第二章：一元二次函数、方程与不等式-【高中数学同步讲练通关册】2022-2023学年高一数学上学期同步讲与练(人教A版2019必修第一册)

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第二章：一元二次函数、方程与不等式重点题型复习
题型一 不等式的性质应用
【例1】若，则下列命题为假命题的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
【答案】B
【解析】对A：因为，所以，故选项A正确；
对B：因为，，所以当时，；
当时，；当时，，故选项B错误；
对C：因为，所以由不等式的性质可得，故选项C正确；
对D：因为，所以，所以，故选项D正确.
故选：B.
【变式1-1】已知，则下列不等式正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】方法一：因为，可知，所以，
所以，，所以，，，
所以A正确，B，C错误．
因为，所以，所以D错误，故选：A
方法二；因为，设，，
所以，，，所以，,,,
所以A正确，B，C，D错误,故选：A
【变式1-2】（多选）若，则下列正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】ABC
【解析】选项A，因为，所以，
，故A正确；
选项B，由均值不等式，当，，由于，
故等号不成立，即，故B正确；
选项C，由于，故，故，故C正确；
选项D，取，而，故D错误
故选：ABC
【变式1-3】（多选）若，且，则在四个数中正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】ABD
【解析】由于，则，
又，所以，
又，即.
故选：ABD
题型二 利用不等式求代数式的取值范围
【例2】已知，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】，
故，，得故选：C
【变式2-1】若实数x，y满足，则的取值范围（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】设，
则，解得，
故，
又因，所以，
所以.故选：A.
【变式2-2】已知，，求的取值范围.
【答案】
【解析】设，则有：
，解得：，所以.
因为，所以，
因为，所以，
所以，
即，
所以的取值范围为.
【变式2-3】已知，，求，的取值范围．
【答案】的取值范围是，的取值范围是．
【解析】因为，所以．
又，所以，
即．
因为，所以，
因为，所以，
所以，即．
所以的取值范围是，的取值范围是．
题型三 解一元二次不等式
【例3】已知集合，，则A∩B=（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因为，，所以.故选：D
【变式3-1】不等式的解集为（ ）
A．或 B． C．或 D．
【答案】A
【解析】可化为，
即，即或．
所以不等式的解集为或.故选：A
【变式3-2】解下列不等式：
（1）； （2）； （3）.
【答案】（1）或；（2）；（3）或或
【解析】（1）原不等式等价于，即，
即，所以，
所以或，
所以原不等式的解集或；
（2）由，可得，
所以，解得，
所以原不等式的解集为；
（3）原不等式等价于或，
分别解这两个不等式组，得或或或，
故原不等式的解集为或或.
【变式3-3】解下列关于的不等式：（为实数）
（1）；（2）.
【答案】（1）详见解析；（2）详见解析
【解析】（1）原不等式对应的一元二次方程为：，，
当时，，原不等式无解；
当时，对应一元二次方程的两个解为：，
所以的解为：，
综上所述，时，原不等式无解，
当时，原不等式的解集为；
（2）原不等式等价于，
当时，解集为；
当时，原不等式可化为，
因为，所以解集为；
当时，，解集为；
当时，原不等式等价于，
所以，解集为；
当时，，解集为；
综上所述，当时，解集为；当时，解集为；
当时，解集为；当时，解集为.
题型四 三个“二次”之间的关系
【例4】已知关于的一元二次不等式的解集为，则不等式的解集是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】不等式的解集是，
所以方程的解是和，且，
则，解得，，
所以不等式化为，
即，解得，
所以，所求不等式的解集是．故选：A．
【变式4-1】不等式的解集为，则不等式的解集为______．
【答案】
【解析】因为的解集为，
则，且对应方程的根为-2和4，
所以，，且，
不等式可化为，
则，即，解得或．
故答案为．
【变式4-2】已知不等式的解集是，，则不等式的解集是____________.
【答案】
【解析】由不等式的解集是，可知：
，是一元二次方程的实数根，且；
由根与系数的关系可得：， ，
所以不等式化为 ，
即：；化为；
又，；
不等式的解集为：|}，
故答案为：
【变式4-3】已知二次函数的图象如图所示，则不等式的解集是（ ）
A． B．或 C． D．或
【答案】A
【解析】由二次函数图象知：有.故选：A
【变式4-4】已知二次函数图象如图所示.则不等式的解集为_________.
【答案】
【解析】根据二次函数的图象可知，
为方程的两根，
故，即，
则即，也即，
，解得或.
故不等式解集为.
故答案为：.
题型五 一元二次不等式恒成立与有解问题
【例5】“关于x的不等式对恒成立”的一个必要不充分条件是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由“关于的不等式对恒成立”，
可得，解得：.故选：B．
【变式5-1】已知对任意，恒成立，则实数x的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】对任意，不等式恒成立，
即对任意，恒成立，
所以对任意，恒成立，
所以对任意，，
所以，解得，
故实数x的取值范围是．故选：D．
【变式5-2】若关于x的不等式有实数解，则a的取值范围是（ ）
A．(0，1] B．[0，1) C． D．
【答案】D
【解析】当时，不等式为，有实数解，满足题意；
当时，不等式对应的二次函数开口向下，
所以不等式有实数解，满足题意；
当时，要使不等式有实数解，则需满足，解得，
综上，a的取值范围是.故选：D.
【变式5-3】已知命题：“，”为真命题，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由题意不等式在上有解，
所以或，
解得或，所以．故选：A．
题型六 利用基本不等式求最值
【例6】已知，，则的最小值为___________.（人教B版）
【答案】18
【解析】，，
当且仅当，即时，等号成立，
的最小值为18，故答案为：18.
【变式6-1】已知正实数a、b满足，若的最小值为4，则实数m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因为为正实数，=，
当，即时等号成立，此时有，
又因为，所以，
由基本不等式可知（时等号成立），
所以.故选：B.
【变式6-2】已知正实数a，b满足，则的最小值是（ ）
A． B．3 C． D．
【答案】A
【解析】因为，所以，所以 ，
所以，
令，则，且 ，
所以，
当且仅当，即，时，取等号，
所以的最小值是.故选：A.
【变式6-3】已知正实数x，y满足，则的最小值为（ ）
A．2 B．4 C．8 D．12
【答案】C
【解析】解：由，且，可得，
所以，
当且仅当，即，时取等号．故选：C
【变式6-4】下列命题中不正确的为（ ）
①.若正实数，满足，则的最小值为
②.已知，，，则的最大值为
③.存在实数，满足，使得的最小值是6
④.若，则的最小值为
A．④ B．②④ C．③④ D．①②
【答案】A
【解析】①正实数，满足，故，
所以，
当时，取得最小值为，故①正确；
②因为，，所以，
当且仅当时，等号成立，故，
所以的最大值为，②正确；
③因为，所以，
当且仅当，即时，等号成立，
故存在实数，满足，使得的最小值是6，③正确；
④当，时，满足，此时，
故的最小值不是；④错误
故选：A
题型七 基本不等式恒成立问题
【例7】已知且，若恒成立，则实数m的取值范围是（ ）
A． B．} C． D．
【答案】D
【解析】∵，且，
∴，
当且仅当时取等号，∴，
由恒成立可得，
解得：，故选：D.
