(共22张PPT)
人教九上数学同步精品课件
人教版九年级上册
21.2.3 因式分解法
学习目标
1.了解因式分解法的概念.
2.会利用因式分解法解简单数字系数的一元二次方程.
3.经历探索因式分解法解一元二次方程，发展学生的逻辑推理和数学运算的核心素养，同时学会灵活选择解方程的方法.
4.通过运用因式分解法解简单系数的一元二次方程，体验解决问题的方法多样性，提升学习数学的兴趣，并建立学好数学的自信心.
我们已经学过了几种解一元二次方程的方法
x2=a (a≥0)
(x+m)2=n (n≥0)
直接开平方法
配方法
公式法
复习引入
复习引入
1.把一个多项式化成几个整式积的形式，这种变形叫做把这个多项式__________.
2.因式分解常用的方法有____________________.
3.将下列各式分解因式：
(1) 7x2-28x (2) 2(a-3)2-a+3 (3) (y+3)2-(3y-3)2
因式分解
提公因式法、
公式法
解：(1)原式=7x(x-4)
(2)原式=2(a-3)2-(a-3)=(a-3)[2(a-3)-1]=(a-3)(2a-7)
(3)原式=[(y+3)+(3y-3)][(y+3)-(3y-3)]
=(y+3+3y-3)(y+3-3y+3)=4y(6-2y)=8y(3-y)
问题2 根据物理学规律，如果把一个物体从地面以10m/s的速度竖直上抛，那么物体经过x s离地面高度（单位：m）为10x-4.9x2 ．
根据上述规侓，物体经过多少秒落回地面？
设物体经过xs落回地面，这时它离地面的高度为0m，即
10x-4.9x2=0 ①
互动新授
互动新授
思考 除配方法或公式法以外，能否找到更简单的方法解方程①？
方程①的右边为0，左边可以因式分解,得
x(10-4.9x)=0.
这个方程的左边是两个一次因式的积，右边是0.我们知道，如果两个因式的积为0，那么这两个因式中至少有一个等于0；反之，如果两个因式中任何一个为0，那么它们的积也等于0.所以
如果ab=0，那么a=0，或b=0.
x=0,或10-4.9x=0 ②
所以，方程①的两个根是
x1=0，x2=
这两个根中，x2表示物体约在2.04s时落回地面，而x1=0表示物体被上抛离开地面的时刻，即0s时物体被抛出，此刻物体的高度是0m.
思考 这种解法是如何使二次方程降为一次的？
互动新授
可以发现，上述解法中，由①到②的过程，不是用开平方降次，而是先因式分解，使方程化为两个一次式的乘积等于0的形式，再使这两个一次式分别等于0，从而实现降次.这种解一元二次方程的方法叫做因式分解法．
小结归纳
典例精析
例3 解下列方程
(1)x(x-2)+x-2=0； (2)5x2-2x- =x2-2x+ .
解：（1）因式分解，得
于是得
x-2=0，或x＋1=0,
x1=2，x2=-1.
（2）移项、合并同类项，得
因式分解，得
(2x+1)(2x-1)=0.
于是得
2x＋1=0，或2x-1=0，
(x-2)(x＋1)=0.
还可以用其他方法解本例题吗？
例3 解下列方程
(1)x(x-2)+x-2=0； (2)5x2-2x- =x2-2x+ .
典例精析
解：方程化为 x2-x-2=0
a=1,b=-1,c=-2
即 x1=2，x2=-1.
（2）移项、合并同类项，得
系数化为1，得
直接开平方，得
Δ=b2-4ac
=(-1)2-4×1×(-2)=9＞0
即
公式法
直接开平方法
配方法要先配方，再降次；通过配方法可以推出求根公式，公式法直接利用求根公式解方程；因式分解法要先使方程一边为两个一次因式相乘，另一边为0，再分别使各一次因式等于0. 配方法、公式法适用于所有一元二次方程，因式分解法在解某些一元二次方程时比较简便.
解一元二次方程的基本思路是：将二次方程化为一次方程，即降次.
