2022-2023学年上海市静安区高二（下）期末数学试卷（含解析）

2022-2023学年上海市静安区高二（下）期末数学试卷
一、单选题（本大题共3小题，共12.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 的展开式中的常数项为( )
A. B. C. D.
2. 已知物体的位移单位：与时间单位：满足函数关系，则物体在时的瞬时速度为( )
A. B. C. D.
3. 如图，封闭图形的曲线部分是长轴长为，短轴的长为的半个椭圆，设是该图形上任意一点，则与线段的长度的最大值最接近的是( )
A.
B.
C.
D.
二、填空题（本大题共8小题，共32.0分）
4. 以为准线的抛物线的标准方程是______．
5. 个人站成一排，如果甲、乙人必须站在两端，有______ 种排法．
6. 过点的直线与圆相切，则直线的斜率为______ ．
7. 若双曲线的渐近线方程为，且过点，则的焦距为______ ．
8. 已知曲线上一点，则点处的切线方程为______ ．
9. 一个口袋内装有大小相同的个白球和个黑球从口袋内随机取出个球，则其中至少取到个白球的概率为______ ．
10. 类比教材中对圆双曲线的“对称性”和“范围”的研究，写出曲线的对称性和所在的范围为______ ．
11. 已知某食品罐头的体积是常量，其包装是金属材质的圆柱形，假设该圆柱形的高和底半径分别为和，为了使制作包装的金属材料最省，：的值为______ ．
三、解答题（本大题共5小题，共56.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
12. 本小题分
设椭圆过点，离心率为．
求椭圆的标准方程；
求过点且斜率为的直线被椭圆所截线段的长及中点坐标．
13. 本小题分
如图是一座类似于上海卢浦大桥的圆拱桥示意图，该圆弧拱跨度为，圆拱的最高点离水面的高度为，桥面离水面的高度为．
建立适当的平面直角坐标系，求圆拱所在圆的方程；
求桥面在圆拱内：部分的长度结果精确到
14. 本小题分
设，函数．
请讨论该函数的单调性；
求该函数在闭区间上的最大值和最小值．
15. 本小题分
已知是自然数，是正整数，且求证组合数性质：；
按中的组合数性质公式，有请自编一个计数问题，使得与为该问题的两个不同的解法，并简要说明解法的依据．
16. 本小题分
在平面直角坐标系中，设、，动点满足：，其中是非零常数，、分别为直线、的斜率．
求动点的轨迹的方程，并讨论的形状与值的关系；
当时，直线交曲线于、两点，为坐标原点若线段的长度，的面积，求直线的方程．
答案和解析
1.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查二项式定理的应用，二项式展开式的通项公式，求展开式中的特定项，属于基础题．
求出二项展开式的通项公式，令的指数为，求解的值，即可求得常数项．
【解答】
解：的展开式的通项公式
，
令，解得，
所以的展开式中的常数项为．
故选：．

2.【答案】
【解析】解：，
时，．
故选：．
可求出导函数，然后求出时的导数即可．
本题考查了基本初等函数和复合函数的单调性，导数的物理意义，考查了计算能力，属于基础题．
3.【答案】
【解析】解：以为轴，的中垂线为轴，建立平面直角坐标系，如图：
由题意，，且椭圆焦点在轴上，所以半椭圆方程为，
，，设点的坐标为，则，
所以，
因为，所以当时，，
所以选项中与线段的长度的最大值最接近的是．
故选：．
建立直角坐标系，求出椭圆方程，设点的坐标为，结合两点间的距离公式，利用二次函数的性质求解即可．
本题考查了椭圆的简单几何性质，是中档题．
4.【答案】
【解析】解：根据题意，要求抛物线的准线方程为，
则抛物线的开口向左，且，
则抛物线的标准方程为：；
故答案为：
根据题意，由抛物线的准线方程分析可得抛物线的开口方向以及的值，分析可得抛物线的标准方程，即可得答案．
本题考查抛物线的简单几何性质，涉及抛物线的标准方程，注意分析抛物线的开口方向．
5.【答案】
【解析】解：个人站成一排，如果甲、乙人必须站在两端，先排甲，乙有种排法，
在排剩余人，有种排法，
故共有种排法．
故答案为：．
根据题意，结合分步乘法计数原理，计算即可．
本题考查排列组合的应用，属于基础题．
6.【答案】或
【解析】解：根据题意，圆，即，其圆心为，半径，
若直线过点且与圆相切，则直线的斜率一定存在，
设直线的斜率为，则有，即，
则有圆心到直线的距离，解可得或，
直线的斜率为或．
故答案为：或．
根据题意，分析圆的圆心和半径，设直线的斜率为，求出直线的方程，由直线与圆的位置关系分析可得关于的方程，解可得答案．
本题考查直线与圆的位置关系，涉及直线与圆相切，属于基础题．
7.【答案】
【解析】解：因为双曲线的渐近线方程是，故可设双曲线的方程为：，
把点代入双曲线方程可得，
所以双曲线方程为，化为标准方程得，
所以，，，，
所以双曲线的焦距为．
故答案为：．
设双曲线的方程为：，把点代入双曲线方程即可求解．