【变式7-1】已知实数x、y满足，且不等式恒成立，则c的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】，
，当且仅当时“”成立，
又不等式恒成立，
，
的取值范围是．故选：B．
【变式7-2】若对任意正数，不等式恒成立，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】依题意得，当时， 恒成立，
又因为，当且仅当时取等号，
所以，的最大值为，
所以，解得的取值范围为．故选：B
【变式7-3】对任意及，不等式恒成立，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】依题意，对任意及，
不等式恒成立等价于
对任意及，恒成立.
设，则.
因为，，
所以，则，即，
则，
当且仅当，即时取等号，
∴.故选：D.
【变式7-4】若关于的不等式对任意恒成立，则正实数的取值集合为（ ）
A．（－1，4] B．（0，4） C．（0，4] D．（1，4]
【答案】C
【解析】由题意可得对任意恒成立，
由，可得，
当且仅当即时，取得等号，
则，解得.故选：C.
【变式7-5】已知a>b>c，若恒成立，则m的最大值为（ ）
A．3 B．4 C．8 D．9
【答案】D
【解析】由，知，，，
由，得，
又，
，
当且仅当，
即时，取得最小值9，
，的最大值为9．故选：．
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2.1 等式性质与不等式性质
一、等式的基本性质
1．如果a＝b，那么b＝a.
2．如果a＝b，b＝c，那么a＝c.
3．如果a＝b，那么a±c＝b±c.
4．如果a＝b，那么ac＝bc.
5．如果a＝b，c≠0，那么＝.
二、不等式的性质
性质 别名 性质内容 注意
1 对称性 a>b b2 传递性 a>b，b>c a>c 不可逆
3 可加性 a>b a＋c>b＋c 可逆
4 可乘性 a>b，c>0 ac>bc a>b，c<0 ac5 同向可加性 a>b，c>d a＋c>b＋d 同向
6 正数同向可乘性 a>b>0，c>d>0 ac>bd 同向
7 正数乘方性 a>b>0 an>bn(n∈N，n≥2) 同正
三、比较两个实数（或代数式）大小
1、作差法、作商法是比较两个实数（或代数式）大小的基本方法．
①作差法的步骤：作差、变形、判断差的符号、得出结论．
②作商法的步骤：作商、变形、判断商与1的大小、得出结论．
2、介值比较法也是比较大小的常用方法，其实质是不等式的传递性：
若a＞b，b＞c，则a＞c；若a＜b，b＜c，那么a＜c．其中b是介于a与c之间的值，
此种方法的关键是通过恰当的放缩，找出一个比较合适的中介值．
【注意】
（1）比较代数式的大小通常采用作差法，如果含有根式，也可以先平方再作差，但此时一定要保证代数式大于零；（2）作差时应该对差式进行恒等变形（如配方、因式分解、有理化、通分等），直到能明显看出其正负号为止。
题型一 利用不等式性质判断真假
【例1】如果那么下列说法正确的是（ ）
A． B． C． D．
【变式1-1】若，则下列不等式不能成立的是（ ）
A． B． C． D．
【变式1-2】下列命题正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，，则 D．若，，则
【变式1-3】若为实数，且，则下列命题正确的是（ ）
A． B． C． D．
【变式1-4】已知，满足，，，则（ ）
A． B． C． D．
题型二 比较大小
【例2】设，则的大小关系为（ ）．
A． B． C． D．
【变式2-1】已知，比较与的大小．
【变式2-2】已知a，b均为正实数，试利用作差法比较与的大小.
【变式2-3】比较与两个代数式的大小：；
【变式2-4】设，，则（ ）
A． B． C． D．
【变式2-5】已知，，试比较与的大小；
题型三 求代数式的取值范围
【例3】若，则的范围为_______
【变式3-1】（多选）已知，，则下列正确的是（ ）
A． B． C． D．
【变式3-2】已知，则的取值范围是____________.
【变式3-3】已知实数，满足，，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【变式3-4】已知，，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
题型四 不等式的证明
【例4】证明不等式 ().
【变式4-1】已知，求证.
【变式4-2】若，，求证：．
【变式4-3】（1）已知，求证：；
（2）已知，求证：；
（3）已知，求证：.
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2.1 等式性质与不等式性质
一、等式的基本性质
1．如果a＝b，那么b＝a.
2．如果a＝b，b＝c，那么a＝c.
3．如果a＝b，那么a±c＝b±c.
4．如果a＝b，那么ac＝bc.
5．如果a＝b，c≠0，那么＝.
二、不等式的性质
性质 别名 性质内容 注意
1 对称性 a>b b2 传递性 a>b，b>c a>c 不可逆
3 可加性 a>b a＋c>b＋c 可逆
4 可乘性 a>b，c>0 ac>bc a>b，c<0 ac5 同向可加性 a>b，c>d a＋c>b＋d 同向
6 正数同向可乘性 a>b>0，c>d>0 ac>bd 同向
7 正数乘方性 a>b>0 an>bn(n∈N，n≥2) 同正
三、比较两个实数（或代数式）大小
1、作差法、作商法是比较两个实数（或代数式）大小的基本方法．
①作差法的步骤：作差、变形、判断差的符号、得出结论．
②作商法的步骤：作商、变形、判断商与1的大小、得出结论．
2、介值比较法也是比较大小的常用方法，其实质是不等式的传递性：
若a＞b，b＞c，则a＞c；若a＜b，b＜c，那么a＜c．其中b是介于a与c之间的值，
此种方法的关键是通过恰当的放缩，找出一个比较合适的中介值．
【注意】
（1）比较代数式的大小通常采用作差法，如果含有根式，也可以先平方再作差，但此时一定要保证代数式大于零；（2）作差时应该对差式进行恒等变形（如配方、因式分解、有理化、通分等），直到能明显看出其正负号为止。
题型一 利用不等式性质判断真假
【例1】如果那么下列说法正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因为，不等式两边同时减去得，D正确，
若，则AB错误，若，C错误．故选：D．
【变式1-1】若，则下列不等式不能成立的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】选项A：由于，即，，所以，所以，所以成立；
选项B：由于，即，所以，所以，所以不成立；
选项C：由于，所以，所以，所以成立；
选项D：由于，所以，所以，所以，所以成立
【变式1-2】下列命题正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，，则 D．若，，则
【答案】C
【解析】A.若，则，取 不成立
B.若，则，取 不成立
C. 若，，则，正确
D. 若，，则，取 不成立故答案选C
【变式1-3】若为实数，且，则下列命题正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】对于A，当时，，A错误；
对于B，当，时，，，此时，B错误；
对于C，，，C错误；
对于D，，，
，，，D正确.
【变式1-4】已知，满足，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因，，则a>0，b<0，，A不正确；
，则，B不正确；
又，即，则，，C正确；
由得，D不正确.故选：C
题型二 比较大小
【例2】设，则的大小关系为（ ）．
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】，，，，.又，故．
综上可得：．故选：.
【变式2-1】已知，比较与的大小．
【答案】
【解析】因为，
．
所以．
所以，
即．
【变式2-2】已知a，b均为正实数，试利用作差法比较与的大小.
【答案】
【解析】∵
.
又a，b均为正实数，当时，；
当时，，则.
综上所述，.
【变式2-3】比较与两个代数式的大小：；
【答案】；
【解析】，
因此，；
【变式2-4】设，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】，
，
则.