小结归纳
1.用因式分解法解下列方程：
解：x(x+1)=0
x=0或x+1=0
x1=0，x2=-1
解：
x=0或
x1=0，x2=
解：3x2-6x+3=0
x2-2x+1=0
(x-1)2=0
x1=x2=1
小试牛刀
2.方程(x－16)(x＋8)=0的根是（ ）
A．x1=-16，x2=8 B．x1=16，x2=-8
C．x1=16，x2=8 D．x1=-16，x2=-8
3.方程(y-5)(y＋2)=1的根为（ ）
A．y1=5，y2=-2 B．y=5
C．y=-2 D．以上答案都不对
B
D
小试牛刀
1.小华在解一元二次方程 x2-x=0 时，只得出一个根 x=1，则被漏掉的一个根是( )
A．x=4 B．x=3
C．x=2 D．x=0
2.方程(x-1)2-4(x＋2)2=0的根为（ ）
A．x1=1，x2=-5 B．x1=-1，x2=-5
C．x1=1，x2=5 D．x1=-1，x2=5
D
B
课堂检测
3.用因式分解法解下列方程
(1)x2-4x+3=3
(2)x2-49=0
(3)x2-3x-10=0
(4)x2-7x+12=0；
(5)(x+3)(x-1)=5
(1)x1=0，x2=4.
(2)x1=7，x2=-7.
(3)x1=5，x2=-2.
(4)x1=3，x2=4.
(5)x1=2，x2=-4.
课堂检测
1.已知三角形两边长分别是和2，第三边的长为的根，则这个三角形的周长是（ ）
A．4 B． C． D．不存在
2.已知(x2+y2)(x2+y2-1)-6=0，则 x2+y2 的值是（ ）
A．3或-2 B．-3或2 C．3 D．-2
B
C
拓展训练
利用因式分解法求解一元二次方程的基本步骤
①移项，使一元二次方程等式右边为0;
②分解，把左边运用因式分解法化为两个一次因式相乘的形式;
③赋值，分别令每个因式等于0，得到两个一元一次方程;
④求解，分别解这两个一元一次方程，得到方程的解.
归纳：左分解，右化零，两因式，各求解.
课堂小结
1.填空
①x2-3x+1=0 ②3x2-1=0 ③-3t2+t=0 ④x2-4x=2
⑤2x2-x=0 ⑥5(m+2)2=8 ⑦3y2-y-1=0 ⑧2x2+4x-1=0
⑨(x-2)2=2(x-2).
(1）适合运用直接开平方法 ；
(2）适合运用因式分解法 ；
(3）适合运用公式法 ；
(4）适合运用配方法 .
【提示】每个题都有多种解法，选择更合适的方法，可以简化解题过程！
② ⑥
① ⑦ ⑧
④
③ ⑤ ⑨
课后作业
2.用合适的方法法解下列一元二次方程.
(1)(5x)2-9=16；
(2)x2+4x+5=2；
(3)2x2-3x-2=0；
(4)(x-2)(x-3)=12；
(1)x1=1， x2=-1.
(2)x1=-1，x2=-3.
(3)x1=2， x2=-0.5.
(4)x1=-1，x2=6.
