2022-2023学年黑龙江省佳木斯重点中学高二（下）调研数学试卷（含解析）

2022-2023学年黑龙江省佳木斯重点中学高二（下）调研数学试卷
一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 函数的单调递增区间为( )
A. B. C. D.
2. 已知是等比数列，若，且，则( )
A. B. C. D.
3. 日常生活中的饮用水是经过净化的，随着水的纯净度的提高，所需净化费用不断增加已知将水净化到纯净度为时所需费用单位：元约为，则净化到纯净度为左右时净化费用的变化率，大约是净化到纯净度为左右时净化费用变化率的( )
A. 倍 B. 倍 C. 倍 D. 倍
4. 函数的图像大致是( )
A. B.
C. D.
5. 设等差数列，的前项和分别是，，若，则( )
A. B. C. D.
6. 若函数在处有极大值，则实数的值为( )
A. B. 或 C. D.
7. 函数若存在，对任意，，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
8. 若函数有两个极值点，，且，则的取值范围为( )
A. B. C. D.
二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）
9. 已知数列的前项和为，则下列说法正确的是( )
A. 是递增数列 B.
C. 当，或时，取得最大值 D.
10. 若一个三位数中十位上的数字比百位上的数字和个位上的数字都大，则称这个数为“凸数”，如、等都是“凸数”，用，，，，这五个数字组成无重复数字的三位数，则( )
A. 组成的三位数的个数为
B. 在组成的三位数中，奇数的个数为
C. 在组成的三位数中，“凸数”的个数为
D. 在组成的三位数中，“凸数”的个数为
11. 关于函数，有如下列结论，其中正确的结论是( )
A. 函数有极小值也有最小值
B. 函数有且只有两个不同的零点
C. 当时，恰有三个实根
D. 若时，，则的最小值为
12. 已知函数的导函数为，则( )
A. 有最小值 B. 有最小值
C. D.
三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13. 若，则的值为______ ．
14. 某数学兴趣小组的名学生负责讲述“宋元数学四大家”秦九韶、李冶、杨辉和朱世杰的故事，每名学生只讲一个数学家的故事，每个数学家的故事都有学生讲述，则不同的分配方案有 种
15. 某同学大学毕业后，决定利用所学专业进行自主创业，经过市场调查，生产一小型电子产品需投入固定成本万元，每生产万件，需另投入流动成本万元，当年产量小于万件时，万元，当年产量不小于万件时，万元已知每件产品售价为元，若该同学生产的产品当年全部售完，该同学的这一产品所获年利润最大值是______ 万元注：年利润年销售收入固定成本流动成本
16. 已知函数，若存在唯一整数，使得成立，则实数的取值范围为______ ．
四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. 本小题分
求下列函数的导数
；
．
18. 本小题分
已知函数在点处的切线斜率为，且在处取得极值．
求函数的解析式；
当时，求函数的最值．
19. 本小题分
数列的前项和为满足，已知．
求；
在；这两个条件中任选一个作为条件，求数列的前项和注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
20. 本小题分
设函数，，其中．
若的图像恒在图像的上方，求的取值范围；
讨论关于的方程根的个数．
21. 本小题分
已知，．
若函数，在上单调递增，求实数的取值范围；
若对任意的，恒成立，求整数的最小值．
22. 本小题分
已知函数．
讨论在上的单调性；
若时，方程有两个不等实根，，求证：．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：函数，，
所以，
令，得，
所以在上，函数单调递减，
在上，函数单调递增，
故选：．
求导得，分析时，的取值范围，即可得出答案．
本题考查导数的综合应用，解题中需要理清思路，属于中档题．
2.【答案】
【解析】解：设等比数列的公比为，
，
，
，解得：，
．
故选：．
由等比数列性质可构造方程求得，根据等比数列通项公式可求得公比，由求得结果．
本题主要考查了等比数列的性质及通项公式的应用，属于基础题．
3.【答案】
【解析】解：因为，
所以，；
则净化到纯净度为左右时净化费用的变化率为，
净化到纯净度为左右时净化费用变化率为，
所以．
故选：．
根据题意对求导数，计算与的比值即可．
本题考查了导数的定义与应用问题，也考查了运算求解能力，是基础题．
4.【答案】
【解析】解：由得得或，排除，，
