天津市东丽区2022-2023学年高二下学期数学期末复习模拟练习（含解析）

天津市东丽区2022-2023学年高二下学期数学期末复习练习
一、单选题(共9题；共45分)
1．（5分）已知集合，则（　　）
A．{0} B．{1} C．{0，1} D．{0，1，2}
2．（5分）若 的展开式中 的系数为150，则 （　　）
A．20 B．15 C．10 D．25
3．（5分） 的定义域为 ， ， ，则（　　）
A． B． C． D．
4．（5分）若非空集合 ， ， 满足 ，且 不是 的子集， 则“ ”是“ ”的（　　）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
5．（5分）若命题p为： 为（　　）
A． B．
C． D．
6．（5分）易经是中国传统文化中的精髓，如图所示的是易经八卦(含乾 坤 巽 震 坎 离 艮 兑八卦)，每一卦由三根线组成(“——”表示一根阳线，“— —”表示一根阴线).现从八卦中任取两卦，这两卦的六根线中至少有两根阳线的概率为（　　）
A． B． C． D．
7．（5分）10件产品中有2件次品，现任取 件，若2件次品全部被抽中的概率超过0.4，则 的最小值为（　　）
A． 6 B．7 C．8 D．9
8．（5分）给出下列说法：
①回归直线 恒过样本点的中心 ，且至少过一个样本点；②两个变量相关性越强，则相关系数 就越接近1；③某7个数的平均数为4，方差为2，现加入一个新数据4，此时这8个数的方差 ；④在回归直线方程 中，当解释变量 增加一个单位时，预报变量 平均减少0.5个单位.
其中说法正确的是（　　）
A．①②④ B．②③④ C．①③④ D．②④
9．（5分）已知函数 ，其定义域是 ，则下列说法正确的是（　　）
A． 有最大值 ，无最小值 B． 有最大值 ，最小值
C． 有最大值 ，无最小值 D． 有最大值2，最小值
二、填空题(共6题；共30分)
10．（5分）（1﹣2x）5的二项展开式中各项系数的绝对值之和为　 　．
11．（5分）对于数列 ，定义数列 为数列 的“差数列”，若 ， 的“差数列”的通项公式为 ，则 　 　.
12．（5分）现有5人参加抽奖活动，每人依次从装有5张奖票（其中3张为中奖票）的箱子中不放回地随机抽取一张，直到3张中奖票都被抽出时活动结束，则活动恰好在第4人抽完后结束的概率为　 　．
13．（5分）已知曲线 的一条切线为 ，则 　 　.
14．（5分）某工厂生产的产品的质量指标服从正态分布．质量指标介于99至101之间的产品为良品，为使这种产品的良品率达到，则需调整生产工艺，使得至多为　 　．(若，则)
15．（5分）设 ，则 的最小值为　 　.
三、解答题(共5题；共75分)
16．（15分）已知函数 .
（1）（7分）若 ，且 在 上存在零点，求实数a的取值范围；
（2）（8分）若对任意 ，存在 使 ，求实数b的取值范围.
17．（12分）某闯关游戏规则是：先后掷两枚骰子，将此试验重复n轮，第n轮的点数分别记为xn，yn，如果点数满足xn＜ ，则认为第n轮闯关成功，否则进行下一轮投掷，直到闯关成功，游戏结束．
（I）求第一轮闯关成功的概率；
（Ⅱ）如果第i轮闯关成功所获的奖金数f（i）=10000× （单位：元），求某人闯关获得奖金不超过1250元的概率；
（Ⅲ）如果游戏只进行到第四轮，第四轮后不论游戏成功与否，都终止游戏，记进行的轮数为随机变量X，求x的分布列和数学期望．
18．（12分）某厂用鲜牛奶在某台设备上生产两种奶制品．生产1吨A产品需鲜牛奶2吨，使用设备1小时，获利1000元；生产1吨B产品需鲜牛奶1.5吨，使用设备1.5小时，获利1200元．要求每天B产品的产量不超过A产品产量的2倍，设备每天生产两种产品时间之和不超过12小时. 假定每天可获取的鲜牛奶数量W（单位：吨）是一个随机变量，其分布列为
（Ⅰ）求Z的分布列和均值；该厂每天根据获取的鲜牛奶数量安排生产，使其获利最大，因此每天的最大获利Z（单位：元）是一个随机变量．
（Ⅱ） 若每天可获取的鲜牛奶数量相互独立，求3天中至少有1天的最大获利超过10000元的概率．
19．（18分）在数列{an}中，a1=2，an+1=4an﹣3n+1，n∈N*．
（1）（6分）证明数列{an﹣n}是等比数列；
（2）（6分）求数列{an}的前n项和Sn；
（3）（6分）证明不等式Sn+1≤4Sn，对任意n∈N*皆成立．
20．（18分）已知函数 .
