答案】 y x 1， y 1e x
四、解答题：本题共 6小题，共 70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（10分）
有8个相同的小球，上面分别标有数字1， 2，3， 4，5， 6， 7，8，“从中任取一
个小球，球的数字是奇数”记为事件 A，“从中任取一个小球，球的数字是 3的倍数”记为
事件 B .
（1）试判断 A，B是否为相互独立事件，并说明理由；
（2）求 P(A B) .
【解】（1）解法一： {1，2，3，4，5，6，7，8}，
A {1，3，5，7}， B {3，6} . ……2分
若 A发生，则 B发生的概率为 1 ；4
数学参考答案与评分建议 第 3 页（共 11页）
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若 A不发生，则 B发生的概率为 1 ； ……4分
4
可见，事件 A发生与否不影响事件 B发生的概率，
因此， A，B为相互独立事件. ……5分
解法二： {1，2，3，4，5，6，7，8}，
A {1，3，5，7}， B {3，6}， AB {3} . ……2分
所以 P(A) 4 1 ， P(B) 2 1 ， 1，8 2 8 4 P(AB) 8
即 P(AB) P(A)P(B) . ……4分
因此， A，B为相互独立事件. ……5分
（2）解法一：由概率性质得
P(A B) P(A) P(B) P(AB) ……7分
1 1 12 4 8
5 . ……10分8
解法二： {1，2，3，4，5，6，7，8}，
A {1，3，5，7}， B {3，6}， A B {1，3，5，6，7} . ……7分
所以 P(A B) 5 . ……10分8
18．（12分）
B
如图，在正三棱柱 ABC A1B1C1 中， D为 A1C1 的中点.
B 1
（1）求证：CD B1D； A A1
（2）若 AA1 2，AB 2 ，求点 B到平面 B1CD的距离. D
C
【解】（1）在正三棱柱 ABC A B C 11 1C1 中，
CC1 平面 A1B1C1，
因为 B1D 平面 A1B1C1，所以CC1 B1D； ……2分
在正三角形 A1B1C1中， A1B1 B1C1 ， D为 A1C1 中点，
所以 A1C1 B1D； ……4分
又因为CC1 A1C1 C1 ，CC1，A1C1 平面 ACC1A1，
所以 B1D 平面 ACC1A1；
数学参考答案与评分建议 第 4 页（共 11页）
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因为CD 平面 ACC1A1，
所以CD B1D . ……6分
（2）连接 BC1，交 B1C于点O，
在正三棱柱 ABC A1B1C1 中，侧面 BCC1B1 为平行四边形，
所以O为 BC1的中点，
所以 B到平面 B1CD的距离等于C1 到平面 B1CD的距离； B ……8分 B1
设C1到平面 B1CD的距离为 d， O
A A1
因为 AA1 2,AB 2 ，所以正三角形 A1B1C1的边长为 2，
D
所以 B1D
6 ，△ B1DC1的面积为
1 6 2 3 ， C C1
2 2 2 2 4
所以三棱锥C B1C1D的体积V
1
3 S△B DC CC
1 31 2
3 . ……10分
1 1 3 4 6
又VC B C V ，1 1D C1 B1CD
2
在 Rt△CDB1中， B1D
6 ，CD CC 21 C D
2 22 2 3 21 ，2 2
2
所以 S 1 B D CD 3 3△CDB1 2 1
，
4
所以V 1 S d 3C1 B1CD 3 △CDB d
，
1 4
从而 3 3 d，即6 4 d
2 .
3
所以点 B到平面 B1CD的距离为
2 . ……12分
3
19．（12分）
已知函数 f x 4 x m 2 x ，m R .
（1）若m 3，解关于 x的不等式 f x 4；
（2）若函数 y f x f x 的最小值为 4，求m的值.
【解】（1）m 3时，由 f x 4x 3 2x 4得，
4x 3 2x 4 0， (2x 1)(2x 4) 0， ……2分
数学参考答案与评分建议 第 5 页（共 11页）
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因为 2x 1 0，所以 2x 4 0，解得 x 2，
所以原不等式的解集为 2， . ……5分
（2）因为
y f (x) f ( x) (4 x 4 x) m (2 x 2 x)
(2x 2 x )2 m (2x 2 x ) 2 ，
令 t 2x 2 x，因为 2x 0，
所以 t 2x 2 x≥2 2x 2 x 2 ，（当且仅当 x 0时取得等号）
m m2则 y g(t) t 2 m t 2 (t )2 ， ……7分2 4 2
① 当 m≤2，即m≥ 4时， g(t)在 2， 上单调递增，
2
当 t 2，即 x 0时， ymin 2m 2，
所以 2m 2 4，解得m 3，符合题意； ……9分
② 当 m 2，即m 4时，
2
g(t)在 2，
m
上单调递减，在
m
2 ， 上单调递增， 2
当 t m， y m
2
2 min 4 2
，
所以 m
2
2 4，解得m 2 2 ，不合题意，舍去.
