淮安市 2022~2023学年度第二学期高二年级期末调研测试
数学参考答案
一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5分，共 40 分。
1．A 2．C 3．D 4．B 5．B 6．D 7．C 8．C
二、选择题：本题共 4 小题，每小题 5分，共 20 分。
9．AD 10．AC 11．BD 12．ABD
三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5分，共 20 分。
3 2 1 2 13． 14 11． AB AC AA1 15．120 16．4 3 3 3 4
四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17 n．解：因为 2x y 的展开式中仅有第 4项的二项式系数最大，
根据二项式系数的性质：左右对称且先增后减，所以展开式共有 7项，则 n 6 . …………2分
（1）T C1 52 6 2x y 192x5 y . …………………………………………………………………4分
（2）设 2x y 6 a x6 a x50 1 y a2x4 y2 a y66
令 x y 1得： a0 a1 a2 a6 1 ① ……………………………………………………6分
令 x 1, y 1得： a a 60 1 a2 a3 a6 3 729②…………………………………………8分
由①②得 a0 a2 a4 a6 365，所以展开式的奇数项系数之和为 365 . ……………………10分
18．解：（1）根据农户近 5年种植药材的平均收入情况的统计数据可得：
x 1 (1 2 3 4 1 5) 3， y (59 61 64 68 73) 65 ，
5 5
5 5
所以 xi x yi y 35， xi x 2 10，
i 1 i 1
n
xi x yi y
则 b i 1 35 3.5， a y b x 65 3.5 3 54.5．……………………………3分n
x x 2 10i
i 1
1
设 t x2 ，则 y c dx2 c dt ，所以 t (12 22 32 42 52 ) 11，
5
n
ti t yi y
则 d i 1 217 0.6， c y d t 65 0.6 11 58.4．n
ti t 2 374
i 1
所以，两种模型的回归方程分别为 y 3.5x 54.5， y 0.6x2 58.4 ．………………………6分
1
{#{QQABIYiUggigAhBAAQACQwXQCAOQkgCCCAgGwEAQoEABSQFABAA=}#}
（2）回归方程为 y 3.5x 54.5时，将 x值代入可得估计值分别为 58，61.5，65，68.5，72，
则残差平方和为 (59 58)2 (61 61.5)2 (64 65)2 (68 68.5)2 (73 72)2 3.5 ．…………8分
回归方程为 y 0.6x2 58.4 时，将 x值代入可得估计值分别为 59，60.8，63.8，68，73.4，
则残差平方和为 (59 59)2 (61 60.8)2 (64 63.8)2 (68 68) 2 (73 73.4) 2 0.24 ． ……10分
因为 0.24 3.5，所以回归方程 y 0.6x2 58.4 拟合效果更好，应选择该方程进行拟合．
当 x 6时， y 0.6 62 58.4 80 ，
故预测2023年该农户种植药材的平均收入为80千元，即8万元．………………………………12分
19．解：（1）2×2列联表如下：
有购买意愿 没有购买意愿 合计
男 90 40 130
女 60 10 70
合计 150 50 200
………………………………………2分
提出假设 H0 ：购买西游主题毛绒公仔与学生的性别无关，根据列联表中的数据，可以求得
K 2 200(90 10 60 40)
2 600
6.5934 6.635 ，………………………………………………4分
150 50 130 70 91
因为当 H0 成立时， K
2 ≥ 6.635的概率大于1%，所以没有99%的把握认为购买西游主题毛绒公仔