当，，排除，
故选：．
由得方程两个根，利用极限思想进行排除即可．
本题主要考查函数图像的识别和判断，利用极限思想进行判断是解决本题的关键，是基础题．
5.【答案】
【解析】解：，是等差数列，
，，
，，
．
故选：．
根据，是等差数列，可得，从而即可求出结果．
本题主要考查等差数列的性质，考查学生的逻辑推理和运算求解的能力，属于基础题．
6.【答案】
【解析】解：函数，，
函数在处有极大值，可得，解得或，
当时，，
时，，时，，
故在上单调递减，在上单调递增，在处有极小值，不合题意．
当时，，时，时，
在上单调递增，在上单调递减，在处有极大值，符合题意．
综上可得，．
故选：．
利用函数的导数可得，解出的值之后验证函数在处取得极大值．
本题主要考查了导数与单调性及极值关系的应用，属于中档题．
7.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查分段函数的应用，利用导数研究恒成立问题，属于中档题．
由条件可得，分段函数在上有最大值，再利用导数求函数的最值，结合图象分析即可．
【解答】
解：由题意知，在上有最大值．
由，得，
所以当时，，故在单调递增，
时，，故在上单调递减，
故在上有最大值且，此时．
当时，如图，
，
在上，存在，使得，
在上，，所以在上无最大值，不合题意；
当时，如图所示，
，在上，，
在上，，且能取到，
所以在上有最大值，且最大值为，符合题意，
综上所述的取值范围是．
故选：．

8.【答案】
【解析】解：因为，所以，
若函数有两个极值点，，
则，所以，且，
所以，
令函数，
则在上恒成立，
故在上单调递增，则，
即的取值范围为，
故选：．
首先根据条件可得的取值范围和，表示出的函数解析式，利用导数研究函数的最值可得结果．
本题考查了利用导数研究函数的极值和最值问题，属于中档题．
9.【答案】
【解析】解：根据题意，数列的前项和为，
当时，，
当时，，
故，则是首项为，公差为的等差数列，
由此依次分析选项：
对于，是递减数列，A错误；
对于，，B正确；
对于，，则，故当，或时，取得最大值，C正确；
对于，，D错误；
故选：．
根据题意，求出数列的通项公式，可得数列是等差数列，由此分析选项可得答案．
本题考查数列的求和，涉及等差数列的性质，属于基础题．
10.【答案】
【解析】解：对于，个数组成无重复的三位数的个数为，故A错误；
对于，奇数为个位数是，，的三位数，个数为，故B正确；
对于，“凸数”分为类，十位数为，则有个；十位数为，则有个；
十位数为，则有个，所以共有个，故C错误，D正确．
故选：．
根据位置特殊限制的排列问题和“凸数”的概念分析，结合选项依次求解即可．
本题主要考查排列及简单计数问题，属于基础题．
11.【答案】
【解析】解：由，得，
令，解得：，令，解得：或，
故在区间和区间上单调递减，在区间上单调递增，
而，，
且当时，，当时，，当时，，
画出函数的图像，如图所示：
故的极小值是函数的最小值，故A选项正确；
函数存在个不同的零点，故B选项正确；
当时，只有两个根，故C选项错误；
若时，，则，
所以的最小值为，故D选项正确．
故选：．
求出导函数，由确定函数的单调区间和极值，再由函数的变化趋势，画出函数的大致图像，数形结合，即可求解．
本题考查导数的综合应用，属于中档题．
12.【答案】
【解析】解：由于函数的导函数为，则，
又得其导函数为，
故在定义域为单调递增函数，知无最小值，故B错误；
当时，，，，故；
当时，，，，但是指数函数始终增长的最快，故；
又因为，，
故一定存在，使得，
所以在时为单调递减，在时为单调递增，故在处取得最小值，故A正确；
又在定义域为单调递增函数，可知在为凹函数，
可得，即，故C正确；
令，易知，
，，
令，故在定义域为单调递增函数，
故，
则，故D正确．
故选：．
对选项逐一判断，首先对求导得到，再对进行求导，得出的单调性及零点，即可得出，最值及单调性，即可判断的正误，由的增减性可知的凹凸性，由此可知，的大小，即可判断的正误，再构造，同理可判断的正误．
本题主要考查了导数与单调性，函数性质的综合应用，属于中档题．
13.【答案】
【解析】解：，
，，
化为：，解得．
故答案为：．
利用组合数计算公式解看得出结论．
本题考查了排列与组合数的计算公式、方程的解法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
14.【答案】
【解析】解：根据题意，分步进行分析：
将人分为组，有种分法，
安排组学生分别讲个故事，有种情况，
则有种分配方案；
故答案为：．
根据题意，分步进行分析：将人分为组，安排组学生分别讲个故事，由分步计数原理计算可得答案．
本题考查排列组合的应用，涉及分步计数原理的应用，属于基础题．
15.【答案】
【解析】解：根据题意可得，当时，年利润，