故，当且仅当时，取等号，故选：D
【变式2-5】已知，，试比较与的大小；
【答案】（当且仅当时取等号）
【解析】由
，当且仅当时等号成立，
所以（当且仅当时取等号）.
题型三 求代数式的取值范围
【例3】若，则的范围为_______
【答案】
【解析】依题意可知，
由于，由不等式的性质可知.
【变式3-1】（多选）已知，，则下列正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】AB
【解析】因为，，
所以，，
则，，，
即，，，则；
故AB正确，CD错.
【变式3-2】已知，则的取值范围是____________.
【答案】
【解析】令，
则，解得，
所以，
因为，所以，
因为，
所以，
所以，
所以的取值范围为，
【变式3-3】已知实数，满足，，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】令，，
, 则
又，
因此，故本题选B.
【变式3-4】已知，，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】令
则，∴，
又，…∴①，
∴…②∴①②得．
则．故选C．
题型四 不等式的证明
【例4】证明不等式 ().
【答案】证明见解析.
【解析】因为，
所以，
所以
两边同除以4，即得，当且仅当时，取等号.
【变式4-1】已知，求证.
【答案】证明见解析.
【解析】证明： .
由，可知，，
从而，
又，，又，
因此上式分子、分母均小于零，
，即.
【变式4-2】若，，求证：．
【解析】证明：，
，
，
.
【变式4-3】（1）已知，求证：；
（2）已知，求证：；
（3）已知，求证：.
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）证明见解析.
【解析】（1）因为，所以.
则.
（2）因为，所以.
又因为，所以，
即，因此.
（3）因为，根据（2）的结论，得.
又因为，则 ，即.
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2.3 二次函数与一元二次方程、不等式
一、一元二次不等式的相关概念
1、定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，叫做一元二次不等式
2、一般形式：ax2＋bx＋c>0（≥0），ax2＋bx＋c<0（≤0），（其中a≠0，a，b，c均为常数）
3、一元二次不等式的解集
使某一个一元二次不等式成立的x的值，叫作这个一元二次不等式的解；
一元二次不等式的所有解组成的集合，叫作这个一元二次不等式的解集；
将一个不等式转化为另一个与它解集相同的不等式，叫作不等式的同解变形。
二、一元二次函数的零点
一般地，对于二次函数y＝ax2＋bx＋c，我们把使ax2＋bx＋c＝0的实数x叫做二次函数y＝ax2＋bx＋c的零点．
三、二次函数与一元二次方程的根、一元二次不等式的解集的对应关系
对于一元二次方程的两根为且，设，它的解按照，，可分三种情况，相应地，二次函数的图像与轴的位置关系也分为三种情况.因此我们分三种情况来讨论一元二次不等式或的解集.
判别式Δ＝b2－4ac Δ>0 Δ＝0 Δ<0
二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象
一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0(a>0)的根 有两个不相等的实数根x1，x2(x1ax2＋bx＋c>0(a>0)的解集 {x|xx2} R
ax2＋bx＋c<0(a>0)的解集 {x|x1四、解一元二次不等式的步骤
第一步：先看二次项系数是否为正，若为负，则将二次项系数化为正数；
第二步：写出相应的方程，计算判别式：
①时，求出两根，且（注意灵活运用因式分解和配方法）；
②时，求根；
③时，方程无解
第三步：根据不等式，写出解集.
五、含参数的一元二次不等式讨论依据
1、对二次项系数进行大于0，小于0，等于0分类讨论；
2、当二次项系数不等于0时，再对判别式进行大于0，小于0，等于0的分类讨论；
3、当判别式大于0时，再对两根的大小进行讨论，最后确定出解集。
题型一 解不含参数一元二次不等式
【例1】的解集为（ ）
A． B．或 C． D．
【变式1-1】不等式的解集是（ ）
A． B． C． D．
【变式1-2】不等式的解集是（ ）
A．R B． C．或 D．
【变式1-3】不等式的解集是（ ）
A． B． C．或 D．
【变式1-4】不等式的解集为（ ）
A． B．或 C． D．或
【变式1-5】求下列不等式的解集：
（1）； （2）； （3）；
题型二 解含参数一元二次不等式
【例2】解关于的不等式：
【变式2-1】解关于x的不等式
【变式2-2】（多选）下列关于不等式的解集讨论正确的是（ ）
A．当时，的解集为
B．当时，的解集为
C．当时，的解集为
D．无论a取何值时，的解集均不为空集
【变式2-3】（多选）已知关于的一元二次不等式，其中，则该不等式的解集可能是（ ）
A． B． C． D．
【变式2-4】设关于x的一元二次不等式与的解集分别为与，则不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
题型三 由一元二次不等式的解确定参数
【例3】关于的不等式的解集为空集，则实数k的取值范围是（ ）
A． B． C．或 D．
【变式3-1】已知关于的不等式的解集为，则不等式的解集是（ ）
A．或 B． C．或 D．
【变式3-2】若关于x的不等式的解集为，则ab的值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．－1
【变式3-3】已知关于x的不等式的解集为M，若，则a的取值范围为（ ）
A．[－2，4] B．（－2，4） C． D．
【变式3-4】若关于x的不等式的解集中恰有3个整数，则实数m的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
题型四 一元二次不等式恒成立与有解问题
【例4】已知关于的不等式对任意恒成立，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【变式4-1】若不等式对一切实数均成立，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【变式4-2】对任意的，恒成立，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【变式4-3】命题“存在，”为假命题，则实数a的取值范围是___________.
【变式4-4】已知命题“，”是真命题，则实数的取值范围（ ）
A． B． C．） D．
【变式4-5】若不等式在上有解，则a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
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2.2 基本不等式
一、基本不等式的概念
1、两个不等式
重要不等式：,（当且仅当时取号）.
常见变形公式：、
基本不等式： ,（当且仅当时取到等号）.
常见变形公式： ；
【注意】（1）成立的条件是不同的：前者只要求都是实数，而后者要求都是正数；
（2）取等号“=” 的条件在形式上是相同的，都是“当且仅当时取等号”.
（3）我们称为的算术平均数，称为的几何平均数.
因此基本不等式可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.
2、由公式和引申出的常用结论
①（同号）；
②（异号）；
③或
二、基本不等式的证明
1、法一：几何面积法
如图，在正方形中有四个全等的直角三角形.
设直角三角形的两条直角边长为、，那么正方形的边长为.
这样，4个直角三角形的面积的和是，正方形的面积为.
由于4个直角三角形的面积小于正方形的面积，所以：.
当直角三角形变为等腰直角三角形，即时，正方形缩为一个点，
这时有.
得到结论：如果，那么（当且仅当时取等号“=”）
特别的，如果，,我们用、分别代替、，可得：
如果，,则，（当且仅当时取等号“=”）.
通常我们把上式写作：如果，,，（当且仅当时取等号“=”）
2、法二：代数法
∵，
当时，；
当时，.
所以，（当且仅当时取等号“=”）.
三、基本不等式的几何意义
如图，是圆的直径，点是上的一点，,，
过点作交圆于点D，连接、.
易证，那么，即.
这个圆的半径为，它大于或等于，即，
其中当且仅当点与圆心重合，即时，等号成立.
四、利用基本不等式求最值
1、在用基本不等式求函数的最值时，要满足三个条件：一正二定三取等.
