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21.2.2《公式法》
分层练习
考查题型一 根据判别式判断一元二次方程根的情况
1．（2022·湖南郴州·统考中考真题）一元二次方程的根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．只有一个实数根 D．没有实数根
2．（2022·辽宁抚顺·统考中考真题）下列一元二次方程无实数根的是（ ）
A． B．
C． D．
3．（2022·广西梧州·统考中考真题）一元二次方程的根的情况（ ）
A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．没有实数根 D．无法确定
4．（2022·湖南怀化·统考中考真题）下列一元二次方程有实数解的是（ ）
A．2x2﹣x+1＝0 B．x2﹣2x+2＝0 C．x2+3x﹣2＝0 D．x2+2＝0
考查题型二 用公式法解方程
1．（2022秋·青海西宁·九年级校考期中）解方程：（公式法）
2．（2022秋·四川广安·九年级统考阶段练习）解方程：．
3．用公式法解下列方程：．
4．（2023秋·湖北十堰·九年级统考期末）解方程：．（用求根公式法）
考查题型三 根据一元二次方程根的情况求参数
1．（2019·北京·统考模拟预测）已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根．
(1)求的取值范围；
(2)当为正整数时，求方程的根．
2．（2023·北京海淀·首都师范大学附属中学校考一模）已知关于的一元二次方程．
(1)求证：方程总有两个实数根；
(2)若方程有一个根小于，求的取值范围．
3．（2022·湖北十堰·统考一模）已知关于的一元二次方程．
(1)求证：方程总有两个实数根；
(2)若该方程有一实数根大于3，求的取值范围．
4．（2022·北京丰台·统考一模）已知关于x的一元二次方程x2﹣（m+2）x+m+1＝0．
(1)求证：该方程总有两个实数根；
(2)若该方程的两个实数根互为相反数，求m的值．
1．（2021秋·新疆乌鲁木齐·九年级校考期中）已知：关于x的一元二次方程
(1)已知x=2是方程的一个根，求m的值；
(2)以这个方程的两个实数根作为△ABC中AB、AC（AB
2．定义：我们把关于的一元二次方程与（，）称为一对“友好方程”．如的“友好方程”是．
（1）写出一元二次方程的“友好方程”_______．
（2）已知一元二次方程的两根为，，它的“友好方程”的两根、________．根据以上结论，猜想的两根、与其“友好方程”的两根、之间存在的一种特殊关系为________，证明你的结论．
（3）已知关于的方程的两根是，．请利用（2）中的结论，求出关于的方程的两根．
3．已知关于x的方程（k+1）x2+（3k﹣1）x+2k﹣2＝0
（1）求证：无论k取何值，此方程总有实数根；
（2）若此方程有两个整数根，求正整数k的值；
（3）若一元二次方程（k+1）x2+（3k﹣1）x+2k﹣2＝0满足|x1﹣x2|＝3，求k的值．
4．如图1，四边形ACDE是美国第二十任总统伽菲尔德验证勾股定理时用到的一个图形，a，b，c是Rt△ABC和Rt△BED边长，易知AE=，这时我们把关于x的形如的一元二次方程称为“勾系一元二次方程”．
请解决下列问题：
（1）判断方程是否是 “勾系一元二次方程”；并说明理由．
（2）求证：关于的“勾系一元二次方程” 必有实数根；
（3）如图2，已知AB、CD是半径为5的⊙O的两条平行弦，AB=2a，CD=2b，a≠b，关于x的方程是“勾系一元二次方程”，求∠BAC的度数
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21.2.2《公式法》
分层练习
考查题型一 根据判别式判断一元二次方程根的情况