与学生的性别有关．…………………………………………………………………………………5分
2 2
（2 1 1 C 1 C 2）一次游戏中取出2个红球的概率 p 0 22
3
2 ，…………………………7分3 3 C4 3 C4 9
0,1,2,3 ~ B(3, 2) P( 0) (1 2)3 343 P( 1) C1 2 (1 2)2 98 ， ， ， 3 ，9 9 729 9 9 243
P( 2) C 2 ( 2 2 28 3 )
2 (1 ) ， P( 3) C 33 (
2)3 8 ，
9 9 243 9 729
所以随机变量 的概率分布为
0 1 2 3
343 98 28 8 ………………………………………………11分
P 729 243 243 729
所以 E( ) 0 343 98 1 2 28 8 2 3 .法二： E( ) 2 2 3 . ………………12分
729 243 243 729 3 9 3
20．解：以 DA,DC,DD1 为单位正交基底，建立空间直角坐标系D xyz．
则 A 1,0,0 ,B 1,1,0 ,C 0,1,0 ,D1 0,0,1 BP．因为 ， 0 1 .则 BP BD , , .BD 11
2
{#{QQABIYiUggigAhBAAQACQwXQCAOQkgCCCAgGwEAQoEABSQFABAA=}#}
则 PA BA BP , 1, ， PC BC BP 1, , ．……………………………2分
（1）由 APC为锐角，
zD C1 1
则 cos APC PA PC 0 且 cos APC 1．
PA PC
A1 B
1
则 PA PC 3 2 2 0 P．又 0 1．
2
所以 1．………………………………………4分 D
3 C
y
（2）设平面 APC的法向量 n1 x, y, z ， A B
则 PA n1 0且 AC n1 0，又 PA , 1, ， x
AC 1,1,0 1，所以 x ( 1)y z 0， x y 0．令 x 1，则 y 1， z 2 ．
故平面 PAC 的一个法向量 n 11
1,1,2
． ……………………………………………………6分
ABC n 0,0,1 P AC B
易知平面 的一个法向量 2 ．因为二面角 为 ，则 cos n ,n
2
4 1 2
，
2
2 1 2 2 2 0 1 2 2所以 ，解得 ．因为 ，则 ．…………………9分
2 2 2
2 2 1
2
则平面 APC的一个法向量 n1 1,1, 2 ，又 B1 1,1,1 ，则向量 AB1 0,1,1 ，
AB1 n1 2 1
所以点 B1到平面 PAC 的距离 d ．……………………………………………12分n 21
21．解：（1）当 x 2时， x2 2mx 0，即 x x 2m 0．
当m 0时， 2m x 0．当m 0时，不等式无解．
当m 0时，若m≤1， 0 x 2m，若m 1， 0 x 2． ……………………………………3分
所以当m 0时，不等式的解集为 2m,0 ；当m 0时，不等式的解集为 ；当 0 m 1时，不等
式的解集为 0，2m ；当m 1时，不等式的解集为 0，2 ．………………………………………4分
2 x 2 f x m x 4 m 4（ ）①当 时， 2 x 2
．
2 x x 2
又 x 2 0，则 x 4 2 4，当且仅当 x 4取等号．
x 2
3
{#{QQABIYiUggigAhBAAQACQwXQCAOQkgCCCAgGwEAQoEABSQFABAA=}#}
所以 f x m 2 4 m 6 3．m 9．………………………………………………6分max
若m 9时，当 x 2时， f x x2 2mx x2 18x.此时 f (x)max f (2) 32 3，
所以m 9不满足题意，舍去．………………………………………………………………8分
②当 x 2时， f (x) x2 2mx的对称轴为 x m
当m 2时， f (x)max f m m 2 3，m 3．………………………………………10分
7
当m 2时， f (x)在 ，2 时增函数， f (x)max f 2 4m 4 3，即m （舍去）．4