本题考查了根据双曲线的渐近线方程求解其方程的问题，考查双曲线的焦距的求法，属于基础题．
8.【答案】
【解析】解：由，得，
，
曲线在点处的切线方程为，
即．
故答案为：．
求出原函数的导函数，得到函数在处的导数值，再由直线方程的斜截式得答案．
本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，熟记基本初等函数的导函数是关键，是中档题．
9.【答案】
【解析】解：一个口袋内装有大小相同的个白球和个黑球．从口袋内随机取出个球，
则其中至少取到个白球的概率为．
故答案为：．
利用古典概型概率公式计算即可．
本题主要考查古典概型的问题，熟记概率的计算公式即可，属于基础题．
10.【答案】关于轴对称，，
【解析】解：由得，
因为，
，即，
在曲线方程中，以代，得，与方程相同，所以曲线关于轴对称；
以代，得，与原方程不同，所以曲线不关于轴对称；
以代，代，得，与原方程不同，所以曲线不是中心对称图形．
故答案为：关于轴对称，，．
根据曲线方程得出，然后得出，然后用换，用换，看得到的方程和原方程是否相同，从而可判断出该曲线的对称性．
本题考查了判断曲线对称性的方法，考查了计算能力，属于基础题．
11.【答案】
【解析】解：设食品罐头的体积是为常数．
由题意可得，
圆柱的表面积
．
当且仅当，即时等号成立，此时．
：．
故答案为：．
设食品罐头的体积是为常数，由题意可得，再写出圆柱的表面积，利用基本不等式求最值，即可求得：的值．
本题考查圆柱体积与表面积的求法，训练了利用基本不等式求最值，考查运算求解能力，是中档题．
12.【答案】解：由题意得：，又因为，解得，-----------分
椭圆的方程为-----------分
过点且斜率为的直线方程为，
设直线被椭圆所截线段的端点为、，
中点为，------------分
与联立消元得：，------------分
，--------分，-------------分
，
所以，直线被椭圆所截线段中点坐标为；分
，
，直线被椭圆所截线段长为分
【解析】利用椭圆的离心率以及椭圆经过的点，转化求解椭圆方程即可．
求出直线方程，利用椭圆方程联立通过中点坐标，弦长公式转化求解即可．
本题考查椭圆的简单性质的应用，直线与椭圆的位置关系的综合应用，考查转化思想以及计算能力．
13.【答案】解：以线段所在的直线为轴，以线段的垂直平分线为轴，建立直角坐标系，
则由题意，可得、，，，
则圆心在轴上，设，
设要求的圆的方程为，
把点、点的坐标代入，可得，解得，
故要求的圆的方程为．
把点的坐标代入圆的方程，可得，
求得，
故CD的长度为．
【解析】建立坐标系，得到、的坐标，用待定系数法求出圆的标准方程．
把点的坐标代入圆的方程，求出点的横坐标，可得的长度．
本题主要考查求圆的标准方程，直线和圆的位置关系，属于中档题．
14.【答案】解：由题意得，且函数定义域为，
，判断的符号，
由得，由得，由得，
在上单调递增，在上单调递减；
由得在上单调递增，在上单调递减，
当，即时，函数在上单调递增，
，；
当时，函数在上单调递减，
，；
当时，在上单调递增，在上单调递减，
，，
，
若，则，
此时，
若，则，
此时．
综上，当时，，；
当时，，；
当时，，；
当时，，．
【解析】首先求出函数的导数，然后令，解出函数的极值点，最后根据导数判断函数的单调性，从而求解；
由求出的单调区间，对分类讨论，然后根据其单调性求出在区间上的最值；
本题主要考查利用导数研究函数的单调性与最值，考查分两类讨论思想与运算求解能力，属于中档题．
15.【答案】解：因为是自然数，是正整数，且，
所以，
，
，
所以；
一个口袋里有个白球和个红球，
从中任取个，有多少种方法？，
任取的个球中，恰有个红球，有多少种方法？，
任取的个球中，无红球，有多少种方法？，
不难看出，和其实就是任取个球所有出现的可能，所以．
【解析】本题根据组合及组合数的性质，即可推导出公式．
本题考查组合及组合数性质的应用，属于中档题．
16.【答案】解：设点，
因为、分别为直线、的斜率且，
所以，
所以，
所以，
所以，
所以动点的轨迹方程为，
当时，轨迹为双曲线，
当时，轨迹为椭圆．
当时，轨迹的方程为，
设，，
联立，得，
所以，，
，
点到直线的距离，
因为线段的长度为，的面积，
所以，
所以，
所以，即，
，
所以
，
解得，，
所以直线的方程为．
设，，
联立，得，
所以，，
，
点到直线的距离，
因为线段的长度为，的面积，
所以，
所以，
所以，即，
，
所以
，
解得，，
所以直线的方程为．
【解析】设点，则，化简可得轨迹方程，分两种情况：当时，当时，讨论轨迹的形状．
当时，轨迹的方程为，设，，联立直线与椭圆的方程，结合韦达定理可得，，点到直线的距离，由于线段的长度为，的面积，则，即，计算，解得，，即可得出答案．
本题考查轨迹方程，直线与椭圆的相交问题，解题中需要一定的计算能力，属于中档题．
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