1．（2022·湖南郴州·统考中考真题）一元二次方程的根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．只有一个实数根 D．没有实数根
【答案】A
【分析】根据即可判断．
【详解】解：，，，
，
一元二次方程有两个不相等的实数根．
故选：A．
【点睛】本题主要考查利用判别式来判断一元二次方程根的个数：当时，方程有两个不相等的实数根； 当时，方程有两个相等的实数根； 当时，方程无实数根，掌握利用判别式判断方程根的方法是解题的关键．
2．（2022·辽宁抚顺·统考中考真题）下列一元二次方程无实数根的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】利用一元二次方程根的判别式判断即可；
【详解】解：A．，方程有两个不等的实数根，不符合题意；
B．，方程有两个不等的实数根，不符合题意；
C．，方程没有实数根，符合题意；
D．，方程有两个相等的实数根，不符合题意；
故选： C．
【点睛】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c（a≠0）根的判别式△=b2-4ac：△＞0时方程有两个不等的实数根；△=0时方程有两个相等的实数根；△＜0时方程没有实数根．
3．（2022·广西梧州·统考中考真题）一元二次方程的根的情况（ ）
A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．没有实数根 D．无法确定
【答案】B
【分析】根据判别式即可判断求解．
【详解】解：由题意可知：，
∴，
∴方程有两个不相等的实数根，
故选：B．
【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根．
4．（2022·湖南怀化·统考中考真题）下列一元二次方程有实数解的是（ ）
A．2x2﹣x+1＝0 B．x2﹣2x+2＝0 C．x2+3x﹣2＝0 D．x2+2＝0
【答案】C
【分析】判断一元二次方程实数根的情况用根的判别式进行判断．
【详解】A选项中，，故方程无实数根；
B选项中，，故方程无实数根；
C选项中，，故方程有两个不相等的实数根；
D选项中，，故方程无实数根；
故选C．
【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，熟练掌握一元二次方程实数根情况的判定方法是解题的关键．
考查题型二 用公式法解方程
1．（2022秋·青海西宁·九年级校考期中）解方程：（公式法）
【答案】
【分析】利用公式法解答，即可求解．
【详解】解：，
∵，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，是解题的关键．
2．（2022秋·四川广安·九年级统考阶段练习）解方程：．
【答案】，
【分析】根据公式法可进行求解方程．
【详解】解：，则有，，，
∵，
∴方程有两个不等的实数根，
∴，
即，．
【点睛】本题主要考查一元二次方程的解法，熟练掌握一元二次方程的解法是解题的关键．
3．用公式法解下列方程：．
【答案】，．
【分析】先写出各项的系数，再利用求根公式求解即可．
【详解】解：∵，，，
∴，
∴，
∴，．
【点睛】本题考查了用公式法解一元二次方程，解题的关键是熟记求根公式，注意各项系数的符号．
4．（2023秋·湖北十堰·九年级统考期末）解方程：．（用求根公式法）
【答案】，
【分析】根据一元二次方程的求根公式即可得到方程的解．
【详解】解：∵，
∴，
∴，；
【点睛】本题考查了一元二次方程的解法（公式法），熟记求根公式是解题的关键．
考查题型三 根据一元二次方程根的情况求参数
1．（2019·北京·统考模拟预测）已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根．
(1)求的取值范围；
(2)当为正整数时，求方程的根．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据一元二次方程有两个不相等的实数根，利用判别式大于零即可解答；