（1）（6分）若 ，求函数 的最小值；
（2）（6分）若 对于任意 恒成立，求 的取值范围；
（3）（6分）若 ，求函数 的最小值.
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】交集及其运算
【解析】【分析】根据交集的运算规律知.故选C.
2．【答案】C
【知识点】二项式定理
【解析】【解答】由已知得 ，
故当 时， ，
于是有 ，
则 .
故答案为：C
【分析】通过二项式展开式的通项分析得到 ，即得解.
3．【答案】A
【知识点】函数的定义域及其求法；指数函数的单调性与特殊点；对数函数的单调性与特殊点
【解析】【解答】 满足 ，即 ，故 ，
， ，故 .
故答案为： .
【分析】根据定义域计算得到 ， ， ，得到答案.
4．【答案】B
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断
【解析】【解答】因为A∪B=C，所以“x∈A” “x∈C”；
反之，若“x∈C”，即“x∈A∪B”因为B不是A的子集，故不能得到x∈A，
所以“x∈C”是“x∈A”的必要但不充分条件．
故答案为：B．
【分析】本题主要考查充要条件的判断，由A∪B=C可得“x∈A” “x∈C”，又若“x∈C”，即“x∈A∪B”因为B不是A的子集，故不能得到x∈A，从而可判断出结果。
5．【答案】C
【知识点】命题的否定
【解析】【解答】根据 的构成方法得， 为 .
故答案为：C.
【分析】利用全称命题的否定是特称命题，即可得到.
6．【答案】B
【知识点】古典概型及其概率计算公式
【解析】【解答】从八卦中任取两卦，共有种取法，若从八卦中任取两卦，这两卦的六根线中只有一根阳线，则应取坤卦，再从震 艮 坎三卦中取一卦，有种取法.所以所求的概率为.
故答案为：B.
【分析】从八卦中取两卦，共有种方法，取出任取两卦，这两卦的六根线中只有一根阳线，再从震 艮 坎三卦中取一卦，再根据古典概型的概率公式求解，可得答案.
7．【答案】B
【知识点】一元二次不等式的解法；排列、组合及简单计数问题
【解析】【解答】根据题意得 ，
所以 ，
所以 ，
所以 ，
所以 ，
所以 的最小值为7.
故答案为：B
【分析】根据题意得 ，然后利用组合数公式即可求解.
8．【答案】B
【知识点】众数、中位数、平均数；极差、方差与标准差；线性回归方程；相关系数
【解析】【解答】解:对于①中，回归直线 恒过样本点的中心 ，但不一定过一个样本点，所以不正确；
对于②中，根据相关系数的意义，可得两个变量相关性越强，则相关系数 就越接近1，所以是正确的；
对于③中，根据平均数的计算公式可得 ,根据方差的计算公式 ，所以是正确的；
对于④中，根据回归系数的含义，可得在回归直线方程 中，当解释变量 增加一个单位时，预报变量 平均减少0.5个单位，所以是正确的.
故答案为：B
【分析】由线性回归方程的特点可判断 ①；由两个变量相关性越强，则相关系数就越接近1，可判断 ② ；由平均数、方差的性质计算可判断 ③ ；由线性回归方程中x的系数，可判断 ④
9．【答案】A
【知识点】函数的值域
【解析】【解答】 ,故 是以 为对称中心,在对称点左下和右上单调递减的分式函数.故 在 上单调递减,所以 有最大值 ，无最小值.即 有最大值 ，无最小值.
故答案为： A.
【分析】 是分式类函数,故考虑分离常数进行分析.