若m 3．当 x 2时， f x max m 6 3 6 3，满足题意．
综上m 3时， f x 的最大值为 3．………………………………………………………12分
22 1 1 1 1 1．解：（1）因为甲投入壶口概率为 ，投入壶耳概率为 ，所以甲未投中的概率为1 ，
3 6 3 6 2
1 1 1 1 11
设事件 A为甲投壶 3次得分为 3分，则 P(A) ( )3 A33 ．……………………4分3 3 6 2 54
（2）设乙投壶 n次时得分为 8分的概率为 P(n)，设投壶 n次中投入壶口 x次，投入壶耳 y次，
x y n x 2n 8
则 ，所以 ，则 P(n) C 2n 8(
2)2n 8(1 )8 nn ，………………………………8分
x 2y 8 y 8 n 3 3
C 2n 8 (2)2n 8 (1)8 n ≥C 2n 6 2 2n 6 1 7 n
P(n)≥P(n 1) n n 1 ( ) ( ) 23 3 3 3 8n 53n 47≥0
所以 ，即 ，整理得 ，
P(n)≥P(n 1) 2 C 2n 8 (2)2n 8 (1)8 n C 2n 10 (2)2n 10 (1)9 n 8n 69n 108≤0n ≥ 3 3 n 1 3 3
结合 n N 可得 n 6，所以乙投壶6次时，得分为8分的概率最大．…………………………12分
法二：设乙投壶 n次时得分为 8分的概率为 P(n)，设投壶 n次中投入壶口 x次，投入壶耳 y次，
x y n x 2n 8
则 ，所以 ，
x 2y 8
y 8 n
x 2n 8≥0
由 可得 4≤ n≤8且 n N ，所以 n 4,5,6,7,8．………………………………8分
y 8 n≥0
因为 P(n) C 2n 8( 2)2n 8(1)8 n n 4 P(4) (1 81 n ，当 时， )
4 ；
3 3 3 38
2 1 40 1080 2 1 240 2160
当 n 5时， P(5) C 2 ( )2 ( )3 4 4 25 3 3 35
8 ；当 n 6时， P(6) C6 ( ) ( ) 3 3 3 36
8 ；3
n 7 2 1 448 1344 2 256当 时， P(7) C 67 ( )
6 7 8 ；当 n 8时， P(8) C
8
8 ( )
8 ；
3 3 3 3 3 38
所以当 n 6时， P(n)取得最大值，即乙投壶 6 次时，得分为 8分的概率最大．…………12分
4
{#{QQABIYiUggigAhBAAQACQwXQCAOQkgCCCAgGwEAQoEABSQFABAA=}#}淮安市 2022~2023 学年度第二学期高二年级期末调研测试
数学试卷 2023.6
总分：150 分 时间：120 分钟
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，
用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试
卷上无效。
3．考试结束后，将答题卡交回。
一、选择题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的。
1．已知集合M = x x +1 2 ， N = x a x 1 ，若M N ，则实数 a的取值范围是（ ）
A． ( , 3 B． ( , 3) C． 3,1) D． ( 3,1)
1
2．已知直线 l 的方向向量 e = (1, 1, 2)，平面 的法向量 n = , ,1 ，若 l ⊥ ，则 =（ ）
2
5 1 1 5
A． B． C． D．
2 2 2 2
3．从 4 名男生和 2 名女生中任选 3 人参加演讲比赛，所选 3 人中至少有 1 名女生的概率是（ ）
1 2 3 4
A． B． C． D．
5 5 5 5
2
4．若 x 0 ，y 0 ，称 a = xy 是 x, y 的几何平均数，b = 是 x, y 的调和平均数，则“ a 3 ”
1 1
+
x y
是 “b 3”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