课后作业
谢谢
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21.2.3《因式分解法》
分层练习
考查题型一 用因式分解法解方程
1．（2020秋·广东韶关·九年级校考期末）用适当的方法解方程：．
2．（2023·江苏南京·统考二模）解方程：．
3．解方程：
(1)．
(2)．
4．解下列一元二次方程．
(1)
(2)
5．（2023·黑龙江齐齐哈尔·统考二模）解方程：
6．（2023·安徽马鞍山·校考一模）解下列方程：．
考查题型二 用换元法解方程
1．（换元法）解方程：
解：设则原方程可化为
解得：
当时，，解得
当时，，解得
∴原方程的根是，
根据以上材料，请解方程：
(1)．
(2)
2．（2022秋·山东青岛·九年级统考期末）已知，求的值．
3．阅读材料，解答问题．
解方程：．
解：把视为一个整体，设，
则原方程可化为．
解得，．
或．
，．
以上方法就叫换元法，达到简化或降次的目的，体现了转化的思想．
请仿照材料解下列方程：
(1)；
(2)．
4．（2021秋·山西临汾·九年级校考期末）阅读与思考：
解方程，解：设， 则原方程可化为：， 解得， 当时，，， 当时，，， 原方程的解为：，，，
解答问题：
(1)上述解题过程，在由原方程得到方程①的过程中，利用换元法达到了降次的目的，体现了______的数学思想；
(2)请利用以上知识解方程：
①；
②．
1．（2022秋·江苏苏州·九年级星海实验中学校考阶段练习）我们给出定义：若关于x的一元二次方程（a≠0）的两个实数根为，（），分别以，为横坐标和纵坐标得到点M（，），则称点M为该一元二次方程的衍生点．
(1)若方程为，该方程的衍生点M为 ．
(2)若关于x的一元二次方程的衍生点为M，过点M向x轴和y轴作垂线，两条垂线与坐标轴恰好围成一个正方形，求m的值．
(3)是否存在b，c，使得不论k（k≠0）为何值，关于x的方程的衍生点M始终在直线y＝kx+2（k+3）的图象上，若有请求出b，c的值，若没有说明理由．
2．如果一元二次方程的两根相差1，那么该方程称为“差1方程”．例如x2＋x＝0是“差1方程”．
(1)判断下列方程是不是“差1方程”，并说明理由；
①x2﹣5x﹣6＝0；
②x2﹣x＋1＝0；
(2)已知关于x的方程x2﹣（m﹣1）x﹣m＝0（m是常数）是“差1方程”，求m的值；
(3)若关于x的方程ax2＋bx＋1＝0（a，b是常数，a＞0）是“差1方程”，设t＝10a﹣b2，求t的最大值．
3．材料1：把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解．例如：，都是因式分解．因式分解也可称为分解因式．
材料2：只含有一个未知数，且未知数的最高次数是的整式方程称作一元二次方程．一元二次方程的般形式是：（其中，，为常数且）．“转化”是一种重要的数学思想方法，我们可以利用因式分解把部分一元二次方程转化为一元一次方程求解．
例如解方程；
，
，
或，
原方程的解是，．
又如解方程：
，
，
．
原方程的解是．
请阅读以上材料回答以下问题：
（1）若，则_______；_______；
（2）请将下列多项式因式分解：
_______，________；
（3）在平面直角坐标系中，已知点，，其中是一元二次方程的解，为任意实数，求长度的最小值．
4．阅读下面材料：
材料一：分解因式是将一个多项式化为若干个整式积的形式的变形，“十字相乘法”可把某些二次三项式分解为两个一次式的乘积，具体做法如下：对关于，的二次三项式，如图1，将项系数，作为第一列，项系数，作为第二列，若恰好等于项的系数，那么可直接分解因式为：
示例1：分解因式：
解：如图2，其中，，而；
∴；
示例2：分解因式：．
解：如图3，其中，，而；
∴；
材料二：关于，的二次多项式也可以用“十字相乘法”分解为两个一次式的乘积．如图4，将作为一列，作为第二列，作为第三列，若，，，即第1、2列，第1、3列和第2、3列都满足十字相乘规则，则原式分解因式的结果为：；
示例3：分解因式：．
解：如图5，其中，，；
满足，；
∴
请根据上述材料，完成下列问题：
（1）分解因式： ； ；
（2）若，，均为整数，且关于，的二次多项式可用“十字相乘法”分解为两个一次式的乘积，求出的值，并求出关于，的方程的整数解．