（2）根据的取值范围，结合为正整数即可确定的值，将其代入原方程，解方程即可．
【详解】（1）解：根据题意，得
＝．
解得．
（2）解：∵为正整数且，
∴．
∴方程可化为，
解得．
【点睛】此题主要考查了根的判别式，解一元二次方程，解题关键是熟练掌握根与判别式关系．
2．（2023·北京海淀·首都师范大学附属中学校考一模）已知关于的一元二次方程．
(1)求证：方程总有两个实数根；
(2)若方程有一个根小于，求的取值范围．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）计算方程根的判别式，判断其符号即可；
（2）求方程两根，结合条件则可求得m的取值范围．
【详解】（1）解：
∴方程总有两个实数根；
（2）解：原方程可化为：
或
解得： ，
由题意可得：
解得：
【点睛】本题主要考查一元二次方程根的判别式，熟练掌握一元二次方程根的个数与根的判别式的关系是解题的关键．
3．（2022·湖北十堰·统考一模）已知关于的一元二次方程．
(1)求证：方程总有两个实数根；
(2)若该方程有一实数根大于3，求的取值范围．
【答案】(1)见解析
(2)a>4
【分析】（1）先计算根的判别式得到Δ=(a-2)2≥0，然后根据根的判别式的意义得到结论；
（2）利用公式法解方程得到x1=1，x2=a-1，根据题意得a-1＞3，然后解不等式即可．
【详解】（1）证明：∵Δ=(-a)2-4(a-1)
=a2-4a+4
=(a-2)2≥0，
∴此方程总有两个实数根；
（2）解：x2-ax+a-1=0，
x=，
∴x1=1，x2=a-1，
∵方程有一实数根大于3，
∴a-1>3，
解得a>4，
即a的取值范围为a>4．
【点睛】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根与Δ=b2-4ac有如下关系：当Δ>0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ=0时，方程有两个相等的实数根；当Δ<0时，方程无实数根．
4．（2022·北京丰台·统考一模）已知关于x的一元二次方程x2﹣（m+2）x+m+1＝0．
(1)求证：该方程总有两个实数根；
(2)若该方程的两个实数根互为相反数，求m的值．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）先计算根的判别式的值，再利用非负数的性质判断Δ≥0，然后根据根的判别式的意义得到结论；
（2）根据根与系数的关系得到x1+x2＝m+2，则由方程的两个实数根互为相反数得到m+2＝0，然后解得m的值即可．
【详解】（1）证明：∵Δ＝[﹣（m+2）]2﹣4（m+1）＝m2+4m+4﹣4m－4
＝m2≥0，
∴无论m取何值，此方程总有两个实数根；
（2）解：根据题意得x1+x2＝m+2，
∵方程的两个实数根互为相反数，
∴m+2＝0，
解得m＝﹣2，
即m的值为﹣2．
【点睛】此题考查了根与系数的关系及根的判别式，x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根，则x1+x2＝﹣，x1x2＝，根据方程的两个实数根互为相反数列式是解题的关键．
1．（2021秋·新疆乌鲁木齐·九年级校考期中）已知：关于x的一元二次方程
(1)已知x=2是方程的一个根，求m的值；
(2)以这个方程的两个实数根作为△ABC中AB、AC（AB【答案】(1)m=0或m=1
(2)m=0或m=1
【分析】（1）把x=2代入方程得到关于m的一元二次方程，然后解关于m的方程即可；
（2）先计算出判别式，再利用求根公式得到，，则AC=m+2，AB=m+1．因为△ABC是直角三角形，所以当BC或AC为斜边时根据勾股定理分别解关于m的一元二次方程即可．
【详解】（1）解：∵x=2是方程的一个根，
∴，
∴m=0或m=1；
（2）解：∵△=，
∴x=
∴，，