当时，年利润，
所以年利润，
当时，，当且仅当，即时取等号，
当时，年利润，所以，
所以当时，，函数单调递增；当时，，
函数单调递减，所以当时，函数取最大值，
因为，所以当时，函数取最大值．
故答案为：．
根据题意建立函数关系式，写出分段函数的形式，结合函数解析式分别求出函数的最大值，比较即可得到结论．
本题考查分段函数的最值，属于中档题．
16.【答案】
【解析】解：已知，即，
令，，，
则，易知在上单调递增，
又，，所以存在实数，使得，
且当时，，在上单调递减，
当时，，在上单调递增，
所以，又，是过定点的直线，
所以画出函数和的大致图象如图所示，
令，，，
由图可知若存在唯一整数，使得成立，则需，
而，所以，
因为，所以，即实数的取值范围是．
故答案为：．
首先将不等式整理为，分别构造函数与，然后利用导数研究的函数性质并将作出其图象，进而将原问题转化为两函数图像的交点问题，结合函数图象即可求出参数的取值范围．
本题主要考查利用导数研究函数的单调性与最值，考查运算求解能力，属于中档题．
17.【答案】解：，
则．
，
则．
【解析】根据已知条件，结合导数的求导法则，即可求解；
根据已知条件，结合导数的求导法则，即可求解．
本题主要考查导数的求导法则，属于基础题．
18.【答案】解：因为，
所以，
由题意可知，，，，
所以，解得，，，
所以函数的解析式为，经检验适合题意，
所以；
由知，
令，则，解得，或，
当时，；当时，；
所以在和上单调递增，在上单调递减，
当时，取的极大值为，
当时，取得极小值为，
又，，
所以，．
【解析】利用导数的几何意义及点在曲线上，结合函数极值的定义即可求解；
利用导数法求函数的最值的步骤即可求解．
本题主要考查利用导数研究函数的最值与极值，考查方程思想与运算求解能力，属于中档题．
19.【答案】解：由题意，当时，
，，
当时，由，可得，
两式相减可得：，
，又，
数列是以为首项，为公比的等比数列，
；
选：由可得：
，
；
选：由可得，
．
【解析】利用与的关系求得的通项公式；
求出的通项公式，利用分组求和求得．
本题考查根据数列的前项和求通项公式，等比数列的定义与通项公式的应用，错位相减法求和，属中档题．
20.【答案】解：的图像恒在图像的上方在上恒成立的最大值，．
令，．
，
令，，．
，
则函数在上单调递减，
时，，函数单调递增；时，，函数单调递减．
时，函数取得极大值即最大值，，
．
的取值范围是．
由可得：时，，此时关于的方程根的个数为；
时，此时关于的方程根的个数为；
时，此时关于的方程根的个数为；
时，此时关于的方程根的个数为．
【解析】的图像恒在图像的上方在上恒成立的最大值，令，，利用导数研究其单调性与极值即可得出的取值范围．
利用的结论，通过对分类讨论，即可得出关于的方程根的个数．
本题考查了利用导数研究函数的单调性与极值及最值、方程的个数转化为函数图象的交点、转化方法、分类讨论方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
21.【答案】解：函数，，
，
函数在上单调递增，
在上恒成立，
的最大值，
令，，
函数，
，
实数的取值范围是．
对任意的，恒成立，．
令，．
，
令，则在上单调递增．
，，
存在，使得，
函数在上单调递增，在上单调递减，
时，函数取得极大值即最大值，
，
，
，，
整数的最小值为．
【解析】函数，，根据函数在上单调递增，可得在上恒成立，通过分离参数，结合二次函数的单调性即可得出实数的取值范围．
对任意的，恒成立，令，，利用导数研究函数的单调性与极值及最值即可得出结论．
本题考查了利用导数研究函数的单调性与极值及最值、分离参数法、二次函数的单调性、等价转化方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．
22.【答案】解：对函数求导可得，．
因为，所以．
当时，，，所以在上单调递减．
当时，令，则．
若，则，当时，，所以在上单调递增；
若，则，当时，，所以在上单调递减；当时，，所以在上单调递增．
综上，
当时，在上单调递减；
当时，在上单调递增；
当时，在上单调递减，在上单调递增．
证明：方程，即，
因为，则，
令，，所以函数在上单调递增，
因为方程有两个实根，，
令，，则关于的方程也有两个实根，，且，
要证，即证，即证，即证，
由，可得，
不妨设，
即证，
即证，
令，即证，其中，
构造函数，，
所以函数在上单调递增，当时，，
故原不等式成立．
【解析】利用导数，分类讨论函数在区间内的单调性；
令，原不等式即证，通过构造函数法，利用导数通过单调性证明．
本题考查利用导数研究函数的单调性，考查函数零点与方程根的关系，考查分类讨论思想和运算求解能力，属于中档题．
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