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21.2.3《因式分解法》
分层练习
考查题型一 用因式分解法解方程
1．（2020秋·广东韶关·九年级校考期末）用适当的方法解方程：．
2．（2023·江苏南京·统考二模）解方程：．
3．解方程：
(1)．
(2)．
4．解下列一元二次方程．
(1)
(2)
5．（2023·黑龙江齐齐哈尔·统考二模）解方程：
6．（2023·安徽马鞍山·校考一模）解下列方程：．
考查题型二 用换元法解方程
1．（换元法）解方程：
解：设则原方程可化为
解得：
当时，，解得
当时，，解得
∴原方程的根是，
根据以上材料，请解方程：
(1)．
(2)
2．（2022秋·山东青岛·九年级统考期末）已知，求的值．
3．阅读材料，解答问题．
解方程：．
解：把视为一个整体，设，
则原方程可化为．
解得，．
或．
，．
以上方法就叫换元法，达到简化或降次的目的，体现了转化的思想．
请仿照材料解下列方程：
(1)；
(2)．
4．（2021秋·山西临汾·九年级校考期末）阅读与思考：
解方程，解：设， 则原方程可化为：， 解得， 当时，，， 当时，，， 原方程的解为：，，，
解答问题：
(1)上述解题过程，在由原方程得到方程①的过程中，利用换元法达到了降次的目的，体现了______的数学思想；
(2)请利用以上知识解方程：
①；
②．
1．（2022秋·江苏苏州·九年级星海实验中学校考阶段练习）我们给出定义：若关于x的一元二次方程（a≠0）的两个实数根为，（），分别以，为横坐标和纵坐标得到点M（，），则称点M为该一元二次方程的衍生点．
(1)若方程为，该方程的衍生点M为 ．
(2)若关于x的一元二次方程的衍生点为M，过点M向x轴和y轴作垂线，两条垂线与坐标轴恰好围成一个正方形，求m的值．
(3)是否存在b，c，使得不论k（k≠0）为何值，关于x的方程的衍生点M始终在直线y＝kx+2（k+3）的图象上，若有请求出b，c的值，若没有说明理由．
2．如果一元二次方程的两根相差1，那么该方程称为“差1方程”．例如x2＋x＝0是“差1方程”．
(1)判断下列方程是不是“差1方程”，并说明理由；
①x2﹣5x﹣6＝0；
②x2﹣x＋1＝0；
(2)已知关于x的方程x2﹣（m﹣1）x﹣m＝0（m是常数）是“差1方程”，求m的值；
(3)若关于x的方程ax2＋bx＋1＝0（a，b是常数，a＞0）是“差1方程”，设t＝10a﹣b2，求t的最大值．
3．材料1：把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解．例如：，都是因式分解．因式分解也可称为分解因式．
材料2：只含有一个未知数，且未知数的最高次数是的整式方程称作一元二次方程．一元二次方程的般形式是：（其中，，为常数且）．“转化”是一种重要的数学思想方法，我们可以利用因式分解把部分一元二次方程转化为一元一次方程求解．
例如解方程；
，
，
或，
原方程的解是，．
又如解方程：
，
，
．
原方程的解是．
请阅读以上材料回答以下问题：
（1）若，则_______；_______；
（2）请将下列多项式因式分解：
_______，________；
（3）在平面直角坐标系中，已知点，，其中是一元二次方程的解，为任意实数，求长度的最小值．
4．阅读下面材料：
材料一：分解因式是将一个多项式化为若干个整式积的形式的变形，“十字相乘法”可把某些二次三项式分解为两个一次式的乘积，具体做法如下：对关于，的二次三项式，如图1，将项系数，作为第一列，项系数，作为第二列，若恰好等于项的系数，那么可直接分解因式为：
示例1：分解因式：
解：如图2，其中，，而；
∴；
示例2：分解因式：．
解：如图3，其中，，而；
∴；
材料二：关于，的二次多项式也可以用“十字相乘法”分解为两个一次式的乘积．如图4，将作为一列，作为第二列，作为第三列，若，，，即第1、2列，第1、3列和第2、3列都满足十字相乘规则，则原式分解因式的结果为：；
示例3：分解因式：．
解：如图5，其中，，；
满足，；
∴
请根据上述材料，完成下列问题：
（1）分解因式： ； ；
（2）若，，均为整数，且关于，的二次多项式可用“十字相乘法”分解为两个一次式的乘积，求出的值，并求出关于，的方程的整数解．
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