∴AB、AC（AB＜AC）的长是这个方程的两个实数根，
∴AC=m+2>0，AB=m+1>0．
∴m>-1．
∵BC=，△ABC是直角三角形，
∴当BC为斜边时，有，
解这个方程，得(不符合题意，舍去)，；
当AC为斜边时，有，
解这个方程，得．
综上所述，当m=0或m=1时，△ABC是直角三角形．
【点睛】此题考查了解一元二次方程和直角三角形的判定，解题的关键是掌握公式法解一元二次方程，熟练运用勾股定理进行分类讨论．
2．定义：我们把关于的一元二次方程与（，）称为一对“友好方程”．如的“友好方程”是．
（1）写出一元二次方程的“友好方程”_______．
（2）已知一元二次方程的两根为，，它的“友好方程”的两根、________．根据以上结论，猜想的两根、与其“友好方程”的两根、之间存在的一种特殊关系为________，证明你的结论．
（3）已知关于的方程的两根是，．请利用（2）中的结论，求出关于的方程的两根．
【答案】（1）-10x2+3x+1=0；（2），互为倒数，证明见解析；（3）x5=0，x6=2022．
【分析】（1）根据“友好方程”的定义写出对应的友好方程即可；
（2）因式分解法求出每个方程的两个实数根，原方程与“友好方程”的根得出规律，再用求根公式去验证即可；
（3）先根据“友好方程”的根的特点得出-cx2+bx+2021=0，即cx2-bx-2021=0的两根为x3=-1，x4=2020，将待求方程变形为（x-1）2-b（x-1）-2021=0，把x-1看做整体即可求解．
【详解】解：（1）一元二次方程x2+3x-10=0的“友好方程”为：-10x2+3x+1=0，
故答案为：-10x2+3x+1=0；
（2）-10x2+3x+1=0，
，
解得，，，
根据以上结论，猜想ax2+bx+c=0的两根x1、x2与其“友好方程”cx2+bx+a=0的两根x3、x4之间存在的一种特殊关系为互为倒数，
证明如下：
∵一元二次方程ax2+bx+c=0的两根为，
“友好方程”cx2+bx+a=0的两根为．
∴，
，
即原方程的两根与“友好方程”的两根互为倒数；
故答案为：，互为倒数；
（3）∵方程2021x2+bx-c=0的两根是，
∴该方程的“友好方程”-cx2+bx+2021=0，即cx2-bx-2021=0的两根为x3=-1，x4=2021，
则c（x-1）2-bx+b=2021，即c（x-1）2-b（x-1）-2021=0中x-1=-1或x-1=2021，
∴该方程的解为x5=0，x6=2022．
利用（2）中的结论，写出关于x的方程（x-1）2-bx+b=2021的两根为x5=0，x6=2022，
故答案为x5=0，x6=2022．
【点睛】本题主要考查新定义下一元二次方程根与系数的关系及求根公式的运用，掌握并灵活运用新定义是解题的关键．
3．已知关于x的方程（k+1）x2+（3k﹣1）x+2k﹣2＝0
（1）求证：无论k取何值，此方程总有实数根；
（2）若此方程有两个整数根，求正整数k的值；
（3）若一元二次方程（k+1）x2+（3k﹣1）x+2k﹣2＝0满足|x1﹣x2|＝3，求k的值．
【答案】（1）见解析；（2）k＝1或k＝3；（3）k的值为﹣3或0
【分析】（1）分k+1=0和k+1≠0两种情况考虑：当k+1=0时，方程为一元一次方程，有实数根；当k+1≠0时，根的判别式△=（k-3）2≥0，由此可得出方程有实数根．综上即可证出结论；
（2）由方程有两个实数根，可得出k≠-1，利用求根公式求出x1、x2的值，由x1=-1和x2为整数以及k为正整数，即可求出k的值；
（3）结合（2）的结论即可得出关于k的含绝对值符号的分式方程，解方程即可得出结论，经检验后，此题得解．
【详解】解：（1）证明：当k+1=0，即k=-1时，原方程为-4x-4=0，
解得：x=-1；
当k+1≠0，即k≠-1时，△=（3k-1）2-4（k+1）（2k-2）=k2-6k+9=（k-3）2≥0，
∴方程有实数根，
综上可知：无论k取何值，此方程总有实数根；
（2）∵方程有两个整数根，