5．我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化．每一“重卦”由从下到上排列的
6 个爻组成，爻分为阳爻“——”和阴爻“— —”，如图就是一重卦．在所有重卦
中随机取一重卦，则该重卦恰有 2 个阳爻且 2 个阳爻不相邻的概率是（ ）
1 5 5 2
A． B． C． D．
72 32 16 3
1
{#{QQABIYiUggigAhBAAQACQwXQCAOQkgCCCAgGwEAQoEABSQFABAA=}#}
6．已知四棱锥 P ABCD 的底面为正方形，PA⊥平面 ABCD，PA = AB =1，点 E 是 BC 的中点，
则点 E 到直线 PD的距离是（ ）
5 5 2 3 2
A． B． C． D．
4 2 2 4
7．某中学举行夏季运动会，共有 3 类比赛 9 个项目：集体赛 2 项，田赛 3 项，径赛 4 项．要求
参赛者每人至多报 3 项，且集体赛至少报 1 项，则每人有（ ）种报名方式
A．49 B．64 C．66 D．73
1 5 1
8．设 A, B 是一个随机试验中的两个事件，且 P(B) = ， P(B | A) = ， P(B | A) = ，则（ ）
3 6 2
1 1
A． P(A) = B． P(AB) =
3 6
3 1
C． P(A + B) = D． P(A | B) =
4 4
二、选择题：本题共 4小题，每小题 5分，共 20 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目
要求。全部选对的得 5分，部分选对的得 2分，有选错的得 0分。
9．若 a b c 0 ，则下列不等式中正确的有（ ）
c c
A． a + b 0 B．
a b
b b + c 1 1
C． D． a + b +
a a + c b a
10．右图是某小卖部 5 天卖出热茶的杯数（单位：杯）与当天气温（单位： C ）的散点图，若去
掉 B(7,35)后，下列说法正确的有（ ）
A．决定系数 R2 变大
B．变量 x 与 y 的相关性变弱
C．相关系数 r 的绝对值变大
D．当气温为 11 C 时，卖出热茶的杯数估计为 35 杯
11．有甲、乙、丙等 5 名同学聚会，下列说法正确的有（ ）
A．5 名同学每两人握手 1 次，共握手 20 次
B．5 名同学相互赠送祝福卡片，共需要卡片 20 张
C．5 名同学围成一圈做游戏，有 120 种排法
D．5 名同学站成一排拍照，甲、乙相邻，且丙不站正中间，有 40 种排法
2
{#{QQABIYiUggigAhBAAQACQwXQCAOQkgCCCAgGwEAQoEABSQFABAA=}#}
12．在正四棱锥 P ABCD 中，AB = 2 ，PA = 3 ，点Q满足 PQ = PA+ xAB + yAD ，其中 x [0,1]，
y [0,1]，则下列结论正确的有（ ）
A． PQ 的最小值是 2
B．当 x =1时，三棱锥 P ADQ的体积为定值
π
C．当 x = y 时， PB 与 PQ所成角可能为
6
30
D．当 x + y =1时， AB 与平面 PAQ 所成角正弦值的最大值为
6
三、填空题：本题共 4小题，每小题 5分，共 20 分。
1
13．随机变量 X ~ N (5, 2 ) ， P(X 3) = ，则 P(3 X 7) = ．
8
14．在三棱柱 ABC A1B1C1 中，点M 在线段CB1 上，且CM = 2MB1 ，若以 AB, AC, AA1 为基底表
示 AM ，则 AM = ．
2 3 9
15．已知 x 1，且 x 0，则 (1+ x) + (1+ x) + (1+ x) + + (1+ x) 的展开式中 x2 项的系数
是 ．（用数字作答）
3
16．已知随机变量 的概率分布列如下表所示，当 E( ) = 时， D(2 +1) = ．
4
0 1 2
1
P a b
2
四、解答题：本题共 6小题，共 70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（本小题满分 10 分）
n
已知 (2x y) 的展开式中仅有第 4 项的二项式系数最大．