4
综上，m的值为 3 . ……12分
20．（12分）
“使用动物做医学实验是正确的，这样做能够挽救人的生命”.一机构为了解成年人对
这种说法的态度（态度分为同意和不同意），在某市随机调查了 200位成年人，得到如下数
据：
男性 女性 合计
同意 70 50 120
不同意 30 50 80
合计 100 100 200
（1）能否有 99%的把握认为成年人对该说法的态度与性别有关？
（2）将频率视为概率，用样本估计总体.若从该市成年人中，随机抽取 3人了解其对该
数学参考答案与评分建议 第 6 页（共 11页）
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说法的态度，记抽取的 3人中持同意的人数为 X ，求 X 的分布列和数学期望.
2
n(ad bc)2 P( ≥x0 ) 0.025 0.010 0.005
附： 2 ， .
(a b)(c d )(a c)(b d ) x0 5.024 6.635 7.879
【解】（1）提出假设H0 ：成年人对该问题的态度与性别无关.
根据列联表中的数据可以求得
2 200 (70 50 50 30)
2
120 80 100 100 ……2分
25 8.333 . ……3分3
因为当H0 成立时，
2
≥6.635的概率约为 0.01，
这里 2 8.333 6.635，
所以我们有99%的把握认为，对该问题的态度与性别有关. ……5分
（2）从该市成年人中随机抽取 1人持同意态度的概率为 70 50 3 ， ……6分
200 5
由题意， X ~ B(3，3 ，5)
3
P(x 0) C03 1 3 8 ，5 125
2
P(x 1) C1 33 1 3 36 ，5 5 125
P(x 2) C2 3 23 5 1 35 54 ，125
3 3P(x 3) C33 27 ， ……10分5 125
X 0 1 2 3
P 8 36 54 27125 125 125 125
因此，随机变量 X 的数学期望为
解法一： E(X ) 0 8 1 36 2 54125 125 125 3
27 9 . ……12分125 5
解法二： E(X ) np 3 35
9 .
5
数学参考答案与评分建议 第 7 页（共 11页）
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21．（12分）
如图，在三棱锥 P ABC中，AC BC，D是 AC 的中点， P
E是 AB上一点， AC 平面 PDE .
（1）证明： DE //平面 PBC； A D C
（2）若 AC BC 4，PD PE 2，求二面角 D PB E
E
的正弦值.
B
【解】（1）证明：因为 AC 平面 PDE，DE 平面 PDE，
所以 AC DE，
因为 AC BC，且直线 AC，BC， DE 平面 ABC，
所以 DE // BC， ……3分
因为 DE 平面 PBC， BC 平面 PBC，
所以 DE //平面 PBC； ……5分
（2）取 DE的中点 O，连结 PO，过点 O作OF DE交 BC于点 F，
因为 PD PE ，所以 PO DE，
因为 AC 平面 PDE， PO 平面 PDE，
所以 AC PO，因为 DE AC D，
所以 PO 平面 ABC，所以 PO OF . ……6分
如图，以 OE，OF，OP 为正交基底建立空间直角坐标系，
因为 D是 AC的中点， AC BC 4，
所以O 0，0，0 ， B 3,2,0 ， E 1，0，0 ，D 1，0，0 ，
因为 PD PE 2，所以 PO 3，即 P(0，0， 3)，
所以 DB (4，2，0)，DP (1，0， 3)， EP ( 1，0， 3) ， EB (2，2，0)；
设平面 PBD的一个法向量m (x1，y1，z1)，
m DB 0，
4x1 2y1 0，
则 即
m DP 0， x1 3z1 0，
数学参考答案与评分建议 第 8 页（共 11页）
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令 x1 3，得 y1 2 3， z1 1，
所以平面 PBD的一个法向量m ( 3， 2 3， 1) ， ……8分
设平面 PBE的一个法向量 n (x2 ，y2 ，z2 ) ，
n EB 0， 2x2 2y2 0，
则 即
n EP 0， x2 3z2 0，
令 x2 3，得 y2 3， z2 1，
所以平面 PBE的一个法向量 n ( 3， 3，1) ， ……10分
所以
cos m n m n 3 3 ( 2 3) ( 3) 1 ， 8 2 7 ，
m n ( 3)2 ( 2 3)2 ( 1)2 ( 3)2 ( 3)2 1 4 7 7
设二面角D PB E为 ， [0，π]，
所以 sin 1 cos2 m，n 217 ，
D PB E 21所以二面角 的正弦值为 . ……12分
7
22．（12分）
已知函数 f (x) 1 axx ，a R .e
（1）当 a 1时，求函数 f (x)的极值；
（2）当 x≥0时， f (x)≥1 2x，求 a的取值范围.