∴，，且k≠﹣1，
∵x2为整数，k为正整数，
∴k=1或k=3；
（3）由（2）得x1=-1，，且k≠-1，
∴|x1-x2|=，
解得：k=-3或k=0，
经检验k=﹣3或k=0是原方程的解，
故k的值为﹣3或0．
【点睛】本题考查了根的判别式、解含绝对值符号的分式方程以及利用公式法解方程，解题的关键是：（1）分k+1=0和k+1≠0两种情况考虑；（2）找出x1=﹣1，；（3）找出关于k的含绝对值符号的分式方程．本题属于中档题，难度不大，解决该题型题目时，利用根的判别式的符号得出方程解的情况是关键．
4．如图1，四边形ACDE是美国第二十任总统伽菲尔德验证勾股定理时用到的一个图形，a，b，c是Rt△ABC和Rt△BED边长，易知AE=，这时我们把关于x的形如的一元二次方程称为“勾系一元二次方程”．
请解决下列问题：
（1）判断方程是否是 “勾系一元二次方程”；并说明理由．
（2）求证：关于的“勾系一元二次方程” 必有实数根；
（3）如图2，已知AB、CD是半径为5的⊙O的两条平行弦，AB=2a，CD=2b，a≠b，关于x的方程是“勾系一元二次方程”，求∠BAC的度数
【答案】（1）是，理由详见解析；（2）详见解析；（3）45°
【分析】（1）根据“勾系一元二次方程”的定义即可判断；
（2）利用勾股定理以及“勾系一元二次方程”的定义即可解决问题；
（3）如图2中，连接OC，OB，作OE⊥CD于E，作EO的延长线交AB于F，利用全等三角形的性质推导出∠COB=90°即可解决问题．
【详解】（1）是 “勾系一元二次方程”，理由如下：
∵中，
∴
∴，能构成直角三角形
∴方程是“勾系一元二次方程”
（2）∵关于的方程是“勾系一元二次方程”
∴构成直角三角形，c是斜边
∴
∵
∴
∴关于的“勾系一元二次方程”必有实数根．
（3）在图2中，连接OC，OB，作OE⊥CD于E，作EO的延长线交AB于F，如下图：
∵关于x的方程是“勾系一元二次方程”
∴，5构成直角三角形，5是斜边
∴
∵AB//CD，OE⊥CD
∴OF⊥AB
∴∠OEC=∠OFB= 90°
∴
∵AB=2a，CD=2b
∴
∵，
∴
∴
∴
∴
∵
∴
∴
∴
【点睛】本题考查了勾股定理及逆定理、一元二次方程根的判别式、全等三角形的判定及性质，解题关键是挖掘新定义中最本质的关系：勾系数一元二次方程满足，利用这个关系即可转化边并证明边相等．
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人教九上数学同步精品课件
人教版九年级上册
21.2.4 一元二次方程
的根与系数的关系
学习目标
1.熟练掌握一元二次方程的根与系数的关系.
2.灵活运用一元二次方程的根与系数的关系解决实际问题.
3.经历探索一元二次方程的根与系数的关系，发展学生的逻辑推理和数学运算的核心素养，培养学生观察、分析、归纳和判断的能力.
1.一元二次方程的一般形式是什么？
2.一元二次方程的求根公式是什么？
3.一元二次方程的根的情况怎样确定？
复习引入
根与系数的关系还有其他的表示吗？
复习引入
思考 从因式分解法可知，方程(x-x1)(x-x2)=0(x1，x2为已知数)的两根为x1和x2，将方程化为x2+px+q=0的形式，你能看出x1，x2与p，q之间的关系吗？
把方程(x-x1)(x-x2)=0的左边展开，化成一般形式，得方程 x2-(x1+x2)x+x1x2=0
这个方程的二次项系数为1，一次项系数p=-(x1+x2)，常数项q=x1x2.
于是，上述方程两个根的和、积与系数分别有如下关系：
(x1+x2)=-p，x1x2=q.
互动新授
思考 一般的一元二次方程ax2+bx+c=0中，二次项系数a未必是1，它的两个根的和、积与系数又有怎样的关系呢？
根据求根公式可知，
由此可得
互动新授
因此，方程的两个根x1，x2和系数a，b，c有如下关系：
这表明任何一个一元二次方程的根与系数的关系为：两个根的和等于一次项系数与二次项系数的比的相反数，两个根的积等于常数项与二次项系数的比.