①一正：各项均为正数；
②二定：含变数的各项的和或积必须有一个为定值；
③三取等：含变数的各项均相等，取得最值.
2、积定和最小，和定积最大
（1）设x，y为正实数，若x＋y＝s(和s为定值)，则当x=y时，积xy有最大值，且这个值为.
（2）设x，y为正实数，若xy＝p(积p为定值),则当x=y时，和x＋y有最小值,且这个值为2.
题型一 对基本不等式的理解
【例1】若，且，则下列不等式一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】取满足，且，此时，A错误；
取满足，且，此时，B错误；
可得，C正确；
取满足，且，此时，D错误.故选：C.
【变式1-1】设，，下列不等式正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】对于A，，，由均值不等式，，
当且仅当，即时取“”，A错误；
对于B，，所以，B错误；
对于C，，C错误；
对于D，由，，，得，
当且仅当时，取“”，D正确.故选：D
【变式1-2】若，有下面四个不等式：（1）；（2），（3），（4）.则不正确的不等式的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】C
【解析】因为，所以，成立，所以（1）不正确，（4）不正确；
因为，所以（3）正确；
都大于0且不等于1，由基本不等式可知（2）正确．故选：C
【变式1-3】已知且，下列各式中最大的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因为，所以，，
所以，，
由均值不等式可知，所以，
由上可知：，
所以四个式子中最大，故选：D.
【变式1-4】（多选）设a＞0，b＞0，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】ACD
【解析】A. ，当且仅当时，等号成立，故正确；
B. 因为，正负不定，故错误；
C. ，
当且仅当，时，等号成立，故正确；
D. ，故正确；
故选：ACD
题型二 利用基本不等式证明不等式
【例2】已知a，b，c是互不相等的正数，且a＋b＋c＝1，求证：>8.
【答案】证明见解析
【解析】由于为互不相等的正实数，且，
所以，
所以.
【变式2-1】设，为正实数，求证：．
【答案】证明见解析
【解析】因为，为正实数，所以，，，
当且仅当时取等号，
所以，
即，当且仅当时取等号；
【变式2-2】设a，b为正数，且．证明：
（1）：
（2）．
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析
【解析】（1），
，当且仅当“”时取“＝”，
，当且仅当“”时取“=”，
所以，
所以．
（2）因为，所以
所以，
因为a，b为正数，且，所以，
所以，
所以．
【变式2-3】设a，b，c均为正数，且，证明：
（1）；
（2）．
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析
【解析】（1）因为，当且仅当时，等号成立，
，当且仅当时，等号成立，
，当且仅当时，等号成立，
所以，
即，
即，当且仅当时，等号成立.
（2）因为,
所以，当且仅当时，等号成立，
即，即，
所以，当且仅当时，等号成立.
题型三 利用基本不等式求最值
【例3】已知x，y∈R＋，且x＋4y＝1，则xy的最大值为________．
【答案】
【解析】，当且仅当时取等号．
【变式3-1】（1）已知，则取得最大值时的值为________．
（2）已知，则的最大值为________．
【答案】（1）；（2）1
【解析】（1），
当且仅当，即时，取等号．
（2）因为，所以，
则,
当且仅当，即时，取等号．
故的最大值为1.
【变式3-2】已知，，，求的最小值；
【答案】2
【解析】，，
当且仅当时，等号成立
当时，的最小值为
【变式3-3】已知正数a，b满足，求的最小值．
【答案】
【解析】因为，，
所以，
当且仅当，即时取等号，
所以当时，的最小值.
【变式3-4】设x，y是正实数，且x+y=1，则的最小值是________ ．
【答案】
【解析】设x=2=s，y+1=t，则s+t=x+y+3=4，
因为
所以。
题型四 基本不等式的恒成立问题
【例4】当时，不等式恒成立，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】∵当时，不等式恒成立，
∴对均成立．
由于，
当且仅当时取等号，
故的最小值等于3，，
则实数a的取值范围是．故选：D．
【变式4-1】已知，，若不等式恒成立，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】，，若不等式恒成立，
恒成立
，
当且仅当时取等号．
，即的最大值为．故选：B．
【变式4-2】若不等式对任意恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由不等式对任意恒成立转化为
，其中,即可.
，
当且仅当，即时，等号成立，即，
所以实数的取值范围是.
【变式4-3】（多选）若，恒成立，则的取值可以是（ ）
A． B． C． D．
【答案】BCD
【解析】由，可知，，则，，则，
则，
当且仅当，即时，等号成立，
所以，所以，
因为，则.故选：BCD.
【变式4-4】若对任意实数，不等式恒成立，则实数a的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由题意可得，对于任意实数恒成立，
则只需求的最大值即可，，
设，则，
再设，则
，当且仅当时取得“=”.
所以，即实数a的最小值为.故选：D.
题型五 利用基本不等式解应用题
【例5】如图，公园的管理员计划在一面墙的同侧，用彩带围成四个相同的长方形区域.若每个区域的面积为m，要使围成四个区域的彩带总长最小，则每个区域的长和宽分别是多少米？求彩带总长的最小值.
【答案】每个区域的长和宽分别是m和m时，彩带总长最小，最小值为m
【解析】设每个区域的长为，宽为，由题意得，，，
则彩带总长==，
当且仅当，即且等号成立，
所以每个区域的长和宽分别是和时，彩带总长最小，最小值为.
【变式5-1】为宣传2022年北京冬奥会，某公益广告公司拟在一张矩形海报纸（记为矩形，如图）上设计三个等高的宣传栏（栏面分别为一个等腰三角形和两个全等的直角梯形），宣传栏（图中阴影部分）的面积之和为.为了美观，要求海报上所有水平方向和竖直方向的留空宽度均为.设直角梯形的高为.
（1）当时，求海报纸的面积；
（2）为节约成本，应如何选择海报纸的尺寸，可使用纸量最少（即矩形的面积最小）？
【答案】（1）；（2）当海报纸宽为，长为，可使用纸量最少．
【解析】（1）宣传栏（图中阴影部分）的面积之和为，直角梯形的高为，
则梯形长的底边，
海报上所有水平方向和竖直方向的留空宽度均为，
，，
故海报面积为．
（2）直角梯形的高为，宣传栏（图中阴影部分）的面积之和为，
，
海报上所有水平方向和竖直方向的留空宽度均为，
海报宽，海报长，
故，
当且仅当，即，
故当海报纸宽为，长为，可使用纸量最少．
【变式5-2】2020 年初至今，新冠肺炎疫情袭击全球，对人民生命安全和生产生活造成严重影响. 在党和政府强有力的抗疫领导下，我国控制住疫情后，一方面防止境外疫情输入，另一方面逐步复工复产，减轻经济下降对企业和民众带来的损失. 为降低疫情影响，某厂家拟在2022年举行某产品的促销活动，经调查测算，该产品的年销售量(即该厂的年产量) x万件与年促销费用m万元(m≥0)满足 x= 4 . 已知生产该产品的固定成本为 8万元，生产成本为16万元 / 万件，厂家将产品的销售价格定为万元 / 万件 (产品年平均成本)的1.5倍.