【解】（1） f (x)的定义域为R ，
当 a 1时， f (x) 1 xx ，e
x
f (x) e (1 x)e
x
x 2
x 2
x ， ……2分(e ) e
令 f (x) x 2x 0，解得 x 2，e
数学参考答案与评分建议 第 9 页（共 11页）
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x ( ，2) 2 (2， )
f (x) 0
f (x) 极小值
所以 f (x)的极小值 f (2) 12 ； ……4分e
（2）当 x≥0时， f (x)≥1 2x等价于当 x≥0时， (2x 1)e x ax 1≥0 ，
令 g(x) (2x 1)e x ax 1 (x≥0) ，则 g(x)≥0在 [0， )上恒成立，
所以 g (x) (2x 1)e x a，
令 h(x) (2x 1)e x a (x≥0) ，
所以 h (x) (2x 3)e x ，
因为 x≥0，所以 h (x) (2x 3)e x 0 ，
所以 h(x)在 [0， )上单调递增，
所以 h(x)min h(0) 1 a ， ……6分
①当1 a≥0，即 a≤1时， h(x)≥h(0)≥0，
所以 g (x)≥0，即 g(x)在 [0， )上单调递增，
所以 g(x)≥g(0) 0，
所以当 a≤1时， g(x)≥0； ……8分
②当1 a 0，即 a 1时，
h(0) 1 a 0，
又 h(a) (2a 1)ea a a(2ea 1) ea ，
因为 a 1，所以 ea e，所以 h(a) 0， ……10分
因为 h(0) h(a) 0，且 h(x)图象在 [0， )上连续不间断，
所以存在 x0 (0，a)，使得 h(x0 ) 0，
数学参考答案与评分建议 第 10 页（共 11页）
{#{QQABKYCUogggAAJAAAACUwVwCAIQkhGCAAgGRFAYsEABCBFABAA=}#}
因为当 0 x x0时， h(x) 0，即 g (x) 0，
所以 g(x)在 (0，x0 )上单调递减，
所以 g(x0 ) g(0) 0，这与 g(x)≥0在 [0， )上恒成立矛盾，
所以 a 1不合题意， 舍去；
综上所述， a的取值范围是 ( ，1] . ……12分
数学参考答案与评分建议 第 11 页（共 11页）
{#{QQABKYCUogggAAJAAAACUwVwCAIQkhGCAAgGRFAYsEABCBFABAA=}#}2023 年南通市高二学年度质量监测
数 学
一、选择题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40分。在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的。
1． 已知集合 A { x | x2 2x 3 0}， B { x | 0 x 4}，则 A∩B
A．{ x |-1< x< 4} B．{ x |-3< x<1} C．{ x | 0< x<3} D．{ x | 0< x<1}
2． 已知 (1 i)z 1 i，则 | z |
A． 2 B．1 C． 2 D． 2
2
3． 从 5件不同的礼物中选出 3件分别送给 3名同学，则不同的送法共有
A． 240种 B．125种 C．120种 D． 60种
4． 若一组数据1，1，a，4，5，5，6，7 的 25百分位数是 2，则 a
A．1 B． 2 C．3 D． 4
5． 已知 P是△ ABC所在平面外一点，M 是 BC的中点，若 AM xPA yPB zPC ，则
A． x+ y+ z= 0 B． x+ y+ z=1 C． x- y- z=1 D． x- y- z= -1
6． 若3a b3 2，则
A．b a 2 B． b 2 a C． a 2 b D． a b 2
7． 已知圆台的上、下底面半径分别为1和 2，用一个平行于底面的平面去截圆台，截得上
下两部分的体积之比为14 :13，则截面半径为
5 7 40 41
A． B． C． D．
3 4 27 27
数学试题 第 1 页（共 4 页）
{#{QQABKYCUogggAAJAAAACUwVwCAIQkhGCAAgGRFAYsEABCBFABAA=}#}
x | x 2 |，x≥0，8． 已知函数 f (x) 若函数 g(x) f (x) f ( x) 有五个零点，则实数 a的取
ax， x 0，
值范围是
A． ( ，2) B． (0，2) C． ( ， 2) D． ( 2，0)
二、选择题：本题共 4小题，每小题 5分，共 20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题
目要求。全部选对的得 5分，部分选对的得 2分，有选错的得 0分。