10．【答案】243
【知识点】二项式系数的性质
【解析】【解答】解：令x=﹣1，可得：（1﹣2x）5的二项展开式中各项系数的绝对值之和为=35=243．
故答案为：243．
【分析】令x=﹣1代入即可得出．
11．【答案】
【知识点】数列的概念及简单表示法；等比数列的前n项和；数列递推式
【解析】【解答】∵，
∴ ， ， ， ，
，
各项累和得： ，
∴ 。
故答案为： 。
【分析】利用定义数列 为数列 的“差数列”， 又∵，∴ ， ， ， ， ，各项累加结合等比数列的前n项和公式，从而求出数列 的通项公式。
12．【答案】
【知识点】古典概型及其概率计算公式
【解析】【解答】解：将5张奖票不放回地依次取出共有A55=120种不同的取法，
若活动恰好在第四次抽奖结束，则前三次共抽到2张中奖票，第四次抽到最后一张中奖票．共有3A32A21=36种取法，
故活动恰好在第4人抽完后结束的概率为 = ，
故答案为：
【分析】分别计算奖票的所有排列情况和第四次活动结束的抽取方法即可．
13．【答案】2
【知识点】利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【解答】由 ，得： ，
设切点为 ，则 ，
即 ，即 ，
所以 。
故答案为：2。
【分析】设切点为 ，利用求导的方法求出曲线在切点处的切线的斜率，再结合点斜式求出曲线在切点处的切线方程，再利用已知条件曲线 的一条切线为 ，从而求出a，b的值，进而求出a-b的值。
14．【答案】
【知识点】正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义
【解析】【解答】依题可知，，再根据题意以及正态曲线的特征可知，的解集，
由可得，，
所以，解得：，故σ至多为．
故答案为：．
【分析】根据题意以及正态曲线的特征可知，的解集，即可根据集合的包含关系列出不等式组，从而得解．
15．【答案】
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用
【解析】 【解答】∵
∴
即 ，
∴
当且仅当 时，即当 时，等号成立。
∴ 的最小值为 。
故答案为：
【分析】本题考查基本不等式的应用，注意基本不等式的使用条件，并注意检验等号成立的条件。
16．【答案】（1）解：当 时， 在 上有解，
当 时， ，即 ，
令 ， ；
由 可得 或 ，
由 可得 或 ，
所以 在 和 上单调递增，在 和 上单调递减，
当 时， ，当 时， ，
所以 的值域为 ，
所以 的值域为 ，
所以
（2）解：由 得 ，即 ，
令 ，则 的对称轴为 ，
当 时， ，
所以当 时， 的最小值为 ，
又因为对任意的 恒成立，
所以 ，
所以 ，
所以实数b的取值范围为 .
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值
【解析】【分析】（1）由b=1时，，当x≠0时，可得，实数a的取值范围即为的值域，令对其求导判断单调性，求出的值域，进而可计算的值域，即可求解；
（2）由 得 ，即 ，令 ，则 的对称轴为 ，由 得 ，所以 在 上最小值为 ，再由 得 ，即可求得实数b的取值范围.
17．【答案】解：（Ⅰ），当y1=6时，y1＜ ，因此x1=1，2；
当y1=5时，y1＜ ，因此x1=1，2；
当y1=4时，y1＜ ，因此x1=1，2；
当y1=3时，y1＜ ，因此x1=1；
当y1=2时，y1＜ 因此x1=1；
当y1=1时，y1＜ ，因此x1无值；
∴第一轮闯关成功的概率P（A）= ．
（Ⅱ）令金数f（i）=10000× ≤1250，则i≥3，
由（Ⅰ）每轮过关的概率为 ．
某人闯关获得奖金不超过1250元的概率
：P（i≥3）=1﹣P（i=1）﹣P（i=2）=1﹣ ﹣（1﹣ ）× =
（Ⅲ）依题意X的可能取值为1，2，3，4
设游戏第k轮后终止的概率为pk（k=1，2，3，4）
p1= ．p2=（1﹣ ）× = ，p3=（1﹣ ）2× = ，p4=1﹣p2﹣p3= ；
故X的分布列为
X 1 2 3 4
P
因此EX=1× +2× +3× +4× =
【知识点】离散型随机变量的期望与方差
【解析】【分析】（Ⅰ）枚举法列出所有满足条件的数对（x1，y1）即可，（Ⅱ）由10000× ≤1250，得i≥3，由（Ⅰ）每轮过关的概率为 ．某人闯关获得奖金不超过1250元的概率：P（i≥3）=1﹣P（i=1）﹣P（i=2）（Ⅲ）设游戏第k轮后终止的概率为pk（k=1，2，3，4），分别求出相应的概率，由能求出X的分布列和数学期望．
18．【答案】（Ⅰ）Z的分布列为：
X 8160 10200 10800
P 0.3 0.5 0.2
；（Ⅱ）0.973.