（1）将2022年该产品的利润y万元表示为年促销费用m万元的函数；
（2）该厂家2022年的促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大？
【答案】（1）；（2）3万元
【解析】（1）由题意知，每万件产品的销售价格为（万元），x= 4
则2022年的利润．
（2）∵当时，，
∴，（当且仅当时等号成立）
∴，当且仅当万元时，（万元）．
故该厂家2022年的促销费用投入3万元时，厂家的利润最大为29万元．
【变式5-3】第四届中国国际进口博览会于2021年11月5日至10日在上海举行．本届进博会共有58个国家和3个国际组织参加国家展（国家展今年首次线上举办），来自127个国家和地区的近3000家参展商亮相企业展．更多新产品、新技术、新服务“全球首发，中国首展”专（业）精（品）尖（端）特（色）产品精华荟萃，某跨国公司带来了高端空调模型参展，通过展会调研，中国甲企业计划在2022年与该跨国公司合资生产此款空调．生产此款空调预计全年需投入固定成本260万元，每生产x千台空调，需另投入资金R万元，且经测算，当生产10千台空调需另投入的资金R＝4000万元．现每台空调售价为0.9万元时，当年内生产的空调当年能全部销售完．
（1）求2022年企业年利润W（万元）关于年产量x（千台）的函数关系式；
（2）2022年产量为多少（千台）时，企业所获年利润最大？最大年利润多少？
（注：利润＝销售额－成本）
【答案】（1）
（2）当2022年产量为100千台时，企业的利润最大，最大利润为8990万元
【解析】（1）由题意知，当x＝10时，所以a＝300
当时，
当时，
所以
（2）当0＜x＜40时，，
所以，当x＝30时，W有最大值，最大值为8740
当时，．
当且仅当即x＝100时，W有最大值，最大值为8990
因为8740＜8990，所以当2022年产量为100千台时，
企业的利润最大，最大利润为8990万元.
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第二章：一元二次函数、方程与不等式章末测试
一、单选题：本大题巩8个小题，每个小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．下列结论正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
【答案】C
【解析】对于A;若，时，则，故A错；
对于B;若取，则无意义，故B错；
对于C；根据不等式的可加性可知：若，则，故C正确；
对于D;若取，但,故D错；故选：C
2．设，，则与的大小关系是（ ）
A． B． C． D．无法确定
【答案】A
【解析】因为，，
所以，
∴，故选：A
3．在开山工程爆破时，已知导火索燃烧的速度是每秒厘米，人跑开的速度为每秒4米，距离爆破点100米以外（含100米）为安全区．为了使导火索燃尽时人能够跑到安全区，导火索的长度x（单位：厘米）应满足的不等式为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由题意知导火索的长度x（单位：厘米），故导火索燃烧的时间为秒，
人在此时间内跑的路程为米，
由题意可得．故选：B．
4．若且，则，，，中的最大值的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由题意，实数且，可得，，
又由，
因为，可得，所以，
所以，所以最大值为.故选：C.
5．“”是“”成立的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】∵，则或
因为是或的真子集，故选：A．
6．已知使不等式成立的任意一个，都满足不等式，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由得，
因为使不等式成立的任意一个，都满足不等式
则不等式的解集是的子集，
又由得，
当，，符合；
当，，则，，
当，，符合，
故实数的取值范围为.故选：C.
7．已知，用基本不等式求的最小值时，有，则取得最小值时的值为（ ）
A． B． C． D．3
【答案】C
【解析】因为，所以，
当且仅当，即时，等号成立，即取得最小值．故选：C
8．若两个正实数x，y满足，且不等式恒成立，则实数m的取值范围为（ ）
A． B．或
C． D．或
【答案】C
【解析】由题意知，
，
当且仅当，即时取等，
又不等式恒成立，则不等式，
即 ，解得.故选：C.
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9．（多选）对于实数a，b，c，下列命题为真命题的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，，则 D．若，，则
【答案】AB
【解析】对于A：因为，所以，，
所以，故A为真命题；
对于B：因为，，所以，
同理可得，即，故B为真命题；
对于C：因为，，所以，
故C为假命题；
对于D：因为，，所以，，，
所以，故D为假命题．
故选：AB．
10．已知，关于x的一元二次不等式的解集中有且仅有3个整数，则a的值可以是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】ABC
【解析】设，其图像开口向下，对称轴是，如图所示.
若关于的一元二次不等式的解集中有且仅有3个整数，
则，即，解得：，
又，故可以为0，1，2
故选：ABC
11．已知关于的一元二次不等式，其中，则该不等式的解集可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】ABD
【解析】不等式变形为，又，所以，
时，不等式解集为空集；
，，
时，，
因此解集可能为ABD．
故选：ABD．
12．下列说法正确的有（ ）
A．若，则的最大值是 -1
B．若，，都是正数，且，则的最小值是3
C．若，，，则的最小值是2
D．若实数，满足，则的最大值是
【答案】ABD
【解析】对于A，因为，所以，所以，
所以，
当且仅当，即时等号成立，
所以的最大值为-1，故A正确；
对于B，因为，，都是正数，且，所以，
所以
，
当且仅当，即即时等号成立，
所以的最小值为3，故B正确；
对于C，因为，，所以，
即（当且仅当时等号成立），
因为，所以，
所以，所以，
解得(舍去)或，当且仅当时等号成立，
所以的最小值为4，故C错误；
对于D，令，，则，，
因为，所以，同号，则，同号，
所以，
当且仅当，即时取等号，
所以的最大值是，故D正确，
故选：ABD．
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分
13．不等式的解集为_______________．
【答案】
【解析】不等式，可化为，
所以，解得或，
所以不等式的解集为.
故答案为：.
14．已知，且，则的最小值为_________．
【答案】4
【解析】，，
，
当且仅当=4时取等号，
结合,解得，或时，等号成立.
故答案为：
15．有一批材料可以建成200m长的围墙，若用此材料在一边靠墙的地方围成一块矩形的地，中间用同样的材料隔成三个面积相等的矩形（墙的长度足够用），则围成的整个矩形场地的最大面积是_______________.
【答案】
【解析】如图所示：
设每个小矩形长为米，宽为米，显然，则依题意可知，
设围成的整个矩形场地的面积为，
所以，
当且仅当时取等号，即当时取等号，
因此.
故答案为：
16．设命题：对任意，不等式恒成立，命题：存在，使得不等式成立，若与只有一个为真命题，则实数的取值范围是___________.
【答案】
【解析】对于：成立，而，有，
∴，∴；
对于：存在，使得不等式成立，只需，
而，∴，∴；
若，一真一假，则有两种情况：
若为假命题，为真命题，则，所以；
若为假命题，为真命题，则，所以.
综上，或，即实数的取值范围是.
故答案为：.
四、解答题：本小题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．已知不等式的解集为，求不等式的解集.
【答案】
【解析】∵的解集为，
∴且和4是方程的根.
，解得.
∴可化为，
即，即，解得且.
∴不等式的解集为.