（1）求展开式的第 2 项；
（2）求展开式的奇数项系数之和．
3
{#{QQABIYiUggigAhBAAQACQwXQCAOQkgCCCAgGwEAQoEABSQFABAA=}#}
18．（本小题满分 12 分）
某乡政府为提高当地农民收入，指导农民种植药材，取得较好的效果．以下是某农户近 5 年
种植药材的平均收入的统计数据：
年份 2018 2019 2020 2021 2022
年份代码 x 1 2 3 4 5
平均收入 y（千元） 59 61 64 68 73
（1）根据表中数据，现有 y = a + bx 与 y = c + dx2 两种模型可以拟合 y 与 x 之间的关系，请
分别求出两种模型的回归方程；（结果保留一位小数）
（2）统计学中常通过比较残差的平方和来比较两个模型的拟合效果，请根据残差平方和说
明上述两个方程哪一个拟合效果更好，并据此预测 2023 年该农户种植药材的平均收入．
n n
2
参考数据及公式： (ti t )( yi y ) = 217 ， (ti t ) = 374，其中 ti = x
2
i ．
i=1 i=1
n
(xi x )( yi y )
b = i=1 ， a = y b x ．
n
2
(xi x )
i=1
19．（本小题满分 12 分）
淮安西游乐园推出的西游主题毛绒公仔，具有造型逼真可爱、触感柔软等特点，深受学生喜
爱．某调查机构在参观西游乐园的游客中随机抽取了 200 名学生，对是否有购买西游主题毛绒公
仔的意愿进行调查，得到以下的 2×2 列联表：
有购买意愿 没有购买意愿 合计
男 40
女 60
合计 50
（1）完成上述 2×2 列联表，根据以上数据，判断是否有 99%的把握认为购买西游主题毛绒
公仔与学生的性别有关？
（2）某文创商店为了宣传推广西游主题毛绒公仔产品，设计了一个游戏：在三个外观大小
都一样的袋子中，分别放大小相同的 1 个红球和 3 个蓝球，2 个红球和 2 个蓝球，以及 3 个红球
和 1 个蓝球．游客可以从三个袋子中任选一个，再从中任取 2 个球，若取出 2 个红球，则可以获
赠一套西游主题毛绒公仔．现有 3 名同学参加该游戏， 表示 3 名同学中获赠一套毛绒公仔的人
数，求随机变量 的概率分布及数学期望．
2 2
2 n(ad bc) P(K k) 0.050 0.010 0.001 附：K = ，其中 n = a + b + c + d ．
(a + b)(c + d )(a + c)(b + d ) k 3.841 6.635 10.828
4
{#{QQABIYiUggigAhBAAQACQwXQCAOQkgCCCAgGwEAQoEABSQFABAA=}#}
20．（本小题满分 12 分）
BP
如图，正方体 ABCD A1B1C1D1 的棱长为 1，点 P 是对角线 BD1 上异于 B ，D1的点，记 = ．
BD1
（1）当 APC 为锐角时，求实数 的取值范围； D1 C1
（2）当二面角 P AC B的大小为 时，求点 B1到平面 A1 B
4 1
P
PAC 的距离．
D
C
A B
21．（本小题满分 12 分）
x2 + 2mx, x≤2
已知函数 f (x) = 4 ，m R ．
m x + , x 2
2 x
（1）当 x≤ 2时，求 f (x) 0 的解集；
（2）若 f (x)的最大值为 3，求m 的值．
22．（本小题满分 12 分）
投壶是从先秦延续至清末的中国传统礼仪和宴饮游戏．晋代在广泛开展投壶活动中，对投壶
的壶也有所改进，即在壶口两旁增添两耳，因此在投壶的花式上就多了许多名目，如“贯耳（投
入壶耳）”等．现有甲、乙两人进行投壶游戏，规定投入壶口一次得 1 分，投入壶耳一次得 2 分，
1 1
其余情况不得分．已知甲投入壶口的概率为 ，投入壶耳的概率为 ；
3 6
2 1
乙投入壶口的概率为 ，投入壶耳的概率为 ．假设甲乙两人每次投
3 3
壶是否投中相互独立．
（1）求甲投壶 3 次得分为 3 分的概率；
（2）求乙投壶多少次，得分为 8 分的概率最大．
5
{#{QQABIYiUggigAhBAAQACQwXQCAOQkgCCCAgGwEAQoEABSQFABAA=}#}
