第一章 1.1第1课时 集合的含义-2023-2024学年高一数学同步教学精品课件配套分层练习（含解析）

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1.1第1课时 集合的含义（分层练习）
【练基础】
1.（多选）下列各组对象能构成集合的有(　　)
A.某一天到商场买过商品的顾客
B.小于0的实数
C.(2 022，1)与(1，2 022)
D.未来世界的高科技产品
【解析】A中“某一天到商场买过商品的顾客”的标准确定，能构成集合；
B中小于0是一个明确的标准，能构成集合；
C中(2 022，1)与(1，2 022)是两个不同的点，是确定的，能构成集合；
D中未来世界的高科技产品不能构成一个集合.
故选ABC.
2.（多选）下列关系中，正确的是(　　)
A.∈R B. Q
C.－3∈N D.∈Z
【解析】是实数，故A正确；
是无理数，故B正确；
－3不是自然数，故C不正确；
是无理数，不是整数，故D不正确.
故选AB.
3. 下列各组中集合P与Q，表示同一个集合的是(　　)
A.P是由元素1，，π构成的集合，Q是由元素π，1，|－|构成的集合
B.P是由π构成的集合，Q是由3.141 59构成的集合
C.P是由2，3构成的集合，Q是由有序数对(2，3)构成的集合
D.P是满足不等式－1≤x≤1的自然数构成的集合，Q是方程x2＝1的解集
【解析】由于A中P，Q的元素完全相同，
所以P与Q表示同一个集合，
而B，C，D中P，Q的元素不相同，
所以P与Q不能表示同一个集合.
故选A.
4. 设A是方程2x2＋ax＋2＝0的解集，且2∈A，则实数a的值为(　　)
A．－5 B．－4
C．4 D．5
【解析】因为2∈A，
所以2×22＋2a＋2＝0，
解得a＝－5.
故选A.
5. 设集合M是由不小于2的数组成的集合，a＝，则下列关系中正确的是(　　)
A．a∈M B．a M
C．a＝M D．a≠M
【解析】因为集合M是由不小于2的数组成的集合，a＝，所以a不是集合M中的元素，故a M.
故选B.
6. 由实数x，－x，|x|，，－所组成的集合，最多含有(　　)
A．2个元素 B．3个元素
C．4个元素 D．5个元素
【解析】＝|x|，－＝－x.
当x＝0时，它们均为0；
当x>0时，它们分别为x，－x，x，x，－x；
当x<0时，它们分别为x，－x，－x，－x，－x.
通过以上分析，它们最多表示两个不同的数，故集合中元素最多含有2个．
故选A.
7. 已知集合S中的元素a，b是一个四边形的两条对角线的长，那么这个四边形一定不是(　　)
A．梯形 B．平行四边形
C．矩形 D．菱形
【解析】因为集合中的元素具有互异性，所以a≠b，即四边形对角线不相等.故选C.
8. （多选）下列表述正确的是(　　)
A.∈N* B.∈Q
C．2＋∈R D. Z
【解析】因为不是正整数，所以 N*，故A不正确；因为是有理数，所以∈Q，故B正确；因为2＋是实数，所以2＋∈R，故C正确；因为＝2是整数，所以∈Z，故D不正确.
故选BC.
【练综合】
1. 已知集合A含有两个元素a－3和2a－1，a∈R.
(1)若－3∈A，试求实数a的值；
(2)若a∈A，试求实数a的值．
【解析】(1)因为－3∈A，所以－3＝a－3或－3＝2a－1.
若－3＝a－3，则a＝0.此时集合A含有两个元素－3，－1，符合题意；
若－3＝2a－1，则a＝－1.此时集合A含有两个元素－4，－3，符合题意．
综上所述，实数a的值为0或－1.
(2)因为a∈A，所以a＝a－3或a＝2a－1.
当a＝a－3时，有0＝－3，不成立；
当a＝2a－1时，有a＝1，此时A中有两个元素－2，1，符合题意．综上知a＝1.
2. 集合A是由形如m＋n(m∈Z，n∈Z)的数构成的，试分别判断a＝－，b＝，c＝(1－2)2与集合A的关系．
【解析】因为a＝－＝0＋(－1)×，而0，－1∈Z，所以a∈A；
因为b＝＝＝＋，而， Z，所以b A；因为c＝(1－2)2＝13＋(－4)×，而13，－4∈Z，所以c∈A.
3. 设A是由满足不等式x<6的自然数组成的集合，若a∈A且3a∈A，求a的值.
【解析】∵a∈A且3a∈A，
∴解得a<2.
又a∈N，∴a＝0或1.
4. 设x∈R，集合A中含有三个元素3，x，x2－2x.
(1)求元素x应满足的条件；
(2)若－2∈A，求实数x的值.
【解析】(1)由集合中元素的互异性可得x≠3，x2－2x≠x，且x2－2x≠3，解得x≠－1，x≠0，且x≠3.