18．已知正数a、b满足．
（1）求a+b的最小值；
（2）求的最小值．
【答案】（1）4；（2）25．
【解析】（1）因为a、b是正数，
所以，
当且仅当a＝b＝2时等号成立，故a+b的最小值为4．
（2）由
因为a＞1，b＞1，所以a﹣1＞0，b﹣1＞0，
则，
当且仅当、时等号成立，故的最小值为25．
19．已知关于的不等式．
（1）若对任意实数，不等式恒成立，求实数的取值范围；
（2）若对于，不等式恒成立，求实数的取值范围．
【答案】（1）；（2）
【解析】（1）若对任意实数，不等式恒成立，即恒成立
则关于的方程的判别式，
即，解得，所以实数的取值范围为．
（2）不等式，
可看成关于的一次不等式，又，
所以，解得且，
所以实数的取值范围是．
20．某汽车公司购买了辆大客车用于长途客运，每辆万元，预计每辆客车每年收入约万元，每辆客车第一年各种费用约为万元，从第二年开始每年比上一年所需费用要增加万元.
（1）写出辆客车运营的总利润(万元)与运营年数的函数关系式：
（2）这辆客车运营多少年，可使年平均运营利润最大？最大利润是多少？
【答案】（1）；
（2）这4辆客车运营年，可使年平均运营利润最大，最大利润为48万元.
【解析】（1）依题意得，每辆车年总收入为万元，
总支出为，
所以辆客车运营的总利润.
（2）年平均运营利润为，
因为，所以，当且仅当时，等号成立，
此时，
所以这4辆客车运营年，可使年平均运营利润最大，最大利润为48万元.
21．已知a，b，c均为正实数，求证：
（1）；
（2）．
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析
【解析】（1）证明：左边，
当且仅当时取“＝”．
故．
（2）证明：因为，当且仅当时取“＝”，
所以，
所以，所以，①
同理，当且仅当时取取“＝”，②
，当且仅当时取“＝”．③
①+②+③，得，
当且仅当时等号成立．
22．已知二次函数(，，)只能同时满足下列三个条件中的两个：①的解集为；②；③的最小值为．
（1）请写出满足题意的两个条件的序号，并求，，的值；
（2）求关于的不等式的解集．
【答案】（1）满足题意的条件为①③，，，；（2）答案见解析﹒
【解析】（1）假设条件①②符合题意．
∵，二次函数图象开口向下，
∴的解集不可能为，不满足题意．
假设条件②③符合题意．
由，知二次函数图象开口向下，无最小值，不满足题意．
∴满足题意的条件为①③．
∵不等式的解集为，
∴，3是方程的两根，
∴，，即，．
∴函数在处取得最小值，
∴，即，
∴，．
（2）由（1）知，则，即，
即．
∴当时，不等式的解集为{或}；
当时，不等式的解集为R；
当时，不等式的解集为{或}．
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2.3 二次函数与一元二次方程、不等式
一、一元二次不等式的相关概念
1、定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，叫做一元二次不等式
2、一般形式：ax2＋bx＋c>0（≥0），ax2＋bx＋c<0（≤0），（其中a≠0，a，b，c均为常数）
3、一元二次不等式的解集
使某一个一元二次不等式成立的x的值，叫作这个一元二次不等式的解；
一元二次不等式的所有解组成的集合，叫作这个一元二次不等式的解集；
将一个不等式转化为另一个与它解集相同的不等式，叫作不等式的同解变形。
二、一元二次函数的零点
一般地，对于二次函数y＝ax2＋bx＋c，我们把使ax2＋bx＋c＝0的实数x叫做二次函数y＝ax2＋bx＋c的零点．
三、二次函数与一元二次方程的根、一元二次不等式的解集的对应关系
对于一元二次方程的两根为且，设，它的解按照，，可分三种情况，相应地，二次函数的图像与轴的位置关系也分为三种情况.因此我们分三种情况来讨论一元二次不等式或的解集.
判别式Δ＝b2－4ac Δ>0 Δ＝0 Δ<0
二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象
一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0(a>0)的根 有两个不相等的实数根x1，x2(x1ax2＋bx＋c>0(a>0)的解集 {x|xx2} R
ax2＋bx＋c<0(a>0)的解集 {x|x1四、解一元二次不等式的步骤
第一步：先看二次项系数是否为正，若为负，则将二次项系数化为正数；
第二步：写出相应的方程，计算判别式：
①时，求出两根，且（注意灵活运用因式分解和配方法）；
②时，求根；
③时，方程无解
第三步：根据不等式，写出解集.
五、含参数的一元二次不等式讨论依据
1、对二次项系数进行大于0，小于0，等于0分类讨论；
2、当二次项系数不等于0时，再对判别式进行大于0，小于0，等于0的分类讨论；
3、当判别式大于0时，再对两根的大小进行讨论，最后确定出解集。
题型一 解不含参数一元二次不等式
【例1】的解集为（ ）
A． B．或 C． D．
【答案】B
【解析】因为时，解得或，
所以的解集为或.故选：B.
【变式1-1】不等式的解集是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】，解得：.故选：C.
【变式1-2】不等式的解集是（ ）
A．R B． C．或 D．
【答案】B
【解析】由题意得所求，令，为开口向上的抛物线，
，
所以恒成立，
所以不成立，故的解集为.故选：B
【变式1-3】不等式的解集是（ ）
A． B． C．或 D．
【答案】D
【解析】原式化为，即，故不等式的解集为.故选:D
【变式1-4】不等式的解集为（ ）
A． B．或 C． D．或
【答案】B
【解析】依题意可得，故，解得或，
所以不等式的解集为或故选：B．
【变式1-5】求下列不等式的解集：
（1）； （2）； （3）；
【答案】（1）；（2）；（3）.
【解析】（1），解得：
不等式解集为：.
（2），整理得：，即
解得：，不等式解集为：.
（3），整理得：
，故不等式再实数范围内无解
不等式解集为：.
题型二 解含参数一元二次不等式
【例2】解关于的不等式：
【解析】方程的解为，，
当时，原不等式的解集为；
当时，原不等式的解集为；
当时，原不等式的解集为.
【变式2-1】解关于x的不等式
【答案】答案不唯一，具体见解析
【解析】关于x的不等式，可化为
（1）当时，，解得．
（2）当，所以
所以方程的两根为-1和，
当，即时，不等式的解集为或}，
当，即时，不等式的解集为．
当，即时，不等式的解集为或}．
（3）当时，
因为方程的两根为—1和，
又因为，所以．
即不等式的解集是，
综上所述：当时，不等式的解集为
当时，不等式的解集为
当时，不等式的解集为或
当时，不等式的解集为
当时，不等式的解集为或}.
【变式2-2】（多选）下列关于不等式的解集讨论正确的是（ ）
A．当时，的解集为
B．当时，的解集为
C．当时，的解集为
D．无论a取何值时，的解集均不为空集
【答案】CD
【解析】对于A，当时，原不等式为，解得，故A不正确；
对于B，当时，原不等式为，
解得或，故B不正确；
对于C，当时，原不等式为，
解得或，故C正确；
对于D，由二次函数，开口向上，
所以无论a取何值时，不等式均有解，故D正确；
故选：CD.
【变式2-3】（多选）已知关于的一元二次不等式，其中，则该不等式的解集可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】ABD
【解析】不等式变形为，又，所以，
时，不等式解集为空集；
，，
时，，
因此解集可能为ABD．
【变式2-4】设关于x的一元二次不等式与的解集分别为与，则不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】的解集为，
则的解集为R.
的解集为，
则的解集为，
转化为
所以不等式的解集为.故选：B.