9． 已知 (x 2)6 a 2 30 a1x a2x a3x a
4 5 6
4x a5x a6x ，则
A． a0 1 B． a4 60
6
C． a1 a2 a3 a4 a5 a6 63 D． a a a
3 1
0 2 4 a6 2
10．已知正方体 ABCD A1B1C1D1，则
A．平面 AB1C // 平面 DA1C1 B． BD1 平面 ABC 1
C． A1D与 AC所成角为 60
D． BD1与平面 BCC1B1 所成角为 45
11．已知 f (x)是定义在R 上的奇函数， f (x 2) f (x) ，当 0 x≤1时， f (x) x，则
A． f ( 3) f ( 1) B． f ( 1) f (5)2 2
C． f (7) f (8) D． f (x) ≥ f (3)
12．某农业种植基地在三块实验地种植同一品种的苹果，甲地块产出苹果中一级果个数占
75％，乙地块产出苹果中一级果个数占 60％，丙地块产出苹果中一级果个数占 80％. 已
知甲、乙、丙地块产出的苹果个数之比为 2 : 5 : 3，现将三个地块产出的苹果混放一堆，
则下列说法正确的是
A．任取一个苹果是甲地块产出的概率为 0.2
B．任取一个苹果是甲地块产出的一级果的概率为 0.75
C．任取一个苹果是一级果的概率为 0.69
D 5．如果取到的一个苹果是一级果，则其是由甲地块产出的概率为
23
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三、填空题：本题共 4小题，每小题 5分，共 20分。
13．如果随机变量 X ~ N (2， 2) ，且 P(X≤0) 0.2，则 P(X≤4) .
14．已知向量 a (1， 2)， b (m，1)，若 a (a b)，则实数m
.
15．已知正四棱锥的底面边长和侧棱长分别为 4和 2 5 ，其所有面都与同一个球相切，则
该球的表面积为 .
16．已知直线 l 与曲线 y ex 2 和 y ln x都相切，请写出符合条件的两条直线 l 的方
程： ， .（对一空得 2分，对两空得 5分）
四、解答题：本题共 6小题，共 70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（10分）
有8个相同的小球，上面分别标有数字1， 2，3， 4，5， 6， 7，8，“从中任取一
个小球，球的数字是奇数”记为事件 A，“从中任取一个小球，球的数字是 3的倍数”记为
事件 B .
（1）试判断 A，B是否为相互独立事件，并说明理由；
（2）求 P(A B) .
18．（12分）
B
如图，在正三棱柱 ABC A B 1B1C1 中， D为 AC 的中点.
1
1 1
（1）求证：CD B1D； A A1
（2）若 AA1 2，AB 2 ，求点 B到平面 B1CD的距离. D
C C1
19．（12分）
已知函数 f x 4 x m 2 x ，m R .
（1）若m 3，解关于 x的不等式 f x 4；
（2）若函数 y f x f x 的最小值为 4，求m的值.
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20．（12分）
“使用动物做医学实验是正确的，这样做能够挽救人的生命”.一机构为了解成年人对
这种说法的态度（态度分为同意和不同意），在某市随机调查了 200位成年人，得到如下数
据：
男性 女性 合计
同意 70 50 120
不同意 30 50 80
合计 100 100 200
（1）能否有 99%的把握认为成年人对该说法的态度与性别有关？
（2）将频率视为概率，用样本估计总体.若从该市成年人中，随机抽取 3人了解其对该
说法的态度，记抽取的 3人中持同意的人数为 X ，求 X 的分布列和数学期望.
2
n(ad bc)2 P( ≥x0 ) 0.025 0.010 0.005
附： 2 ， .
(a b)(c d )(a c)(b d ) x0 5.024 6.635 7.879
21．（12分）
如图，在三棱锥 P ABC中，AC BC，D是 AC 的中点， P
E是 AB上一点， AC 平面 PDE .
（1）证明： DE //平面 PBC； A D C
（2）若 AC BC 4，PD PE 2，求二面角 D PB E
E
的正弦值.
B
22．（12分）
已知函数 f (x) 1 axx ，a R .e
（1）当 a 1时，求函数 f (x)的极值；
（2）当 x≥0时， f (x)≥1 2x，求 a的取值范围.
数学试题 第 4 页（共 4 页）
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