互动新授
如果把上述方程ax2+bx+c=0（a≠0)的两边同除以a，能否得出该结论？
(x1+x2)=-p x1x2=q
互动新授
注意：(1)不是一般式的，要化成一般式.
(2)在方程有实数根的条件下应用，即b2-4ac≥0.
典例精析
例4 根据一元二次方程根与系数的关系，求下列方程两个根x1,x2的和与积.
(1)x2-6x-15=0 (2)3x2+7x-9=0 (3)5x-1=4x2
解:(1)a=1，b=-6，c=-15.
Δ=b2 -4ac=(-6)2-4×1×(-15)=96>0.
∴方程有两个实数根.
∴x1+x2=6,x1x2=-15.
典例精析
例4 根据一元二次方程根与系数的关系，求下列方程两个根x1,x2的和与积.
(1)x2-6x-15=0 (2)3x2+7x-9=0 (3)5x-1=4x2
(2)a=3，b=7，c=-9.
Δ=b2 -4ac=72-4×3×(-9)=157>0.
∴方程有两个实数根.
∴x1+x2=-,x1x2=-3.
典例精析
例4 根据一元二次方程根与系数的关系，求下列方程两个根x1,x2的和与积.
(1)x2-6x-15=0 (2)3x2+7x-9=0 (3)5x-1=4x2
(3)方程化为一般形式为4x2-5x+1=0
a=4，b=-5，c=1.
Δ=b2 -4ac=(-5)2-4×4×1=9>0.
∴方程有两个实数根.
∴x1+x2= , x1x2=.
例5 已知方程3x2-18x+m=0的一个根是1，求它的另一个根及m的值.
解：设方程的两个根分别是x1、x2，其中x1=1.
所以：x1+x2=1+x2=6，
即：x2=5.
由于x1 x2=1×5=
得：m=15.
答：方程的另一个根是5，m=15.
典例精析
1.设x1、x2为方程x2-4x+1=0的两个根，则:
（1）x1+x2= ,
（2) x1·x2= ,
（3) = ,
（4) ，
4
1
14
6
小试牛刀
1.已知a、b满足a2﹣6a+2＝0，b2﹣6b+2＝0，则＝（ ）
A．﹣6 B．2 C．16 D．16或2
2.若α，β是方程x2+2x﹣2005=0的两个实数根，则α2+3α+β的值为（ ）
A．2005 B．2003 C．﹣2005 D．4010
D
B
课堂检测
3.不解方程，求下列方程两根的和与积：
(1)x2-3x=15 (2)3x2+2=1-4x
(3)5x2-1=4x2+x (4)2x2-x+2=3x+1
解：(1)方程化为x2-3x-15=0. x1+x2=-(-3)=3，x1x2=-15.
(2)方程化为3x2+4x+1=0. x1+x2=-，x1x2=.
(3)方程化为x2-x-1=0. x1+x2=-(-1)=1，x1x2=-1.
(4)方程化为2x2-4x+1=0. x1+x2=-=2，x1x2=.
课堂检测
1.已知方程的两个实数根x1，x2，且,求k的值.
解：由根与系数的关系得x1+x2=-k,x1.x2=k+2，
∵x12+ x22 =4 ,即(x1+ x2)2 -2x1x2=4
∴k2- 2(k+2）=4
解得：k=4或k=-2
∵ △= k2-4k-8
当k=4时， △＜0
当k=-2时，△＞0
∴ k=-2.
拓展训练
解：(1)∵一元二次方程 ，
∴无论为任何非零实数，此方程总有两个实数根.
2．已知关于的一元二次方程 ．
(1)求证：无论为任何非零实数，此方程总有两个实数根；
(2)若该方程的两个实数根分别为x1、x2，且 ，求的值．
拓展训练
2．已知关于的一元二次方程 ．
(1)求证：无论为任何非零实数，此方程总有两个实数根；
(2)若该方程的两个实数根分别为x1、x2，且 ，求的值．
(2)依题意得， ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，即 ，
(3a+1)(a-1)=0，
解得 ， .