题型三 由一元二次不等式的解确定参数
【例3】关于的不等式的解集为空集，则实数k的取值范围是（ ）
A． B． C．或 D．
【答案】A
【解析】因不等式的解集为空集，
则当时，不成立，因此，满足题意，
当时，必有，解得，
综上得，所以实数k的取值范围是：.故选：A
【变式3-1】已知关于的不等式的解集为，则不等式的解集是（ ）
A．或 B． C．或 D．
【答案】B
【解析】由题意得，即，
所以，即，解得．故选：B
【变式3-2】若关于x的不等式的解集为，则ab的值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．－1
【答案】A
【解析】由题意知，解得，故选：A．
【变式3-3】已知关于x的不等式的解集为M，若，则a的取值范围为（ ）
A．[－2，4] B．（－2，4） C． D．
【答案】A
【解析】由于，所以，
即，解得，
所以的取值范围是.故选：A
【变式3-4】若关于x的不等式的解集中恰有3个整数，则实数m的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】不等式，即，
当时，不等式解集为，此时要使解集中恰有3个整数，
这3个整数只能是4，5，6，故；
当时，不等式解集为，此时不符合题意；
当时，不等式解集为，此时要使解集中恰有3个整数，
这3个整数只能是0，1，2，故；
故实数m的取值范围为．故选：C
题型四 一元二次不等式恒成立与有解问题
【例4】已知关于的不等式对任意恒成立，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】当时，该不等式为，成立；
当时，要满足关于的不等式对任意恒成立，
只需，解得，
综上所述，的取值范围是，故选：A.
【变式4-1】若不等式对一切实数均成立，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因为恒成立
所以恒成立
恒成立
恒成立
故，解之得：故选：A
【变式4-2】对任意的，恒成立，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】当时，由得：，
（当且仅当，即时取等号），
，解得：，
即的取值范围为.故选：D.
【变式4-3】命题“存在，”为假命题，则实数a的取值范围是___________.
【答案】
【解析】由于“存在，”为假命题，
所以“”，为真命题，
所以在区间上恒成立，
在区间上，当时，取得最大值为，
所以.
【变式4-4】已知命题“，”是真命题，则实数的取值范围（ ）
A． B． C．） D．
【答案】D
【解析】由题意，命题“，”是真命题
故，解得或.
则实数的取值范围是故选：D.
【变式4-5】若不等式在上有解，则a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】解：因为，所以不等式化为，
又在上单调递减，所以当时，有最小值．
所以a的取值范围是．故选：B．
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第二章：一元二次函数、方程与不等式重点题型复习
题型一 不等式的性质应用
【例1】若，则下列命题为假命题的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
【变式1-1】已知，则下列不等式正确的是（ ）
A． B． C． D．
【变式1-2】（多选）若，则下列正确的是（ ）
A． B． C． D．
【变式1-3】（多选）若，且，则在四个数中正确的是（ ）
A． B． C． D．
题型二 利用不等式求代数式的取值范围
【例2】已知，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【变式2-1】若实数x，y满足，则的取值范围（ ）
A． B． C． D．
【变式2-2】已知，，求的取值范围.
【变式2-3】已知，，求，的取值范围．
题型三 解一元二次不等式
【例3】已知集合，，则A∩B=（ ）
A． B． C． D．
【变式3-1】不等式的解集为（ ）
A．或 B． C．或 D．
【变式3-2】解下列不等式：
（1）； （2）； （3）.
【变式3-3】解下列关于的不等式：（为实数）
（1）；（2）.
题型四 三个“二次”之间的关系
【例4】已知关于的一元二次不等式的解集为，则不等式的解集是（ ）
A． B． C． D．
【变式4-1】不等式的解集为，则不等式的解集为______．
【变式4-2】已知不等式的解集是，，则不等式的解集是____________.
【变式4-3】已知二次函数的图象如图所示，则不等式的解集是（ ）
A． B．或 C． D．或
【变式4-4】已知二次函数图象如图所示.则不等式的解集为_________.
题型五 一元二次不等式恒成立与有解问题
【例5】“关于x的不等式对恒成立”的一个必要不充分条件是（ ）
A． B． C． D．
【变式5-1】已知对任意，恒成立，则实数x的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【变式5-2】若关于x的不等式有实数解，则a的取值范围是（ ）
A．(0，1] B．[0，1) C． D．
【变式5-3】已知命题：“，”为真命题，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
题型六 利用基本不等式求最值
【例6】已知，，则的最小值为___________.（人教B版）
【变式6-1】已知正实数a、b满足，若的最小值为4，则实数m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【变式6-2】已知正实数a，b满足，则的最小值是（ ）
A． B．3 C． D．
【变式6-3】已知正实数x，y满足，则的最小值为（ ）
A．2 B．4 C．8 D．12
【变式6-4】下列命题中不正确的为（ ）
①.若正实数，满足，则的最小值为
②.已知，，，则的最大值为
③.存在实数，满足，使得的最小值是6
④.若，则的最小值为
A．④ B．②④ C．③④ D．①②
题型七 基本不等式恒成立问题
【例7】已知且，若恒成立，则实数m的取值范围是（ ）
A． B．} C． D．
【变式7-1】已知实数x、y满足，且不等式恒成立，则c的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【变式7-2】若对任意正数，不等式恒成立，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【变式7-3】对任意及，不等式恒成立，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【变式7-4】若关于的不等式对任意恒成立，则正实数的取值集合为（ ）
A．（－1，4] B．（0，4） C．（0，4] D．（1，4]
【变式7-5】已知a>b>c，若恒成立，则m的最大值为（ ）
A．3 B．4 C．8 D．9
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第二章：一元二次函数、方程与不等式章末测试
一、单选题：本大题巩8个小题，每个小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．下列结论正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
2．设，，则与的大小关系是（ ）
A． B． C． D．无法确定
3．在开山工程爆破时，已知导火索燃烧的速度是每秒厘米，人跑开的速度为每秒4米，距离爆破点100米以外（含100米）为安全区．为了使导火索燃尽时人能够跑到安全区，导火索的长度x（单位：厘米）应满足的不等式为（ ）
A． B． C． D．
4．若且，则，，，中的最大值的是（ ）
A． B． C． D．
5．“”是“”成立的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
6．已知使不等式成立的任意一个，都满足不等式，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
7．已知，用基本不等式求的最小值时，有，则取得最小值时的值为（ ）
A． B． C． D．3
8．若两个正实数x，y满足，且不等式恒成立，则实数m的取值范围为（ ）
A． B．或
C． D．或
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9．（多选）对于实数a，b，c，下列命题为真命题的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，，则 D．若，，则
10．已知，关于x的一元二次不等式的解集中有且仅有3个整数，则a的值可以是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
11．已知关于的一元二次不等式，其中，则该不等式的解集可能是（ ）
A． B． C． D．
12．下列说法正确的有（ ）
A．若，则的最大值是 -1
B．若，，都是正数，且，则的最小值是3
C．若，，，则的最小值是2
D．若实数，满足，则的最大值是
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分
13．不等式的解集为_______________．
14．已知，且，则的最小值为_________．
15．有一批材料可以建成200m长的围墙，若用此材料在一边靠墙的地方围成一块矩形的地，中间用同样的材料隔成三个面积相等的矩形（墙的长度足够用），则围成的整个矩形场地的最大面积是_______________.
16．设命题：对任意，不等式恒成立，命题：存在，使得不等式成立，若与只有一个为真命题，则实数的取值范围是___________.