(2)若－2∈A，则x＝－2或x2－2x＝－2.
由于方程x2－2x＋2＝0无实数解，所以x＝－2.
经检验，知x＝－2时三个元素符合互异性.
故x＝－2.
5. 已知集合A是由a－2，2a2＋5a，12三个元素组成的，且－3∈A，求实数a.
【解析】由－3∈A，可得－3＝a－2或－3＝2a2＋5a，
∴a＝－1或a＝－.
当a＝－1时，a－2＝－3，2a2＋5a＝－3，不符合集合中元素的互异性，故a＝－1应舍去.
当a＝－时，a－2＝－，2a2＋5a＝－3，符合集合中元素的互异性，
∴a＝－.
5. 已知x，y，z为非零实数，代数式＋＋＋的值所组成的集合是M，则下列判断正确的是(　　)
A．0 M B．2∈M
C．－4∈M D．4∈M
【解析】根据题意，分4种情况讨论：①x，y，z全部为负数时，则xyz也为负数，则＋＋＋＝－4；②x，y，z中有一个为负数时，则xyz为负数，则＋＋＋＝0；③x，y，z中有两个为负数时，则xyz为正数，则＋＋＋＝0；④x，y，z全部为正数时，则xyz为正数，则＋＋＋＝4.分析选项可得CD符合.
故选CD.
6. 由实数－a，a，|a|，所组成的集合最多含有的元素个数是(　　)
A．1 B．2
C．3 D．4
【解析】当a＝0时，这四个数都是0，所组成的集合只有一个元素0.当a≠0时，＝|a|＝所以一定与a或－a中的一个一致.故组成的集合中最多含有两个元素.
故选B.
【练思维】
1. 集合A中的元素y满足y∈N且y＝－x2＋1，若t∈A，则t的值为(　　)
A．0 B．1
C．0或1 D．小于或等于1
【解析】由y∈N且y＝－x2＋1≤1，所以y＝0或y＝1，所以A＝{0，1}．又因为t∈A，所以t＝0或t＝1.
故选C.
2. 集合A的元素y满足y＝x2＋1，集合B的元素(x，y)满足y＝x2＋1(A，B中x∈R，y∈R)．则下列选项中元素与集合的关系都正确的是(　　)
A．2∈A，且2∈B
B．(1，2)∈A，且(1，2)∈B
C．2∈A，且(3，10)∈B
D．(3，10)∈A，且2∈B
【解析】集合A中的元素为y，是数集，又y＝x2＋1≥1，故2∈A，集合B中的元素为点(x，y)，且满足y＝x2＋1，经验证，(3，10)∈B。
故选C.
3. 集合A的元素y满足y＝x2＋1，集合B的元素(x，y)满足y＝x2＋1(A，B中x∈R，y∈R).则下列选项中元素与集合的关系都正确的是(　　)
A.2∈A，且2∈B
B.(1，2)∈A，且(1，2)∈B
C.2∈A，且(3，10)∈B
D.(3，10)∈A，且2∈B
【解析】集合A中的元素为y，是数集，
又y＝x2＋1≥1，故2∈A，
集合B中的元素为点(x，y)，
且满足y＝x2＋1，
经验证，(3，10)∈B.
故选C.
4. 由三个数a，，1组成的集合与由a2，a＋b，0组成的集合相等，求a2 022＋b2 022的值.
【解析】由a，，1组成一个集合，可知a≠0，a≠1，由题意可得或
解得或(不满足集合元素的互异性，舍去).
所以a2 022＋b2 022＝(－1)2 022＋0＝1.
【练创新】
1. 定义满足“如果a∈A，b∈A，那么a±b∈A，且ab∈A，且∈A(b≠0)”的集合A为“闭集”．试问数集N，Z，Q，R是否分别为“闭集”？若是，请说明理由；若不是，请举反例说明．
【解析】①数集N，Z不是“闭集”，例如，3∈N，2∈N，而＝1.5 N；3∈Z，－2∈Z，而＝－1.5 Z，故N，Z不是闭集．
②数集Q，R是“闭集”．
由于两个有理数a与b的和，差，积，商，
即a±b，ab，(b≠0)仍是有理数，
所以Q是闭集，同理R也是闭集．
2. 设集合A中的元素均为实数，且满足条件：若a∈A，则∈A(a≠1，且a≠0).
求证：(1)若2∈A，则A中必还有另外两个元素；
(2)集合A不可能是单元素集.
【解析】证明　(1)若a∈A，则∈A.
又因为2∈A，所以＝－1∈A.
因为－1∈A，所以＝∈A.
因为∈A，所以＝2∈A.
所以A中另外两个元素为－1，.
(2)若A为单元素集，则a＝，
即a2－a＋1＝0，方程无实数解.
所以a≠，所以集合A不可能是单元素集.
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