拓展训练
一元二次方程的根与系数的关系
如果 ax2+bx+c=0(a≠0)的两个根为x1、x2，那么
课堂小结
1.若x1，x2是一元二次方程x2-5x+6=0的两个根，则x1+x2的值是( )
A.1 B.5 C.-5 D.6
2.以3, -1为根，二次项系数为3的一元二次方程是( )
A.3x2-2x+3=0 B.3x2+2x-3=0
C.3x2-6x-9=0 D.3x2+6x-9=0
B
C
课后作业
3.关于x的一元二次方程的两实数根分别为、，且，则m的值为（ ）
A． B． C． D．0
4.已知m，n是关于x的一元二次方程的两个解，若，则a的值为（ ）
A．﹣10 B．4 C．﹣4 D．10
A
C
课后作业
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人教九上数学同步精品课件
人教版九年级上册
21.2.2 公式法
学习目标
1.理解一元二次方程求根公式的推导过程.
2.会用公式法解一元二次方程.
3.理解并会计算一元二次方程根的判别式.
4.会用判别式判断一元二次方程的根的情况.
复习引入
用配方法解一元二次方程的一般步骤：
(1)将一元二次方程化为一般形式；
(2)把常数项移到方程的右边；
(3)在方程两边同除以二次项系数，将二次项系数化为1；
(4)在方程两边都加上一次项系数一半的平方，然后将方程左边化为一个完全平方式，右边为一个常数；
(5)当方程右边为一个非负数时，用直接开平方法解这个一元二次方程；当方程右边是负数时，原方程无实数根.
用配方法解下列方程：
解：移项，得x2-2x=8,
配方，得x2-2x+12=8+12 ,
由此可得x-1=±3
x1=-2,x2=4.
即(x-1)2=9
复习引入
x2-2x-8=0
探究 任何一个一元二次方程都可以写成一般形式
ax2+bx+c=0(a≠0).(Ⅲ)
能否也用配方法得出(Ⅲ)的解呢？
解：移项，得
二次项系数化为1，得
配方，得
即 ①
互动新授
∵a≠0,4a2>0，
式子b2-4ac的值有以下三种情况：
（1）b2-4ac＞0时，
这时 ，由①得
方程有两个不等的实数根
互动新授
（2）b2-4ac=0时，
这时 ，由①可知，方程有两个相等的实数根
（3）b2-4ac＜0时，
这时 ，由①可知 ，而x取任何实数都不能使 ，因此方程无实数根.
互动新授
一般地，式子b2-4ac叫做一元二次方程ax2+bx+c=0根的判别式，通常用希腊字母“Δ”表示它，即Δ=b2-4ac.
当Δ＞0时，方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个不等的实数根；
当Δ＝0时，方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个相等的实数根；
当Δ＜0时，方程ax2+bx+c=0(a≠0)无实数根.
Δ＞0 方程有两个不等的实数根；
Δ＝0 方程有两个相等的实数根；
Δ＜0 方程无实数根.
小结归纳
当Δ≥0时，方程ax2+bx+c=0(a≠0)的实数根可写为
的形式，这个式子叫做一元二次方程ax2+bx+c=0的求根公式.
求根公式表达了用配方法解一般的一元二次方程ax2+bx+c=0的结果.解一个具体的一元二次方程时，把各系数直接代入求根公式，可以避免配方过程而直接得出根，这种解一元二次方程的方法叫做公式法.
小结归纳
例2 用公式法解下列方程：
(1)x2-4x-7=0 (2)2x2-2x+1=0 (3)5x2-3x=x+1 (4)x2+17=8x
解：(1) a=1，b=-4，c=-7.
Δ=b2-4ac=(-4)2-4×1×(-7)=44＞0
方程有两个不等的实数根
即
(2) a=2，b=-2，c=1.