四、解答题：本小题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．已知不等式的解集为，求不等式的解集.
18．已知正数a、b满足．
（1）求a+b的最小值；
（2）求的最小值．
19．已知关于的不等式．
（1）若对任意实数，不等式恒成立，求实数的取值范围；
（2）若对于，不等式恒成立，求实数的取值范围．
20．某汽车公司购买了辆大客车用于长途客运，每辆万元，预计每辆客车每年收入约万元，每辆客车第一年各种费用约为万元，从第二年开始每年比上一年所需费用要增加万元.
（1）写出辆客车运营的总利润(万元)与运营年数的函数关系式：
（2）这辆客车运营多少年，可使年平均运营利润最大？最大利润是多少？
21．已知a，b，c均为正实数，求证：
（1）；
（2）．
22．已知二次函数(，，)只能同时满足下列三个条件中的两个：①的解集为；②；③的最小值为．
（1）请写出满足题意的两个条件的序号，并求，，的值；
（2）求关于的不等式的解集．
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2.2 基本不等式
一、基本不等式的概念
1、两个不等式
重要不等式：,（当且仅当时取号）.
常见变形公式：、
基本不等式： ,（当且仅当时取到等号）.
常见变形公式： ；
【注意】（1）成立的条件是不同的：前者只要求都是实数，而后者要求都是正数；
（2）取等号“=” 的条件在形式上是相同的，都是“当且仅当时取等号”.
（3）我们称为的算术平均数，称为的几何平均数.
因此基本不等式可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.
2、由公式和引申出的常用结论
①（同号）；
②（异号）；
③或
二、基本不等式的证明
1、法一：几何面积法
如图，在正方形中有四个全等的直角三角形.
设直角三角形的两条直角边长为、，那么正方形的边长为.
这样，4个直角三角形的面积的和是，正方形的面积为.
由于4个直角三角形的面积小于正方形的面积，所以：.
当直角三角形变为等腰直角三角形，即时，正方形缩为一个点，
这时有.
得到结论：如果，那么（当且仅当时取等号“=”）
特别的，如果，,我们用、分别代替、，可得：
如果，,则，（当且仅当时取等号“=”）.
通常我们把上式写作：如果，,，（当且仅当时取等号“=”）
2、法二：代数法
∵，
当时，；
当时，.
所以，（当且仅当时取等号“=”）.
三、基本不等式的几何意义
如图，是圆的直径，点是上的一点，,，
过点作交圆于点D，连接、.
易证，那么，即.
这个圆的半径为，它大于或等于，即，
其中当且仅当点与圆心重合，即时，等号成立.
四、利用基本不等式求最值
1、在用基本不等式求函数的最值时，要满足三个条件：一正二定三取等.
①一正：各项均为正数；
②二定：含变数的各项的和或积必须有一个为定值；
③三取等：含变数的各项均相等，取得最值.
2、积定和最小，和定积最大
（1）设x，y为正实数，若x＋y＝s(和s为定值)，则当x=y时，积xy有最大值，且这个值为.
（2）设x，y为正实数，若xy＝p(积p为定值),则当x=y时，和x＋y有最小值,且这个值为2.
题型一 对基本不等式的理解
【例1】若，且，则下列不等式一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
【变式1-1】设，，下列不等式正确的是（ ）
A． B． C． D．
【变式1-2】若，有下面四个不等式：（1）；（2），（3），（4）.则不正确的不等式的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【变式1-3】已知且，下列各式中最大的是（ ）
A． B． C． D．
【变式1-4】（多选）设a＞0，b＞0，则（ ）
A． B． C． D．
题型二 利用基本不等式证明不等式
【例2】已知a，b，c是互不相等的正数，且a＋b＋c＝1，求证：>8.
【变式2-1】设，为正实数，求证：．
【变式2-2】设a，b为正数，且．证明：
（1）：
（2）．
【变式2-3】设a，b，c均为正数，且，证明：
（1）；
（2）．
题型三 利用基本不等式求最值
【例3】已知x，y∈R＋，且x＋4y＝1，则xy的最大值为________．
【变式3-1】（1）已知，则取得最大值时的值为________．
（2）已知，则的最大值为________．
【变式3-2】已知，，，求的最小值；
【变式3-3】已知正数a，b满足，求的最小值．
【变式3-4】设x，y是正实数，且x+y=1，则的最小值是________ ．
题型四 基本不等式的恒成立问题
【例4】当时，不等式恒成立，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【变式4-1】已知，，若不等式恒成立，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【变式4-2】若不等式对任意恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【变式4-3】（多选）若，恒成立，则的取值可以是（ ）
A． B． C． D．
【变式4-4】若对任意实数，不等式恒成立，则实数a的最小值为（ ）
A． B． C． D．
题型五 利用基本不等式解应用题
【例5】如图，公园的管理员计划在一面墙的同侧，用彩带围成四个相同的长方形区域.若每个区域的面积为m，要使围成四个区域的彩带总长最小，则每个区域的长和宽分别是多少米？求彩带总长的最小值.
【变式5-1】为宣传2022年北京冬奥会，某公益广告公司拟在一张矩形海报纸（记为矩形，如图）上设计三个等高的宣传栏（栏面分别为一个等腰三角形和两个全等的直角梯形），宣传栏（图中阴影部分）的面积之和为.为了美观，要求海报上所有水平方向和竖直方向的留空宽度均为.设直角梯形的高为.
（1）当时，求海报纸的面积；
（2）为节约成本，应如何选择海报纸的尺寸，可使用纸量最少（即矩形的面积最小）？
【变式5-2】2020 年初至今，新冠肺炎疫情袭击全球，对人民生命安全和生产生活造成严重影响. 在党和政府强有力的抗疫领导下，我国控制住疫情后，一方面防止境外疫情输入，另一方面逐步复工复产，减轻经济下降对企业和民众带来的损失. 为降低疫情影响，某厂家拟在2022年举行某产品的促销活动，经调查测算，该产品的年销售量(即该厂的年产量) x万件与年促销费用m万元(m≥0)满足 x= 4 . 已知生产该产品的固定成本为 8万元，生产成本为16万元 / 万件，厂家将产品的销售价格定为万元 / 万件 (产品年平均成本)的1.5倍.
（1）将2022年该产品的利润y万元表示为年促销费用m万元的函数；
（2）该厂家2022年的促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大？
【变式5-3】第四届中国国际进口博览会于2021年11月5日至10日在上海举行．本届进博会共有58个国家和3个国际组织参加国家展（国家展今年首次线上举办），来自127个国家和地区的近3000家参展商亮相企业展．更多新产品、新技术、新服务“全球首发，中国首展”专（业）精（品）尖（端）特（色）产品精华荟萃，某跨国公司带来了高端空调模型参展，通过展会调研，中国甲企业计划在2022年与该跨国公司合资生产此款空调．生产此款空调预计全年需投入固定成本260万元，每生产x千台空调，需另投入资金R万元，且经测算，当生产10千台空调需另投入的资金R＝4000万元．现每台空调售价为0.9万元时，当年内生产的空调当年能全部销售完．
（1）求2022年企业年利润W（万元）关于年产量x（千台）的函数关系式；
（2）2022年产量为多少（千台）时，企业所获年利润最大？最大年利润多少？
（注：利润＝销售额－成本）
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