平面向量专项练（一）（含解析）

平面向量
一、单选题
1．关于向量，，下列命题中，正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，，则 D．若，则
2．如图，点O为正六边形ABCDEF的中心，下列说法正确的是（ ）
A． B． C．与共线 D．
3．（ ）
A． B． C． D．
4．如图所示，、、分别是的边、、的中点，则（ ）
A． B． C． D．
5．在矩形中，设，，则的模为（ ）
A． B． C．12 D．6
6．在四边形中，，，，则四边形的形状是（ ）
A．梯形 B．菱形
C．平行四边形 D．矩形
7．已知在平行四边形ABCD中，E，F分别是边CD，BC的中点，则（ ）
A． B． C． D．
8．在平行四边形中，是边上中点，则（ ）
A． B． C． D．
9．如图，在梯形ABCD中，，BC＝2AD，DE＝EC，设，，则（ ）

A． B． C． D．
10．在中，是线段上一点，满足是线段的中点，设，则（ ）
A． B．
C． D．
11．如图，点D、E分别AC、BC的中点，设，，F是DE的中点，则（ ）
A． B． C． D．
12．平行四边形ABCD中，点E满足，则（ ）
A． B．-1 C．1 D．
13．若向量，是一组基底，向量，则称为向量在基底，下的坐标．现已知向量在基底，下的坐标为，则向量在另一组基底，下的坐标为（ ）
A． B． C． D．
14．已知向量，，则（ ）.
A． B．
C． D．
15．在平面直角坐标系中，，分别是与轴、轴方向相同的单位向量，已知，，，若与共线，则实数的值为（ ）
A．4 B．1 C．3 D．2
二、填空题
16．已知在四边形ABCD中，，则四边形ABCD的形状是_____.
17．已知向量、、满足关系式，那么可用向量、表示向量______
18．设，是两个不共线的向量，且与共线，则实数______．
19．已知，是两个不共线的向量，，，若与共线，则______.
20．已知平面上不共线的四点O，A，B，C，若，则_____
21．如图，在中，，，直线交于点，若则_________ .

22．已知向量，，若与方向相反，则______．
三、解答题
23．如图，已知点是的重心，若过的重心，且，，，（，），试求的最小值．
24．已知，是两个不共线的向量.
(1)若，，，求证：A，B，D三点共线；
(2)若和共线，求实数的值．
25．已知向量，，.
(1)求；
(2)若，求实数的值.
参考答案：
1．B
对于A选项，若，但、不一定相等，A错；
对于B选项，若，则，B对；
对于C选项，取，则，成立，但、不一定共线，C错；
对于D选项，若，但、不能比较大小，D错.
2．B
对选项A：，错误；
对选项B：，正确；
对选项C：与不共线，错误；
对选项D：向量不能比较大小，错误.
3．B
4．D
因为、、分别是的边、、的中点，则且，
所以，，，
因此，.
5．A
已知在矩形中，，，
因为，
根据勾股定理．，
所以的模为.
故选：A.
6．A
因为，，，
所以.
所以.
所以且，
所以四边形为梯形..
故选：A
7．D
如图所示，由中位线定理和平行四边形的性质得：
，
故选：D
8．C
因为是平行四边形的边上中点，所以，
所以，
所以.
故选：C.
9．D
取BC中点F，连接AF，如图所示，

又因为，，
所以且，
所以四边形为平行四边形，
所以
.
故选：D.
10．B
因为是线段上一点，满足，所以，
又是线段的中点，所以，
所以，
所以，故，
故选：B.
11．C
因为点D、E分别AC、BC的中点，F是DE的中点，
所以 .
即.
故选：C.
12．D
由题意可得：，
即，则.
故选：D.
13．D
由已知条件知,，即，
设，则，所以，
解得：，
向量在基底，下的坐标为：．
故选：D．
14．B
向量，，则，
所以.
故选：B
15．A
解：根据题意，，，；
，；
与共线；
；
解得．
故选：A．
16．平行四边形
由，可知与为相等向量，
∴与方向相同且长度相等，即ABDC，且AB=DC，
又∵ABCD为四边形，
∴四边形ABCD为平行四边形（根据对边平行且相等可知），
故答案为：平行四边形.
17．
因为，所以，，则.
故答案为：.
18．3
因为与共线，
所以存在实数，使得，即，
又因为，是两个不共线的向量,所以有，
解得，所以实数的值为3.
故答案为：3.
19．/
依题意，由与共线，得，而，，
于是，即，又，不共线，
因此，解得，
所以.
故答案为：
20．/
.
则三点共线，且在BA的反向延长线上，如下图所示，则.
故答案为：
21．/0.6
由题可知，三点共线，由共线定理可知，
存在实数使得,
又，所以，
又三点共线，所以，解得，
即可得，所以，
所以，即，可得，
又，即可得.
故答案为：.
22．
23．
∵是的重心，∴是边上的中线，，
∴，
∴，
又∵，（，），∴，，
∴，
又∵，，三点共线，
∴.
又∵，，∴由基本不等式，有
，
当且仅当，即，时，等号成立，
∴的最小值为.
24．(1)证明见解析；
(2)
（1），
又，
，，又，
A，B，D三点共线；
（2）向量和共线，
存在实数使，
又，是不共线，，
解得.
25．(1)
(2)
（1）解：因为，，.
所以，.
（2）解：由已知可得，
，
因为，则，解得.