Δ=b2-4ac=(-2)2-4×2×1=0
方程有两个相等的实数根
典例精析
例2 用公式法解下列方程：
(1)x2-4x-7=0 (2)2x2-2x+1=0 (3)5x2-3x=x+1 (4)x2+17=8x
解：(3) 方程化为5x2-4x-1=0.
a=5，b=-4，c=-1.
Δ=b2-4ac=(-4)2-4×5×(-1)=36＞0
方程有两个不等的实数根
即
(4) 方程化为x2-8x+17=0.
a=1，b=-8，c=17.
Δ=b2-4ac=(-8)2-4×1×17=-4＜0
方程无实数根 .
典例精析
D
小试牛刀
2.不解方程，判别下列方程的根的情况.
(1)x2-6x+1=0 (2)2x2-x+2=0 (3)x2-4x+4=0 (4)(x-2)2+3=1
解：(1)Δ=(-6)2-4×1×1=32＞0
(2)Δ=(-1)2-4×2×2=-15＜0
∴方程无实根.
(3)Δ=(-4)2-4×1×4=0
∴方程有两个相等的实数根.
(4)原方程可化为(x-2)2=-2
∵-2＜0
∴方程无实根.
∴方程有两个不相等的实数根.
小试牛刀
1.下列方程无实数根的方程是( ).
A.2x2-3x-5=0 B.x2+2x+2=0 C.x2-4x=0 D.x2-4=0
2.若关于x的一元二次方程kx2-2x-1=0有两个不相等的实数根,则k的取值范围是( )
A.k＞-1 B.k＞-1且k≠0 C.k＜1 D.k＜1且k≠0
B
B
课堂检测
3.用公式法解下列方程：
(1)x2+x-6=0 (2)3x2-6x=2
解：(1) a=1，b=1，c=-6.
Δ=b2-4ac=12-4×1×(-6)=25＞0
方程有两个不等的实数根
即
(2)方程化为3x2-6x-2=0.
a=3，b=-6，c=-2.
Δ=b2-4ac=(-6)2-4×3×(-2)=60＞0
方程有两个不等的实数根
即
课堂检测
1.关于x的一元二次方程m2x2+(2m+1)x+1=0有两个不等的实数根,求m的取值范围.
解：由题意得:Δ＞0且m2≠0.
即 (2m+1)2-4m2＞0且m≠0
解得：m＞-1/4且m≠0.
拓展训练
2.已知关于x的一元二次方程kx2+(k+3)x+3(k≠0)．求证：方程一定有两个实数根．
证明：方程kx2+(k+3)x+3(k≠0)，
其中a=k，b=k+3，c=3，
∴Δ=b2-4ac=(k+3)2-4×3k=k2-6k+9=(k-3)2，
∴方程有两个相等的实数根或者不相等的两个实数根，
即方程一定有两个实数根．
拓展训练
1.由配方法解一般的一元二次方程 若b2-4ac≥0得
求根公式 :
2.用公式法解一元二次方程的一般步骤：
(1)将所给的方程变成一般形式，注意移项要变号，尽量让a>0.
(2)找出系数a，b，c，注意各项的系数包括符号.
(3)计算b2-4ac，若结果为负数，方程无解.
(4)若结果为非负数，代入求根公式，算出结果.
课堂小结
1.下列一元二次方程中，有两个不相等实数根的是（ ）
A．x2+6x+9=0 B．x2=x C．x2+3=2x D．（x﹣1）2+1=0
2.4-3 x= 是下列哪个一元二次方程的根（ ）
A．3x2+5x+1=0 B．3x2﹣5x+1=0
C．3x2﹣5x﹣1=0 D．3x2+5x﹣1=0
B
D
课后作业
3.利用公式法解下列一元二次方程
(1)x2-3x-1=0
(2)2x2+x-6=0
(3)x2+4=3x
(4)5x2-3x=x+1
(5)x2-6x+13=4
原方程无实根
x1=x2=3
课后作业
谢谢
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