【知识点】简单线性规划的应用；离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差；二项分布与n次独立重复试验的模型
【解析】【解答】设每天两种产品的生产数量分别为,相应的获利为Z,
则有

目标函数为.当时，（1）表示的平面区域如图1，三个顶点分别为。将变形为，当时，直线:在轴上的截距最大，最大获利.当时，（1）表示的平面区域如图2，三个顶点分别为.将变形为，当时，直线在轴上的截距最大，最大获利.当时，（1）表示的平面区域如图3，四个顶点分别为.将变形为，当时，直线:在轴上的截距最大，最大获利.故最大获利Z的分布列为
X 8160 10200 10800
P 0.3 0.5 0.2
因此，.
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，一天最大获利超过10000元的概率,有二项分布，3天中至少有1天最大获利超过10000元的概率为.
【分析】二项分布是高中概率中最重要的概率分布模型，是近年高考非常重要的一个考点.独立重复试验是相互独立事件的特例(概率公式也是如此)，就像对立事件是互斥事件的特例一样，只要有“恰好”字样的用独立重复试验的概率公式计算更简单，就像有“至少”或“至多”字样的题用对立事件的概率公式计算更简单一样．
19．【答案】（1）证明：由题设an+1=4an﹣3n+1，得an+1﹣（n+1）=4（an﹣n），n∈N*．
又a1﹣1=1，所以数列{an﹣n}是首项为1，且公比为4的等比数列．
（2）解：由（1）可知an﹣n=4n﹣1，于是数列{an}的通项公式为an=4n﹣1+n．
所以数列{an}的前n项和 ．
（3）证明：对任意的n∈N*， = ．
所以不等式Sn+1≤4Sn，对任意n∈N*皆成立．
【知识点】等比关系的确定；数列的求和；等比数列的性质
【解析】【分析】（1）整理题设an+1=4an﹣3n+1得an+1﹣（n+1）=4（an﹣n），进而可推断数列{an﹣n}是等比数列．（2）由（1）可数列{an﹣n}的通项公式，进而可得{an}的通项公式根据等比和等差数列的求和公式，求得Sn．（3）把（2）中求得的Sn代入Sn+1﹣4Sn整理后根据 证明原式．
20．【答案】（1）解：因为 ，所以 ，
所以当 时， 的最小值为1
（2）解：因为 对任意 恒成立，
所以 对任意 恒成立，
所以 ，
即 对任意 恒成立，
所以 ，解得： ，
所以
（3）解： ，
图象分别是以 和 为项点的
开口向上的V型线，且两条射线的斜率为 ，
当 时，即 ，所以 ，
此时令 ，所以 .
若 ， ，此时 恒成立，
所以 ，此时 为图中红色部分图象，
对应如下图：
若 ，令 ，
即 ，所以 .
所以 ，
此时 为图中红色部分图象，对应如下图：
当 时，即 ，所以 ，
此时令 ，所以 ，
若 时， ，令 ，
即 ，所以 ，
所以 ，
此时 为图中红色部分图象，对应如下图：
若 时， ，此时 恒成立，
所以 ，此时 为图中红色部分图象，
对应如下图：
当 时，则 ，所以 ，所以 恒成立，
令 ，即 ，所以 ，
当 时， ，
若 时，则 ，
所以 ，此时 为图中红色部分图象，
对应如下图：
若 时，则 ，
所以 ，此时 为图中红色部分图象，
对应如下图：
若 ，则 ，
所以 ，此时 为图中红色部分图象，
对应如下图：
综上所述： 的最小值为
【知识点】函数的最值及其几何意义；函数恒成立问题
【解析】【分析】（1） 时 ，当 时取得最小值（2）将不等式 平方得 ，然后只需求出左边的最小值即可（3） 图象分别是以 和 为项点的开口向上的V型线，且两条射线的斜率为 ，然后分7种情况讨论这两个函数的位置关系.